Gián án Phuong phap chung minh bat dang thuc

I. Đặt vấn đề
1. Lý do chọn đề tài:
a. Để rèn luyện kỹ năng, phơng pháp giải toán cho học sinh ngoài việc
trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản, ngời thầy giáo cần giúp các em tổng hợp
phân loại các phơng pháp giải và các dạng thờng gặp để các em dễ nhớ, dễ vận
dụng.
b. Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ
môn Toán nhng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn,
sâu hơn về giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình; Tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác và
trong quá trình giải toán khả năng t duy sáng tạo của ngời học đợc phát triển
mạnh. Thực tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thờng gặp nhiều khó
khăn vì cách giải chúng không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào nh ở một số
mảng kiến thức khác.
Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trờng phổ thông, là ngời thầy, tôi thờng
trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng sắp xếp hợp lý một số phơng pháp và
bài tập về chứng minh bất đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn khi
đứng trớc một số bài toán về bất đẳng thức cụ thể là các bài toán chứng minh bất
đẳng thức.
c. Phạm vi và giới hạn bài viết.
Khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi muốn tổng hợp phân loại các phơng
pháp chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ áp dụng dành cho học sinh THCS đặc
biệt là học sinh khá giỏi lớp 8; 9.
Để bài viết không quá dài, phần giải các ví dụ tôi không trình bày chi tiết.
2. Kiến thức cần nắm vững
--------------------------------------------------------------------------------------------
www.thaytuong.tk
1
2.1. Định nghĩa bất đẳng thức:
Với hai số a, b bất kỳ ta nói rằng a

b

a -b

0
a

b

a -b

0
2.2. Tính chất:
1. a > b ; b >c

a > c
2. a >b

a + c > b + c
3. a > b ; c > 0

ac > bc
a > b ; c < 0

ac < bc
5. a > b ; c > d

a + c > b + d
a > b ; c < d

a - c < b - d
6. a > b

0

ac > bd
7 a > b > 0 ; 0 < c < d


c
a
>
d
b
8. a > b > 0

a
n
> b
n

a > b

a
n
> b
n
(n lẻ)

a b

a
n
> b
n
( n chẵn )
9. Nếu m > n >0 thì a >1

a
m
> a
n

a =1

a
m
= a
n

0 < a < 1

a
m
= a
n

10. a > b , ab > 0

a
1
<
b
1
2.3. Các hằng bất đẳng thức:
1. a
2


0 với mọi a. Dấu bằng xẩy ra

a = 0
2.
a

0 với mọi a. Dấu bằng xẩy ra

a = 0
3.
a

a với mọi a. Dấu bằng xẩy ra

a

0
4.
ba

+


a
+
b
với mọi a,b. Dấu bằng xẩy ra

ab

0
5.
ba



a
-
b
với mọi a,b. Dấu bằng xẩy ra

ab > 0 và
a


b
--------------------------------------------------------------------------------------------
www.thaytuong.tk
2
II. Nội dung:

1. Ph ơng pháp sử dụng định nghĩa :
1.1. Phơng pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B. Nếu hiện A -
B dơng thì khẳng định đợc A > B là bất đẳng thức cần chứng minh.
1.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho a,b,c > 0. chứng minh rằng (a + b + c) (
a
1
+
b
1
+
c
1
)

9
Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) (
a
1
+
b
1
+
c
1
) - 9
= (
b
a
+

a
b
- 2) + (
c
a
+
a
c
- 2) + (
c
b
+
b
c
- 2)
=
( ) ( ) ( )
bc
cb
ac
ca
ab
ba
222

+

+

Do a,b,c > 0

H

0 Theo định nghĩa bất đẳng thức:

(a + b + c) (
a
1
+
b
1
+
c
1
)

9
Dấu = xẩy ra

H = 0

a = b = c
Ví dụ2: Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng:
3
33
22

+

+
baba
Giải: Xét hiệu: A =
3
33
22






+

+
baba
Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta đợc: A =
8
3
(a + b) (a - b)
2
Vì a > 0 , b > 0

a + b > 0 mà (a - b)
2

0

A

0
Theo định nghĩa


2
33
ba +



3
2






+
ba

Dấu bằng xẩy ra

a = b
1.3. Bài tập tơng tự:

Bài 1: Chứng minh:
b
a
+
a
b


2 với ab > 0
--------------------------------------------------------------------------------------------
www.thaytuong.tk
3
Bài 2: Chứng minh: x
2
+ y
2
+ z
2


2xy + 2yz - 2x
Bài 3: Cho a,b,c > 0 chứng minh:

22
2
cb
a
+
+
22

2
ac
b
+
+
22
2
ba
c
+



cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+
2. Ph ơng pháp sử dụng tính chất
2.1. Phơng pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến
đổi. Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh
2.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho a, b > 2. Chứng minh ab > a + b
Giải: Ta có: a > 2 , b > 0

ab > 2b (1) (Tính chất 3)
b > 2 , a > 0

ab > 2a (2) (Tính chất 3)
Từ (1) và (2)

2ab > 2 (a + b) (Tính chất 4)


ab > a + b (Tính chất 3)
Ví dụ 2: Cho x

0, y

0, z

0. Chứng minh rằng:
(x + y) (y + z) (z + x)

8xyz
Giải: Ta có: (x-y)
2


x
2
- 2xy +y
2

0


x
2
+ 2xy +y
2


4xy (Tính chất 2)


(x+y)
2


4xy (1)
Tơng tự ta có: (y+z)
2


4yz (2)
(x+z)
2


4xz (3)
Nhân từng vế (1),(2),(3)

[(x+y)(y+z)(x+z)]
2


(8xyz )
2
(Tính chất 6)


(x+y)(y+z)(x+z)

8xyz (Tính chất 8)
2.3. Bài tập tơng tự:
Bài 1: Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a
4
+b
4
>
8
1
Bài 2: Chứng minh rằng:
2
2
b
a
+
2
2
c
b

+
2
2
a
c



b
c
+
a
b
+
c
a
Bài 3: Cho x + y = 2. Chứng minh : x
4
+ y
4


2
--------------------------------------------------------------------------------------------
www.thaytuong.tk
4
3. Ph ơng pháp phân tích : ( Biến đổi tơng đơng)
3.1. Phơng pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó
tơng đơng với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất
đẳng thức cần chứng minh là đúng.

3.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)
2


2 (a
2
+ b
2
) với mọi a , b.
Giải: (a + b)
2


2(a
2
+ b
2
) (1)


a
2
+2ab +b
2
- 2a
2
- 2b
2

0


-(a
2
- 2ab + b
2
)

0


-( a - b)
2


0 (2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng

bất đẳng thức (1) đúng (đpcm)
Ví dụ 2: Cho 2 số a, b thoả mãn: a + b = 1
Chứng minh: a
3
+ b
3
+ab


2

1
(1)
Giải: (1)

a
3
+ b
3
+ab -
2
1


0


(a + b) (a
2
- ab + b
2
) +ab -
2
1


0


a
2

- ab + b
2
+ ab -
2
1

0 (vì a + b = 1)


a
2
+ b
2
-
2
1

0


2a
2
+ 2b
2
- 1

0


2a

2
+ 2(1 - a)
2
- 1

0 ( vì b = 1 - a)


4 (a -
)
0
2
1
2

(2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tơng đơng
)1(

đúng
Dấu bằng xảy ra

a =
2
1
= b
--------------------------------------------------------------------------------------------
www.thaytuong.tk
5
3.3. Bài tập tơng tự

Bài 1: Với mọi a, b chứng minh a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3
Bài 2: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh
a
b
ba
b
a

Bài 3: Chứng minh x
4
+ y
4

2
6
2
6
x
y
y
x

+
với x
0,0

y
4. Ph ơng pháp tổng hợp
4.1. Phơng pháp giải: Từ một bất đẳng thức đã biết là đúng, dùng các phép
biến đổi tơng đơng biến đổi bất đẳng thức đó về bất đẳng thức cần chứng minh.
Phơng pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết nên bắt
đầu từ bất đẳng thức nào nhng nếu biết phơng pháp giải này ngợc với phơng pháp
phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất phát.
4.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho a, b

0. Chứng minh
ab
ba
2
2

+
(Bất đẳng thức Côsi)
Giải: Theo giả thiết a, b

0

ab

0

ab
xác định.
Ta có: ( a - b)
2


0

a
2
- 2ab +b
2


0

a
2
+ 2ab +b
2


4ab

( a - b)
2


4ab

a + b

2
ab
(vì a + b

0 )


ab
ba

+
2
(đpcm)
Dấu = xảy ra

a = b.
Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
( ) ( )
22
2222
dbcadcba
++++++
Giải:
Ta có: (ad - bd)
2

0
--------------------------------------------------------------------------------------------
www.thaytuong.tk
6

a
2
d
2
- 2adbc + b
2
c
2


0

a
2
d
2
- 2adbc + b
2
c
2
+ a
2
c
2
+ b

2
d
2


a
2
c
2
+ b
2
d
2

a
2
d
2
- 2adbc + b
2
c
2
+ a
2
c
2
+ b
2
d
2

a
2
c
2
+ 2acbd + b
2
d
2

a
2
(c
2
+ d
2
) + b
2
(c
2
+ d
2
)

(ac + bd)
2
( )( )
++
2222

dcba
ac + bd ( vì ac + bd > 0)


a
2
+ b
2
+ 2
( )( )
2222
dcba
++
+ c
2
+ d
2


2ac + 2bd + a
2
+ b
2
+ c
2
+d
2

(
( )( )

2222
dcba
++
)
2


(a + c)
2
+ (b + d)
2

( ) ( )
22
2222
dbcadcba
++++++
(đpcm)
Dấu = xảy ra

d
c
b
a
=
Chú ý: với a, b, c, d >0 thì các phép biến đổi trong cách giải trên là tơng đơng.
4.3. Bài tập tơng tự: Chứng minh các bất đẳng thức
Bài 1: a
2
+ b

2
+ c
2


ab + bc + ca với mọi a, b
Bài 2: (x-y)
2
+ (y -z)
2
+ (z -x)
2


3(x
2
+ y
2
+z
2
) với mọi x, y, z
Bài 3:
3
33
22

+

+
baba
với a > 0 , b > 0
5. Ph ơng pháp phản chứng :
5.1. Phơng pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A

B
( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A

B). Từ điều mà ta vừa giả sử cùng
với giả thiết của bài toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với các kiến
thức đã học. Cuối cùng ta khẳng định kết luận của bài toán A

B
( hoặc A < B) là đúng.
Giải nh vậy gọi là phơng pháp phản chứng.
5.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho a
2
+ b
2


2 . Chứng minh: a + b

2
Giải: Giả sử: a + b > 2

a
2
+ 2ab + b
2
> 4 (1)
Ta có: (a - b)
2


0

a
2
- 2ab + b
2


0
--------------------------------------------------------------------------------------------
www.thaytuong.tk
7