ĐAP ÁN TUẦN 2 THÁNG 3 NĂM 2013 (LẦN 8)

TRƯỜNG THPT LONG MỸ
CÂU LẠC BỘ TOÁN HỌC
ĐÁP ÁN TUẦN 2 THÁNG 03 NĂM 2013
KHỐI 10
Câu 1: Câu 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến
AA', ', 'BB CC
. Gọi G là trọng tâm tam giác và a, b, c
là độ dài ba cạnh. Chứng minh rằng:
2 2 2
2
2 . ' . 3
6
a b c
MA MA MB MC MG
+ +
+ = −
uuur uuuur uuur uuur
Giải
Ta có:
2
2
2 . ' . 2( ).( ') ( ).( )
3 (2 ' 2 ) 2 . ' .
3 ( 2
MA MA MB MC MG GA MG GA MG GB MG GC
MG MG GA GA GB GC GA GA GB GC
MG MG GA GA
+ = + + + + +
= + + + + + +
= + − +
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur
uuuur uuur
) .( ) .GB GC GA GA GB GC+ + + − +
uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur
Vì G là trọng tâm
∆
ABC nên ta có:
2 2
0
2 . ' . 3 .
GA GB GC
MA MA MB MC MG GA GB GC
+ + =
⇒ + = − +
uuur uuur uuur r
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
Mặt khác:

2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 .
1 1 4 4
. ( ) ( ' ' )
2 2 9 9
4 9
( ' ' )
18 4
BC GC GB
BC GB GC GB GC

GB GC GB GC BC BB CC BC
BB CC BC
= −
⇒ = + −
⇒ = + − = + −
= + −
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Do đó:

2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 2 9
2 . ' . 3 AA' ( ' ' )
9 9 4
2 9
3 (2AA' ' ' )
9 4
MA MA MB MC MG BB CC a
MG a BB CC
+ = − + + −
= − + − −
uuur uuuur uuur uuur
Ta lại có:
2 2
2
2 2
2
2

2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
' ' ' ' 2 '. '
' ' ' ' 2 '. '
2AA' ' ' 2 '
2
2AA'
2 2
1
AA'
2
AB AA A B AB AA A B AA A B
AC AA A C AC AA A C AA A C
BC
AB AC A B A C AA
BC a
AB AC b c
= + ⇒ = + +
= + ⇒ = + +
⇒ + = + + = +
⇔ = + − = + −
⇔ =
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
2
2 2
( )
2

a
b c+ −
LẦN 8
Tương tự:
2
2 2 2
2
2 2 2
1
' ( )
2 2
1
' ( )
2 2
b
BB a c
c
CC b a
= + −
= + −
Do đó ta có:

2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2

2 9 1 1
2 . ' . 3 [( ( ) ( )]
9 2 4 2 2 2 2
1 9
3 (2 2 )
9 2 2 2
1 3 3 3
3 ( )
9 2 2 2
1
3 ( )
6
3 ( pcm)
6
a b c
MA MA MB MC MG b c a a c b a
b c
MG b c a a a c b a
MG a b c
MG a b c
a b c
MGđ
+ = − + − + − + − − + −
= − + − + − − + − − +
= − + +
= − + +
+ +
= −
uuur uuuur uuur uuur
Câu 2: Một vườn cây hình chữ nhật có diện tích 0,9 ha. Người ta muốn rào vườn hai phía Bắc và Nam

bằng hàng rào gỗ và hai phía Đông và Tây bằng dây thép gai. Biết chi phí cho một mét rào gỗ là 50 ngàn
đồng, một mét rào thép gai là 20 ngàn đồng. Hỏi dự trù chi phí làm hàng rào là 12 triệu đồng có đủ hay
không ?
Giải
Gọi
x
(m) là độ dài cạnh phía Bắc của vườn (
0x >
)
Gọi
y
(m) là độ dài cạnh phía Đông của vườn (
0y >
)
Theo gt ta có:
2
. 9000 ( )x y m=
Tổng số tiền chi phí
T
(đơn vị ngàn đồng) là:

50.2. 20.2.
100 40
9000
100 40.
3600
100
T x y
x y
x

x
x
x
= +
= +
= +
 
= +
 ÷
 
Ta có:
100.2 3600 100.2.60 12.000T ≥ = =
(ngàn đồng)
Dấu ”=” xảy ra khi
3600
60( )x x m
x
= ⇒ =
Suy ra giá trị nhỏ nhất của chi phí
T
là 12 triệu đồng khi cạnh phía Bắc của vườn dài 60 (m)
Vậy dự trù 12 triệu đồng để làm hàng rào chỉ đủ khi cạnh phía bắc của vườn dài 60m
Câu 3 Cho
.20091,2008,1 ≤−≤−≤ bcaa
Chứng minh rằng:
.4017≤− cab
Giải:
Vì:
20092009120091,1 ≤−⇒≤−⇒≤−≤ aabbaba
.

Mà:
2008≤− ca
. Suy ra:
4017≤−+− caaab
.
Ta có:
caaabcaaabcab −+−≤−+−=− )()(
.
Vậy:
4017≤− cab
.
KHỐI 11
Câu 1: Giải phương trình
( )
2
3cos cos sin
2
1
9
2 sin 2 1
4
x x x
x
π
 
− − −
 ÷
 
=
π

 
− +
 ÷
 
( )
( )
2
3sin cos sin
1 1
2sin 2 1
4
x x x
PT
x
− −
⇔ =
π
 
− +
 ÷
 
ĐK:
3
4
x m
x n
≠ π




π
≠ + π


( )
2
sin 1
3sin 1 sin2
1 1 2sin 3sin 1 0
1
sin 2 cos2 1
sin
2
x
x x
x x
x x
x
=

− +

⇔ = ⇔ − + = ⇔

− +
=

( )
2
2

2
6
5
2
6
x k
x k k Z
x k
π

= + π


π

⇔ = + π ∈


π

= + π


thỏa mãn điều kiện
Câu 2: Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển của
( )
( )

3
2 2
n
f x x x= − +
biết
0 1 2
29
n n n
C C C+ + =
Câu 3 Tìm m để đồ thị của hàm số
( )
( )
2
1 5 4 2y x x x m= − − + −
cắt trục ox tại 3 điểm phân biệt
với hoành độ lập thành cấp số cộng
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C)
( )
( )
2
1 5 4 2y x x x m= − − + −
và ox
( )
( )
( ) ( )
2 3 2
1 5 4 2 0 6 4 3 2 4 0 1x x x m x x m x m
− − + − = ⇔ − + + + − =
Giải sử
1 2 3

; ;x x x
là 3 nghiệm của phương trình (1). Khi đó vế phải của (1) được phân tích như sau
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2
1 2 3
3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
6 4 3 2 4x x m x m x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
− + + + − = − − − =
− + + + + + −
Suy ra
1 2 3
6x x x+ + =
1 2 3
; ;x x x
lập thành CSC
1 3 2 2 2 2
2 2 6 2x x x x x x⇔ + = ⇒ + = ⇔ =
Với
2
2 2x m= ⇒ =
với
2m =
thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
1; 2; 3x x x= = =
lập thành CSC.
Vậy

2m =
thỏa đề bài
KHỐI 12
Câu 1
Pt mp((P):
1
x y z
a b c
+ + =
(Với a, b, c >0)
Vì M thuộc mp (P) nên ta có
4 1 1
1
a b c
+ + =
Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
OA OB OC a b c
+ + = + +
Áp dung BĐT Bunhiacopski ta có:
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 1 1 1 1 1 1 1 1
1 4. 1. 1. 18
1 1 1 1 1 1 1
18
a b c a b c a b c
OA OB OC a b c

     
= + + = + + ≤ + +
 ÷  ÷  ÷
     
⇒ + + = + + ≥
Dấu bằng xãy ra khi:
4a b c
= =
Mà
4 1 1 18 9
1 1 18
4 2
a b c
a b c a
+ + = ⇔ = ⇔ = ⇒ = =
Vậy pt mp(P):
2 1 1
1 0
9 18 18
x y z+ + − =
Câu 2
3 3
2 2
6 2
4 4
1 1
(1 tan ) .
os os
A dx x dx
c x c x

π π
π π
= = +
∫ ∫
Đặt
2
1
tan
os
u x du dx
c x
= ⇒ =

3
3
1
4
x u
x u
π
π
= ⇒ =
= ⇒ =
3
3 3
3 5
2 2 2 4
1 1
1
2 24 3 28

(1 ) (1 2 )
3 5 5 15
u u
A u du u u du u
 
= + = + + = + + = −
 ÷
 
∫ ∫
Câu 3:
Ta có:
( ) 3f x x≥
với mọi
1x
≥
3 2
2
( 3) 4 0; 1
4
3 ; 1
x m x x
x m x
x
⇔ − + + ≥ ∀ ≥
⇔ − + ≥ ∀ ≥
1
( )
min
x
g x m

≥
⇔ ≥
; với
2
4
( ) 3g x x
x
= − +
Ta có:
3
3
8
'( )
'( ) 0 2
x
g x
x
g x x
−
=
= ⇔ =
BBT:
x 1 2
∞+
g’(x) – 0 +
g(x) 2
∞+
0
Ycđb
0m⇔ ≤