Phương Trình Tham Số Và Phương Trình Lượng Giác Theo Sách “Discovering Advanced Algebra

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
‐‐‐‐‐‐
BÀI BÁO CÁO
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC THEO SÁCH “DISCOVERING
ADVANCED ALGEBRA
Người thực hiện: Nhóm 6
Toán 3A
1
Huế, tháng 9 năm 2013
2
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU
Toán học là một khoa học, một ngôn ngữ, một nghệ thuật, một cách tư duy. Toán học hiện
diện trong tự nhiên, nghệ thuật, âm nhạc, kiến trúc, lịch sử, khoa học, văn học. Toán học
luôn tác động đến mọi khía cạnh của vũ trụ. Phương trình tham số và lượng giác là một công
cụ quan trọng trong toán học. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán thực tế như tìm
phương trình của quỹ đạo chuyển động, chiều cao ngọn hải đăng, khoảng cách giữa hai
khinh khí cầu…
3
Cuốn sách “Discovering Advanced Algebra - Khám phá đại số nâng cao” đặc biệt là chương
8 sẽ giúp cho các bạn tìm hiểu về phương trình tham số, phương trình lượng giác và các ứng
dụng của chúng trong cuộc sống. Với cách tiếp cận vấn đề gần gũi: tiếp cận qua khảo sát các
bài toán thực tế, cuốn sách sẽ cung cấp cho bạn một cách nhìn mới về phương trình tham số
và lượng giác so với những gì các bạn đã được học ở chương trình phổ thông. Qua phần này,
mong rằng các bạn sẽ khám phá ra được nhiều điều thú vị và bổ ích của đại số nói chung,
phương trình tham số và lượng giác nói riêng.
Huế, tháng 9 năm 2013
Nhóm tác giả
GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ SÁCH

TÁC GIẢ
Jerry Murduck, Ellen Kamischke và Eric Kamischke đều là các nhà toán học nổi tiếng của
nền khoa học giáo dục Mỹ. Họ đều giành được những giải thưởng lớn ở Mỹ về khoa học kỹ
thuật và được xem là những người đi đầu trong công tác dạy học Toán. Cả ba đều là những
giáo viên có nhiều năm kinh nghiệm và tham gia cộng tác viết rất nhiều sách phục vụ cho
việc dạy học Toán. Trong đó ba người là đồng tác giả của bộ sách “Discovering Algebra –
Tìm hiểu về Đại số” cơ bản, nâng cao bao gồm cả lý thuyết và bài tập.
4
Jerry Urdock là nguyên chủ tịch của Hội đồng các giáo viên Toán ở bang Michigan, được
giải thưởng Woodrow Wilson, và là một giáo sư danh dự T3 (Teachers Teaching with
Technology - giáo viên dạy học bằng công nghệ). Ông được nhận Giải thưởng do Tồng
thống Mỹ trao tặng vì sự xuất sắc trong sự nghiệp giảng dạy môn Toán. Năm 2001,
ông đã kết thúc 40 năm sự nghiệp dạy học của mình ở các trường học trong cộng đồng
và học viện nghệ thuật Interlochen, Interlochen, Michigan.
Ellen Kamischke là giáo viên đã có 23 năm kinh nghiệm đứng lớp tại các khóa học Toán về
Đại số, các phép tính nâng cao cũng như Vật lí. Bà hiện tại là giáo viên tại học viện
nghệ thuật Interlochen ở Interlochen, bang Michigan. Bà là tác giả của cuốn sách
“Key Curriculum Press’ Discovering Algebra– Hướng dẫn chương trình giảng dạy khám
phá Đại số” và sách bài tập “Discovering Advanced
Algebra – khám phá Đại số nâng cao”
5
Eric Kamischke là giáo viên đã có 25 năm kinh nghiệm đứng lớp tại các khóa học Toán về
Đại số, toán thống kê, tính toán nâng cao cũng như Hóa học. Ông là tác giả của cuốn sách
“Key Curriculum Press’ Discovering Algebra– Hướng dẫn chương trình giảng dạy khám phá
Đại số” và sách bài tập “Discovering Advanced Algebra – khám phá Đại số nâng cao”.

6
Giới thiệu chung về cuốn sách
Cuốn sách “Discovering Advanced Algebra: An Investigative Approach” – “Khám phá Đại
số nâng cao” được viết bởi ba nhà toán học có y tín và kinh nghiệm Jerry Urdock, len

Kamischke và Eric Kamischke. Cuốn sách này là một trong ba quyển của bộ sách
“Discovering Mathematics – Khám phá Toán học” viết về các vấn đề nâng cao của đại số.
Kiến thức được trình bày trong cuốn sách là những iến thức bổ sung và nâng cao hơn so
với cuốn sách “Discovering Algebra: An nvestigative Approach” (của cùng tác giả).
Cuốn sách gồm có 13 chương:
Chương 0: Các cách giải quyết vấn đề
Chương 1: Các mô hình và phương pháp đệ quy
Chương 2: Mô tả dữ liệu
Chương 3: Mô hình và hệ thống tuyến tính
Chương 4: Ánh xạ, quan hệ và các phép
biến đổi
Chương 5: Hàm mũ, hàm lũy thừa và hàm
Lô-ga-rit
Chương 6: Ma trận và hệ thống tuyến tính
Chương 7: Hàm bậc hai và các hàm đa
thức khác
Chương 8: Phương trình tham số và
Lượng giác
Chương 9: Các đường Conic và Hàm phân
thức
Chương 10: Hàm lượng giác
Chương 11: Chuỗi
Chương 12: Xác suất
Chương 13: Ứng dụng của Khoa học thống kê
7
I. ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ
Sherlock Holmes đã đi theo sau dấu chân và những manh mối khác để theo dõi những tội
phạm khả nghi. Trong khi anh ấy đi theo các manh mối đã giúp anh ấy biết được chính xác
nơi mà chúng đã đến. Đường đi của chúng có thể được vẽ trên bản đồ, mỗi vị trí đều được
mô tả bởi tọa độ x và y. Nhưng làm thế nào anh ấy có thể xác định được nghi phạm đã ở

những chỗ đó lúc nào? Hai biến là thường không đủ để diễn tả những điều đó một cách đầy
đủ. Bạn có thể sử dụng phương trình tham số để mô tả tọa độ x và y của một điểm riêng biệt
như hàm số của 1 biến thứ 3, t, gọi là tham số. Phương trình tham số cung cấp cho bạn thêm
nhiều thông tin và kiểm soát tốt hơn những điểm bạn đánh dấu.
Trong ví dụ này, biến t tương ứng với thời gian và bạn sẽ viết phương trình tham số để mô tả
chuyển động trên màn hình máy tính của bạn. Quan sát biến t kiểm soát giá trị x và y như thế
nào.
Ví Dụ A: Hai tàu chở dầu rời Corpus Christi, Texas, cùng lúc đó, di chuyển tới St.Petersburg,
Florida, hướng đông 900 dặm. Tàu A di chuyển với tốc độ không đổi là 18dặm/h và tàu B di
chuyển với tốc độ không đổi là 22dặm/h. Viết phương trình tham số và sử dụng máy tính của
bạn để mô phỏng chuyển động trong tình huống này.
Lời giải:
Để vẽ đồ thị tình huống này, trước hết bạn phải lập một hệ tọa độ. Đặt vị trí gốc là (0,0) tại
Corpus Christi. Bởi vì St.Petersburg là thẳng hướng đông nên tọa độ của nó là (900,0). Tọa
độ x của mỗi điểm được đánh dấu là khoảng cách của con tàu từ Corpus Christi và tọa độ y
cho mỗi đường sẽ vẫn không đổi bởi vì con tàu di chuyển thẳng theo hướng đông.
8
Đặt máy tính của bạn trong chế độ tham số và đồng bộ [ Nhìn vào máy tính 8A để học
về cách thức thiết lập của phương trình tham số] Xác định phương trình của bạn và suy
nghĩ về chuyển động của con tàu.
Sau 1h di chuyển với 18dặm/h, tàu A đã đi được 18 dặm từ Corpus Christi.
Sau 2h, nó sẽ đi được 36dặm; sau 10h , nó sẽ đi được 180dặm và sau t h, nó sẽ đi được 18t
dặm. Với khoảng cách chuyển động nằm ngang là được xác định bởi phương trình x = 18t.
Phương trình này xác định vị trí nằm ngang của tàu A tại bất cứ thời gian đã cho; giá trị x là
phụ thuộc vào thời gian, hay phụ thuộc vào giá trị t. Con tàu không di chuyển ở tất cả các
hướng bắc hay nam nên giá trị y vẫn không thay đổi. Nếu bạn chọn giá trị y là 0 thì con tàu
sẽ di chuyển trên trục x và bạn sẽ không thể nhìn thấy nó trên máy tính.
Thay vào đó, ta cho tàu A là con tàu đầu tiên được xác lập bởi y = 1. Phương trình x =18t và
y = 1 là môt cặp của phương trình tham số. Bạn có thể thiết lập chuyển động của tàu B với
phương trình tham số là x = 22t và y = 2. Tại sao vị trí nằm ngang của nó được xác đinh bởi

22t ?
Để tìm thấy cửa sổ đồ họa tốt thì cần xem xét tình hình. Con tàu phải di chuyển 900dặm về
phía đông, vì vậy giá trị x nằm trong phạm vi 0x 900. Bạn chọn giá trị y không đổi gồm 1 và
2 nên khoảng biến thiên -1 3 là đủ. Khi vẽ đồ thị của phương trình tham số bạn cũng phải xác
đinh một khoảng cho t. Tàu đi chậm hơn đi 18 dặm một giờ nên nó mất 50 giờ để đi được
900 dặm, do đó giá trị t biến thiên từ 0 đến 50. Nhập những giá trị đó vào máy tính của bạn
như hiển thị dưới đây. Chú ý rằng bạn cũng phải nhập vào t -bước. t-bước của 0.1 nghĩa là
một điểm là được đánh dấu cứ mỗi 0.1 h ( hay 6 phút). Dựa vào đồ thị trên máy tính của bạn
và quan sát chuyển động của con tàu [ Nhìn vào máy
tính 8B để học cách nhập và đồ thị của phương trình
tham số, và để học nhiều hơn về thiết lập cửa sổ]


9
8B

[0, 900, 100, -1, 3, 1] [0, 900, 100, -1, 3, 1] [0, 900, 100, -1, 3, 1]
Đồ thị khi t = 20. Đồ thị khi t = 40. Đồ thị khi t = 50.
Khi bạn sử dụng mô hình chuyển động của phương trình tham số bạn cần lưu ý đến hương
của vật thể cũng như tốc độ. Tốc độ có hướng được gọi là vận tốc. Vận tốc không giống tốc
độ, có thể dương hoặc âm. Nếu bạn xác đinh đúng đắn vận tốc dù âm hay dương, bạn sẽ có
10
Chuyển động
Lên hay hướng bắc
Xuống hay hướng nam
Trái hay hướng tây
Phải hay hướng đông
thể nhìn thấy một mô hình hiện thực của chuyển động trên màn hình máy tính của bạn. Bảng
bên phải này cho thấy quan hệ dấu của vận tốc theo hướng của chuyển động.
Nghiên cứu

Mô hình chuyển động
Trong nghiên cứu này bạn sẽ khảo sát việc sử dụng phương trình tham số và đồ thị như thế
nào để giải đáp những câu hỏi về chuyển động.
Bước 1:
Nhập phương trình và cửa sổ vẽ đồ thị từ ví dụ A vào máy tính của bạn. Tạo vết đường đi
của con tàu thích ứng và giải phương trình sẽ giúp cho việc giải đáp câu hỏi. [ Nhìn vào máy
tính 8C để học về sự tạo vết của phương trình tham số]
a. Con tàu nhanh hơn mất bao lâu để đến St.Petersburg?
b. Con tàu chậm hơn đang ở đâu khi con tàu nhanh hơn đã đến đích của nó?
c. Trong suốt chuyến đi, lúc nào con tàu nhanh hơn đi trước con tàu chậm hơn đúng 82
dặm?
d. Trong thời gian mấy phần của chuyến đi thì các con tàu cách nhau ít hơn 60 dặm?
Bước 2:
Tạo câu hỏi khác xoay quanh 2 con tàu đó. Viết lời giải thích và đáp án cho câu hỏi của bạn
trên một tờ giấy riêng biệt. Trao đổi câu hỏi của bạn với nhóm khác và cố gắng trả lời những
câu hỏi khác.
Phương trình tham số cho phép bạn vẽ đồ thị đường khi vị trí của những điểm là phụ thuộc
vào thời gian hoặc một vài tham số khác. Sự biểu diễn theo tham số cho bạn thấy bản chất
động lực của chuyển động và bạn có thể điều chỉnh tốc độ bằng cách thay đổi t-bước. Tham
số t không phải luôn tương ứng với thời gian. Trong ví dụ tiếp theo, bạn sẽ điều chỉnh giá trị
x và y được đánh dấu bằng cách giới hạn khoảng biến thiên của t và bạn sẽ khảo sát sự biến
đổi của những hàm tham số.
Ví Dụ B:
Khảo sát phương trình tham số x = t và y = t
2
với 1.
a. Vẽ đồ thị của phương trình trên giấy và trên máy tính của bạn.
b. Viết phương trình của parabol này khi tịnh tiến sang phải 2 đơn vị và xuống dưới 3
đơn vị.
Lời giải:

Sử dụng phương trình để tính giá trị x và y tương ứng với giá trị t trong khoảng biến thiên .
Nếu bạn dùng nhiều giá trị t hơn, bạn sẽ có một đồ thị trơn tru hơn.
a. Đồ thị các điểm khi t tăng, kết nối mỗi điểm trước đó và thêm mũi tên để chỉ hướng.
11
Xác nhận đồ thị này trên máy tính của bạn.
b. Tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị, mỗi tọa độ x tăng lên 2 đơn vị. Tịnh tiến đồ thị
xuống dưới 3 đơn vị , mỗi tọa độ y giảm xuống 3 đơn vị.
Phương trình là: x = t + 2
y = t
2
– 3
Một đồ thị được xác định theo tham số là một tập những điểm (x,y) được xác định bởi t. Ảnh
hưởng của việc giới hạn giá trị của biến t trên parabol trong ví dụ B là gì? Bạn nghĩ sẽ ảnh
hưởng như thế nào nếu giá trị t bị giới hạn -2 ? Bạn sẽ tiếp tục khảo sát việc tịnh tiến và phép
biển đổi của hàm tham số trong bài tập này.
Bài Tập
Luyện tập kỹ năng
1. Tạo 1 bảng cho mỗi phương trình sau với t = { -2, -1, 0, 1, 2 }
a. x = 3t - 1 b. x = t + 1 c. x = t
2
d. x = t - 1
y = 2t + 1 y = t
2
y = t + 3 y =
2. Vẽ đồ thị mỗi cặp của phương trình tham số trên máy tính của bạn. Phác thảo kết quả và
dùng dấu mũi tên để chỉ hướng tăng của giá trị t dọc theo đồ thị. Giới hạn giá trị t của bạn
như đã chỉ rõ hay là nếu một khoảng t không được liệt kê, rồi tìm một trong số đó cho thấy
tất cả những gì phù hợp trong một cửa sổ tiện lợi với một thừa số của 2.
a. x = 3t – 1 b. x = t + 1 c. x = t2 d. x = t - 1
y = 2t + 1 y = t2 y = t + 3 y =

3. Khảo sát các đồ thị được mô tả trong 3 a-e, dùng cửa sổ tiện lợi với thừa số của 2 và
-10
a. Đồ thị x = t và y = t
2
b. Đồ thị x = t+2 và y = t
2
. So sánh đồ thị này với đồ thị trong 3a
c. Đồ thị x = t và y = t
2
– 3. So sánh đồ thị này với đồ thị trong 3a
d. Dự đoán đồ thị của x = t + 5 và y = t
2
+ 2 so sánh với đồ thị trong 3a. Xác nhận câu
trả lời của bạn với đồ thị.
12
t X y
-1 -1 1
0 0 0
1 1 1
2 2 4
e. Dự đoán đồ thị của x = t + a và y = t
2
+ b so sánh với đồ thị trong 3a
4. Khảo sát những đồ thị này, dùng cửa sổ tiện lợi với thừa số của 2 và -10 .
a. Đồ thị x = t và y = |t|
b. Đồ thị x = t – 1 và y = |t|+2. So sánh đồ thị này với đồ thị trong 4a
c. Viết một cặp của phương trình tham số mà cái đó là tịnh tiến của đồ thị trong 4a sang
trái 4 đơn vị và xuống dưới 3 đơn vị. Xác nhận câu trả lời của bạn với đồ thị.
d. Đồ thị x = 2t và y = |t|. So sánh đồ thị này với đồ thị trong 4a

e. Đồ thị x = t và y = 3|t|. So sánh đồ thị này với đồ thị trong 4a
f. Mô tả các số 2, 3 và 4 trong phương trình x = t + 2 và y = 3|t | - 4 làm thay đổi đồ thị
trong 4a như thế nào. Xác nhận câu trả lời của bạn với đồ thị.
Lý do và áp dụng
5. Đồ thị dưới đây hiển thị một mô hình của linh vật của đội bóng đi về phía cuối hướng
tây với mục tiêu là trên sân bóng đá trường trung học. Bắt đầu tại 1 điểm 65 thước
(yd) tính từ gôn và 50ft từ bên lề, cô ấy di chuyển đến đường gôn và vẫy tay ra hiệu
trong đám đông khi cô ấy cách gôn 35 thước (yd). Tham số t tương ứng với thời gian
tính bằng giây(s)
[0, 100, 10, 0, 60, 10] [0, 100, 10, 0, 60, 10]
a. Theo đồ thị thời gian đã trôi qua bao nhiêu?
b. Cô ấy đã di chuyển xa bao nhiêu?
c. Vận tốc trung bình của cô ấy là gì?
d. Giải thích ý nghĩa mỗi con số trong phương trình tham
số này
x = 65 – 2t
y = 50
e. Dùng phương trình từ 5d, mô phỏng chuyển động của
linh vật trong màn hình máy tính của bạn trong một cửa
sổ riêng biệt.
f. Tăng giá trị t lên tối đa trong cửa sổ đồ họa của bạn để
xác định lúc nào linh vật đi qua đường 10 thước.
g. Viết và giải phương trình mà nó xác định lúc linh vật đi
qua đường 10 thước.
13
6. Viết phương trình tham số cho mỗi đồ thị sau (Gợi ý: bạn có thể tạo phương trình
tham số từ một phương trình đơn chỉ sử dụng x và y bằng cách cho x = t và thay đổi y
đến một hàm của t bằng cách thay x bởi t)
a b
c d

7. Đồ thị của phương trình tham số x = f(t) và y = g(t) là hình ảnh
bên phải
a. Phác họa đồ thị của x = f(t) và y = - g(t) và mô tả sự biến đổi
b. Phác họa đồ thị của x = - f(t) và y = g(t) và mô tả sự biến đổi
8. Đồ thị của phương trình tham số x = r(t) và y = s(t) là hình
ảnh bên phải. Viết phương trình tham số cho mỗi đồ thị sau
theo r(t) và s(t).
a. b.
14


c d
9. Cứ mỗi mùa xuân thỏ rừng thách thức rùa cùng
chạy cuộc đua 50 mét. Thỏ biết rằng nó chạy
nhanh hơn rùa và nó kiêu hãnh rằng nó có thể tiếp
tục thắng rùa ngay cả khi nó cho rùa xuất phát
trước 100 giây. Rùa bò với vận tốc 0.4m/s và tốc
độ chạy của thỏ là 1.8m/s
a. Viết phương trình mô phỏng di chuyển của rùa
b. Xác định cửa sổ đồ họa và khoảng biến thiên của
giá trị t mà sẽ hiển thị chuyển động của rùa.
c. Viết phương trình mô phỏng chuyển động của thỏ,
nó vượt qua vạch xuất phát lúc t = 100.
d. Ai thắng cuộc đua?
e. Mất bao lâu để mỗi con vật chạy kết thúc cuộc
đua?
15
10.Los Angeles, California và Honolulu, Hawaii cách nhau khoảng 250 dặm. Một máy
bay bay từ Los Angeles đến Honollu và một máy bay thứ 2 bay với hướng ngược lại.
a. Mô tả ý nghĩa của mỗi con số trong phương trình x ( Phương trình cho y chỉ đơn giản

là gán những đương không giao nhau)
x = 450(t – 2) và x = 2500 – 525t
y=1 y = 2
b. Sử dụng bảng hoặc đồ thị để tìm ra thời gian gần đúng và vị trí tương đối của máy
bay đến Los Angeles khi các máy bay vượt qua nhau.
c. Viết và giải đáp phương trình để tìm thời gian và vị trí của máy bay khi nó vượt qua
nhau.
Thông tin nghề nghiệp
Kiểm soát giao thông hàng không phối hợp
máy bay cất cánh và hạ cánh từ tháp kiểm
soát sân bay. Họ quản lý giao thông hàng
không một cách an toàn, theo dõi điều kiện
thời tiết và giao tiếp với các phi công thông
qua đài phát thanh. Thiết bị máy tính tinh vi
và hiển thị trên máy ra đa cho phép họ theo
dõi vùng trời và ngăn chặn sự cố máy bay va
chạm. Kiểm soát giao thông hàng không là
một trong những công việc đòi hỏi khắt khe
nhất tại Hoa Kỳ.Bạn có thể tìm hiểu thêm về
toán học cần thiết để trở thành người kiểm
soát giao thông hàng không với các liên kết internet tại
11.Những phương trình tham số mô phỏng hai người đi bộ, với x và y đo bằng mét và t
tính bằng giây.
x = 1.4t và x = 4,7
y = 3,1 y = 1.2t
a. Đồ thị chuyển động của chúng với 0
b. Cho biết ý nghĩa thực sự về các giá trị 1.4, 3.1, 4.7 và 1.2 trong phương trình
c. Hai đồ thị giao nhau ở đâu?
d. Hai người đi bộ có gặp nhau không? Làm sao bạn biết được điều này?
12.Ứng dụng: Một con voi dậm xuống mặt đất tạo ra sóng âm thanh trong không khí và

rung động ( sóng) trên mặt đất. Sóng âm thanh xuyên qua không khí khoảng 0,3 km/s
và sự rung của vỏ trái đất di chuyển vào khoảng 6,1km/s.
a. Viết phương trình tham số mà mô phỏng cho cả hai sóng trong 3 giây và đồ thị của
chúng trên máy tính của bạn trong một cửa sổ thích hợp.
b. Sóng di chuyển trên mặt đất trong 3 giây xa bao nhiêu? Mất bao lâu để sóng âm thanh
di chuyển trong không khí di chuyển được cùng khoảng cách như vậy?
16
c. Trang thiết bị của một nhà nghiên cứu phát hiện các sóng âm thanh trong không khí
10 giây sau khi phát hiện âm thanh rung động trên mặt đất.Từ các nhà nghiên cứu
sóng của con voi tạo ra khi dậm là bao xa?
Thông tin khoa học:
Nhà sinh vật học và nhà nghiên cứu Caitlin O'Connell-
Rodwell đưa ra giả thiết rằng những con voi giao tiếp
bằng đôi chân của mình.Bằng việc dẫm chân lên mặt đất,
voi tạo ra sóng địa chấn trên bề mặt trái đất có thể đi gần
32 km, xa hơn nhiều so với giao tiếp bằng âm thanh.
Những con voi khác có thể phát hiện những rung động ở
đôi chân của mình và giải thích cho họ như một lời cảnh
báo nguy hiểm. Một số nhà nghiên cứu cũng tin
rằng con voi và các con động vật khác có thể phát
hiện động đất bằng cách nghe tiêng vỡ vụn đá và
cảm giác rung động trong lòng đất. Voi cũng có thể
xác đinh vị trí nước bằng cách nghe sấm sét và cảm thấy tiếng ầm ầm của sấm sét qua mặt
đất.
ÔN TẬP
13. Giải hệ phương trình:

14. Tìm nghiệm chính xác của phương trình mà không sử dụng máy tính
0 = x
3

– 4x
2
+ 2x +4
15.Xét dãy sau:
-6, -4, 3, 15, 32,…
a. Tìm số hạng thứ n bằng cách dùng hiệu hữu hạn. Giả sử u
1
là -6
b.Tìm u
20
16. Tìm phương trình của đường thẳng qua (-3, 10) và (6, -5)
17. Tìm phương trình của parabol đi qua các điểm (-2, -20), (2, 0) và (4, -14).
17
Caitlin O'Connell‐Rodwell lắng nghe âm thanh có thể
là thông (n của voi vơi khoảng cách dài
II. CHUYỂN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ SANG
PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO
THAM SỐ
Trong chương trước bạn đã thấy hàm tham số tương đương mà bạn đã được nghiên cứu trước
đó, như parabol và đồ thị của giá trị tuyệt đối. Bạn có thể tạo ra những phương trình và đồ thị
bằng cách cho x = t và lập y là một hàm số của t thay vì là hàm số của x.Ví dụ, bạn có thể vẽ
đồ thị y = x
2
còn trong dạng tham số sử dụng
x = t và y = t
2
. Trọng tâm của bài học này là làm ngược lại là bắt đầu với phương trình tham
số và loại bỏ các tham số t, để có được một phương trình đơn chỉ sử dụng x và y.
Trong nghiên cứu này, bạn sẽ sử dụng phương trình tham số để mô hình hóa chuyển động
khi thay đổi đo lường trong cả hai hướng x và y. Bạn sẽ khám phá ra mối quan hệ giữa các

đồ thị của các phương trình tham số và đồ thị tương ứng của mối quan hệ giữa x và y.
Điều tra
Tham số đi bộ
Điều tra này liên quan đến bốn người tham gia: người đi bộ, người ghi X, người ghi Y và
một giám đốc
Lưu ý thủ tục
1. Người đi bộ bắt đầu tại một đầu của đoạn này và đi từ từ trong 5 giây đến đầu kia
2. Người ghi X giữ máy cảm biến chuyển động chỉ vào người đi bộ, thiết lập trong
khoảng 5 giây và di chuyển dọc theo trục y giữ ngang bằng với người đi bộ, do đó
phép đo tọa độ x của đường đi của người đi bộ như một hàm số của thời gian.
3. Đồng thời người ghi Y cũng giữ một máy cảm biến chuyển động chỉ vào người đi bộ,
thiết lập trong cùng một lượng thời gian như nhau và di chuyển dọc theo trục x giữ
ngang bằng với người đi bộ, phép đo tọa độ y của đường đi của người đi bộ như một
hàm số của thời gian
4. Giám đốc bắt đầu cùng thời điểm cả 3 người tham gia và tính ra 5 giây.
Bước 1: Đánh dấu góc phần tư của một đồ thị tọa độ trên sàn với sự nhận
dạng trục x và y và một đoạn như trong sơ đồ bên phải.
Bước 2:Thực hiện các hoạt động như được mô tả trong lưu ý thủ tục.
[Xem phép tính 8D để được hướng dẫn thêm làm thế nào để thiết lập máy
cảm biến chuyển động của bạn]
Bước 3: Tải các số liệu từ máy cảm biến chuyển động của người ghi X vào một máy tính và
tìm một hàm số có dạng x = f(t) phù hợp với các số liệu.
Bước 4: Tải các số liệu từ máy cảm biến chuyển động của người ghi Y vào một máy tính
khác và tìm một hàm số có dạng y = g(t) phù hợp với các số liệu.
Bước 5: Trên một máy tính thứ 3,chuyển giá trị khoảng cách từ máy cảm biến chuyển động
của người ghi X vào danh sách L1 và các giá trị khoảng cách từ máy cảm biến chuyển động
18
của người ghi Yvào danh sách L2. Vẽ phác họa những số liệu như cặp có thứ tự (x,y) cùng
với các hàm tham số x=f(t) và y=g(t). Làm thế nào để so sánh?
Bước 6: Giải x=f(t) được t và thay thế biểu thức t này vào y = g(t)

Bước 7: Vẽ đồ thị đáp số của bạn ở bước 6 với các số liệu (x,y) [ xem phép tính 8E để tìm
hiểu về cách vẽ hàm số trong khi vẫn còn ở chế độ tham số]
Bước 8: Dựa trên nghiên cứu này, giải thích làm sao để khử tham số từ phương trình tham
số.
Suốt cuộc điều tra này, hai máy cảm biến chuyển động đã bắt được dữ liệu mà bạn dùng để
tạo ra một mô hình tham số của người đi bộ. Sau đó bạn kết hợp hai đồ thị này thành một
đồ thị biểu thị mối quan hệ giữa x và y, và bạn kết hợp hai phương trình tham số thành một
phương trình đơn chỉ có x và y. Bạn kết hợp một cặp phương trình tham số thành một
phương trình đơn bằng cách khử tham số t.
Ví dụ: Đồ thị đường cong được mô tả bởi các phương trình tham số x = t
2
– 4 và y = .
Sau đó khử t từ các phương trình và vẽ đồ thị đáp án có được.
Lời giải:
Lập một bảng giá trị và vẽ phác họa những điểm đó, kết nối chúng theo t tăng. Kiểm tra đồ
thị này trên máy tính của bạn. Chú ý rằng đồ thị cho thấy rằng y không phải là một hàm số
của x mặc dù cả x và y đều là các hàm số
của t.
Để khử tham số, ta giải một trong các
phương trình tham số được t và thay vào
phương trình tham số khác
x = t
2
– 4 và y = Các
phương trình tham số về x và y
t
2
= x + 4 Thêm
4 vào cả 2 vế của phương trình x
t = Lấy căn bậc 2 của cả 2 vế để giải được t

y = = Thay t vào phương trình tham số y để có được một
phương trình đơn chỉ có x và y
y = Phương trình y duy nhất trong giới hạn của x
Bạn cũng có thể giải t trong phương trình tham số y ban đầu và thay vào phương trình tham
số x
x = t
2
– 4 và y = Các phương trình tham số x và y
t = 2y Nhân thêm 2 vào phương trình tham số y để giải t
x = (2y)
2
– 4 Thay t là 2y vào phương trình tham số x
x = 4y
2
– 4 Khai triển
19
t x y
-3 5 -1.5
-2 0 -1
-1 -3 -0.5
0 -4 0
1 -3 0.5
2 0 1
3 5 1.5
x + 4 = 4y
2
Thêm 4 vào 2 vế
= y
2
Chia cả 2 vế cho 4

y = Lấy căn bậc 2 của cả 2 vế
y = Lấy căn bậc 2 của 4
Chú ý rằng kết quả của cả 2 phương pháp trên cho cùng một phương trình.
Bạn có thể nhận ra đây là phương trình của một parabol hướng theo chiều ngang, tương tự
như phương trình bạn đã được học trong chương 4. Kiểm tra kết quả của bạn bằng đồ thị để
thấy rằng đồ thị của
y = và x = t
2
– 4 là giống nhau. [ xem lại máy tính 8E để học cách vẽ đồ
y = thị phương trình tham số và đồ thị chỉ có x và y
cùng một lúc]
Mặc dù cùng một đồ thị nhưng lại có thể được tạo ra từ các phương trình tham số hoặc
phương trình chỉ có x và y, phương trình tham số hiển thị vị trí của bạn tại những thời gian
riêng biệt và cho phép bạn vẽ đồ thị liên quan mà không phải là hàm số trực tiếp. Ví dụ tiếp
theo cho thấy làm thế nào hai cách làm độc lập có thể kết hợp để làm thành một con đường
suy nhất.
Ví dụ:
Khinh khí cầu của Hanna tăng dần với tốc độ
15m/s . Một cơn gió thổi liên tục từ tây sang
đông với 24ft/s. Viết phương trình tham số mô
tả tình huống này và quyết định có hay không
các khinh khí cầu sẽ vượt qua đường dây điện
300ft về hướng đống và cao 95ft. Tìm thời gian
cần để khí cầu tới được hoặc vượt qua các
đường dây điện.
Lời giải:
Tạo ra một bảng gồm thời gian, khoảng cách mặt đất và chiều cao trong một vài giây của
chuyến bay.
Thiết lập gốc tọa độ tại điểm bắt đầu khởi chạy của khí cầu. Cho x tương ứng với khoảng
cách mặt đất khi di chuyển về phía đông với đơn vị feet (ft) và cho y tương ứng với chiều

cao của khí cầu so với mặt đất trong đơn vị dặm feet (ft). Bảng dưới đây cho thấy những giá
trị trong 4 giây đầu tiên của chuyến bay
20
Thời gian (s) Khoảng cách mặt đất(ft) Chiều cao (ft)
0 0 0
1 24 15
2 48 30
3 72 45
4 96 60
Các phương trình tham số mà mô hình hóa các chuyển động là
x = 24t và y = 15t. Vẽ đồ thị cặp phương trình này trên máy
tính của bạn. Bạn có thể xem hình ảnh đường dây điện bằng
cách vẽ điểm (300,95). Khi bạn theo dõi đồ thị trong thời
gian 1 giây, bạn sẽ thấy rằng khí cầu đi được 24ft về phía
đông, ở độ cao 15ft. Vào lúc 12,5 giây nó đi được 300ft về
phía đông và đạt đến độ cao 187,5ft. Khí cầu của Hanna sẽ
không chạm vào đường dây điện.
Khả năng mô hình hóa chuyển động với phương trình tham số là giống như vẽ đồ thị mà bạn
đã thực hiện trong các chương trước nhưng bạn giải quyết với mỗi hướng độc lập. Nhiều cặp
phương trình tham số có thể được viết thành một phương duy chỉ có x và y. Việc có thể khử
tham số trong phương trình tham số là một kỹ năng quan trọng bởi vì nó cho bạn hai cách
khác nhau để nghiên cứu một mối quan hệ.
Bài tập:
Luyện tập kỹ năng
1. Giải mỗi phương trình sau cho t
a. x = t + 1 b. x = 3t – 1 c. x = t
2
d. x = t – 1
2. Viết mỗi cặp phương trình tham số thành một phương trình chỉ có x và y. Vẽ đồ thị có
mối quan hệ mới này trong một cửa sổ đồ họa thích hợp. Xác minh rằng đồ thị của

phương trình mới cũng giống như đồ thị của cặp phương trình tham số
b. x = t + 1 b. x = 3t – 1 c. x = t
2
d. x = t – 1
y = t
2
y = 2t + 1 y = t + 2 y =
3. Viết phương trình đơn( chỉ dùng x và y) tương đương với mỗi cặp đồ thị tham số
a. x = 2t + 3 b. x = t
2
x = t + 1 d. x = t – 3
y = t + 2 y = t =1 y = y = 2(t – 1)
2

4. Bảng bên phải cho ta giá trị x và y theo một vài giá trị t
a. Viết một phương trình của x theo t.
b. Viết một phương trình của y theo t
21
t x y
0 2 2
1 3 1
2 4 0
3 5 -1
4 6 0
5 7 1
6 8 2
c. Khử tham số và kết hợp các phương trình trong 4a và 4b. Chứng minh rằng phương
trình này phù hợp với các giá trị (x,y)
5. Sử dụng đồ thị x = f(t) và y = g(t) để tạo ra một đồ thị của y như một hàm số của x.
Nguyên nhân và ứng dụng

6. Viết phương trình tham số x = f(t) và y = g(t) đã cho ở bài tập 5 và một phương trình
y như một hàm của x. Làm thế nào so sánh độ dốc của các phương trình đó?
7. Tìm khoảng t nhỏ nhất để tạo một đồ thị của phương trình tham số x =t + 2 và y = t
2
mà phù hợp với những điều kiện và
8. Xét các phương trình tham số x = f(t) = t + 2 và y = g(t)
=
a. Vẽ đồ thị x = f(t) và y = g(t)
b. Vẽ đồ thị x = f(t) và y = - g(t) và xác định sự biến đổi
so với phương trình ban đầu. Khử tham số để viết
phương trình đơn chỉ có x và y.
c. Vẽ đồ thị x = -f(t) và y = g(t) và xác định những biến
đổi so với phương trình ban đầu. Khử tham số để viết
phương trình đơn chỉ có x và y.
d. Vẽ đồ thị x = -f(t) và y = -g(t) và xác định những biến
đổi so với phương trình ban đầu. Khử tham số để viết
phương trình đơn chỉ có x và y.
9. Một con rệp đang bò
lên môt bức tường với các vị trị đã cho trong bảng bên
phải. Các biến x và y tương ứng cho khoảng cách
22
t x Y
0 20 5
2 24 7
4 28 9
6 32 11
8 36 13
10 40 15
theo chiều ngang và theo chiều dọc từ góc dưới bên trái của tường, được đo bằng inch
và t tương ứng cho thời gian được đo bằng giây.

a. Viết phương trình tham số cho x và y trong điều kiện t mà tạp ra kết quả đã cho trong
bảng
b. Vẽ đồ thị phương tình tham số của bạn từ 9a với số liệu (x,y). Chúng quan hệ thế
nào?
c. Chỉ sử dụng x và y, viết phương trình của đường mà nó đi qua các điểm đó.
d. Làm thế nào các phương trình tham số có thể được sử dụng để tìm ra độ dốc của
đường trong 9c?
10. Viết phương trình tham số cho hai đường vuống góc giao nhau tại điểm (3,2) với một
đường có độ dốc là -0.5.
11. Các hàm số d
1
= 1.5t và d
2
= 12 – 2.5t tương ứng với khoảng cách của Edna và Maria
được đo bằng dặm từ đầu một con đường mòn
như hàm số của thời gian được đo bằng giờ
a. Viết phương trình tham số để mô tả việc đi bộ
từ đầu đường mòn của Edna tăng lên về phía
bắc. Cho x = 1
b. Viết phương trình tham số để mô tả việc đi bộ
từ đầu đường mòn của Maria tăng lên về phía
nam. Cho x = 1.1 vì vậy Maria sẽ đến gần để
gặp Edna nhưng không thực sự đâm vào cô ấy
23
c. Đặt tên một cửa sổ đồ họa và một khoảng biến thiên của giá trị t cho thấy việc đi bộ
tăng lên của họ đến thời điểm 2 người đi bộ gặp nhau.
d. Sử dụng đồ thị của bạn để tính gần đúng thời gian là nơi hai người đi bộ gặp nhau
e. Bạn viết phương trình nào có thể cho thấy lúc Edna và Maria gặp nhau? Giải phương
trình đó để xác minh câu trả lời của bạn ở 11d.
12. Một quả trứng bị rơi từ mái của một tòa nhà 98 mét.

a. Mất bao lâu để quả trứng rơi đến đất?
b. Viết phương trình tham số và vẽ đồ thị để mô hình hóa chuyển động
c. Khi nào trứng sẽ cách mặt đất 1.75m
d. Một tấm bạt lò xo được cuộn với tốc độ 1.2m/s về phía chỗ quả trứng rơi, nó bắt đầu
ngay lập tức khi quả trứng rơi. Tấm bạt lò xo nên bỏ xa thế nào để khi quả trưng rơi
xuống nó có thể vớ được chính xác.
e. Mô tả cả hai chuyển động với phương trình tham số
Ôn Tập
13. Bên phải là đồ thị của
x = t và x = t
y = t y = t
2
Viết phương trình tham số của parabol đối xứng qua đường
y = x
14. Tàu chở dầu A di chuyển 18 dặm / h và tàu B di
chuyển 22 dặm/h. Cả hai đang di chuyển từ Corpus
Chriti, Texas đến St. Petersburg, Florida, đúng 900
dặm theo hương đông. Mô tả sự chuyển động của
con tàu nếu tàu A rời Corpus Chriti vào buổi trưa và
tàu B là vào luc 5 giờ chiều.
a. Viết phương trình tham số để mô tả các chuyển
động
b. Đặt một cửa sổ đồ họa và một khoảng biến thiên
của giá trị để biểu thị tình huống này.
c. Lúc nào và ở đâu tàu B vượt tàu A?
d. Mô tả chuyển động tàu chở dầu nếu cả hai tàu đều
rời đi vào buổi trưa nhưng tàu A lại rời từ Corpus
Christi và tàu B rời từ St. Petersburg, mỗi hướng
24
chạy khác nhau. Ghi lại phương trình của bạn và xác định khoảng thời gian mà suốt

khoảng đó họ cùng nhau trong 50 dặm
15. Phương trình nào là hình ảnh của y = x – 2 sau khi dịch sang phải 5 đơn vị và lên
trên 3 đơn vị?
16. Xét hàm f(x) = 3+
a. Tìm
i. f (9)
ii. f (1)
iii. f (0)
iv. f (-7)
b. Tìm các phương trình nghịch đảo của f(x).Có hàm nghịch đảo không?
c. Mô tả cách bạn sử dụng tính toán trong 16a để kiểm tra sự nghịch đảo trong 16b
d. Sử dụng máy tính của bạn để vẽ đồ thị f (x) và nghịch đảo của nó trên cùng một trục
tọa độ.
25