một số bất đẳng thức thú vị ôn thi đại học

1. cho 3 số thực x, y, z thoả mãn xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức:

M=x²\ (y+z) + y²\ (z+x) + z²\ (x+y)
2. cho 2 số thực thoả mãn x² + xy + y² ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P = x² – xy + y²
3. cho 2 số thực x, y. chứng minh rằng :
( 1 + x )( 1+ y\x )(1 + 9\√y )² ≥ 256

4. cho 3 số thực dương thoả mãn x + y + z = 3\4
³√( x + 3y ) + ³√( y + 3z ) + ³√( z + 3x ) ≤ 3

5. cho 3 số thực dương x, y, z thoả mãn x + 2y + 4z = 12 . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức :
P = 2xy\( x+ 2y) + 8xy\(2y + 4z) + 4zx\(4z + x)
6. cho 3 số thực x, y, z không âm thoả mãn x³ + y³ + z³ = 3
Tìm giá trị lớn nhất của tổng S = x + y + z
7. cho 3 số thực không âm thoả mãn x + y + z ≤ 3. chứng minh rằng:
1\(1 + x) + 1\(1 + y) + 1\(1 + z) ≥ 3\2
8. cho 2 số thực x, y thoả mãn x² + y² = x + y . Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ
nhất của biểu thức :
M = x³ + y³ + x²y + xy²
9. cho 3 số thực x, y, z thoả mãn hệ :( x² + xy + y² = 3)
Và ( y² + yz + z² = 16)
Chứng minh rằng : xy + yz + zx ≤ 8

10. cho 3 số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z ≤ 3\2. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức :
P = x + y + z + 1\x + 1\y + 1\z
11. cho 2 số thực x, y không âm thoả mãn x + y =1 . Tìm giá trị max, min
của biểu thức P = x\( x + 1) + y\(x + 1)

12. cho 2 số thực x, y khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 1\(x² + y²) + x²\(1 + y²) + y²\(1 + x²)

13. cho a, b lớn hơn 0. Chứng minh rằng: 1\a³ + a³\b³ + b³ ≥ 1\a + a\b +b

14. cho các số thực a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng :

a³\(b + 1) + b³\(c + 1) + c³( a + 1) ≥ 1\12

15. cho a, b, c > 0. chứng minh bất đẳng thức sau :

a³\(bc) + b³\(ca) + c³(ab) ≥ a + b + c

16. cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh bất đẳng thức sau :

a³\(a + b + 1) + b³\(b + c + 1) + c³\(a + b + 1) ≥ 1\45
17. cho a, b, c là những số dương thoả mãn a + b + c = 6. Chứng minh bất
đẳng thức sau :
(1 + 1\a³ )(1 + 1\b³)(1 + 1\c³) ≥ 729\512
18. ch a, b, c là những số dương thoả mãn điều kiện
1\(1 + x) + 1\(1 + y) + 1\(1 + z) ≥ 2
Tìm max của biểu thức P = xyz
19. cho x²\4 + y²\9 = 1 .
Tìm min, max của biểu thức P = 2x – y + 3 cho các số không âm x, y, z
thoả mãn điều kiện : x + y + z = 20. Tìm max của biểu thức
P = 2xy + 3yz + 7zx
20. cho x, y ≥ 0, x³ + y³ = 2. chứng minh rằng x² + y² ≤ 2