Đọc và tìm hiểu sách Discovering Advanced Algebra qua chương xác suất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
&
Đề tài:
Giảng viên bộ môn: Nhóm 5:
Nguyễn Đăng Minh Phúc Lê Thị Diệu Hoàng
Võ Thị Phương Thảo
Nguyễn Thị Mộng Cầm
Trần Thị Hòa
Lớp: Toán 3B
Huế, tháng 9 năm 2013
1
LỜI NÓI ĐẦU
Nhóm chúng tôi sẽ giới thiệu cho các bạn một cuốn sách Toán bằng Tiếng Anh về
chủ đề Đại số: Discovering Advanced Algebra (Khám phá Đại số cao cấp) và tập trung
phân tích chương 12 – Xác suất để chúng ta thấy được những cái hay, những tư tưởng
mới của các tác giả trong cuốn sách này so với sách giáo khoa ở chương trình phổ thông
của chúng ta.
Chương Xác suất gồm có 7 bài.Về mặt nội dung,lượng kiến thức mà sách cung cấp
cho học sinh có thể nói là tương đồng so với sách giáo khoa ở Việt Nam. Do vậy,chúng
tôi sẽ không đi vào phân tích cụ thể từng bài mà chỉ trình bày tổng quát các bài học và
đưa ra những nhận xét đối với phương pháp giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho học
sinh đã được áp dụng trong chương đó.
Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên.Sự ra
đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại
người Pháp là Pierre de Fermat(1601-1665) và Blaise Pascal (1623-1662) xung quanh
cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà một nhà quý tộc
Pháp đặt ra cho Pascal.Năm 1812, nhà toán học Pháp Pierre-Simon Laplace(1774) đã dự
báo rằng “môn khoa học bắt đầu tự việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở
thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người”.
Ngày nay lý thuyết xác

suất đã trở thành một ngành
toán học quan trọng,được
ứng dụng trong rất nhiều lĩnh
vực của khoa học tự nhiên,
khoa học xã hôi, công nghệ,
kinh tế, y học, sinh học,….
2
MỤC LỤC
3
A.GIỚI THIỆU CHUNG
I.Tác giả: Quyển sách này được biên soạn bởi 3 tác giả chính:
Theo các tác giả, cuộc sống luôn đặt ra những tình
huống quan trọng mà các bạn phải học cách để giải
quyết nó, các bạn phải học cách đưa ra quyết định giải
quyết tình huống trong đời sống thực chứ không chỉ dựa
trên sách vở. Giáo viên chỉ là người hướng dẫn, còn lại
đòi hỏi tính chủ động sáng tạo của từng học sinh trong quá
trình học tập, nghiên cứu của mình.
II.Quyển sách: “Discovering Advanced Algebra”
Quyển sách này được sử dụng trong giảng dạy về
Đại số học. Nó đưa ra cho chúng ta một cách tiếp cận kiến
thức rất mới, rất tích cực và khác với cách tiếp cận truyền
thống trước khi nó chưa xuất hiện. Điều gì đã làm cho nó
trở nên khác biệt?
Discovering Advanced Algebra được thiết kế để bạn
có thể tham gia một cách tích cực vào quá trình học đại
số,trong quyển sách này bạn sẽ được học bằng cách vận
dụng.Bạn sẽ học cách sử dụng những kỹ thuật,công thức
tính toán và áp dụng chúng vào những cuộc khảo sát
trong thực tế .

Nhiều cuộc khảo sát sẽ được thực hiện theo những nhóm nhỏ,ở đó bạn sẽ phải xây
dựng các kế hoạch và tìm ra lời giải cùng với các thành viên khác trong nhóm.Những
khảo sát của bạn sẽ giúp bạn khám phá ra những công thức trong đại số.Ngoài ra, bạn
cũng sẽ được học về cách chứng minh,cách suy luận để bạn có thể giải thích tại sao
những phát hiện của bạn là đúng.
4
Quyển sách này sẽ giúp học sinh có được những giờ học vui vẻ, hào hứng và hiệu
quả.Trong sách sẽ có rất nhiều hình ảnh và các minh họa thú vị để tăng hứng thú học tập
cho học sinh.
Ngoài phần chính là nội dung kiến thức cần truyền đạt, sách còn có nhiều phần phụ
như là các ứng dụng thực tế,các phần mở rộng và các câu đố,qua đó sẽ giúp các bạn trau
dồi thêm kĩ năng suy luận và cả sự khéo léo.
Discovering Advanced Algebra hướng đến nhiều đối tượng sử dụng:học sinh,giáo
viên,phụ huynh.Nếu bạn là học sinh,chúng tôi tin rằng khi bạn trải qua khóa học theo
quyển sách này thì bạn sẽ thu được nhiều kiến thức cần thiết trong cuộc sống của bạn;
nếu bạn là một phụ huynh,bạn sẽ thích xem con bạn phát triển kiến thức toán học của
chúng theo phương thức hiện đại này;còn nếu bạn là giáo viên bạn sẽ thấy rằng quyển
sách này làm cho giờ học của bạn tích cực,sôi động và hiệu quả hơn.
III.Giới thiệu về chương 12 – XÁC SUẤT
Bây giờ chúng ta đi vào nội dung chính là đọc và tìm hiểu về chương 12 của cuốn
sách: “Probability” (Xác suất).
Chương này gồm 7 bài chính:
• 12.1:Randomness and Probability(Sự ngẫu nhiên và Xác suất)
Giới thiệu về nguồn gốc ra đời của xác suất, cách thức mà các nhà khoa học thời đó
thấy được sự cần thiết phải sáng tạo ra xác suất để đáp ứng các trò chơi ngẫu nhiên và tác
giả đã đưa ra các ví dụ để dẫn dắt chúng ta đến với các công thức tính xác xuất cơ bản.
• 12.2:Counting Outcomes and Tree Diagrams(Quy tắc đếm và Sơ đồ cây)
Trình bày cho chúng ta về cách tính xác suất bằng sơ đồ cây và tiếp theo là cung cấp
cho chúng ta một công cụ để tính xác suất nữa là quy tắc nhân các biến độc lập và quy tắc
nhân tổng quát cho các biến cố không độc lập.Ngoài ra trong phần này tác giả còn giới

thiệu cho chúng ta về luật số lớn.
• 12.3:Mutually Exclusive Events and Venn Diagrams(Biến cố xung khắc và Biểu đồ
Venn)
Đưa ra định nghĩa về biến cố xung khắc và giới thiệu một công thức mới là quy tắc
cộng các biến độc lập và quy tắc cộng tổng quát.Ngoài ra trong bài này tác giả còn giới
thiệu cho chúng ta cách tính xác suất bằng biểu đồ Venn quen thuộc.
5
• 12.4:Random Variables and Expected Value (Các biến ngẫu nhiên và Giá trị kỳ
vọng)
Thông qua hoạt động gieo súc sắc tác giả giới thiệu cho bạn đọc về định nghĩa của
biến ngẫu nhiên và cách tính giá trị kỳ vọng.
• 12.5:Permutations and Probability (Hoán vị và Xác suất)
Tác giả đã đã đưa ra những ví dụ về trình tự và cách thức sắp xếp để từ đó tìm ra các
công thức hoán vị và quy tắc đếm để tính xác suất.
• 12.6:Combinations and Probability (Tổ hợp và Xác suất)
Bên cạnh định nghĩa về hoán vị đã được trình bày ở chương trước,trong chương này
bạn đọc sẽ được tìm hiểu thêm về tổ hợp và công thức liên quan đến tổ hợp.
• 12.7:The Binomial Theorem and Pascal’s Triangle (Định lý Nhị thức và Tam giác
Pascal)
Giới thiệu cho học sinh một số công cụ tính liên quan đến xác suất đó là tam giác
pascal và định lý nhị thức.
Cuối chương là phần Ôn tập chương 12 đưa ra các bài tập tổng hợp kiến thức trong
toàn bộ chương.
6
B.NỘI DUNG
I.CÁCH TIẾP CẬN CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA SÁCH
1.Sự ngẫu nhiên và Xác suất
Thông qua điều tra tung đồng xu,bạn sẽ khám phá
những khả năng dự đoán kết quả ngẫu nhiên.Bạn sẽ sử
dụng một quá trình ngẫu nhiên quen thuộc đó là các lần

tung của một đồng xu.
Bên cạnh đó chúng ta có thể sử dụng máy đo số lần
xuất hiện các chấm một cách ngẫu nhiên của hai con súc
sắc sao cho có tổng hai mặt là 6 chấm để tính xác suất.

Ngoài ra bạn có thể xác định xác suất lý thuyết của một biến cố, mà không cần tiến
hành thử nghiệm.Để tìm xác suất lý thuyết, bạn đếm số lần biến cố mong muốn có thể
xảy ra và so sánh con số này với tổng số các kết quả có khả năng xảy ra.
Xác suất thử nghiệm:
Nếu P(E) đại diện cho xác suất của một biến cố,thì:
Xác suất lý thuyết:
Nếu P(E) đại diện cho xác suất của một biến cố thì:
Phần này cho ta thấy tác giả không chỉ đưa ra công thức tính đơn thuần, mà tác giả
lại trình bày các điều tra và ví dụ quen thuộc như tung đồng xu hay gieo súc sắc để dẫn
dắt ta đến với công thức.Cách tiếp cận này giúp học sinh hiểu rõ hơn về bản chất của
xác suất chứ không phải là áp đặt công thức.Nhưng trong sách giáo khoa 11 lại đưa ra
các định nghĩa và ký hiệu cụ thể làm cho công thức dễ nhớ hơn.
2.Quy tắc đếm và Sơ đồ cây
Trong phần trên, bạn đã xác định một số lý thuyết xác xuất bằng cách tìm các tỷ lệ
về số lượng các kết quả mong muốn và số kết quả có thể xảy ra.Trong một số trường hợp
sẽ khó khăn để đếm số lượng các kết quả.Bạn có thể thực hiện điều này dễ dàng hơn bằng
cách tổ chức thông tin và sử dụng sơ đồ cây.
7
Ví dụ : Một quảng cáo quốc gia cho biết, mỗi hộp ngũ cốc lúa mạch có chứa một
món đồ chơi và đồ chơi được phân bổ đồng đều.Nga muốn thu thập một bộ đầy đủ các đồ
chơi khác nhau từ các hộp ngũ cốc.Vậy xác suất để cô sẽ tìm thấy cả hai đồ chơi khác
nhau trong hai hộp đầu tiên là bao nhiêu?
Giải thích:Trong sơ đồ cây này, nhánh đầu tiên
đại diện cho khả năng hộp đầu tiên có đồ chơi và
nhánh thứ hai đại diện cho hộp thứ hai.Như vậy, bốn

con đường từ trái sang phải đại diện cho tất cả các
khả năng lựa hai hộp và hai đồ chơi.Đường 2 và
đường 3 chứa cả 2 đồ chơi.Nếu quảng cáo là chính
xác về phân phối đồ chơi bằng nhau,do đó các con
đường đều có khả năng.Vì vậy, xác suất nhận được cả
hai đồ chơi là 0,5
Từ đó ta có quy tắc nhân:
Quy tắc phép nhân cho các biến cố độc lập
Nếu n
1
,n
2
,n
3
và…,là các biến cố cùng một con đường,sau đó xác
suất mà các biến cố sẽ xảy ra có thể được tìm thấy bằng cách nhân
xác suất của các biến:
Có các sự kiện mà không phải là độc lập.Nếu vậy,làm thế nào để bạn tính toán xác
suất lý thuyết của nó?
Để giải quyết câu hỏi này tác giả đã đưa ra công thức:
Quy tắc nhân (một lần nữa)
Nếu n
1
,n
2
,n
3
và…,, đại diện cho các sự kiện cùng một con
đường, sau đó xác suất mà chuỗi sự kiện sẽ xảy ra có thể được tìm
thấy bằng cách nhân xác suất của các sự kiện:

Đây là điểm khác của sách Discovering Advanced Algebra với sách giáo khoa lớp
11.Trong sách giáo khoa chỉ đưa ra công thức phép nhân cho trường hợp đặc biệt còn
đối với sách này tác giả đã mở rộng thêm cho chúng ta quy tắc nhân tổng quát.
8
3.Biến cố xung khắc và biểu đồ Venn
Hai kết quả hay biến cố không đồng thời xảy ra được gọi là hai biến cố xung khắc.
Bạn đã làm việc với lý thuyết xác suất và các biến cố xung khắc khi bạn cộng các
xác suất khác nhau.
Sơ đồ cây cho phép biểu diễn chuỗi các biến cố phụ thuộc vào trình tự của các biến
cố độc lập,tuy nhiên có một công cụ khác giúp người học có cái nhìn trực quan hơn đó là
sơ đồ Venn,bao gồm các vòng tròn chồng chéo lên nhau.
Ví dụ: Melissa đã ghi lại xác suất của các sự kiện liên
quan đến:
i. Dây đàn guitar của cô ấy bị đứt trong suốt thời gian
diễn tập (sự kiện B).
ii. Một bài kiểm tra nhanh trong toán học (sự kiện Q).
iii. Đội của cô bị thua trong lớp thể dục (sự kiện L).
Mặc dù ba sự kiện trên không xung khắc,nhưng chúng
có thể được chia thành 8 sự kiện xung khắc. Những sự kiện
và xác suất của nó được thể hiện trong sơ đồ Venn.
Nói chung, xác suất mà một trong một tập hợp các biến cố độc lập của cả hai bên sẽ
xuất hiện là tổng của các xác suất của các biến cố:
Quy tắc cộng biến cố xung khắc
Nếu n
1
,n
2
,n
3
, là những biến cố xung khắc,thì xác suất mà các

biến cố xung khắc là tổng các xác suất của các biến cố độc lập:
Ngoài ra tác giả còn cung cấp cho chúng ta công thức tổng quát của quy tắc cộng
cho phép bạn tìm xác suất của một "hay" hai biến cố,ngay cả khi hai biến cố này không
xung khắc:
Quy tắc cộng tổng quát
Nếu n
1,
n
2
là đại diện cho biến cố 1 và 2, sau đó xác suất có ít
nhất một biến cố sẽ xảy ra có thể được tính bằng cách cộng các xác
suất của mỗi biến và trừ xác suất của cả hai sẽ xảy ra:
9
Ví dụ: Xác suất mà một con xúc xắc được mặt
3 hoặc 6 là . Xác suất mà một xúc xắc được mặt 3
hoặc 6 trong lần gieo đầu tiên hoặc lần hai là bao
nhiêu?
Giải: Gọi F biểu diễn cho mặt 3 hay 6 trong lần
gieo đầu tiên,không kể những gì xảy ra lần gieo thứ
hai.Gọi S biểu diễn cho mặt 3 hay 6 trong lần gieo thứ hai,không kể những gì xảy ra
trong lần gieo đầu tiên. Chú ý rằng cả F và S bao gồm các khả năng nhận được mặt 3 hay
6 trong cả hai lần gieo,điều đó được biểu diễn bởi hai vòng tròn chồng chéo trong biểu đồ
Venn.Ta áp dụng quy tắc cộng tổng quát
P (F hay S) = P (F) + P (S) - P (F và S)
P (F hay S) = P (F) + P (S) - P (F) . P(S)
P (F hay S) =
P (F hay S) =
Xác suất được mặt 3 hay 6 trong danh sách đầu tiên hoặc thứ hai là .
Trong sách Discovering Advanced Algebra đã trình bày cho chúng ta cả hai công
thức cộng nhưng trong sách giao khoa 11 thì công thức cộng tổng quát chỉ được đưa vào

phần đọc thêm.
4.Các biến ngẫu nhiên và giá trị kỳ vọng
Ví dụ: Khi hai con súc sắc được gieo cùng một lúc, tổng
các kết quả khác nhau.
a. Các giá trị có thể có của các biến ngẫu nhiên, xác suất
và những gì có liên quan đến những giá trị đó là gì?
b. Giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên này là gì?
Giải:
Biến ngẫu nhiên x có giá trị của nó như tất cả các kết quả có thể của hai con súc sắc.
a.Các giá trị của x là các số nguyên sao cho 2 x 12. Bảng này cho thấy mỗi giá trị và
khả năng của nó(tính toán bằng cách đếm số lượng các kết quả)
10
b.Giá trị kỳ vọng của x là lý thuyết trung bình mà bạn mong muốn có sau khi gieo
của con súc sắc.Trực giác của bạn có thể cho bạn biết rằng giá trị dự kiến là 7.Một cách
để tìm kiếm số trung bình này là tổng các kết quả có thể xảy ra là 36,vì vậy mọi kết quả
có thể xảy ra đúng một lần.Trung bình của các giá trị là:
Nếu bạn phân phối các số trong bảng trên tương ứng với các số trong tử số của phân
số trên,và nhóm lại tạo ra kết quả sau:
Lưu ý rằng mỗi hạn trong biểu thức này là tương đương với các sản phẩm của một
giá trị của x và xác suất tương ứng, P (x), trong bảng trên.
Thông qua ví dụ trên tác giả đã đưa ra định nghĩa về giá trị kỳ vọng:
Giá trị kỳ vọng:
Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên là một giá trị trung bình được tính bằng
cách nhân giá trị của biến cố với giá trị xác suất của mỗi biến cố và sau đó tổng
hợp tất cả các kết quả lại.Nếu P(x) là xác suất của một biến cố với một giá trị của
x,thì giá trị kỳ vọng E(x) được tính như sau:
Ngay cả khi một biến ngẫu nhiên là rời rạc, giá trị kỳ vọng của nó có thể không phải
là một số nguyên
Sách Discovering Advanced Algebra đã giới thiệu một chách cụ thể về giá trị kỳ
vọng trong khi ở phổ thông phần này chỉ được học trong chương trình nâng cao.

5.Hoán vị và xác suất
Thông qua trò chơi ghép các đồ chơi vào các mẫu
giấy sao cho phù hợp và những ví dụ thực tế,tác giả đã
dẫn dắt chúng ta đến với quy tắc đếm như sau:
Nguyên tắc đếm:
Giả sử có n
1
cách để thực hiện lựa chọn thứ
nhất,n
2
cách để thực hiện lựa chọn thứ hai,n
3
cách để thực hiện lựa chọn thứ ba,và Sản phẩm
là số lượng các kết quả có thể xảy ra.
Nguyên tắc đếm cung cấp một phương pháp nhanh chóng để tính số lượng kết quả
bằng cách sử dụng phép nhân.
11
Ví dụ : Giả sử một tập hợp các tấm giấy phép có bất kỳ ba chữ cái từ bảng chữ cái,
tiếp theo là ba chữ số bất kỳ.
12
a. Có bao nhiêu tấm giấy phép khác nhau?
b. Xác suất một tấm giấy phép không có chữ
hoặc số lặp đi lặp lại là gì?
Giải: Để hiểu rõ hơn vấn đề,chúng ta đưa bài
toán trở thành bài toán điền vào các khe trống.
a.Có 26 chữ cái có thể chọn cho một trong ba khe
đầu tiên và 10 chữ số có thể chọn cho một trong ba
khe cuối cùng. Hãy nhớ rằng chữ cái và chữ số có thể
lặp lại. Bằng cách sử dụng nguyên tắc đếm, bạn có thể
nhân các số có khả năng:

26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 = 17.576.000.Có 17.576.000 tấm giấy phép có thể.
b.Một khi khe đầu tiên được chọn, chỉ có 25 cách lựa chọn các khe thứ hai để tránh
lặp lại. Mô hình này tiếp tục cho khe thứ ba và các chữ số. Điền vào các khe ta có sản
phẩm: 26 · 25 · 24 · 10 · 9 · 8 = 11.232.000.
Xác suất một tấm giấy phép sẽ là một trong những thỏa thuận của con số này chia
cho tổng số cá
c kết quả có thể:
9.63
17576000
11232000
≈
Điều này có nghĩa là khoảng 63,9% tấm giấy phép sẽ không lặp đi lặp lại chữ hoặc
số.
Một sự sắp xếp của một số hoặc tất cả các đối tượng từ một tập hợp, mà không cần
thay thế, được gọi là một “hoán vị”.
Hoán vị:
Một hoán vị là một sự sắp xếp của một số hoặc tất cả các đối tượng từ một tập
hợp.Số lượng hoán vị của n đối tượng đã chọn r (rn)tại một thời điểm là:
Tuy nhiên,trong sách giáo khoa 11,phần này có tên là “Chỉnh hợp”,ký hiệu là: ,
đọc là chỉnh hợp chập k của n phần tử.
6.Tổ hợp và xác suất:
Ví dụ: Tại cuộc họp đầu tiên của Câu lạc bộ quốc
tế, các thành viên làm quen bằng cách giới thiệu bản
thân và bắt tay. Mỗi thành viên bắt tay với tất cả các
thành viên khác đúng một lần.Bao nhiêu cái bắt tay
là có ở từng tình huống được liệt kê dưới đây?
a. Ba người gặp nhau.
b. Bốn người gặp nhau.
c. Năm người gặp nhau.
d. Mười lăm người gặp nhau.

13
Giải :
Các điểm (đỉnh) của các hình trên có thể đại diện cho ba,bốn,năm người ở một căn
phòng,và các đường (cạnh) có thể đại diện cho những cái bắt tay.Các biểu đồ trên cho
thấy có 3 cái bắt tay giữa 3 người,6 cái bắt tay giữa 4 người và 10 cái bắt tay giữa 5
người.Bạn có thể tìm thấy số lượng bắt tay bằng cách đếm cạnh,nhưng khi bạn thêm
nhiều người vào nhóm,nó sẽ trở nên khó khăn hơn về công việc đếm.Vì vậy,ta cần đi tìm
cách để xác định số lượng của cái bắt tay giữa 15 người.
Bốn cạnh tại mỗi đỉnh trong sơ đồ bắt tay năm người có thể có cạnh.Tuy nhiên, nếu
bạn sử dụng phương pháp này để tính các cạnh,ví dụ như một cạnh sẽ được tính tại đỉnh
D và một lần nữa ở đỉnh B.Bởi vì cũng giống như, bạn đang đếm hai lần mỗi cạnh trong
tổng số thực tế.Số lượng các khả năng có thể xảy ra bằng một nửa số cạnh đã đếm.Do đó,
nếu 15 người đang ở trong phòng thì có , hoặc 105 cái bắt tay.
Bạn có thể nghĩ mỗi cái bắt tay như a cặp đôi của hai trong số những người trong
phòng, hoặc hai trong số các đỉnh Khi bạn đếm các đối tượng mà không phân biệt thứ tự
có nghĩa bạn đang tính tổ hợp.
Số kết hợp của 5 người lấy 2 tại một thời điểm được tính là C.(Ký hiệu C có thể
được đọc như “Năm chọn hai”) Mặc dù có P,hoặc 20, hoán vị của 5 lấy 2 tại một thời
điểm,bạn chỉ có một nửa số tổ hợp:
C=
Bạn có thể tính được số lượng bắt tay ở Ví dụ A theo cách tương tự:
C=
Qua bài này tác giả đã rút ra cho bạn đọc công thức tính tổ hợp cụ thể như sau:
Tổ hợp
Một tổ hợp là một nhóm của một số hoặc tất cả các đối tượng từ một tập hợp
mà không quan tâm đến thứ tự.Tổ hợp chập r (của n đối tượng là:
14
7.Nhị thức Newton và Tam giác Pascal:
Xác suất là một phần của toán học, nó là các số liệu phong
phú.Nhiều quá trình ngẫu nhiên, chẳng hạn như tung đồng xu trong

đó có hai kết quả xảy ra.Trong bài học này, bạn sẽ tìm hiểu về cách
sử dụng định lý nhị thức và tam giác Pascal để tìm xác suất trong
những trường hợp đó.
Hình bên là tam giác Pascal.Nó chứa nhiều hàng khác nhau
đã được nghiên cứu trong nhiều thế kỷ.Tác giả đã trình bày một
cách chi tiết về việc thiết lập nên tam giác Pascal.
Tam giác Pascal có thể cung cấp một phím tắt cho việc khai
triển một nhị thức.Việc khai triển của một nhị thức có số bậc tăng
dần là sự thể hiện số bậc của một đa thức duy nhất.
Ví dụ,khai triển:
Lưu ý rằng các hệ số của khai triển này là những con số trong
hàng thứ tư của tam giác Pascal.Vậy tại sao các số trong tam giác
Pascal bằng các hệ số của nhị thức mở rộng? Hãy nhớ rằng những
con số trong tam giác Pascal là giá trị của .Vì vậy, câu hỏi cũng có thể được hỏi, tại sao
các hệ số của nhị thức mở rộng tương đương với giá trị của ?
Ví dụ: Khai triển .Liên quan đến các hệ số trong khai triển tổ hợp.
Giải: Bạn có thể viết:
(dựa vào tam giác Pascal).
Chú ý rằng: Nếu H đại diện cho tung được mặt ngửa,và T là tung được mặt sấp, kết
quả này hiển thị tất cả các kết quả có được khi tung một đồng xu ba lần. Biểu thức này
cho ta thấy những kết quả có thể là: 1 kết quả cho 3 mặt ngửa , 3 kết quả của 2 ngửa và 1
sấp, 3 kết quả cho 1 ngửa và 2 sấp và 1 kết quả cho 3 sấp. Bạn cũng có thể biểu diễn như
những tổ hợp
Ngoài ra bạn có thể sử dụng công thức khai triển nhị thức sau để đại diện cho kết quả của
các quá trình ngẫu nhiên với hai kết quả có thể:
Định lý Nhị thức Newton:
Nếu một nhị thức có số bậc là số nguyên n,thì các hệ số khai triển là
những tổ hợp từ đến ,được biểu diễn như sau:
hoặc
15

Khi bạn tung một đồng xu công bằng, kết quả H và T đều có khả năng.Nhưng bạn
có thể sử dụng khai triển nhị thức để tìm xác suất của kết quả mà không phải là đều có
khả năng.
II.SO SÁNH
• Tác giả trình bày nguồn gốc và nêu bản chất của môn học trước khi bắt đầu môn
học
Việc trình bày nguồn gốc và nêu bản chất của môn học giúp cho học sinh có cái
nhìn ban đầu về lĩnh vực mà mình sắp tiếp cận, tạo hứng thú và định hướng cho học sinh
trong các bài học tiếp theo, giúp học sinh khỏi bỡ ngỡ và tiếp thu kiến thức mới nhẹ
nhàng hơn.
So với sách Toán 11, ta thấy sách giáo khoa của ta chưa có được phần giới thiệu mở
đầu như Discovering Advanced Algebra, nhiều học sinh sẽ cảm thấy hơi bỡ ngỡ khi tiếp
cận một khái niệm mới của Toán học mà chưa hiểu vì sao người ta lại đưa ra khái niệm
đó.
• Bài học luôn hướng đến ứng dụng thực tế.
Xuyên suốt cuốn sách chúng ta thấy rõ tư tưởng của tác giả là luôn muốn mọi kiến
thức đưa ra đều ứng dụng vào thực tế.Điều này thể hiện trong suốt cả 7 bài.
Không chỉ hướng đến ứng dụng thực tế trong nội dung bài học, mà trong cả phần
bài tập, tác giả cũng đưa vào rất nhiều những ví dụ bài toán thực tế thú vị.
Việc thường xuyên lồng những bài toán thực tiễn vào bài học và bài tập cho thấy tư
tưởng của tác giả luôn muốn học sinh rèn luyện và phát triển khả năng nhạy bén về tư
duy, vận dụng tất cả những lý thuyết đã học vào thực tiễn cuộc sống. Đây là một hướng
dạy học đúng đắn của tác giả đáng để học hỏi.
Trong sách giáo khoa Toán 11 đã được học ta cũng thấy nhiều ví dụ ứng dụng thực
tế được đưa ra, nhưng có vẻ như trong sách Discovering Advanced Algebra, tác giả đưa
ra một lượng ví dụ đa dạng và thực tế hơn.
• Tác giả luôn có xu hướng hướng dẫn, khơi gợi cho học sinh tìm ra cái mới.
Khi trình bày một công thức mới, tác giả không đi theo hướng giảng giải, tức là tác
giả không trình bày công thức rồi ứng dụng công thức, mà lại tiếp cận công thức theo
hướng gợi mở, tức là bằng các điều tra, các ví dụ được đưa ra và một số hướng dẫn nhỏ,

học sinh có thể vận dụng tư duy để tìm ra công thức đó.
Điều này có tác dụng tích cực đến việc rèn luyện khả năng độc lập tư duy của học
sinh, và mỗi khi học sinh tự tìm ra được công thức mới thì học sinh đó sẽ hiểu rõ và ghi
nhớ tốt hơn bài học, và còn học thêm được cách tìm tòi để tìm ra được các công thức
tương tự như thế, nâng cao trình độ tư duy về toán. Phương pháp trình bày này cũng có
thể tìm thấy trong sách giáo khoa của chúng ta.
• Nhiều phần đọc thêm, ngoại khóa vô cùng hữu ích và lý thú
Ngoài phần nội dung bài học và bài tập, tác giả còn đưa thêm rất nhiều phần kiến
thức đọc thêm, những câu đố vui, những dự án cho học sinh tự làm, những kiến thức
nâng cao bổ sung cho bài học.
Ngoài chương trình được học trên lớp, việc tác giả đưa thêm nhiều phần nghiên cứu, dự
án, những câu đố vui giúp cho học sinh không chỉ học tốt bài trên lớp mà còn rèn luyện
được cho học sinh nhiều kỹ năng khác trong cuộc sống, giúp cho giờ học càm thấy nhẹ
nhàng và thực tế hơn.
16
Đối chiếu với sách giáo khoa của chúng ta thì sách Discovering Advanced Algebra
trội hơn về phần này. Một bài học của sách giáo khoa Toán 11 thiên về thể hiện nội dung
chính của bài hơn, chỉ có một số ít bài có phần đọc thêm. Ngược lại sách Discovering
Advanced Algebra lại đưa vào nhiều những phần này nhằm giúp học sinh rèn luyện thêm
nhiều kỹ năng nhỏ khác trong giờ toán ngoài việc rèn luyện kỹ năng về làm toán.
17
C.BÀI TẬP
1. Sly hỏi Andy chơi một trò chơi với anh ta. Họ lăn một con xúc sắc. Nếu Tổng số lớn
hơn 7, Andy được 5 điểm. Nếu tổng số ít hơn 8, Sly được 4 điểm.
a. Tìm một người bạn và chơi trò chơi mười lần. Ghi lại những điểm
số cuối cùng.
b. Xác suất thực nghiệm rằng Andy sẽ có một điểm số cao hơn sau
khi mười trò chơi là bao nhiêu?
2. Bên phải là hai bánh xe màu. Hình A thể hiện sự pha trộn của ánh
sáng, và hình B là sự pha trộn của các sắc tố.

Sử dụng hình A,màu sắc nào được tạo ra khi:
a. Ánh sáng màu đỏ và màu xanh lá cây
được trộn với nhau?
b. Ánh sáng màu xanh và màu xanh lá cây
được trộn với nhau?
c. Ánh sáng màu đỏ, xanh lá cây, và màu
xanh được trộn với nhau?
Sử dụng hình B,màu nào được tạo ra khi:
d. Màu đỏ tươi và màu lục lam được trộn
với nhau?
e. Màu vàng và màu lục lam được trộn với
nhau?
f. Màu đỏ tươi, màu lục lam, và màu vàng được trộn với nhau?
3. Nina đã quan sát thấy rằng huấn luyện viên của mình phối hợp màu sắc của vớ không
theo một quy tắc nào. Đoán rằng màu sắc là một lựa chọn ngẫu nhiên, cô ghi lại những
dữ liệu trong thời gian ba tuần quan sát: đen, trắng, đen, trắng, đen, trắng, đen, đỏ, trắng,
đỏ, trắng, trắng, trắng, đen, đen
a. Xác suất mà ông sẽ mang vớ đen vào ngày hôm sau là bao nhiêu?
b. Xác suất mà ông sẽ đi tất trắng vào ngày hôm sau là bao nhiêu?
c. Xác suất mà ông sẽ mang vớ màu đỏ vào ngày hôm sau là bao nhiêu?
18
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Jerald Murdock,Ellen Kamischke, Eric Kamischke, “Discovering Geometry”, 2004,
Key Curriculum Press
2. Nguyễn Huy Đoan(chủ biên), “Đại số và Giải tích11, nâng cao”, 2010, NXB Giáo
dục,tái bản lần thứ 3.
3. Vũ Tuấn(chủ biên), “Đại số và Giải tích11, cơ bản”, 2010, NXB Giáo dục,tái bản lần
thứ 3.
4. Đào Hữu Hồ, “Xác suất và Thống kê”,1999,NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,tái bản
lần thứ 5 có sữa chửa và bổ sung.

5.Trang web: , , …
E. GIỚI THIÊU CHUNG VỀ CÔNG VIỆC CỦA NHÓM
• Trong suốt tuần qua nhóm đã phân công dịch sách và đánh máy.
• Tất cả các thành viên trong nhóm đều tích cực hoàn thành tốt công việc của mình.
• Các thành viên đã hỗ trợ nhau để thực hiện tốt công việc của mình.
• Nhóm đã có sự phân công trong việc tìm tài liệu, các bạn có máy sẽ chịu trách nhiệm tìm
kiếm tài liệu trên mạng còn những bạn không có máy sẽ tìm hiểu tham khảo các tài liệu
trên mạng.
• Nhóm đã tích cực tham khảo bài làm của các anh chị năm trước để học hỏi kinh nghiệm.