Lũy thừa bậc n của một ma trận vuông

Lũy thừa bậc n của một ma trận vuông
Đỗ Viết Lân
Ngày 26 tháng 3 năm 2014
Đỗ Viết Lân
Lớp: Toán 3A - Trường Đại học Sư Phạm Huế
1
Ví dụ 1: Cho ma trận sau:
A =


−6 1 2
10 1 −2
−20 0 5


.
Hãy tính A
n
.
Giải:
Để tìm đa thức đặc trưng của ma trận A ta dùng lệnh
A.charpoly(’t’)
Đa thức đặc trưng của A là: P
A
(t) = t
3
− t
Do đó ta có A
3
= A.
Khi đó ta có công thức tính A

n
như sau:
Nếu n = 2k thì:
A
n
= A
2
=


6 −5 −4
−10 11 8
20 −20 −15


Nếu n = 2k + 1 thì:
A
n
= A =


−6 1 2
10 1 −2
−20 0 5


Ví dụ 2: Cho ma trận sau:
A =



−1 4 −2
−3 4 0
−3 1 3


.
Hãy tính A
n
.
Giải:
Ở đây ta cũng tìm đa thức đặc trưng của A là: P
A
(t) = t
3
− 6t
2
+ 11t − 6
Tuy nhiên đa thức nãy không đặc biệt như trong ví dụ 1.
Trong ví dụ này ta phải tính ma trận J là dạng chuẩn Jordan của A và tìm ma trận khả nghịch P sao cho
J = P AP
−1
Để tìm J và P ta dùng lệnh sau:
J, P = A.eigenmatrix_left()
Như vậy ta có dạng chuẩn Jordan của A là:
J =


3 0 0
0 2 0
0 0 1



và ma trận khả nghịch P là:
2
P =


0 1 −1
1 −3 2
1 −
5
3
1


Lúc này ta có A = P
−1
J P . Suy ra A
n
= P
−1
J
n
P
Ta tính được A
n
là:
A
n
=



−2 2
n
+ 3 −3
n
+ 6 2
n
− 5 3
n
− 4 2
n
+ 3
−3 2
n
+ 3 −3 3
n
+ 9 2
n
− 5 3 3
n
− 6 2
n
+ 3
−3 2
n
+ 3 −4 3
n
+ 9 2
n

− 5 4 3
n
− 6 2
n
+ 3


Ví dụ 3: Cho ma trận sau:
A =




1 4 1 3
4 1 3 1
1 3 1 4
3 1 4 1




.
Hãy tính A
n
.
Giải:
Dạng chuẩn Jordan của A là:
J =





9 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −5




và ma trận khả nghịch P là:
P =




1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 −1 1
1 −1 1 −1




Ta có A
n
= P
−1
J
n

P
Ta tính được A
n
là:




1
4
9
n
+
1
4
(−1)
n
+
1
4
(−5)
n
+
1
4
1
4
9
n
−

1
4
(−1)
n
−
1
4
(−5)
n
+
1
4
1
4
9
n
−
1
4
(−1)
n
+
1
4
(−5)
n
−
1
4
1

4
9
n
+
1
4
(−1)
n
−
1
4
(−5)
n
−
1
4
1
4
9
n
−
1
4
(−1)
n
−
1
4
(−5)
n

+
1
4
1
4
9
n
+
1
4
(−1)
n
+
1
4
(−5)
n
+
1
4
1
4
9
n
+
1
4
(−1)
n
−

1
4
(−5)
n
−
1
4
1
4
9
n
−
1
4
(−1)
n
+
1
4
(−5)
n
−
1
4
1
4
9
n
−
1

4
(−1)
n
+
1
4
(−5)
n
−
1
4
1
4
9
n
+
1
4
(−1)
n
−
1
4
(−5)
n
−
1
4
1
4

9
n
+
1
4
(−1)
n
+
1
4
(−5)
n
+
1
4
1
4
9
n
−
1
4
(−1)
n
−
1
4
(−5)
n
+

1
4
1
4
9
n
+
1
4
(−1)
n
−
1
4
(−5)
n
−
1
4
1
4
9
n
−
1
4
(−1)
n
+
1

4
(−5)
n
−
1
4
1
4
9
n
−
1
4
(−1)
n
−
1
4
(−5)
n
+
1
4
1
4
9
n
+
1
4

(−1)
n
+
1
4
(−5)
n
+
1
4




Ví dụ 4: Cho ma trận sau:
A =


1 1 1
0 1 1
0 0 1


.
Hãy tính A
n
.
Giải:
3
Ta có A = I + J. Trong đó

I =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


; J =


0 1 1
0 0 1
0 0 0


Lúc này A
n
= (I + J)
n
= I
n
+ C
1
n
I
n−1
J + C
2
n

I
n−2
J
2
= I + C
1
n
J + C
2
n
J
2
.
Vì ta có
J
3
=


0 0 0
0 0 0
0 0 0


Do do ta co
A
n
=



1 n
1
2
(n + 1)n
0 1 n
0 0 1


4