Bài soạn TL ôn thi 2011 - tích phân và ứng dụng

Ch ủ ñeà : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG
Phần I: NGUYÊN HÀM
A) TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1) Bảng các nguyên hàm cơ bản:
Nguyên hàm của
những hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Nguyên hàm của những hàm số
hợp đơn giản

Cxdx
+=
∫
Cudu
+=
∫
kdx kx C= +
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α

α
α
C
x
dxx
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
u
duu
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+

+
=+
+
∫
α
α
α
α
C
bax
a
dxbax
( )
0ln
≠+=
∫
xCx
x
dx
( )
0ln
≠+=
∫
uCu
u
du
( )
0ln
1
≠++=

+
∫
xCbax
abax
dx
Cedxe
xx
+=
∫
Cedue
uu
+=
∫
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa

x
x
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
( )
0 1
ln
mx n
mx n
a
a dx C a
m a
+
+
= + < ¹
ò
Cxxdx
+=
∫
sincos
Cuudu

+=
∫
sincos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax
++=+
∫
sin
1
cos
Cxxdx
+−=
∫
cossin
Cuudu
+−=
∫
cossin
( ) ( )
Cbax
a
dxbax
++−=+
∫
cos
1
sin
Cxdx

x
+=
∫
tan
cos
1
2
Cudu
u
+=
∫
tan
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
tan
1
cos
1
2
Cxdx

x
+−=
∫
cot
sin
1
2
Cudu
u
+−=
∫
cot
sin
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2
tan ln cosxdx x c= − +

∫
cot ln sinxdx x c= +
∫
2) Các tính chất nguyên hàm:
Cho các hàm số f(x) và g(x) có nguyên hàm. Khi đó
•
. ( )k f x dx =
∫
( )k f x dx
∫
( k là hằng số)
•
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
3) Các phương pháp tìm nguyên hàm:
a) Nguyên hàm từng phần
udv uv vdu= -
ò ò
b) Phương pháp đổi biến
[ ( )] '( ) ( )f u x u x dx f u du=
ò ò
B. MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu --1--
1) Các công thức lượng giác:
a) Công thức nhân đôi:
* sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos
2
a – sin
2
a

= 2cos
2
a – 1
= 1 – 2sin
2
a
b) Công thức hạ bậc:
* cos
2
a =
1 cos2
2
a+
* sin
2
a =
1 cos2
2
a−
c) Công thức biến đổi tích thành tổng:
*
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b= + + −
*
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )

2
a b a b a b= + + −
*
[ ]
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − + − −
2) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:
Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :
*
1
n
n
a a
=
và
m
n m
n
a a
=

* . .
n n n
a b a b= ;
n
n
n
a a

b
b
=
* a
0
= 1; a
1
= a ; a
-n
=
1
n
a
*
.a a a
α β α β
+
=
;
a
a
a
α
α β
β
−
=
*
( )
. .a b a b

α
α α
=
;
a a
b b
α
α
α
 
=
 ÷
 
*
( )
.
a a
β
α α β
=
3) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
* a
2
– b
2
= (a+b)(a – b)
*
( )
2
2 2

2a b a ab b± = ± +
*
3 3 2 2
( )( . )a b a b a a b b± = ± +m
*
( )
3
3 2 2 3
3 3a b a a b ab b± = ± + ±
C. LUYỆN TẬP:
1. Nguyên hàm của các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ:
1.1 Ví dụ: Tìm các họ nguyên hàm sau:
a)
(3 2)( 1)x x dx− +
∫
b)
5
(2 3)x dx+
∫
c)
3
( 2)x xdx+
∫
d)
3 2x
dx
x
−
∫
e)

( )
2
2 1x
dx
x
−
∫
f)
2
2
2 5 1x x
dx
x
− −
∫
GIẢI
a)
(3 2)( 1)x x dx− +
∫
b)
5
(2 3)x dx+
∫
Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu --2--
c)
3
( 2)x xdx+
∫
d)
3 2x

dx
x
−
∫
e)
( )
2
2 1x
dx
x
−
∫
f)
2
2
2 5 1x x
dx
x
− −
∫
1.2 Bài tập: Tìm các họ nguyên hàm sau:
a)
2
( 2) ( 1)x x dx+ −
∫
b)
5
(5 2)x dx−
∫
c)

3
(2 ) ( 1)x x dx− +
∫
d)
4 3
2 1
x
dx
x
+
−
∫
e)
( )
2
5x
dx
x
−
∫
f)
2
2
3 2x x
dx
x
− +
∫
2. Nguyên hàm các hàm số lượng giác:
2.1 Ví dụ: Tìm các họ nguyên hàm sau:

a)
2
sin xdx
∫
b)
sin 2 cos3x xdx
∫
c)
sin3 sin 7x xdx
∫
d)
cos2 cos5x xdx
∫
e)
2 2
cos2
sin .cos
x
dx
x x
∫
f)
2
tan xdx
∫
g)
3
sin cosx xdx
∫
h)

2
sin 2 cosx xdx
∫
i)
3 2sin cosx xdx+
∫
GIẢI
a)
2
sin xdx
∫
b)
sin 2 cos3x xdx
∫
c)
sin3 sin 7x xdx
∫
d)
cos2 cos5x xdx
∫
Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu --3--
e)
2 2
cos2
sin .cos
x
dx
x x
∫
f)

2
tan xdx
∫
g)
3
sin cosx xdx
∫
h)
2
sin 2 cosx xdx
∫
i)
3 2sin cosx xdx+
∫
2.2 Bài tập: Tìm các họ nguyên hàm sau:
a)
2
cos 2xdx
∫
b)
2
cos .sin3x xdx
∫
c)
2 2
1
sin .cos
dx
x x
∫

d)
2
4tan 3
cos
x
dx
x
+
∫
e)
2
sin 2
1 cos
x
dx
x+
∫
f)
2
1
(sin 3cos )
dx
x x+
∫
3. Nguyên hàm của hàm số mũ, logarit:
3.1 Ví dụ: Tìm các họ nguyên hàm sau:
a)
3 2x
e dx
−

∫
b)
1
1
x
dx
e
−
+
∫
c)
ln 1x
dx
x
−
∫
d)
3ln 2x
dx
x
−
∫
GIẢI
a)
3 2x
e dx
−
∫
b)
1

1
x
dx
e
−
+
∫
c)
3ln 2x
dx
x
−
∫
d)
log 1x
dx
x
−
∫
Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu --4--
3.2 Bài tập: Tìm các họ nguyên hàm sau:
a)
2 5 3
( )
x x
e e dx
− −
−
∫
b)

1
1
x
dx
e +
∫
c)
1
x x
dx
e e
−
−
∫
d)
4ln 3x
dx
x
+
∫
e)
2
ln 1x
dx
x
−
∫
f)
2ln 3x
dx

x
+
∫
4. Phương pháp nguyên hàm từng phần:
4.1 Ví dụ: Tìm các họ nguyên hàm sau:
a)
(3 2)
x
x e dx−
∫
b)
(2 3)cos2x xdx+
∫
c)
2
( 2)sinx xdx+
∫
d)
( 2)lnx xdx−
∫
e)
2
ln x
dx
x
∫
f)
2
cos
x

dx
x
∫
GIẢI
a)
(3 2)
x
x e dx−
∫
b)
(2 3)cos2x xdx+
∫
c)
2
( 2)sinx xdx+
∫
d)
( 2)lnx xdx−
∫
e)
2
ln x
dx
x
∫
f)
2
cos
x
dx

x
∫
4.2 Bài tập: Tìm các họ nguyên hàm sau:
a)
6
(3 2)
x
x e dx−
∫
b)
(5 2)sin10x xdx−
∫
c)
2
(3 2 )cosx xdx−
∫
d)
( )
2
ln
1
x
dx
x −
∫
e)
(2 3)lnx xdx+
∫
f)
2

3
sin
x
dx
x
−
∫
5. Tìm nguyên hàm có điều kiện:
5.1: Ví dụ: Cho hàm số f(x)=
5
(2 1) ( 3)x x− −
. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết
rằng F(0) = 0.
Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu --5--