Đề khảo sát chất lượng Toán lớp 9 ngày 16-3-2013

PHÒNG GD & ĐT BÌNH XUYÊN
TRƯỜNG THCS ĐẠO ĐỨC
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIỮA KỲ II
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán, lớp 9
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN(2 điểm):
Câu 1. Kết quả nào sau đây là căn bậc hai số học của 9?
A. 81 B. -81 C. 3 D.
3±

Câu 2. Cho hàm số
= −
2
3
y x
2
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có giá trị dương khi x < 0.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là y = 0 khi x = 0.
C. Hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
D. Hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0.
Câu 3. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M và tạo thành
·
0
50AMB =
. Khi
đó số đo cung bị chắn bởi góc ở tâm AOB là bao nhiêu?
A.
0
50

B.
0
40
C.
0
130
D.
0
80
.
Câu 4. Tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Nếu
·
0
BAC 70=
thì số đo góc BDC là bao
nhiêu?
A. 110
0
B. 70
0
. C. 160
0
. D. 140
0
.
II. PHẦN TỰ LUẬN (8 điểm):
Câu 5. Cho biểu thức:
1 x x
:
x x 1 x x

 
= +
 ÷
+ +
 
P
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P;
b) Tìm giá trị của biểu thức P khi x = 4;
c) Tìm x để biểu thức P có giá trị là
13
3
.
Câu 6. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5 và nếu
đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 7 và dư là 6.
Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm D (D ≠ A, D ≠ C). Đường tròn
tâm O đường kính DC cắt BC tại E (E ≠ C).
a) Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp.
b) Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I. Chứng minh ED là tia phân giác
của góc AEI.
c) Giả sử
·
tanABC 2.=
Tìm vị trí của D trên AC để EA là tiếp tuyến của đường tròn
đường kính DC.
Câu 8. Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện
x 2y≥
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2

x y
M
xy
+
=
.
-HẾT-

(ThÝ sinh kh«ng sö dông tµi liÖu; c¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.)
Họ và tên thí sinh Số báo danh
PHÒNG GD & ĐT BÌNH XUYÊN
TRƯỜNG THCS ĐẠO ĐỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIỮA HKII
NĂM HỌC 2012-2013.
MÔN TOÁN 9
(Thời gian làm bài: 90 phút)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN(2 điểm):Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm.
Câu 1 2 3 4
Đáp án C D C B
II. PHẦN TỰ LUẬN (8 điểm): Dưới đây chỉ là gợi ý một cách giải cho mỗi bài, nếu thí sinh giải bằng
cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Riêng câu 7 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai mà vẫn
có lời giải đúng thì không cho điểm . Đối với mỗi phần thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó. Các mức
điểm ở cột bên phải là tổng điểm cho mỗi ý, giám khảo có thể chia nhỏ điểm trong từng ý đến 0,1.
Câu 5 (2,5 điểm)
a. (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức P
ĐKXĐ: x > 0 0,25
Biến đổi rút gọn được
1x x
x

+ +
=P
0,75
b. (0,75 điểm) Tìm giá trị của P khi x = 4
vì x = 4 > 0 thỏa mãn ĐKXĐ nên
4 4 1 4 2 1 7
2 2
4
+ + + +
= = =P
0,75
c. (0,75 điểm) Tìm x để P có giá trị là
13
3
Với điều kiện x > 0 thì
13 x x 1 13
P 3x 3 x 3 13 x
3 3
x
+ +
= ⇔ = ⇔ + + =
0,5
( ) ( )
3x 10 x 3 0 x 3 3 x 1 0 x 9⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ =
hoặc
1
x
9
=
thỏa mãn ĐK 0,25

Câu 6 (2,0 điểm)
Gọi chữ số hàng chục, hàng đơn vị của số có hai chữ số phải tìm lần lượt là a, b
Điều kiện
{ }
a,b 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ,a 0∈ ≠

0,25
Vì chữ số hàng chục hơn hàng đơn vị là 5 nên ta có phương trình a - b = 5 (1) 0,25
Khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó ta được thương là 7 và dư 6 nên ta có phương
trình
10a + b = 7(a + b) +6 ⇔ a - 2b = 2 (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
a b 5
a 2b 2
− =
− =




0, 5
Học sinh giải hệ phương trình thu được a = 8, b = 3 0, 5
Đối chiếu với điều kiện có kết luận số phải tìm là 83. 0,25
Câu 7. ( 3,0 điểm).
a) Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp. (1,25 điểm)
Hình vẽ đúng: 0,25
Vì tam giác ABC vuông tại A và E thuộc đường tròn đường kính DC nên các góc BAD và
DEB vuông do đó tứ giác ABED nội tiếp đường tròn đường kính BD.
1,0

b) Chứng minh ED là tia phân giác của góc AEI. (1,0điểm)
Do tứ giác ABED nội tiếp nên
µ
µ
1 1
B E=
(cùng chắn cung AD của đường tròn đường kính
BD)
0,25
mặt khác
µ µ
1 2
D D=
(đối đỉnh)và
·
·
0
BAD DIC 90= =
µ µ
1
2
B C⇒ =
nên
µ
µ
1
2
E C=
(1)
0,25

Lại có
µ
µ
2
2
E C=
(góc nội tiếp chắn cung DE của đường tròn (O)) (2)
0,25
Từ (1) và (2) ⇒
µ µ
2 1
E E=
hay ED là phân giác của góc AEI.
0,25
c) Tìm vị trí của D trên AC để EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DC. (0,75 điểm)
Khi EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DC thì
µ
µ
1
1
E C=
và theo phần a có
µ
µ
1 1
B E=

nên
µ µ
1

1
B C=
từ đây suy ra ∆ABD ∽ ∆ACB (g-g).
0,25
Hay
AB AD
AC AB
=
⇒ AB
2
= AC.AD ⇒ AD =
2
AB
AC
( 3 )
0,25
Theo bài ra ta có : tan
·
ABC
=
AB
AC
=
2
nên
AB 1
AC
2
=
( 4 ) .

Từ (4) ⇒
2
2
AB 1
(5)
AC 2
=
.
Nhân từng vế (3) và (5) ta được :
2
AD 1 AD 1
AC 2AC AC 2
= ⇒ =
Hay D là trung điểm của AC.
Vậy để EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD thì D là trung điểm của AC. 0,25
Câu 8. (0,5 điểm)
Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2
( 4 4 ) 4 3 ( 2 ) 4 3 ( 2 ) 3
M 4
+ − + + − − + − −
= = = = + −
x y x xy y xy y x y xy y x y y
xy xy xy xy x

0,25
Vì (x – 2y)
2
≥ 0, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y

x ≥ 2y > 0 ⇒
1 3 3
2 2
y y
x x
− −
≤ ⇒ ≥
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Từ đó ta có M ≥ 0 + 4 -
3
2
=
5
2
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vậy GTNN của M là
5
2
, đạt được khi x = 2y
0,25
Hết
PHỤ LỤC
MỘT SỐ CÁCH GIẢI KHÁC CHO CÂU 8
Cách 2:
Ta có M =
2 2 2 2
3
( )
4 4
x y x y x y x y x

xy xy xy y x y x y
+
= + = + = + +
Vì x, y > 0 , áp dụng bđt Co si cho 2 số dương
;
4
x y
y x
ta có
2 . 1
4 4
x y x y
y x y x
+ ≥ =
,
dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vì x ≥ 2y ⇒
3 6 3
2 .
4 4 2
x x
y y
≥ ⇒ ≥ =
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Từ đó ta có M ≥ 1 +
3
2
=
5
2

, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vậy GTNN của M là
5
2
, đạt được khi x = 2y
Cách 3:
Ta có M =
2 2 2 2
4 3
( )
x y x y x y x y y
xy xy xy y x y x x
+
= + = + = + −
Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Co si cho 2 số dương
4
;
x y
y x
ta có
4 4
2 . 4
x y x y
y x y x
+ ≥ =
,
dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vì x ≥ 2y ⇒
1 3 3
2 2

y y
x x
− −
≤ ⇒ ≥
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Từ đó ta có M ≥ 4-
3
2
=
5
2
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vậy GTNN của M là
5
2
, đạt được khi x = 2y
Cách 4:
Ta có M =
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
4 3
3 3
4 4 4 4 4
4 4
x x x x x
y y y y
x y x x
xy xy xy xy xy xy y
+ + + + +

+
= = = + = +
Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Co si cho 2 số dương
2
2
;
4
x
y
ta có
2 2
2 2
2 .
4 4
x x
y y xy+ ≥ =
,
dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vì x ≥ 2y ⇒
3 6 3
2 .
4 4 2
x x
y y
≥ ⇒ ≥ =
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Từ đó ta có M ≥
xy
xy
+

3
2
= 1+
3
2
=
5
2
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vậy GTNN của M là
5
2
, đạt được khi x = 2y