Công thức nguyên hàm tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (187.38 KB, 2 trang )
Trường THPT Nguyễn Trãi Lương Công Sự
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
d
x x C
1
d
1
x
x x C
d
ln | |
x
x C
x
d
2
x
x C
x
d
x x
e x e C
d
ln
x
x
a
a x C
a
sin d cos
x x x C
cos d sin
x x x C
tan d ln | cos |
x x x C
cot d ln | sin |
x x x C
2
tan
cos
dx
x C
x
2
cot
sin
dx
x C
x
dx 1
ln | |
ax b C
ax b a
1
d
ax b ax b
e x e C
a
1
cos( )d sin( )
ax b x ax b C
a
1
sin( )d cos( )
ax b x ax b C
a
2
1
tan( )
cos ( )
dx
ax b C
a
ax b
2
1
cot( )
sin ( )
dx
ax b C
a
ax b
1
tan( )d ln | cos( ) |
ax b x ax b C
a
1
cot( )d ln |sin( ) |
ax b x ax b C
a
2dx
ax b C
a
ax b
Các tính chất của nguyên hàm
+)
( )d ' ( )
f x x f x
+)
( )d ( )d
af x x a f x x
+)
( ) ( ) d ( )d ( )d
f x g x x f x x g x x
+)
[ ( )] '( )d [ ( )]
f u x u x x F u x C
Một số phương pháp đổi biến
Dạng 1:
Dấu hiệu Cách đặt
2 2
a x
| | sin
x a t
với
2 2
t
Hoặc
| | cos
x a t
với 0 t
2 2
x a
| |
sin
a
x
t
với
; \{0}
2 2
t
Hoặc
| |
cos
a
x
t
với [0 ; ]\
2
t
2 2
a x
| | tan
x a t
với
2 2
t
Hoặc
| |cot
x a t
với
0 t
a x
a x
hoặc
a x
a x
cos2
x a t
( )( )
x a b x
2
( )sin
x a b a t
Dạng 2:
Dấu hiệu Cách đặt
Hàm số có mẫu
t
là mẫu số
Hàm số
, ( )
f x x
( )
t x
Hàm số
sin cos
( )
sin cos
a x b x
f x
c x d x e
tan
2
x
t
(với
cos 0
2
x
)
Hàm số
1
( )
( )( )
f x
x a x b
Với
0
x a
&
0,
x b
đặt
t x a x b
Với
0
x a
&
0,
x b
đặt
t x a x b
Dạng 3: Nguyên hàm từng phần
( ). d
x
P x e x
( ).cos d
P x x x
( ).sin d
P x x x
( ).ln d
P x x x
u
( )
P x
( )
P x
( )
P x
ln
x
d
v
d
x
e x
cos d
x x
sin d
x x
( )
P x
Dạng 4:
1
( )( )
A B
x a x b x a x b
2 2
1
( )( )
A Bx C
x m
x m ax bx c ax bx c
2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
A B C D
x a x b
x a x b x a x b
Tính chất tích phân
+)
( )d 0
a
a
f x x
+)
( )d ( )d
b a
a b
f x x f x x
+)
( )d ( )d
b b
a a
kf x x k f x x
Trường THPT Nguyễn Trãi Lương Công Sự
+)
[ ( ) ( )]d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
+)
( )d ( )d ( )d
b c b
a a a
f x x f x x f x x
Nếu
( ) 0
f x
trên
[ ; ]
a b
thì
( )d 0.
b
a
f x x
Nếu
( ) ( )
f x g x
trên
[ ; ]
a b
thì
( )d ( )d .
b b
a a
f x x g x x
Phương pháp tích phân từng phần:
d d
b b
b
a
a a
u v uv v u
Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1: Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ
Nếu hàm số
( )
f x
liên tục và là hàm số lẻ trên
[ ; ]
a a
thì
( )d 0.
a
a
f x x
Nếu hàm số
( )
f x
liên tục và là hàm số chẵn trên
[ ; ]
a a
thì
0
( )d 2 ( )d .
a a
a
f x x f x x
Dạng 2: Nếu
( )
f x
liên tục và là hàm số chẵn trên
thì
0
( )
d ( )d .
1
x
f x
x f x x
a
Dạng 3: Nếu
( )
f x
liên tục trên
0 ;
2
thì
2 2
0 0
(sin )d (cos )d .
f x x f x x
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình phẳng
Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
- Đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
y f x
liên tục trên đoạn
[ ; ].
a b
- Trục hoành.
- Hai đường thẳng
,
x a
.
x b
Là
| ( ) | d
b
a
S f x x
Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
- Đồ thị của các hàm số
( ),
y f x
( )
y g x
liên tục trên đoạn
[ ; ].
a b
- Hai đường thẳng
,
x a
.
x b
Là
| ( ) ( ) | d
b
a
S f x g x x
Chú ý:
Nếu trên đoạn
[ ; ]
a b
hàm số
( )
f x
không đổi dấu thi
| ( ) | d ( )d .
b b
a a
f x x f x x
Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
- Đồ thị của
( ),
x g y
( )
x h y
- Hai đường thẳng
,
y c
.
y d
Là
| ( ) ( ) | d
d
c
S g y h y x
2. Thể tích khối tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( ): ( ),
C y f x
trục
hoành,
,
x a
y b
( )
a b
sinh ra khi quay quanh trục là
2
[ ( )] d
b
a
V f x x
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục
:
Oy
( ): ( ),
C x g y
trục tung,
,
y x
y d
là
2
[ ( )] d
d
c
V g y y
