Phương trình vi phân bằng tiếng Nga

ОПР 1. Множество, в котором нет ни одного элемента называется
пустым множеством. Обозначают: Ø
§ 1. Множества
Множество – неопределяемое понятие.
Говорят: набор, совокупность, система и др.
ОПР 2. Множества А и В называют равными, если они состоят из
одних и тех же элементов.
ОПР 3. Если все элементы множества В принадлежат множеству А
то В называется подмножеством множества А. Обозначают: В А.
⊆
Объединение множеств
А
В
А U В
А U В
А U В = В
В
В
А
А
А
ОПР 4. Объединением множеств А и В называется множество,
определяемое следующим образом:
A U B = { x / x ∈ A или x ∈ B}
Другими словами:
Объединением множеств А и В называется множество, элементы
которого принадлежат как множеству А, так и множеству В
Диаграммы Эйлера-Вена
Пересечение множеств
А
В

А
В
В
А
В
U
А В =
U
Ø
А В = A
U
А
ОПР 5. Пересечением множеств А и В называется множество,
определяемое следующим образом:
A ∩ B = { x / x ∈ A и x ∈ B}
Вычитание множеств
А
В
А \ В
А \ В = А
А \ В =
В
В
А
А
А
Ø
А \ В
А
В

ОПР 6. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее
только из тех элементов, которые входят в А, но не входят в В:
A \ B = { x / x ∈ A и x ∈ B}
ОПР 7. Множество называется конечным, если оно состоит из
некоторого натурального числа элементов.
Непустое множество называется бесконечным, если оно не является
конечным.
ОПР 8. Говорят, что между множествами А и В установлено
взаимнооднозначное соответствие, если каждому элементу
множества А поставлен в соответствие один элемент множества
В так, что:
1)разным элементам А соответствуют разные элементы В;
2)каждый элемент множества В поставлен в соответствие
некоторому элементу множества А.
ОПР 9. Множества А и В, между которыми можно установить
взаимнооднозначное соответствие, называются
эквивалентными.
Обозначают: А ~ В
ОПР 10. Бесконечное множество А называется счетным, если
можно установить взаимнооднозначное соответствие между
множеством А и множеством натуральных чисел, т.е. если А ~ N.
•
пример 1
Является ли множество Z счетным?
Z: 0 -1 1 -2 2 -3 3 … -n n …
N: 1 2 3 4 5 6 7 …
сопоставили
•
пример 2 Является ли множество Q счетным?

1/1 -1/1 1/2 -1/2 1/3 -1/3 …
0
2/1 -2/1 2/2 -2/2 2/3 -2/3 …
3/1 -3/1 3/2 -3/2 3/3 -3/3 …
4/1 -4/1 4/2 -4/2 4/3 -4/3 …
5/1 -5/1 5/2 -5/2 5/3 -5/3 …
…
＝＞ Q ~ N
2n 2n+1 …
Вещественное число – это бесконечная десятичная дробь, взятая со
знаком + или - .
Свойства:
1. Упорядоченности.
2. Определена операция сложения и умножения
3. Свойство полноты
4. Свойство плотности
Модуль – расстояние – абсолютное значение вещественного числа
§ 2. Вещественные числа
Свойства:
1. | x + y | ≤ | x | + | y |
2. | x - y | ≥ | x | - | y |
3. | x
.
y | = | x |
.
| y |
4. | x / y | = | x | / | y |
| x | =
{
x, x ≥0

-x, x<0
ОПР 13. Множество вещественных чисел { x } называется
ограниченным сверху, если существует такое число М, что
любой элемент x из множества { x } будет меньше числа М.
∈
MxxxM
<∀∃
}{
ОПР 13*. { x } называется ограниченным снизу, если
∈
mxxxm
>∀∃
}{
m - нижняя грань множества { x }
ОПР 14. Наименьшая из верхних граней называется точной
верхней гранью или супремумом множества { x }
М = sup{ x }
Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью
или инфинумом множества { x }
m = inf { x }
М называется верхней гранью
Свойства sup { x } и inf { x }.
sup { x } inf { x }
1. ∀x ∈ { x } x ≤ sup { x }
2. ∀ε>0 x ∈{ x }: x > sup { x } –ε
∃
Дописать!
ОПР 13**. { x } называется ограниченным, если
∈
CxxxC <∀∃ ||}{

ТЕОРЕМА 1. Больцано (о существовании sup и inf числового множества)
Если множество А = { x } не пусто и ограничено сверху (снизу),
то оно имеет верхнюю (нижнюю) точную грань.
Необходимые и достаточные условия
Пусть
β
- некоторое высказывание.
Всякое высказывание
α
, из которого следует
β
, называется достаточным
условием для
β
.
Записывают:
α
=>
β
Читают: «
α
является достаточным условием для
β
»
«из
α
следует
β
»
Всякое высказывание

α
, которое вытекает из
β
, называется необходимым
условием для
β
.
Читают: «
β
является необходимым условием для
α
»
Если
α
и
β
таковы, что
α
=>
β
и
α
<=
β,
то говорят: каждое из
высказываний
α
и
β
является необходимым и достаточным условием

для другого
Записывают: «
α
<=>
β
»
Читают: «для
α
необходимо и достаточно чтобы имело место
β
»
«
α
истинно тогда и только тогда, когда истинно
β
»