Đề thi HSG Toán 9 NH: 12-13

PHÒNG GD-ĐT CƯ M’GAR KỲ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HSG
TRƯỜNG THCS ĐINH TIÊN HOÀNG CẤP TRƯỜNG LỚP 9. NĂM HỌC : 2012- 2013
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1(3,0đ). Giải các phương trình sau:
a) (x
2
- 9)(x
2
+ 4x) = 0
b)
5 3 2x x+ = −
Bài 2(3,5đ).
a) Phân tích đa thức x
2
– 4x + 3 thành nhân tử bằng hai cách.
b) Cho B = 9x
2
– 6x + 2. Chứng minh rằng B luôn dương với mọi x.
Bài 3 (3,5đ).
a) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức
5
7x −
là một số nguyên.
b) Rút gọn biểu thức M =
( )
2
9 4 5 1 5 2 5+ + − −
Bài 4 (4,0đ). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình.
Khi mới nhận lớp 9A
1

, cô giáo chủ nhiệm dự định chia lớp thành 3 tổ có số
học sinh như nhau. Nhưng sau đó, lớp nhận thêm 4 học sinh nữa. Do đó cô chủ
nhiệm đã chia đều số học sinh của lớp thành 4 tổ. Hỏi lớp 9A
1
có bao nhiêu học
sinh, biết rằng so với phương án dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ hiện nay
có ít hơn 2 học sinh?
Bài 5 (6,0đ).
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết rằng
5
6
AB
AC
=
, đường cao AH
= 30 cm.
a) Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH.
b) Tính HB, HC.
c) Phân giác BE cắt AH tại F, cắt AC tai E. Chứng minh
HF AE
FA EC
=
.

Ghi chú: Giám thị không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Phòng GD & ĐT Cư Mgar KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Trường THCS Đinh Tiên Hoàng Môn Toán. Lớp 9. Năm học 2012- 2013
Thời gian 150 phút (không kể phát
đề)

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài Đáp án Điểm
Bài 1
(3,0đ)
a) (x
2
- 9)(x
2
+ 4x) = 0
⇔
x
2
– 9 = 0 hoặc x
2
+ 4x = 0
1) x
2
– 9 = 0
⇔
(x – 3)(x + 3) = 0
⇔
x = 3 hoặc x = -3
2) x
2
+ 4x = 0
⇔
x(x + 4) = 0
⇔
x = 0 hoặc x = - 4
Vậy pt đã cho có 4 nghiệm là: x

1
= 3, x
2
= -3, x
3
= 0, x
4
= - 4
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b)
5 3 2x x+ = −
(1)
* TH1: Nếu x + 5
≥
0
⇔
x
≥
-5, khi đó
5 5x x+ = +
.
Pt (1)
⇔
x + 5 = 3x – 2
⇔
-2x = -7
⇔
x = 3,5 (TMĐK x

≥
-5)
* TH2: Nếu x + 5 < 0
⇔
x < - 5, khi đó
5 ( 5) 5x x x+ = − + = − −
Pt (1)
⇔
- x – 5 = 3x – 2
⇔
-4x = 3
⇔
x =
3
4
−
(loại, vì không
TMĐK x < -5)
Vậy nghiệm của pt (1) là x = 3,5.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
(3,5đ)
a)
* Cách 1:
x
2
– 4x + 3
= (x

2
– x) – (3x - 3)
= x(x - 1) - 3(x - 1)
= (x - 1)(x - 3)
* Cách 2:
x
2
– 4x + 3
= (x
2
– 4x + 4) – 1
= (x - 2)
2
– 1
2

= (x – 2 - 1)(x – 2 + 1)
= (x - 3)(x - 1)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
b) Ta có: B = 9x
2
– 6x + 2
= (9x
2
– 6x + 1) + 1

= (3x - 1)
2
+ 1
Vì (3x - 1)
2

≥
0 với mọi x nên (3x - 1)
2
+ 1
≥
1 với mọi x
hay 9x
2
– 6x + 2
≥
1 với mọi x. Vậy B luôn dương với mọi x.
0,25đ
0,5đ
0,75đ
Bài 3
(3,5đ)
a) Để
5
7x −
là một số nguyên thì x – 7 phải là ước của 5.
Ư(5) = {-1, 1, 5, -5}
Nếu x – 7 = -1
⇒
x = 6

Nếu x – 7 = 1
⇒
x = 8
0,5đ
0,5đ
Bài Đáp án Điểm
Nếu x – 7 = - 5
⇒
x = 2
Nếu x – 7 = 5
⇒
x = 12
Vậy, các giá trị x cần tìm là: x = 6, x = 8, x = 2, x = 12.
0,5đ
b)
( )
2
9 4 5 1 5 2 5+ + − −
=
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 2
5 4 5 4 1 5 2 5
( 5) 2. 5.2 2 1 5 2 5
5 2 1 5 2 5
5 2 1 5 2 5

5 2 5 1 2 5
1
= + + + − −
= + + + − −
= + + − −
= + + − −
= + + − −
=
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4
(4,0đ)
Gọi số học sinh hiện nay của lớp 9A
1
là x.
ĐK: x nguyên dương và x > 4
Số HS lúc đầu của lớp là x – 4 (HS)
Số HS mỗi tổ theo phương án đầu là:
4
3
x −
(HS)
Số HS của mỗi tổ hiện nay là:
4
x
(HS)
Theo đề bài ta có phương trình:
4

3
x −
-
4
x
= 2
Giải pt:
4
3
x −
-
4
x
= 2
⇔
4( 4) 3 24
40
12 12
x x
x
− −
= ⇔ =
Giá trị x = 40 thỏa mãn đk của ẩn. Vậy lớp 9A
1
hiện nay có 40
học sinh.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
1,0đ
0,5đ
Bài 5
(6,0đ)
0,5đ
a) Xét
∆
ABH và
∆
CAH, ta có:

·
·
0
90AHB AHC= =
·
·
ABH CAH=
(cùng phụ với
·
BAH
)
Do đó,
∆
ABH #
∆
CAH (g.g)
1,5đ
b)

∆
ABH #
∆
CAH (g.g) (cmt)
⇒
AB AH
CA CH
=
, mà
5
6
AB
AC
=
, AH = 30cm
0,5đ
Bài Đáp án Điểm
⇒
5 30 6.30
36( )
6 5
CH cm
CH
= ⇒ = =
Mặt khác, ta có BH.CH = AH
2
(đl 2 – hệ thức lượng trong tam
giác vuông).
⇒
BH =

2
AH
CH
=
2
30
25( )
36
cm=
Vậy BH = 25cm, HC = 36 cm.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
c) Vì BF là phân giác của tam giác ABH nên ta có:

HF HB
FA AB
=
(1)
BE phân giác của tam giác ABC nên ta có:
AE AB
EC BC
=
(2)
∆
HBA #
∆
ABC (tam giác vuông có chung góc nhọn B)
⇒

HB AB
AB BC
=
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
HF AE
FA EC
=
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Duyêt của CM Người ra đề
Phạm Văn Hướng