Sử dụng website Wolfram Alpha trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN_LỚP 3B

ĐỀ TÀI NHÓM 04:
SỬ DỤNG WEBSITE WOLFRAM ALPHA TRONG
VIỆC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Giáo viên bộ môn:
Nguyễn Đặng Minh Phúc
Nhóm sinh viên thực hiện:
Nguyễn Thị Hải Khánh
Đào Thị Thúy
Lê Thị Thùy Trang
Hồ Chính Sách
Huế, tháng 9/2013
LỜI NÓI ĐẦU
Từ những bài toán đơn giản cho đến các phương trình cao cấp, phức tạp, người dùng đều có thể tìm
thấy sự hỗ trợ từ các ứng dụng, dịch vụ trực tuyến và các Website. Đây là những công cụ tiện lợi, đắc lực và
hiệu quả nhất trong việc dạy học toán.
Và Wolfram Alpha là một trong những website hữu ích đó.
Wolfram Alpha không chỉ hữu ích cho các bạn học sinh học toán và rèn luyện khả
năng tiếng Anh mà còn giúp các thầy cô giáo tìm được nguồn học liệu phong phú phục
vụ cho việc giảng dạy. Chúng có đầy đủ tài nguyên cho người mới bắt đầu đến người
thông thạo nhất, dù trình độ của bạn ở mức nào, bạn sẽ luôn tìm được bài học phù hợp
cho mình.
Việc đưa Wolfram Alpha vào việc dạy học toán về hàm số, sẽ rất hữu ích và tiện
lợi. Bởi vì, Wolfram Alpha chọn lọc những thông tin, hình ảnh chi tiết về hàm số để có
những câu trả lời nhanh và chính xác nhất về các thông tin liên quan về hàm số đó. Đưa
Wolfram Alpha vào việc dạy hàm số sẽ giúp học sinh có cái nhìn khái quát và hiểu rõ
hơn về hàm số.
Chúng tôi nghiên cứu “Sử dụng website Wolfram Alpha trong việc khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số” góp phần nâng cao hiệu quả, chất lượng cho việc giảng dạy của giáo viên

và việc học toán của học sinh.
2
I. Giới thiệu về Wolfram Alpha.
Wolfram Alpha là một máy trả lời do Wolfram Research phát triển. Đây là một
dịch vụ trực tuyến có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi nhập vào trực tiếp bằng cách tính toán
câu trả lời từ các dữ liệu có cấu trúc, chứ không chỉ cung cấp một danh sách các tài liệu
hoặc trang có web có thể chứa câu trả lời như cách máy tìm kiếm thường làm. Website
này được Stephen Wolfram công bố vào tháng 3 năm 2009, và được phát hành cho công
chúng ngày 15 tháng 5 năm 2009. Wolfram Alpha được viết ra bằng 5 triệu dòng mã
Mathematica.
Stephen Wolfram
Wolfram Alpha là một bộ máy tìm kiếm thông minh, mang lại đáp án cụ thể, chính
xác nhất cho các câu hỏi của người dùng, đặc biệt trong lĩnh vực khoa học tự nhiên.
“Động cơ điện toán tri thức” là thuật ngữ chính xác mà Stephen Wolfram dùng để
gọi công cụ tìm kiếm trực tuyến này. Wolfram Research là một công ty rất nổi tiếng với
3
sản phẩm Mathematica – một ứng dụng điện toán được sử dụng rất phổ biến trong cộng
đồng các nhà toán học, khoa học cũng như các chuyên gia kỹ thuật khác.
Tận dụng lợi thế này Wolfram Research đã tập trung nghiên cứu phát triển thành
công cụ tìm kiếm Wolfram Alpha. Mục tiêu của công cụ tìm kiếm này không chỉ đơn
giản dừng lại ở việc tìm kiếm mà còn cung cấp đường liên kết đến các trang web cho
người dùng.
Công cụ tìm kiếm này sẽ tiến hành phân tích từ khóa tìm kiếm mà người dùng
nhập vào, tìm kiếm tổng hợp thông tin và cuối cùng trình bày ra trước mắt người dùng
câu trả lời chứ không phải là những đường liên kết. Nói một cách khác thì Wolfram
Alpha sẽ làm thay cho người dùng nhiệm phải truy cập đến từng đường liên kết thì mới
có được những thông tin cần thiết.
Trong cuộc trình diễn tại Trung tâm Internet và Xã hội Berkman thuộc Đại học
Harvard, Tiến sĩ Wolfram đã cho biết: “Mục tiêu của chúng tôi là làm cho những kiến
thức chuyên môn có thể truy cập được bởi bất cứ ai, bất cứ nơi đâu, bất cứ lúc nào”.

Công cụ web này sẽ tự động hóa việc trả lời các câu hỏi ngẫu nhiên nhờ lấy dữ liệu từ các
cơ sở dữ liệu công cộng hoặc những dữ liệu có bản quyền, và các nguồn cấp dữ liệu trực
tiếp. Người dùng có thể vào website để tìm kiếm những thông tin đơn giản - ví dụ như
chiều cao của núi Everest - hoặc những thông tin phức tạp đòi hỏi phải trộn lẫn nhiều dữ
liệu với nhau, chẳng hạn như GDP cập nhật của một quốc gia. Các chức năng khác nhau
của trang web cũng giúp giải quyết các bài toán phức tạp, số liệu khoa học hoặc vẽ biểu
đồ các sự kiện tự nhiên.
Tiến sĩ Wolfram cho biết “Cũng giống như tương tác với một chuyên gia, trang
web sẽ hiểu những gì bạn đang nói, thực hiện tính toán, và sau đó trình bày với bạn
những kết quả”. Nhưng điều này cũng dẫn đến kết quả là phần lớn các dữ liệu mang tính
khoa học, và có ít thông tin văn hóa như thông tin về các ngôi sao nhạc pop hoặc diễn
viên điện ảnh. Về tiến trình triển khai dự án mới này, Tiến sĩ Wolfram đã tiết lộ “hàng
nghìn tỉ mẫu dữ liệu” đã được lựa chọn và quản lí bởi một nhóm các chuyên gia tại
Trung tâm nghiên cứu Wolfram. Những chuyên gia này cũng đã tiến hành chuẩn hóa
thông tin để đảm bảo hệ thống có thể đọc và hiển thị được.
4
Không những thế câu trả lời mà Wolfram Alpha đưa ra được tổ chức theo cấu trúc
rõ ràng với hình ảnh biểu đồ, đồ họa… rất rõ ràng và dễ hiểu. Người dùng còn có thể tải
những câu trả lời này về dưới dạng tệp tin PDF để phục vụ cho mục đích riêng.
Có thể thấy đây là một tính năng rất tuyệt vời bởi thay vì lần mò đến từng đường
liên kết như trên trang kết quả tìm kiếm của Google thì với Wolfram Alpha người dùng
có thể thấy ngay được những thông tin cần thiết rất dễ đọc và theo lõi cũng như đối chiếu.
Wolfram Alpha được cung cấp dưới dạng trang web tại địa chỉ
www.wolframalpha.com. Ngoài ra, bạn còn có thể tải về và sử dụng Wolfram Alpha như
add-ons trên trình duyệt hay gadget trên màn hình Desktop.
Slogan của Wolfram Alpha là bạn hãy nhập thứ mình muốn “biết hoặc tính toán” vào ô
tìm kiếm.
Wolfram Alpha có cơ sở dữ liệu đồ sộ, đã qua hơn hai năm phát triển, nhưng hiện
tại vẫn mang mác Alpha. Khác với những bộ máy tìm kiếm đã xuất hiện (Google, Bing,
Yahoo!,…), Wolfram Alpha sẽ cho ra kết quả tìm kiếm cụ thể ngay trên màn hình chứ

không phải là các đường dẫn đến trang web của hãng thứ ba. Đặc biệt hơn cả là “trí
thông minh nhân tạo” của Wolfram Alpha còn giúp giải những bài toán cao cấp, là giải
pháp hữu hiệu cho giáo viên, học sinh, sinh viên trong học tập.
5
II. Ứng dụng của Wolfram Alpha trong toán học.
Tính đến thời điểm hiện tại Wolfram Alpha có trong tay hơn 10 nghìn tỉ dữ liệu
khác nhau, hơn 50.000 thuật toán và mô hình tổ chức thông tin, và khả năng ngôn ngữ có
thể xử lý thông tin ở hơn 1.000 lĩnh vực khác nhau. Ngoài ra công cụ tìm kiếm này còn
được tích hợp ứng dụng điện toán nổi tiếng Mathematica mà Wolfram Research đã phát
triển trong hơn 20 năm qua.
Nhờ được vận hành trên nền tảng cơ sở siêu máy tính “bó” (cluster) nên Wolfram
Alpha còn tận dụng được hết năng lực của những công nghệ thế hệ web và điện toán song
song mới nhất như webMathematica hay gridMathematica.
Wolfram Alpha có hầu hết các chức năng tính toán cơ bản của các bộ môn toán từ
sơ cấp đến cao cấp. Wolfram Alpha còn có thể được coi là một công cụ chuyên thực hiện
nhiều phép toán phức tạp mà Google đôi lúc phải “bó tay”.
Tìm đáp án cho một bài toán đạo hàm, tích phân, giải phương trình hay vẽ đồ thị,
…thì Wolfram Alpha sẽ là công cụ không thể thiếu. Wolfram Alpha có thể nhận biết
phép toán bạn nhập vào, thông qua các ký tự, từ ngữ được quy ước trước. Theo đó, có thể
gõ những phép toán đơn giản như trên ứng dụng Microsoft Office Excel thường dùng: +,
-, *, /, sqrt(x) – tính căn x, sqr(x) – tính bình phương của x,… và cả các công thức lượng
giác, chẳng hạn sin(x), cos(2). Với các phép toán đơn giản, bạn sẽ nhận được ngay kết
quả ở dưới khung nhập liệu, bên cạnh đó còn kèm theo một số thông tin liên quan.
Điểm đặc biệt của công cụ thông minh này là có thể suy luận logic và tìm ra quy
luật của một dãy số.
Tất cả những gì người dùng cần làm chỉ là truy cập vào địa chỉ
www.wolframalpha.com để sử dụng các công cụ tính toán mà thôi.
Các chức năng chính:
- Equation Solving (Giải phương trình, hệ phương trình)
- Polynomials (Tính toán các tính chất của đa thức nhiều biến, phân tích đa thức

thành nhân tử)
- Rational Functions (Tính toán các tính chất của hàm hữu tỉ)
6
- Vectors (Thực hiện các phép toán trên vector như tính độ dài, chuẩn hóa vector,
tích có hướng, chuyển đổi giữa các hệ tọa độ)
- Matrices & Linear Algebra (thực hiện các phép toán về ma trận, tính vết, hạng,
ma trận nghịch đảo, vector riêng, giá trị riêng, định thức, các phép biến đổi tuyến tính )
- Finite Groups (tìm số nhóm hữu hạn với bậc cho trước, thông tin về một số nhóm
hữu hạn đặc biệt)
- Finite Fields (tính toán một số tính chất của trường hữu hạn).
Bảng tóm tắt các phép toán được sử dụng trong Wolfram Alpha.
7
III. Sử dụng Wolfram Alpha trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
1. Định nghĩa về hàm số qua việc sử dụng Wolfram Alpha.
Ở phổ thông, ta đã được học về khái niệm hàm số. Đó là: “Cho một tập hợp khác
rỗng D ⊂ ℝ . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D
với một và chỉ một số, kí hiệu f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi
là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f ”.
Wolfram Alpha sẽ cho ta một khái niệm chung và cơ bản nhất về hàm số. Vào
trang web www.wolframalpha.com, nhập “what is function?” ta sẽ có những khái niệm
liên quan đến hàm số.
8
(Toán học) Một hệ thức toán sao
cho mỗi phần tử của tập hợp đã cho
(miền xác định của hàm số) được
liên kết với một phần tử của tập
hợp khác (miền giá trị của hàm số).
Ở hình ảnh trên là những định nghĩa về hàm số mà Wolfram Alpha cung cấp cho
chúng ta. Ngoài khái niệm về lĩnh vực toán học, Wolfram Alpha cung cấp cho chúng ta
khái niệm về các lĩnh vực khác.

Wolfram Alpha cung cấp về cách phát âm, nguồn gốc, lịch sử,…. về khái niệm
của hàm số. Hình ảnh dưới đây sẽ cho ta thấy rõ đều đó.
9
10
Phát âm
Các hình thức biến đổi
Lịch sử tần số từ
Tổng tần số điển hình
Sự tách từ
Được biết đến đầu tiên
khi sử dụng ở Anh
Nguồn
2. Sử dụng Wolfram Alpha trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, ta tiến hành các bước sau đây:
B1: Tìm miền xác định của hàm số.
B2: Xét sự biến thiên của hàm số.
a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số.
Tìm các đường tiệm cận của hàm số.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của
hàm số (nếu có).
B3: Vẽ đồ thị của hàm số.
- Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)
- Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị.
Chúng ta sẽ tìm hiểu các bước trên qua việc sử dụng Wolfram Alpha.
2.1. Miền xác định của hàm số.
Đầu tiên, ta tìm hiểu định nghĩa về miền xác định của các hàm số thông qua
Wolfram Alpha.
11
Ví dụ 1: Tìm miền xác định của hàm số .

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com
B2: Nhập “domain ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:
Vậy hàm số xác định trên ℝ.
V í dụ 2: Tìm miền xác định của hàm số: .
12
(Toán học) Là tập hợp
các giá trị của biến độc
lập mà hàm số xác định
Vậy hàm số có miền xác định trong đoạn .
13
Ví dụ 3: Tìm miền xác định của hàm số .
Vậy hàm số có miền xác định là .
Ví dụ 4: Tìm miền xác định của hàm số .
Vậy miền xác định của hàm số là
14
2.2. Xét sự biến thiên của hàm số.
2.2.a. Miền giá trị của hàm số.
Ta sẽ thấy tính năng của Wolfram Alpha qua việc tìm miền giá trị của các hàm số
ở các ví dụ sau đây:
Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số .
B1: Vào trang web www.wolframalpha.com
B2: Nhập “range ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:
Vậy miền giá trị của hàm số là ℝ.
V í dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số:
Vậy hàm số có miền giá trị trong đoạn .
15
V í dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số: .
Vậy miền giá trị của hàm số trong nửa đoạn .
V í dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số: .
Vậy miền giá trị của hàm số trong nửa đoạn .

16
2.2.b. Giới hạn của hàm số tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có).
Để tìm giới hạn của hàm số, Wolfram Alpha sẽ chỉ rõ qua các ví dụ sau đây:
Ví dụ 1: Tìm giới hạn của hàm số
B1: Vào trang web www.wolframalpha.com
B2: Nhập “lim ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:
Vậy và
Ví dụ 2: Tìm giới hạn của hàm số
Vậy
và .
17
2.2.c . Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Chúng ta có thể tìm được đường tiệm cận của hàm số thông qua việc tìm giới hạn
của hàm số đó.
V í dụ 1: Tìm các đường tiệm cận của hàm số: .
B1: Vào trang web www.wolframalpha.com
B2: Nhập “asymptote ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:
Vậy hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang .
Ngoài ra, ở hình ảnh trên, Wolfram Alpha đã vẽ đồ thị chỉ rõ các đường tiệm cận,
với đường kẻ màu hồng chỉ đường tiệm cận đứng và đường kẻ màu vàng chỉ đường tiệm
cận ngang.
18
Wolfram Alpha cũng có thể tìm các đường tiệm cận thông qua việc tìm giới hạn
của hàm số đó.
Lấy ví dụ hàm số để tìm hiểu rõ điều này.
Đối với tiệm cận ngang, nhập “horizontal asymptote ”, ta sẽ có được kết quả như
hình dưới:
Đối với tiệm cận đứng, nhập “vertical asymptote ”, ta sẽ có được kết quả như hình
dưới:
V í dụ 2: Tìm các đường tiệm cận của hàm số: .

19
Vậy hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên .
Ở hình ảnh trên, thì đường kẻ màu hồng chỉ đường tiệm cận xiên và đường kẻ màu
vàng chỉ đường tiệm cận đứng.
Cũng có thể tìm đường tiệm cận xiên bằng cách nhập “oblique asymptote ” , hình
ảnh dưới đây cho ta thấy rõ kết quả:

2.2.d . Đạo hàm của hàm số.
Các bước để tìm đạo hàm của hàm số thông qua việc sử dụng Wolfram Alpha.
20
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số:
B1: Vào trang web www.wolframalpha.com
B2: Nhập “derivatives ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:
Vậy đạo hàm của hàm số là .
V í dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số:
Vậy đạo hàm của hàm số là .
21
V í dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số:
Vậy đạo hàm của hàm số là .
V í dụ 4: Tìm đạo hàm của hàm số:
Vậy đạo hàm của hàm số: là .
22
2.2.e . Cực trị của hàm số.
Dùng cực trị của hàm số để tìm max, min và chiều biến thiên của hàm số.
Wolfram Alpha sẽ cho ta thấy rõ kết quả đó.
V í dụ 1: Tìm cực trị của hàm số:
B1: Vào trang web www.wolframalpha.com
B2: Nhập “extrema ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:
Vậy hàm số đạt GTLN khi và đạt GTNN khi .
V í dụ 2: Tìm cực trị của hàm số:

Vậy hàm số đạt GTLN khi và đạt GTNN khi .
V í dụ 3: Tìm cực trị của hàm số: .
23
Vậy hàm số đạt GTNN khi và hàm số này không có GTLN.
V í dụ 4: Tìm cực trị của hàm số: .
Vậy hàm số không có cực trị.
24
2.3 . Đồ thị của hàm số.
Wolfram Alpha cho chúng ta hình ảnh về đồ thị hàm số một cách rõ ràng và chính
xác nhất. Các hàm số từ đơn giản đến phức tạp đều được Wolfram Alpha vẽ một cách chi
tiết, rất có ích trong việc tìm và khảo sát hàm số, tìm GTLN và GTNN, chiều biến thiên
của hàm số.
V í dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số: .
B1: Vào trang web www.wolframalpha.com
B2: Nhập “plot ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:
V í dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số:.
25