Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1
___________

ABC
GLA
nhữngphơngphápchứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh


gla
abc
những ph ơng pháp chứng minh







LI NểI U


Nhng nm gn õy Bt ng thc (BT) ging nh mt n hong - mang trong mỡnh
nhiu v p huyn bớ . T nhng kỡ thi H C, HSG Tnh hay n nhng kỡ thi Olympic quc
gia, quc t, BT c trao cho mt v trớ c bit quan trng. Nú xut hin trong bi thi nh th
thỏch s dng mnh ca cỏc chin binhvỡ th nú cú kh nng hụ phong, hoỏn v , nú lm chao
o khụng bit bao nhiờu cỏi u thụng minh nht.
Cng chớnh vỡ v p cha ng nhiu s tim n ú m khụng bit bao nhiờu anh ti lao vo
cuc chinh phc nh cao. Hng lot nhng cỏi tờn luụn c gii tr yờu Toỏn, yờu BT trong
nc nhc n nh : Phm Kim Hựng, Nguyn Anh Cng, Vừ Thnh Nam, Bựi Vit Anh vi s

mi m v phng phỏp, sõu sc v kin thc. Bờn cnh h l nhng tỏc phm tuyt nh nh : Dn
bin, Only ABC, GLAvi sc sỏt thng khng khip khi ng cnh nhng BT nh cao
Cú l vỡ th m BT khụng cũn ng kiờu hónh nh trc na, gi õy mt a tr 15, 17
tui cú th nhỡn nhng BT ng cp quc t ca nhng nm v trc vi n ci ngo ngh
Nhng cỏi lung linh huyn o ú cha hn ó b chinh phc, bi trong dõn gian õu ú vn cũn m
o búng ca nhng anh ti cha hộ l.



May mn cho tụi bi tụi ớt nht cng ó mt ln c bit n nhng iu mi l ú, cú th
vi tụi mt phỏt minh, 1 sỏng kin quỏ xa vi bi cũn quỏ mờnh mụng nhng BT tụi ch dỏm nhỡn
ngm nú t rtrt xa, cú nhng phng phỏp gii toỏn tụi c hng trm ln m cha hiu ht s
gi gm ca tỏc gi . Nhng cú mt ai ú ó núi rng : ng s hói khi phi i u vi mt i
th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnhtụi thy mỡnh mnh
m hn !!!



- phạm kim chung -
2
___________
∑
ABC
GLA
nh÷ngph−¬ngph¸pchøngminh b§T ®éc ®¸o
___________
Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình
I. 1 KĨ THUẬT CÔ – SI NGƯỢC DẤU .

# Bài 1 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho . Chứng minh bất đẳng thức :

a,b,c 0: a b c 3>++=
222
abc
1b 1c 1a 2
3
+
+≥
+++

BG .
Ta có :
22
AM GM
22
aab ab
aa
1b 1b 2b 2
−
=− ≥ − =−
++
ab
a
. Hoàn toàn tương tự ta có :

()()
222
abc 1
abc abbcca
1b 1c 1a 2 2
++≥++−++≥

+++
3
. Do
()
2
abc
ab bc ca 3
3
++
+
+≤ =


# Bài 2 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=
2222
abcd
2
1b 1c 1d 1a
+
++≥
++++

BG .
Hoàn toàn tương tự Bài 1 . Lưu ý rằng :

()()
()()
2
AM GM
ac bd

ab bc cd da a c b d 4
4
−
⎡++ +⎤
⎣⎦
+++=+ + ≤ =


# Bài 3 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=
22 2 2
abcd
2
1bc1cd1da 1ab
+
++
++++
≥

BG .
Ta có :
(
)
22
AM GM AM GM
22
b
aac
aabc abcba.a.c
aaa a
1bc 1bc 2 4

2b c
−−
+
=− ≥− =− ≥−
++

Hoàn toàn tương tự ta có :
()()()
22 2 2
abcd 1 1
a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab
1bc 1cd 1da 1ab 4 4
+++≥+++−+++−+++
++++
Lại có :
()()
()()
2
AM GM
ac bd
ab bc cd da a c b d 4
4
−
⎡++ +⎤
⎣⎦
+++=+ + ≤ =

và
()()
()

()
()
()
22
AM GM
bc ad
abc bcd cda dab bc a d da c b a d c b
44
−
++
+++= ++ + ≤ ++ +
=
=
()()
()
()
(
2
AM GM
bcad abcd
abcd abcd 4
416
−
++ +++
+++ ≤ +++ =
)
. đpcm ⇒

# Bài 4 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức : a,b,c,d 0>
3333

22 2222 22
abcdabc
abbccdda 2
d
+
++
+++≥
+
++ +

BG .
Ta có :
32 2
AM GM
22 22
aab ab
aa
ab ab 2ab 2
−
b
a
=
−≥−=
++
− .
Hoàn toàn tương tự ta sẽ giải quyết được BĐT trên .
# Bài 5 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức : a,b,c 0: a b c 3>++=

222
222

abc
1
a2b b2c c2a
+
+≥
+++

BG .
Ta có :
22 2
AM GM
3
22
22
3
4
a2ab 2ab2
aaa
a2b a2b 3
3ab
−
=− ≥ − =−
++
a.b
. Lại có :
3
___________

ABC
GLA

nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh
AM GM
3
22
3
12ab
a.b 1.ab.ab
3

+
=
. Do ú :
()
2
2
a2
a12ab
a2b 9
+
+

Hon ton tng t ta cú :
()()
222
222
abc 4 242
abc abbcca 3 1
a2b b2c c2a 9 3 33

++++++
+++
= . pcm .

# Bi 6 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++=

222
333
abc
1
a2b b2c c2a
+
+
+++

BG .
Ta cú :
23 3
AM GM
3
2
33
2
3
a2ab 2ab2
aaa
a2b a2b 3
3b a

= =

++
ba

Li cú :
AM GM
3
2
3
12a
b a b 1.a.a b.
3

+
=
. n õy tng t Bi 5 .
# Bi 7 .
( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++=

222
a1 b1 c1
3
b
1b 1c 1
+++
+
+
+++

BG . Bi toỏn ny cú cỏch lm tng t Bi 1. chng qua tỏc gi ch cng thờm i lng
222

111
b
1b 1c 1
++
++
+
vo v trỏi ca BT ó CM .
# Bi 8 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=

22 22
a1 b1 c1 d1
4
1b 1c 1d 1a
++++
+
++
++++

# Bi 9 .
( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=

22 22
1111
2
1b 1c 1d 1a
+
++
++++

# Bi 10 .

( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++=

222
222
abc
ab bc ca 2
3
+
+
+++

4
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh
II. 1 S DNG TIP TUYN TèM LI GII TRONG CHNG MINH BT NG THC
Tụi khụng cú nhiu nhng thụng tin v phng phỏp ny, ch bit phng phỏp ny c vit bi
Kin - Yin Li vi tiờu Using Tangent Lines to Prove Inequalities nm 2005. Sau ú trờn din n toỏn
hc :
www.mathscope.org tỏc gi Nguyn Tt Thu ó vit li lm ti SKKN
Cỏi hay ca phng phỏp ny l s xut phỏt t nhiờn tỡm li gii cho bt ng thc. Ta i vo mt s
VD sau ú s im qua ý gii toỏn ca nú.
# Bi 1. Cho . Chng minh rng : a,b,c R:a b c 6++=
(
)
444 333
abc2abc++ ++

BG .
- Li gii 1. Thc ra bi toỏn vi bi toỏn ny thỡ gó khng l Cauchy Schwarz (BunhiaCopxki) s
khut phc nú khụng my khú khn.
()
()()()
()
()
2

CS SCW
2
333 222 222 333 222
abc
abcabc abc abc abc2abc
3

++
++ + + + + + + + + + +
T ú ta cú : .
()()()()(
CS SCW
2
2 22444 333 2 22333
abcabc abc 2abcabc

++ ++ ++ ++ ++
)
3


-
Li gii 2. S tht thiu sút khi khụng nhc n s sỏt thng kinh hong ca BT AM GM
(Cụ-si ) . Ta cú : .
AM GM AM GM AM GM
43434
a2a 3a,b2b 3b,c2c 3c

+ + +
Li cú : . Do ú :

AM GM AM GM AM GM
333
a 2 3a, b 2 3b, c 2 3c

+ + +
()
(
)
(
)
444 333
a b c 2abc 2a b c 3abc 6+++ ++ ++ + ++


pcm
-
Li gii 3. Nhng tỏc gi mun dựng bi toỏn n gin ny nhc n mt cỏch chng minh khỏc :
Ta cú :
()()
(
)
2
43 2 43
a2 . Tng t ta cú : a 8a16 a2a2a40a2a8a16= +
(
)
(
)
444 333
abc2abc 8abc480++ ++ ++=

pcm
Nu nhỡn qua thỡ Li gii 3. cú v thiu t nhiờn khi i lng ( 8a 16 ) xut hin. Nhng ú cng chớnh
l im mu cht ca phng phỏp tip tuyn.
Nhn xột :
Nu y = ax + b l tip tuyn ca th hm s y = f(x) ti im A(x
0
; y
0
) ( A khụng phi l im
un) khi ú tn ti mt khong (
;

) cha im x
0
sao cho
(
)
(
)
fx
hoc
ax b,x ;+
(
)
(
)
fx ax b, x ;+
. ng thc xy ra khi x = x
0
. T õy ta cú

hoc
() ( )
nn
iii
i1 i1
f x a x nb, x ;
==
+


() ( )
nn
iii
i1 i1
f x a x nb, x ;
==

+



Phng trỡnh tip tuyn ti A(x
0
; y
0
) l : y y
0
= f(x
0
)(x x

0
)


Nh vy trong li gii 3. phng trỡnh y = 8x 16 chớnh l tip tuyn ca th hm s ti x
0
= 2 .
V chng minh
(
)
43
x2x 8x160
, ta ch vic chia a thc ny cho ( x 2)
2
.
# Bi 2 . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 1>++=
abc
1bc1ca 1ab 10
++
+++
9

BG . Trc khi gii bng phng phỏp tip tuyn nh t tng ca tỏc gi, tụi s gii quyt nú bi mt BT
quen thuc : BT Schwarz .
Ta cú :
()
()
2
222
Schwarz AM GM

3
abc
abc 1
VT
a abc b bca c cab a b c 3abc 10
abc
1
9

++
=++ =
+++ +++
++
+
9

_ Li gii bng phng phỏp tip tuyn :
gii c bng phng phỏp tip tuyn, nht thit phi chuyn
BT ó cho v 1 BT cha cỏc biu thc di dng 1bin s.
5
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh
Ta cú :
()
AM GM

2
aa4
(b c)
1bc
41a
1
4

=
+
+
+
+
2
a
. Tng t nh vy ta s a BT ó cho v dng tng ng
nh sau :
222
4a 4b 4c 9
a2a5b2b5c2c510
++
+ + +

. Xột hm s
2
4x
f(x)
x2x5
=
+

, o hm :
f'(x)=
()
2
2
2
4x 20
x2x5
+
+
. Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=
1
3
( im ri ) l :
99x 3
y
100

=
.
Do ú :
2
4x
x2x5+
(
)
(
2

2
(3x 1) 15 11x
99x 3
0, x 0;1
100 100(x 2x 5)


=
+
)
. n õy bi toỏn ó tỡm ra hng i !
# Bi 3 . Cho l di ba cnh tam giỏc . Chng minh bt ng thc :
a,b,c
111 9 1 1 1
4
abcabc abbcca

+++ + +

+
++++


BG.
Chun húa : Bt ng thc ó cho thun nht nờn ta ch cn chng minh BT ỳng vi mi s thc
dng tha món : a + b + c =1. Khi ú BT ó cho tr thnh :
41 41 41
9
1a a 1b b 1c c

+ +




(
)
(
)
(
)
fa fb fc 9

++

Xột hm s
()
2
5x 1
fx
xx

=

, tip tuyn ti im cú honh x
0
=
1
3
l : y = 18x 3

Xột f(x) (18x 3) =
()()
2
2
3x 1 2x 1
xx



. Do a, b, c l 3 cnh ca tam giỏc nờn :
1 a b c 2a (2b,2c)=++> do ú
1
x
2
<
suy ra :
1
f(x) (18x 3) 0, x 0;
2






. T ú ta gii quyt
bi toỏn !
# Bi 4 ( V Toỏn Ba Lan 1996 ). Cho
3
a,b,c

4

tha món : a+ b+ c =1. Chng minh bt ng thc
222
abc
a1b1c110
++
9
+
++

BG .
Xột hm s :
2
x
f(x)
x1
=
+
. Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=
1
3
l :
36x 3
y
50
+
=

Xột
()( )
()
2
2
3x 1 4x 3
36x 3 3
f(x) 0, x
50 4
50 x 1
+
+
=
+
. T ú ta cú li gii !
# Bi 5 ( JAPAN MO 2002 ). Chng minh rng vi mi a, b, c khụng õm ta cú bt ng thc :
()
()
()
()
()
()
222
22 2
22
bca cab abc
3
5
bc a ca b ab c

+ + +
2
+
+
++ ++ ++

BG . Chun húa : a + b + c = 1. BT ó cho tng ng vi BT :
() () ()
222
222
12a 12a 12a
3
2a 2a 1 2a 2a 1 2a 2a 1 5

+
+
+ + +

Xột hm s :
2
2
4x 4x 1
f(x)
2x 2x 1
+
=
+
, phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=

1
3
l
54x 23
y
25
+
=

Do ú : f(x)
54x 23
25
+

=
(
)
()
32
2
254x 27x 1
25 2x 2x 1

+
+
=
()()
()
()
2

2
23x 1 6x 1
0, x 0;1
25 2x 2x 1
+

+
.
Bi toỏn ó tỡm ra hng gii quyt !
6
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh

# Bi 6 ( USA MO 2003 ). Chng minh rng vi mi a, b, c khụng õm ta cú bt ng thc :
()
()
()
()
()
()
22
22 2
22
b c 2a c a 2b a b 2c
8

bc 2a ca 2b ab 2c
++ ++ ++
Chỳ ý : Khi chng minh : f(x) (ax b) 0

+ nu bn ngi bin i tng ung thỡ o hm v kho
sỏt nú trờn khong thớch hp .
2
2
+
+
++ ++ ++

BG .
Chun húa : a + b + c = 1. BT ó cho tng ng vi BT :
() () ()
222
222
1a 1b 1c
8
3a 2a 1 3b 2b 1 3c 2c 1
+++
+
+
+ + +

Xột hm s :
()
2
2
x2x1

fx
3x 2x 1
++
=
+
, phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=
1
3
l :
12x 4
y
3
+
=
Lỳc ú : f(x)
12x 4
3
+

=
()()
()
(
2
2
3x 1 4x 1
0, x 0;1
33x 2x 1

+

+
)
. Bi toỏn ó tỡm ra hng gii quyt !







cỏc bi tp 3, 5, 6 ta bt gp mt k thut cú tờn l : K thut chun húa , nú s mang n cho BT
cn chng minh vi 1 cỏch nhỡn d hn. Nhng BT chun húa c l nhng BT thun nht :
/n
hm s thun nht :
Hm s f(a, b, c) c gi l thun nht vi cỏc bin trờn min I nu nú tha món
iu kin : f(ta, tb, tc) = t
k
f(a, b, c) vi mi t,a,b,c

I v k l mt hng s khụng ph thuc vo a,b,c,t
m ch ph thuc vo bn thõn hm f.
# Bi 7 ( RUSSIA MO 2002 ). Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++=
abcabbcca
+
+ ++
BG .
Ta cú : 9 = (a+b+c)
2

= a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+bc+ca) . Do ú BT cn CM tng ng vi BT :
222
abc2a2b2c+++ + + 9
Xột hm s : f(x) = x
2
2x+ , tip tuyn ca hm s ti im cú honh x
0
= 1 l : y = 3x .
Khi ú f(x) 3x = x
2
3x 2x+
(
)
(
)
(
2
x1 x2x 0,x 0;3= +
)
. Bi toỏn ó tỡm thy hng gii !
# Bi 8 . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0>
()
222 22
13 111

abc abc abc
abc
33
+

2
+
++++++++



BG .
Chun húa : a
2
+ b
2
+ c
2
=1 . BT ó cho tng ng vi BT :
13111
abc1
abc
33
+

++ +++



_Li gii 1.

BT
()
13111
abc 10
abc
33
+

++++



.Li cú :
111 9
abcabc
++
++
, ta cn CM :
()
33
abc 10
abc
+
++
++
, xột hm s
()
33
fx x 1,
x

+
=
vi 0x 3< , hm f(x) nghch bin suy ra
pcm .
_
Li gii 2. Bi toỏn ny lm c bng phng phỏp tip tuyn vi vic xột hm :

() (
131
)
. x,x 0;1
x
33
+
=
fx , tip tuyn ca nú ti x
0
=
1
3
l : y
123 223
x
3
3
++
= +

# Bi 9 . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0>
()()()

()
222
abc 9
4a b c
bc ca ab
++
+
+
+++

BG . _ Li gii 1. S dng BT Cauchy Schwarz ( BunhiaCopxki )
7
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh
()
()
()()
2
CS SCW Nesbit
22 2
abc abc
abc
9
b
ccaab 4

bc ca ab



++ + + + +


+++

+++




, suy ra pcm .
_
Li gii 2 . Phng phỏp tip tuyn .
Chun húa : a+b+c=1, BT ó cho tng ng vi BT :

()()()
222
abc
4
1a 1b 1c
++

9

. Xột hm s :
()

()
2
x
fx
1x
=

, tip tuyn ca th hm s ti im
cú honh x
0
=
1
3
l :
18x 3
y
4

=
. Lỳc ú ta cú :
()
()( )
()
(
2
32
22
3x 1 2x 3
18x 3 18x 39x 20x 3
f(x) , x 0;1

4
41 x 41 x
+
+ +
= =

)
. Bi toỏn ó cú hng gii.

# Bi 10 (CHINA MO 2005) . Cho a, . Chng minh bt ng thc : b,c 0:a b c 1>++=
(
)
(
)
333 555
10 a b c 9 a b c 1
+
+ ++
# Bi 11 (
NEWZEALAND MO 1998) . Cho n s thc dng tha món : . Chng minh :
n
i
i1
xn
=
=

nn
i
2

i1 i1
ii
x
1
1x 1x
==

+
+


# Bi 12 (
HONGKONG MO 1998) . Cho cỏc s thc dng x, y, z. Chng minh rng :
(
)
()
()
222
222
xyz x y z x y z
33
9
xyzxyyzzx
+++ + +
+

++ ++

# Bi 13 (
Olympic 30-4 nm 2006) . Cho cỏc s thc dng x, y, z. Chng minh rng :

(
)
()
(
)
()
(
)
()
22 2
22
ab c bc a ca b
6
5
bc a ca b ab c
+++
2
+
+
++ ++ ++

# Bi 14 .
Cho a . Chng minh bt ng thc : ,b,c,d0:abbccdda1>+++=
3333
abcd1
b
cd cda dab abc 3
+
++
++ ++ ++ ++

# Bi 15 . Cho . Chng minh bt ng thc :
222
a,b,c 0:a b c 1>++=
111
1ab 1bc 1ca 2
9
+
+


# Bi 16 (
BT Nesbit ) . Cho a, . Chng minh bt ng thc : b,c 0>
abc3
b
ccaab2
++
+++

_ Tỡm li gii :
Chun húa : a+ b + c =3, BT ó cho tr thnh :
abc
3a 3b 3c 2
++

3
. Xột hm s :
()
x

fx
3x
=

, phng trỡnh tip tuyn ti x
0
= 1 l :
3x 1
y
4

=
Ta cú :
()
()
(
2
3x 1
3x 1
f(x) 0, x 0;3
443x


=

)
=
.succeed !
# Bi 17 (
CHINA TST 2004 ) . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c,d 0:abcd 1>

()
2
a,b,c,d
1
1
1a

+


8
___________
∑
ABC
GLA
nh÷ngph−¬ngph¸p chøngminh b§T ®éc ®¸o
___________
Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình
# Bài 18 (UK TST 2004 ) . Cho
n
i
i1
a0,i1,n:a
=
>= =
∏
i
1
. Chứng minh bất đẳng thức :
()

()
n
i
2
i1
i
a3
3n2,nN
a1
=
+
≥∀> ∈
+
∑

# Bài 19 .
Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0>
()
()
()
()
()
()
333
333
333
3a b c 3b c a 3c a b
375
11
3a b c 3b c a 3c a b

++ ++ ++
++
++ ++ ++
≤

# Bài 20 (
SERBIA 2005). Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0>
()
abc3
abc
2
bc ca ab
++≥++
+++

_Lời giải khác :
Chuẩn hóa : a + b + c =6. BĐT đã cho tương đương với BĐT :
abc
3
6a 6b 6c
++
−−−
≥

Đặt :
222
6a x, 6b y,6c z x y z 12 xyz6−= −= −=⇒ + + = ⇒++≤, ta có :
222
6x 6y 6z
3

xyz
−−−
++
≥
()
111
6xy
xyz
⎛⎞
z3
⇔
++ − ++ ≥
⎜⎟
⎝⎠
(1)
VT(1) =
() ()
SCW AM GM
111 54
6xyz xyz
xyz xyz
−
⎛⎞
++ − ++ ≥ − ++ ≥
⎜⎟
++
⎝⎠
3
=VP(1)
# Bài 21 .Chứng minh bất đẳng thức :

() () ()
222
222
222
2x 2y 2z
1
2x y z 2y z x 2z x y
+
+≤
++ ++ ++

# Bài 22.
Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0>
() () ()
333
333
333
abc
1
abc bca cab
+
+≥
++ ++ ++

# Bài 23.
Cho a, là độ dài các cạnh tam giác. Chứng minh bất đẳng thức : b,c
111 1 1 1
abcabcbcacab
++≤ + +
+

−+−+−


• Mới nhìn qua chúng ta có thể nghĩ rằng bài 10, bài 15 có thể giải quyết đơn giản bằng phương
pháp tiếp tuyến, nhưng…hãy đặt bút .!!!

Bài 10 (
CHINA MO 2005) . Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0:a b c 1>++=
(
)
(
)
333 555
10 a b c 9 a b c 1++ − ++ ≥
_ Tìm lời giải bằng p
2
tiếp tuyến :
Xét hàm số : f(x) = 10x
3
– 9x
5
. Phương trình tiếp tuyến tại điểm x
0
=
1
3
là :
75x 16
y
27

−
=

Do đó : f(x)
(
)
(
)
2
32
35
3x 1 27x 18x 21x 16
75x 16 270x 243x 75x 16
27 27 27
−− − ++
−−−+
−= =
.
Ta cần xét xem hiệu trên có lớn hơn hoặc bằng 0, hay không ? Lúc đó ta chỉ cần kiểm tra xem hàm số :
có dương với mọi
32
g(x) 27x 18x 21x 16=− − + +
(
)
x0;1∈ ?
9
___________
∑
ABC
GLA

nh÷ngph−¬ngph¸p chøngminh b§T ®éc ®¸o
___________
Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình
Đạo hàm : g’(x) = ;
2
81x 36x 21−−+
7
x
9
g'(x) 0
1
x
3
⎡
=
−
⎢
=⇔
⎢
⎢
=
⎢
⎣

Ta có bảng BT :
x

0
1
3

1

g’(x) + 0
−

g(x)



16 8
−



Nhìn vào BBT ta thấy : g(x) >0 hay g(x) < 0 , x (0;1)
∀
∈ ….????????????????????

•
Rõ ràng phương pháp tiếp tuyến có bán kính sát thương chưa rộng, nó đang bộc lộ điểm yếu…và nhất
thiết phải nâng cấp .
•
Đây là nguyên văn lời giải của nickname : 2M trên trang web : mathscope.org


Bài giải trên xuất phát từ Bổ đề :
Nếu f(x) lõm trên khoảng (a; b) liên tục trên đoạn [a; b] thì :
() ()
(
)

(
)
()()
(
)
(
)
()
[]
fa fb fa fb
fx fa x a fb x b, x a;b
ab ab
−−
≤+ −=+ −∀∈
−
−