CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TỈ SỐ

PHÒNG GD & ĐT DI LINH
TRƯỜNG TH ĐINH TRANG HÒA II
CHUYÊN ĐỀ:
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 4 PHÁT HIỆN
CÁC YÊU TỐ ẨN TRONG DẠNG BÀI TOÁN “ TÌM HAI SỐ
KHI BIẾT TỔNG VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ”
1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình sách giáo khoa toán 4, phần giải toán gồm các nội
dung: Củng cố các bươc giải toán hợp; hình thành phương pháp giải các
bài toán điển hình; thực hành phương pháp giải và luyện kĩ năng vận dụng
các bài toán điển hình. Khi giải các bài toán điển hình thì học sinh sẽ nắm
được các yếu tố, cách giải riêng cho từng dạng toán. Mỗi bài toán điển
hình đều có ba dạng: dạng cơ bản ( dạng vận dụng 1), dạng vận dụng 2,
dạng vận dụng 3. Mức độ khó của mỗi dạng toán tăng dần. Thông thường
ở dạng cơ bản, việc giáo viên hướng dẫn phân tích qua các bài toán mẫu
thì đa số học sinh nắm được, nhưng khi đến các bài toán dạng vận dụng thì
đa số học sinh lúng túng, đặc biệt là các yếu tố ẩn trong bài toán các em
không nắm được. Đối với dạng bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số
của hai số cũng vậy. Có bài toán thì tổng ẩn, có bài toán thì tỉ số ẩn, có bài
ở dạng vận dụng 2 thì ẩn cả tổng và tỉ số. Để giúp giáo viên và học sinh
khối 4 tháo gỡ những khó khăn khi gặp những bài toán dạng bài tìm hai số
khi biết tổng và tỉ số của hai số đó có yếu tố ẩn, tôi quyết định chọn đề tài
để xây dựng chuyên đề nhằm đề xuất một số biện pháp giúp học sinh nâng
cao được chất lượng giải bài toán điển hình ở các dạng vận dụng.
II. Thực trạng:
1. Về bài toán:
Đối với dạng vận dụng 1: Ví dụ- Một người bán được 280 quả cam và
quýt, trong đó số cam bằng 2/5 số quýt. Tìm số cam, số quýt đã bán.
Ở bài toán này qua phần tìm hiểu đề, đa số học sinh xác định ngay được
các yếu tố của bài toán: tổng 280 quả, tỉ số giữa cam và quýt là 2:5, như
vậy học sinh có thể vẽ ngay được sơ đồ và giải bài toán. Với dạng này, đa

số học sinh giải được bài toán. Đối với dạng bài toan này học sinh chỉ cần
hiểu tỉ số 2/5 là gì, và xác định đâu là số lớn (số quả quýt) đâu là số bé ( số
quả cam) là học sinh có thể vẽ sơ đồ và giải được bài toán.
Đối với dạng bài toán vận dụng 2:
+ Tổng của hai số là số lớn nhất có hai chữ số, tỉ số của hai số là 4/5. Tìm
hai số đó. ( ẩn tổng).
+ Trung bình cộng của hai số là 9, số thứ nhất bằng 4/5 số thứ hai. Tìm hai
số đó. ( ẩn tổng)
+ Chu vi một hình chữ nhật là 50 m, chiều rộng bằng 2/3 chiều dài. Tính
diện tích hình chữ nhật đó? ( ẩn tổng).
+Tổng hai số là 72. Tìm hai số đó, biết rằng nếu số lớn giảm 5 lần thì được
số bé. ( tỉ số ẩn).
+ Trung bình cộng của hai số là 9, số thứ nhất gấp đôi số thứ hai. Tìm hai
số đó. ( ẩn cả tổng và tỉ số).
….
Đối với dạng bài toán ẩn tổng hoặc tỉ số của hai số, học sinh khá giỏi dễ
dàng nhận ra nhưng đối với nhóm chuẩn thì thông thường rất khó. Bởi vì
các em thường dựa trên các dữ kiện bài toán cho sẵn để xác định tổng chứ
chưa dựa vào các mối quan hệ trong bài toán, còn khi xác định tỉ số thông
thường các em thấy tỉ số là các phân số (lớn hơn 1 hoặc bé hơn 1) mà các
em thấy ở phần giải mẫu của giáo viên nên khi gặp dạng “ Giảm số lớn đi
một số lần thì được số bé hay gấp số bé đi một số lần thì ta được số lớn, ”
thì các em rất khó nhận ra tỉ số trong bài toán. Khi các em gặp dạng bài
toán này thì nhiều em sẽ không giải được mặc dù nhận ra dạng toán.
Dạng vận dụng 3:
Hùng và Dũng có tất cả 79000 đồng. Sau khi Hùng mua hết 5/6 số tiền của
mình và Dũng mua hết 6/7 số tiền của mình thì Dũng nhiều hơn Hùng
2000đồng. Tính số tiền mỗi bạn có. ( Bài toán ẩn cả tổng và tỉ số). (dạng
bài vận dụng này chỉ dành cho học sinh giỏi, ít gặp trong sách giáo khoa).
2. Về học sinh:

Những vướng mắc học sinh thường gặp khi giải dạng toán tìm hai số khi
biết tổng và tỉ số của hai số thường gặp là:
+ Chưa hiểu rõ thế nào là tỉ số?
+ Chỉ hiểu tỉ số thông thường được biểu thị dưới dạng phân số.
+ Chưa xác định được tổng ở đây là cái gì? ( kết quả của số lớn cộng với
số bé).
+ Khi giải bài toán thì còn nhầm lẫn giữa số lớn và số bé.
+ Học sinh còn ngại vẽ sơ đồ do chiếm nhiều thời gian
+ Khi gặp các bài toán có tổng ẩn, thường bỏ qua phép tính trung gian nên
không xác định được tổng trên sơ đồ.
+ Đối với bài toán ẩn tỉ số thì việc xác định các yếu tố để vẽ sơ đồ các em
rất khó để xác định.
+ Việc hiểu các thuật ngữ toán học của các em còn hạn chế.
3. Về giáo viên:
+ Trong quá trình giảng dạy, giáo viên còn ôm đồm kiến thức làm cho tiết
học nặng nề, quá về mặt thời gian dẫn đến tiết dạy kém hiệu quả.
+ Việc phân tích bài toán, lập kế hoạch giải để giúp các em có tư duy, suy
luận khi giải bài toán giáo viên còn chưa chú trọng.
+ Khi giải các bài toán, việc vẽ sơ đồ của giáo viên còn chưa chuẩn: kẻ
bằng tay hoặc tỉ lệ chưa phù hợp.
+ Việc giúp học sinh nắm được các thuật ngữ trong bài toán đôi khi còn
chưa chú trọng.
+ Giáo viên nói nhiều, giảng giải nhiều ( sợ học sinh không hiểu) nên học
sinh không tập trung vào việc chú ý.
….
Từ thực trạng trên, tôi đề xuất một số biện pháp khắc phục như sau:
III. Các giải pháp:
1. Huy động kiến thức:
Khi dạy đến dạng bài toán : Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số,
giáo viên cần huy động học sinh nhớ lại hai khái niệm mà học sinh đã được

học. Đó là khái niệm về tổng ( số lớn + số bé) mà các em đã học trong dạng
bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó và hiểu được khái niệm
tỉ số ( số lớn : số bé hoặc số bé : số lớn) mà các em vừa được cung cấp ở tiết
trước đó. Đây là những cụm từ chìa khóa để giúp các em giải quyết được các
vấn đề của bài toán. Trong quá trình giảng dạy, giao viên cần có các dự kiến
tình huống để xử lí khi học sinh gặp vướng mắc để giải quyết tình huống một
cách kịp thời, hiệu quả. Ví dụ khi dạy bài tỉ số, giáo viên cần cung cấp cho
học sinh khái niệm về tỉ số ( kết quả so sánh số lượng, số đo hoặc giá trị của
hai nhóm đồ vật ( hai đại lượng cùng loại, cùng đơn vị đo thì ta gọi là tỉ số. Ví
dụ: Có 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam, ta so sánh số lượng học sinh nữ với
số lượng học sinh nam ta có tỉ số: 3 : 4 = . So sánh số lượng học sinh
nam với số lượng học sinh nữ ta có tỉ số : 4 : 3 = .
Nếu số học sinh nam là 12 người, số học sinh nữ là 3 người thì ta có tỉ số giữa
số học sinh nam và số học sinh nữ là 12 : 3 = 4. Tỉ số giữa số học sinh nữ và
số học sinh nam là : 3 : 12 = .
Như vậy tỉ số của hai số có thể là số tự nhiên cũng có thể là phân số. Nếu
hiểu tỉ số chỉ là các phân số là chưa đầy đủ. Nếu giáo viên không dự kiến các
tình huống này thì các bài toán “ gấp số bé lên một số lần hay giảm số lớp đi
một số lần “ học sinh sẽ không xác định được tỉ số.
2. Phân tích kĩ các yếu tố trong bài toán mẫu.
Ví dụ: Tổng của hai số là 96, tỉ của hai số đó là 3/5. Tìm hai số đó.
Việc đầu tiên khi giải bài toán, giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán
để xem bài toán cho biết gì? Hỏi gì?
Sau đó giáo viên giúp học sinh hiểu các yếu tố trong dữ kiện bài toán: 96
là gì?( tổng của số lớn và số bé); là gì? ( số lớn : số bé = ). Vậy em
hiểu là như thế nào? ( số bé 3 phần thì số lớn bằng 5 phần).
Từ đó giáo viên giúp học sinh vẽ sơ đồ thể hiện các yếu tố đã cho và yếu
tố phải tìm của bài toán hoặc lập luận vấn đề để giúp học sinh nắm được
cách giải bài toán theo các bước.
Khi thực hiện đến ví dụ 2/SGK, bài toán đã khái quát lên ở một mức độ

cao hơn: Minh và Khôi có 25 quyển vở. Số vở của Minh bằng số vở của
Khôi. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu quyển vở?
Đối với bài toán này, ta suy luận rằng “ số vở của Minh bằng số vở của
Khôi, tức là tỉ số giữa số vở của Minh và số vở của Khôi là . Hay số
quyển vở của Minh là số bé, số vở của Khôi là số lớn. 25 quyển vở là tổng
( số vở của Minh + số vở của Khôi). Từ đó ta đưa bài toán về dạng cơ bản
và học sinh vận dụng các bước giải một cách dễ dàng.
Như vậy ở bài toán mẫu, giáo viên giúp học sinh nhận được dấu hiệu đặc
trưng của dạng toán, các bước giải bài toán, đồng thời giáo viên phải
giúp học sinh hiểu được các yếu tố trong bài toán: tổng = số lớn + số bé
( hoặc ngược lại; tỉ số = số lớn: số bé ( hoặc ngược lại).
3. Hướng dẫn các bài toán vận dụng ( có dạng ẩn)
a. Đối với dạng toán ẩn tổng:
Ví dụ: Tổng của hai số bằng số lớn nhất của số có hai chữ số. Tỉ số của hai
số đó là . Tìm hai số đó.
Đối với dạng toán này, giáo viên cần định hướng cho học sinh cách lập
luận để xác định tổng từ đó đưa về dạng cơ bản.
H . Số lớn nhất của số có hai chữ số là bao nhiêu?( 99)
Học sinh phải lập luận được số lớn nhất của số có hai chữ số là 99, sau đó
xác định tổng, tỉ số của hai số sau đó đưa về dạng toán cơ bản.
Ví dụ: Một hình chữ nhật có chu vi là 350m, chiều rộng bằng chiều dài.
Tìm chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Đối với bài toán này, học sinh rất hay nhầm lẫn tổng chính là chu vi hình
chữ nhật. Để giúp học sinh tránh được sự nhầm lẫn này giáo viên cần giúp
học sinh xác định các yếu tố trong bài toán ứng với số lớn, số bé. VD: chiều
dài- ứng với số lớn, chiều rộng- ứng với số bé. Từ đó học sinh sẽ xác định
được tổng trong bài toán này chính là tổng của chiều dài và chiều rộng, mà
tổng của chiều dài và chiều rộng chính là nửa chu vi. Do đó muốn xác định
được tổng ta phải đi tìm nửa chu vi. Sau khi xác định được các điều kiện của
bài toán ( tổng- tỉ số) đưa về dạng toán cơ bản để giải bài toán.

Như vậy đối với các dạng toán ẩn tổng thường phải qua một bước lập
luận rồi mới đưa về dạng cơ bản.
b. Đối với bài toán ẩn tỉ số:
Ví dụ: Một sợi dây dài 28m được cắt thành hai đoạn, đoạn thứ nhất dài
gấp 3 lần đoạn dây thứ hai. Hỏi mỗi đoạn dài bao nhiêu mét? ( bài 1/149)
Ví dụ: Tổng của hai số là 72. Tìm hai số đó, biết rằng nếu số lớn giảm 5
lần thì được số bé.( 3/149- SGK toán 4).
Đối với những bài toán này, tỉ số không biểu thị dưới dạng phân số như
các dạng thường gặp. Thông thường học sinh khá giỏi chỉ nhìn vào dấu
hiệu sẽ nhận ra được tỉ số, nhưng đối với học sinh chuẩn và cận chuẩn học
sinh khó nhận biết. Nên khi gặp các bài toán này, giáo viên gợi ý và giúp
học sinh nhận biết tỉ số qua các bước lập tỉ số thể hiện mối quan hệ trong
bài toán:
VD 1: Độ dài đoạn thứ nhất / độ dài đoạn thẳng thứ hai = 3
Độ dài đoạn thứ hai / độ dài đoạn thẳng thứ nhất =
Như vậy học sinh sẽ xác định được bài toán về dạng cơ bản ( Một sợi dây
dài 28m được cắt thành hai đoạn, đoạn thứ hai bằng đoạn thứ nhất. Tính
độ dài mỗi đoạn.). Sau khi xác định được tổng và tỉ số, học sinh đưa về
dạng cơ bản để thực hiện các bước giải.
Tương tự bài toán 1, GV giúp học sinh xác định tỉ số ở bài tập 2:
Số lớn/ số bé = 5 (lần)
Số bé/ số lớn = lần.
Sau khi xác định được tỉ số, học sinh sẽ chuyển về dạng cơ bản để thực
hiện.
4. Hướng dẫn học sinh nắm một số thuật ngữ toán học.
Trong quá trình tìm hiểu đề, giáo viên giúp học sinh hiểu một số khái
niệm: một nửa, gấp đôi, gấp, giảm, độ dài hai cạnh liên tiếp ( HCN), trung
bình cộng của hai số, chu vi,… liên quan đến bài toán để giúp các em phát
hiện các yếu tố ẩn trong bài toán.
Tóm lại, khi day các bài toán điển hình lớp 4 nói chung và dạng toán tìm

hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số nói riêng, giáo viên giảng dạy cần
nắm được mức độ yêu cầu của học sinh cũng được tăng dần theo nguyên
tắc đồng tâm. Đây là giai đoạn học sâu, vì thế tìm đúng đáp số chưa phải
là tất cả, mà điều quan trọng hơn cần giúp học sinh hiểu việc đang làm,
hiểu ý nghĩa của bài toán trong thực tế đời sống. Tức là thể hiện quá trình
tư duy, suy luận, phương pháp giải quyết bài toán và kĩ năng diễn đạt
trình bày. Đặc biệt các dạng toán điển hình học sinh phải nắm được qui
trình giải toán, nhận dạng và hiểu rõ phương pháp giải đặc thù của từng
dạng toán. Việc giáo viên giúp các em đưa các vấn đề phức tạp về dạng
đơn giản, từ cái trừu tượng về cái thực tế để các em nắm rõ được vấn đề
và hứng thú tìm tòi, học hỏi, hiệu quả tiết dạy sẽ được tăng lên
Trên đây là một số giải pháp mà trong thực tế tôi đã nghiên cứu và giảng
dạy có hiệu quả đối với dạng toán Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số. Nó
cũng có thể giúp giáo viên trong các dạng toán Tìm hai số khi biết tổng và
hiệu của hai số đó và Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số trong việc
phát hiện các yếu tố ẩn. Tuy nhiên nó vẫn còn nhiều thiếu sót, mong được
sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp để chuyên đề được hoàn hảo hơn.
Đinh Trang Hòa, ngày 19 tháng 3 năm 2013
Người viết
Lê Thị Hải