Đề + Đáp án HSG toán lớp 7

đề kiểm tra môn toán lớp 7
Học sinh giỏi - năm học 2012 - 2013
(Thời gian làm bài 120 phút)
1. (2,0 đ) Tìm x biết:
a)
3
125x =
b)
1x x= +
c)
2
x x=
2. (1,5 đ) Cho các số hũ tỉ:
;
a
x
b
=

;
c
y
d
=

a c
z
b d
+
=
+

(
, , , ;a b c d Â
b > 0, d > 0).
Chứng minh rằng nếu x < y thì x < z < y.
3. (1,5 đ) Cho bốn số a, b, c, d sao cho a + b + c + d

0.
Biết
b c d c d a d a b a b c
k
a b c d
+ + + + + + + +
= = = =
tính giá trị của k.
4. (2,0 đ) Cả ba vòi nớc cùng chảy vào một bể. Nếu vòi thứ nhất và vòi thứ hai
cùng chảy trong 6 giờ thì đầy
3
5
bể. Nếu vòi thứ thứ hai và vòi thứ ba cùng chảy
trong 5 giờ thì đầy
7
12
bể. Nếu vòi thứ thứ ba và vòi thứ nhất cùng chảy trong 9
giờ thì đầy
3
4
bể. Hỏi nếu cả ba vòi cùng chảy thì bao lâu bể sẽ đầy nớc.
5. (3,0 đ) Cho tam giác ABC, trung truyến AM. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này
các tam giác vuông cân ở A là ABD và ACE.
a) Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF = AM. Chứng minh góc

ABF bằng góc DAE.
b) Chứng minh DE = 2AM.
hớng dẫn chấm môn toán lớp 7
Học sinh giỏi - năm học 2012 - 2013
Câu Nội dung Điểm
1.(2,0 đ)
a)
3
125x =

( )
3
3
5x =
0,5
x = -5
b)Với x

0 thì x = x + 1 không có x thoã mãn.
Với x < 0 thì -x = x + 1 hay x x = 1
-2x = 1
1
2
x

=
c)Với x = 0 , đẳng thức đúng.
Với x

0, chia cả hai vế cho x, ta có x = 1.

Vậy x= 0; x= 1.
0,25
0,5
0,75
2.(1,5 đ)
Vì
a c
b d
<
nên ad < bc (1).
Xét tích a(b + c) = ab + ad (2)
b(a + c) = ba + bc (3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra a(b + c) < b(a + c) do đó
a a c
b b d
+
<
+
(4).
Tơng tự ta có
a c c
b d d
+
<
+
(5).
Kết hợp (4) và (5) ta đợc
a a c c
b b d d
+

< <
+
.







0,75
0,25
0,5
3.(1,5 đ)
Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số ta có:
1 1 1 1
b c d c d a d a b a b c
a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
a b c d
+ + + + + + + +
+ = + = + = +
+ + + + + + + + + + + +
= = =
Vì a + b + c + d

0 nên a = b = c = d.
Suy ra
3
3

a
k
a
= =
.
1,0
0,25
0,25
4.(2,0 đ)
Trong 1 giờ vòi 1 và vòi 2 chảy đợc:
5 1
: 6
6 10
=
(bể).
Trong 1 giờ vòi 2 và vòi 3 chảy đợc:
7 7
: 5
12 60
=
(bể).
Trong 1 giờ vòi 3 và vòi 1 chảy đợc:
3 1
: 9
4 12
=
(bể).
Trong 2 giờ cả ba vòi chảy đợc:
1 7 1 3
10 60 12 10

+ + =
bể.
Trong 1 giờ cả ba vòi chảy đợc:
3 3
: 2
10 20
=
bể.
Nếu cả ba vòi cùng chảy đầy bể sẽ mất thời gian:
3 20
1:
20 3
=
giờ = 6 giờ 40 phút.
Đáp số: 6 giờ 40 phút.
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
5.(3,0 đ)
-Giả thiết, kết luận, hình vẽ đúng:
f
m
b
c
e
d
a
a)C/m

AMC =

FMB (c-g-c)


ã ã
CAM BFM=

AC // BF.
Do đó
ã
ã
0
180ABF BAC+ =
(1)
Và
ã
ã
0
180DAE BAC+ =
(Do
ã
ã
0
180DAB EAC+ =
- GT) (2)
So sánh (1) và (2) ta có:
ã
ã

ABF DAE=
.
b) C/m

ABF =

DAE (c-g-c)

AF = OE.
Ta có AF = 2AM nên DE = 2AM
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
1,0
0,25
0,25
*Lu ý: +HS làm cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
+Điểm số toàn bài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.