Lí thuyết về tỉ lệ thức và sự biến thiên trong Discovering Algebra

Trường Đại Học Sư Phạm
Khoa Toán

BÁO CÁO
Đề tài: LÍ THUYẾT VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ SỰ BIẾN
THIÊN TRONG DISCOVERING ALGEBRA
Thực hiện: Nguyễn Thành Thái
Nguyễn Thị Như Ngọc
Lê Thị Thanh Tuyền
Lê Mây Thu
Lớp: Toán 3B
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc
Huế, tháng 09 năm 2013
1
Để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh, tài liệu tham khảo cho giáo viên
liên quan đến môn đại số, chúng tôi đã mạnh dạn dịch chương 2 trong sách
“Discovering Algebra” và viết nên cuốn sách này. Trong quá trình biên soạn,
chúng tôi đã phân chia mỗi bài học gồm 5 nội dung chính tương ứng với
cuốn sách gốc, bao gồm:
• Các ví dụ.
• Sự khảo sát.
• Bài tập
• Suy luận và áp dụng
• Bài tập ôn tập.
Trong mỗi ví dụ đều có phương pháp giải cụ thể và hình ảnh minh họa.
Phần khảo sát tạo điều kiện các em học sinh tự kiểm tra, đánh giá mức độ
nắm vững kiến thức của bản thân. Ngoài ra, cuối mỗi bài lại có nhiều bài
tập. Trong phần này, các em học sinh sẽ được củng cố kiến thức toán học cơ
bản, được rèn luyện kĩ năng theo chuẩn kiến thức trong chương trình giáo
dục phổ thông. Bên cạnh đó, chúng tôi chú ý chỉnh sửa cách diễn đạt ở một
số chỗ cho thích hợp và dễ hiểu hơn.

Chúng tôi hi vọng rằng với việc dịch chương 2 trong cuốn sách
“Discovering Algebra” góp phần tích cực hơn nữa trong việc cung cấp các
tài liệu bổ ích cho các thầy cô giáo để làm tư liệu, giúp các em học sinh tự
học, rèn luyện kĩ năng giải toán, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức và
góp phần rèn luyện tư duy toán học.
2
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song cuốn sách này khó tránh khỏi những thiếu
sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các độc giả
để chúng tôi có thể hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn.Mục lục
3
Bìa của sách “Discovering Algebra”
“ Khám phá đại số” luôn là vấn đề rộng lớn cho những ai đam mê toán học
quan tâm. Đó cũng chính là ý nghĩa tựa đề của cuốn sách “Discovering
Algebra”. Nội dung cuốn sách này bao gồm những vấn đề cơ bản về đại số,
bước đầu giúp học sinh tiếp cận những kiến thức cơ bản và có cách nhìn sơ
lược về đại số.
Cuốn sách gồm 11 chương, được chia theo từng chủ đề cụ thể. Mỗi
chương được cơ cấu theo từng đơn vị bài học ( khoảng 7-8 bài học), trong
đó gồm lý thuyết, ví dụ và bài tập được biên soạn xen kẽ nhau. Cuối mỗi bài
học đều có bài tập cơ bản giúp các em rèn kỹ năng giải toán và nắm chắc
vấn đề đã được học, cùng với những 1-2 bài toán đố rèn luyện khả năng tư
duy cho học sinh. Trong quá trình biên soạn, tác giả không chỉ để cho học
sinh tiếp thụ kiến thức một cách độc lập mà còn tạo điều kiện cho các em tổ
chức làm nhóm. Một mặt giúp các em có thể đánh giá bản thân, mặt khác có
thể rút kinh nghiệm và học hỏi từ bạn bè. Ngoài ra, tác giả cũng khuyến
khích học sinh sử dụng các công cụ hỗ trợ cho quá trình tính toán như máy
tính, thiết bị thu thập dữ liệu, các phần mềm toán học như Sketchpad đế việc
học trở nên thuận tiện hơn.
Các bài học thường được dẫn dắt bằng cách nêu vấn đề. Từ đó, dựa trên
nguyên tắc tích cực và tự giác của người học sinh mà họ được hướng đích,

được gợi động cơ trong qua trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Cuối mỗi
chương là phần ôn tập, giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện tính linh
hoạt của tư duy, kỹ năng suy luận và ứng dụng đại số vào thực tế. Ngoài ra,
còn có một phần gọi là Activity Day ở gần cuối chương, trong phần này, các
học sinh sẽ được giao cho một hoặc một vài nhiệm vụ để làm nhóm hoặc cá
nhân. Đây cũng là cơ hội để học sinh ứng dụng những tri thức đã học vào
giải quyết các bài toán thực tế. Từ đó, giúp các em hiểu rõ mối quan hệ hai
chiều giữa lí thuyết và thực tiễn, giữa học và hành. Đặc biệt giúp học sinh tự
tạo động cơ và hứng thú học tâp, càng ý thức được việc học trên lớp.
Qua cuốn sách này, các tác giả muốn nhấn mạnh cho học sinh hiểu
rằng: tiếp thu tri thức khoa học cần có thực tiễn soi xét và kiểm chứng, ngay
cả toán học cũng thế. Bất kì lý thuyết toán học nào dù trực tiếp hay gián tiếp
nhất định phải phải tìm thấy ứng dụng trong thực tiễn. Việc kết hợp giữa
“học và hành” cũng là cách giúp các em hoàn thiện nhân cách của bản thân
mình.
4
Hình minh họa chương 2
Chương 2 trong sách “Discovering Algebra” có tựa đề là “Proportional
Reasoning and Variation” có nghĩa là “ Lí thuyết về tỉ lệ thức và sự biến
thiên”. Trong chương này, chúng ta sẽ:
• Sử dụng lí thuyết về tỉ lệ thức để hiểu được một số vấn đề.
• Tìm hiểu tỉ lệ là gì và sử dụng chúng để dự đoán kết quả.
• Nghiên cứu về các đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch.
• Sử dụng các phương trình và đồ thị để biểu diễn cho sự biến thiên.
• Giải các bài toán thực tế liên quan đến sự biến thiên.
• Ôn lại các quy tắc về thứ tự các phép toán.
• Mô tả các thuật toán tìm số bằng cách sử dụng các biểu thức đại số.
• Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi ngược.
Chương 2 có 8 bài với 8 nội dung cụ thể. Tuy nhiên, tài liệu chương này
trong sách “Discovering Algebra” thiếu mất bài số 2. Vì vậy chúng tôi chỉ

trình bày 7 bài còn lại. Trong mỗi bài gồm 2 phần chủ yếu là lý thuyết và bài
tập( cụ thể được chia ra 5 phần: một số ví dụ , khảo sát một bài toán thực tế,
5
các bài tập tự giải, áp dụng và ôn tập.). Phần lý thuyết được trình bày một
cách logic giúp học sinh dễ dàng nắm bắt những kiến thức cơ bản, đồng thời
luyện tập khả năng vận dụng vào giải các bài toán thực tế. Một số nội dung
của chương 2 tương ứng với phần đại số trong chương trình sách giáo khoa
toán lớp 7 hiện nay. Tuy nhiên vẫn có một số điểm giống nhau và khác nhau
mà chúng tôi sẽ đề cập ở cuối phần báo cáo.
Khi nói, “Tôi đã có 21 trong số 24 câu hỏi chính xác trong bài kiểm tra cuối
cùng,” nghĩa là ta đang so sánh hai số.Tỉ lệ các câu hỏi chính xác so với tổng
số câu hỏi là
21
24
. Ta có thể viết tỉ số 21:24, hoặc như một phân số, 21/24,
cũng có thể như số thập phân, 0,875. Dấu gạch ngang phân số nghĩa
làphépchia, do đó các biểu diễn đó là tương đương nhau.
Ví dụ A: Viết tỉ lệ 210:230 theo nhiều cách.
Lời giải:
210
330
hoặc
7
11
210:330 hoặc 7:11
Để chuyển từ một phân số nói chung sang một số
thập phân, ta chia tử số cho mẫu số.
Khi chia 21 cho 24, các chữ số thập phân của
thương chỉ hữu hạn (hay kết thúc).Tỉ lệ
21

24
đúng
6
bằng 0,875. Nhưng khi chia 210 cho 330 hoặc 7 chia 11, ta thấy một phần
thập phân lặp đi lặp lại, chẳng hạn như 0,636363 Ta có thể sử dụng một dấu
gạch ngang trên các con số mà lặp đi lặp lại đó để biễu diễn phần thập phân
tuần hoàn,
7
11
= 0,
63
.
Tỉ lệ thức là một biểu thức biểu thị hai tỉ lệ bằng nhau. Ví dụ,
2
3
bằng
8
12
là
một tỉ lệ thức. Ta có thể sử dụng các số 2, 3, 8, và 12 để viết những tỉ lệ
đúng:
2
3
=
8
12
3 12
2 8
=
3 12

12 8
=
12 8
3 2
=
Bạn có đồng ý rằng tất cả các biểu thức trên là đúng không? Một cách để
kiểm tra xem một tỉ lệ có đúng hay không là tìm số thập phân tương đương
với mỗi vế. Nói rằng
3
8
=
2
12
là không đúng vì 0,375 không bằng 0,
16
.
Trong đại số, một biến có thể đại diện cho một số chưa biết hoặc một tập
hợp số. Trong tỉ lệ thức
2
3
=
6
m
, ta có thể thay chữ cái m bằng bất kì số nào,
nhưng chỉ có một số sẽ làm cho tỉ lệ thức đúng. Số đó là chưa biết cho đến
khi tỉ lệ thức được giải.
Khảo sát
Giải quyết bài toán bằng phép nhân.
Có thể dễ dàng đoán giá trị của M trong tỉ lệ
2

3
=
6
M
. Trong tính toán này ta
sẽ xem xét cách thức giải một tỉ lệ thức để tìm số chưa biết khi việc dự đoán
là không dễ dàng. Thật khó để đoán giá trị của M trong tỉ lệ thức
19
M
=
56
133
Bước 1: Nhân cả hai vế của tỉ lệ thức
19
M
=
56
133
với 19. Tại sao ta cần làm
điều này? M bằng mấy?
Bước 2: Đối với mỗi biểu thức, chọn một số nhân cả
tỉ lệ để giải tỉ lệ tìm ra số chưa biết. Sau đó nhân và
chia để tìm giá trị chưa biết.
a.
132
12 176
p
=
b.
21

35 20
Q
=
7
c.
30
30 200
L
=
d.
130
78 15
n
=
Bước 3: Kiểm tra xem mỗi tỉ lệ thức trong bước 2 là đúng hay chưa bằng
cách thay thế biến số bằng câu trả lời của bạn.
Bước 4: Trong mỗi phương trình ở bước 2, các biến là tử số. Viết lời giải
thích ngắn gọn về một cách giải tỉ lệ thức khi tử số là biến.
Bước 5: Những tỉ lệ thức đã giải trong bước 2 được đổi bằng cách chuyển
đổi tử số và mẫu số. Đó là, tỉ lệ trong mỗi vế đã được đảo ngược (ta có thể
nhớ lại rằng hai phân số đảo ngược, ví dụ
12
p
và
12
p
được gọi là nghịch đảo.).
Các lời giải ở bước 2 thực hiện các tỉ lệ mới này đúng hay không?
a.
12 176

32p
=
b.
35 20
21 Q
=
c.
30 200
30L
=
d.
78 15
130 n
=
Bước 6: Ta có thể sử dụng những gì vừa tìm được để giúp cho việc giải một
tỉ lệ thức có chứa biến ở mẫu như thế nào, ví dụ như
20
135
=
12
k
? Tại sao nó
đúng? Hãy giải phương trình.
Bước 7: Có nhiều cách để giải tỉ lệ thức. Đây là ba phiếu học tập trả lời câu
hỏi “ 13 là 65% của số nào ? “Các bước mà mỗi học sinh thực hiện là gì ?
.Những phương pháp nào ta có thể sử dụng để giải tỉ lệ thức ?
Trong việc tìm hiểu này, ta đã phát hiện ra rằng có thể giải tìm ra tử số chưa
biết trong một tỉ lệ thức bằng cách nhân cả hai vế của tỉ lệ thức với mẫu số
dưới giá trị cần tìm. Ta cũng có thể nghĩ ra một tỉ lệ thức như
19

M
=
56
133
giống như là : “Khi một số được chia cho 19, kết quả là
56
133
”. Để tìm số đó
ta cần làm mất phép chia.Nhân 19 để làm mất phép chia.
8
Ví dụ B: Jennifer ước tính rằng cứ ba sinh viên thì có 2 người sẽ tham dự
bữa tiệc lớp. Cô biết có 750 sinh viên trong lớp học của mình.Thiết lập và
giải tỉ lệ thức để giúp cô ấy ước tính có bao nhiêu sinh viên sẽ tham dự.
Lời giải: để thiết lập tỉ lệ thức, chắc rằng cả tỉsốđược so sánh tương tự.
Dùng a để đại diện cho số học sinh sẽ tham dự.
Trong tỉ lệ thức, khi a chia cho 750, câu trả lời là
2
3
Nhân với 750 để bỏ phép chia 750∙
2
3
a
=
Nhân và chia
500 a=
Jennifer có thể ước tính rằng có 500 sinh viên sẽ tham dự bữa tiệc.
Ví dụ C:Sau bữa tiệc, Jennifer phát hiện ra rằng có 70% sinh viên tham dự.
Hỏi có bao nhiêu sinh viên tham dự?
Lời giải: 70% nghĩa là 70 trong số 100. Từ đó, ta sẽ viết và giải một tỉ lệ
thức để trả lời câu hỏi “Nếu cứ trong 100 sinh viên có 70 sinh viên tham dự

bữa tiệc thì có bao nhiêu sinh viên trong số 750 sinh viên tham dự?”
9
Lấy s đại diện cho số học sinh đã tham dự.
Viết tỉ lệ thức
70
100 750
s
=
Nhân với 750 đểbỏ phép chia
70
750
100
s
• =
Nhân và chia
525 s=
Vậy 525 trong số 750 sinh viên đã tham dự bữa tiệc.
Ta đã làm việc với các tỉ lệ thức và tỉsố trong bài học này.Các số có thể viết
dưới dạng tỉ số của hai số nguyên được gọi là số hữu tỷ.
Bài tập
Luyện tập kĩ năng
1. Liệt kê các phân số theo thứ tự tăng dần bằng cách ước tính giá trị của
nó.Sau đó sử dụng máy tính để tìm giá trị của mỗi phân số.
a.
7
8
b.
13
20
c.

13
5
d.
52
25
2. Bà Lenz đã thu thập thông tin về các sinh viên trong lớp của mình.
Mắt nâu Mắt xanh Mắt màu hạt dẻ
Lớp 9 9 3 2
Lớp 8 11 7 1
Viết các tỉ số này dạng phân số.
a. Số học sinh lớp 9 có mắt màu nâu so với số học sinh lớp 9.
b. Số học sinh lớp 8 có mắt màu nâu so với số học sinh có mắt màu nâu
c. Số học sinh lớp 8 có mắt màu xanh so với số học sinh lớp 9 có mắt màu
xanh
d. Tất cả học sinh có mắt màu hạt dẻ so với
số học sinh cả lớp
3. Các cụm từ như mỗi đơn vị đo lường
dặm trên gallon, phần triệu(ppm), và số tai
nạn trên 1000 người biểu thị các tỉ số.Viết
mỗi tỉ số bên dưới dạng phân số. Sử dụng
một số và một đơn vị trong cả tử số và mẫu
số
a. Năm 2000, McLaren là chiếc xe nhanh
nhất được sản xuất. Tốc độ tối đa của nó được ghi nhận là 240 dặm mỗi giờ.
10
b. Capsaicin nguyên chất, một chất làm cho ớt có vị cay nóng,mạnh đến nỗi
chỉ 10 ppm trong nước có thể làm cho lưỡi phồng lên.
c. Năm 2000, phụ nữ sở hữu khoảng 350 trong số mỗi 1000 công ty tại Hoa
Kì.
d.Năm 2000, thu nhập bình quân tại Philadelphia, Pennsylvania, là khoảng

35500$ mỗi người.
4. Bạn sẽ nhân số nào để tìm số chưa biết trong mỗi tỉ lệ thức sau?
a.
24
40 30
T
=
b.
49
56 32
R
=
c.
87
16 232
M
=
5. Tìm giá trị của số chưa biết trong mỗi tỉ lệ thức sau.
a.
24
40 30
T
=
b.
49
56 32
R
=
c.
52 42

91 S
=
d.
100 7
30 x
=
e.
87
16 232
M
=
f.
6 62
217n
=
g.
36
15 13
c
=
h.
220 60
33 W
=
Lập luận và áp dụng
6. Vận dụng: viết một tỉ lệ thức cho mỗi bài
toán, và giải để tìm số chưa biết.
a. Kiến cắt lá sống ở Trung và Nam Mỹ nặng
khoảng 1, 5 grams (g). Một con kiến có thể
cắt một mảnh lá 4g với kích thước của một

đồng xu. Nếu một người có thể thực hiện
tương đương như những con kiến cắt lá, thì
một sinh viên nặng 55kg có thể cắt được bao
nhiêu?
b.Con kiến cắt lá dài khoảng 1,27cm và có
bước đi khoảng 0,82cm. Nếu một người có
thể thực hiện những bước đi tương đương, thì
kích thước mỗi bước đi của một sinh viên cao
1,65m là bao nhiêu?
c. Những con kiến dài 1,27cm bò khoảng
0,4km mỗi ngày. Nếu một người có thể đi một
đoạn đường tương đương, thì một sinh viên
cao 1,65m có thể đi được bao xa?
7. Viết 3 tỉ lệ thức đúng bằng cách sử dụng 4 giá trị trong mỗi tỉ lệ thức sau.
a.
2 10
5 25
=
b.
12
9 27
a
=
c.
j l
k m
=
11
8. Vận dụng: Jeremy có một công
việc tại rạp chiếu phim. Tiền lương

mỗi giờ của ông là 7, 38$. Giả sử
15% thu nhập của ông là để trả
thuế và an sinh xã hội.
a. Hỏi Jeremy còn lại bao nhiêu
phần trăm?
b. Tiền lương mang về nhà mỗi
giờ của ông là bao nhiêu?
9.Ở một khu nghỉ mát trong suốt mùa hè, cứ 8 người thì chỉ có 1 người là cư
dân quanh năm. Những người khác chỉ có trong kì nghỉ. Nếu dân số của cư
dân quanh năm ở khu vực này là 3000, hỏi có bao nhiêu người có trong mùa
hè?
10.Vận dụng: Để làm 3 phần cháo Ailen, bạn cần 4 ly nước và 1 chén bột
yến mạch. Bạn sẽ cần mỗi thành phần là bao nhiêu cho 2 phần, 5 phần?
11. Vận dụng: Khi nhà hóa học viết công thức cho các hợp chất hóa học, họ
chỉ ra bao nhiêu nguyên tử của mỗi nguyên tố kết hợp với nhau để tạo thành
một phân tử của hợp chất. Ví dụ, họ viết H
2
O là nước,có nghĩa là có 2
nguyên tử Hidro và 1 nguyên tử Oxy trong một phân tử nước. Chất axeton
có công thức là C
3
H
6
O. C là viết tắt của cacbon.
a. Có bao nhiêu nguyên tử trong một phân tử axeton?
b. Có bao nhiêu nguyên tử cacbon phải kiên kết với 470 nguyên tử Oxy để
tạo nên các phân tử axeton? Có bao nhiêu nguyên tử hydro như vậy?
c. Có thể tạo thành bao nhiêu phân tử axeton từ 3000 nguyên tử cacbon,3000
nguyên tử Hydro,và 1000 nguyên tử Oxy?
Ôn tập

12. Trong đồ thị chấm dưới đây, khoanh tròn các điểm đại diện giá trị cho 5
số. Nếu một giá trị thực sự là giá trị trung bình của hai dữ liệu, vẽ một vòng
tròn xung quanh hai điểm đó.
12
13. The Forbes Celebrity 100(www.forbes.com) liệt kê 10 người sau (và thu
nhập của họ trong năm 2004 theo đơn vị triệu) trong số những người nổi
tiếng đã làm cho các phương tiện truyền thông chú ý nhất. Tìm 3 hệ thống
đo của trung tâm về thu nhập của họ và giải thích tại sao lại khác nhau như
vậy.
14. Sử dụng thứ tự của các phép toán để tính những biểu thức bên dưới.
Kiểm tra kết quả của bạn trên máy tính.
a. 5∙ −4 + 8 b. – 12 ÷(7 – 4)
c. – 3 – 6∙25÷30 d. 18(−3)÷81
Dự án
Tỉ lệ vàng
Trong dự án này, bạn sẽ nghiên cứu con số nổi tiếng được gọi là tỉ lệ vàng.
( Có rất nhiều quyển sách và trang web về chủ đề này. Tìm liên kết tại
www.keymath.com/DA.). Dự án của bạn nên bao gồm:
 Thông tin cơ bản về tỉ lệ vàng, chẳng hạn như giá trị chính xác của nó,
tại sao nó đại diện cho một tỉ số “lí tưởng” của toán học,và làm thế
nào để dựng một hình chữ nhật vàng.( Tỉ lệ chiều dài so với chiều
rộng của hình chữ nhật đó là tỉ lệ vàng.)
 Một số lịch sử của tỉ lệ vàng, trong đó có vai trò của nó trong kiến trúc
Hi Lạp cổ đại.
 Một trong những sự kiện toán học thú vị nhất về tỉ lệ vàng, chẳng hạn
như mối quan hệ của nó với dãy Fibonacci
 Một báo cáo về nơi để tìm ra tỉ lệ vàng trong môi trường, kiến trúc,
hoặc nghệ thuật. Danh sách các mục và các phép đo hoặc bao gồm các
13
bản in từ các bức ảnh, tác

phẩm nghệ thuật, hoặc
kiến trúc mà bạn đã vẽ
hình chữ nhật vàng.
Bạn đã từng đến thăm các đất nước khác chưa? Nếu vậy, bạn cần chuyển
tiền của bạn sang tiền của họ và có lẽ chuyển đơn vị đo của bạn sang của họ
là tốt hơn. Nhiều quốc gia sử dụng đơn vị thuộc hệ thống quốc tế, hay SI,
được biết đến ở Mỹ như
hệ thống chuẩn.
Vì vậy, thay vì bán xăng
bằng đơn vị gallon, họ
bán bằng lít. Đơn vị đo
khoảng cách là cây số
chứ không phải là dặm,
và các loại rau được bán
bằng kilo (kilogram) chứ
không phải là pound.
Sự khảo sát
Chuyển từ centimet sang inch
Trong điều tra này, bạn sẽ tìm thấy một tỉ lệ để giúp bạn chuyển từ inch sang
centimet và centimet sang inch. Sau đó bạn sẽ sử dụng tỉ lệ này vào tỉ lệ để
14
chuyển số đo từ các hệ thống chuẩn tại Hoa Kì sang số đo trong hệ thống
chuẩn, và ngược lại.
Bước 1: Đo chiều dài hoặc chiều rộng trên 6 đối tượng có kích thước khác
nhau, chẳng hạn như một cây bút chì, một cuốn sách, cái bàn làm việc của
bạn hoặc máy tính của bạn. Trong mỗi đối tượng, ghi lại đơn vị inch và đơn
vị cm trong bảng như sau:
Bước 2: Nhập các số đo bằng inch vào danh sách L1 máy tính của bạn và số
đo cm vào danh sách L2.Trong danh sách L3 nhập tỉ lệ cm so với inch,
2

1
L
L
,
và để máy tính của bạn hoàn thành việc tính các giá trị tỉ số.
Bước 3: So sánh những tỉ lệ của cm so với inch trong các đơn vị đo lường
khác nhau xem như thế nào? Nếu một trong các tỉ lệ là khác so với những tỉ
lệ khác, kiểm tra lại việc đo lường của bạn.
Bước 4: chọn một tỉ lệ đại diện duy nhất của cm so với inch. Viết một câu
giải thích ý nghĩa của tỉ lệ này.
Bước 5: Sử dụng tỉ lệ của bạn, thiết lập một tỉ lệ thức và chuyển đổi mỗi
chiều dài sau.
a. 215cm = x inch
b. 1cm = x inch
c. 1inch = x cm
d. Một ô cửa kích thước 80 inch cao bao nhiêu cm?
Bước 6: Sử dụng tỉ lệ của bạn, thiết lập một tỉ lệ thức và giải tìm ra các giá
trị đã yêu cầu.
a. y cm = x inch. Tìm y.
b. c cm = i inch. Tìm i
15
Trong việc khảo sát bạn đã tìm thấy một tỉ lệ thông thường, hoặc số hạng
chuyển đổi giữa inch và cm. Một khi bạn đã xác định được số hạng chuyển
đổi, bạn có thể chuyển đổi sang một hệ thống khác bằng cách giải quyết một
tỉ lệ thức. Nếu các số đo của bạn trong việc khảo sát là rất chính xác, trung
bình và các trung bình tỉ số sẽ tiến gần đến tỉ số chuyển đổi.
Ví dụ A: Jonas đã lái chiếc xe từ Montana đến Canada trong kì nghỉ hè.
Trong lúc đó ông ấy cần mua xăng và đã nhận thấy rằng nó đã được bán theo
lít chứ không phải gallon. Sử dụng số hạng chuyển đổi 1 gallon ≈ 3,79 lit để
xác định bao nhiêu lít sẽ đầy bình xăng ứng với bình xăng có dung tích 12.5

gallon.
Lời giải: Sử dụng yếu tố chuyển đổi, bạn có thể viết tỉ lệ thức
3,79
1
l
gallon
=
125
xl
gallon
Tỉ lệ thức ban đầu
3.79
1 12.5
x
=
Triệt tiêu phép chia 12.5∙3.79 =
x
Nhân
x
= 47.375
Bình xăng của Jonas sẽ chứa khoảng 47, 4 lít xăng.
Một số chuyển đổi yêu cầu nhiều bước. Ví dụ tiếp theo cung cấp một chiến
lược được gọi là phân tích thứ nguyên để thực hiện những
chuyển đổi phức tạp hơn.
Ví dụ B: Một chiếc xe điều khiển vô tuyến đã đi 30 feet
ngang qua phòng học trong 1,6 giây. Hỏi tốc độ của nó là
bao nhiêu dặm trong 1 giờ?
Lời giải: Sử dụng các thông tin đã cho bạn có thể viết
tốc độ như tỉ lệ
30

1,6 â
feet
gi y
. Nhân với 1 không làm thay đổi
giá trị của một số, vì vậy bạn có thể sử dụng các số hạng chuyển đổi mà bạn
đã biết ( như 60 phút/ 1 giờ) để tạo những phân số với giá trị là 1. Sau đó
nhân tỉ lệ ban đầu của bạn với những phân số đó để thay đổi đơn vị
16
Mỗi phân số sau khi chuyển đổi vẫn có giá trị là 1 bởi vì tử số và mẫu số của
mổi phân số là tương đương: 60 giây = 1 phút, 60 phút = 1 giờ, và mi =
5280ft. Các phân số tương đương với 1 được chọn để khi các đơn vị bị triệt
tiêu thì kết quả là dặm ở tử số và giờ ở mẫu số.
Tốc độ 12,8 dặm trong 1 giờ là một tỉ lệ bởi vì nó có mẫu số là 1.
Trong ví dụ b, bạn đã thấy rằng 12, 8 dặm trong một giờ là một tỉ lệ. Một tỉ
lệ đi (hoặc tốc độ) là một ví dụ về một tỉ lệ. Trợ cấp hàng tuần của bạn, chi
phí cho mỗi pound vận chuyển một gói phần mềm, và số lượng bánh trong
mỗi hộp đều là các tỉ lệ. Các tỉ lệ giúp việc tính toán dễ dàng hơn trong
nhiều tình huống thực tế. Ví dụ, cửa hàng tạp hóa lưu trữ giá trái cây và rau
theo đồng bản Anh. Tỉ lệ dùng so sánh dễ dàng hơn trong các tình huống
khác. Ví dụ, trung bình đánh bóng của một cầu thủ bóng chày là tỉ lệ của số
lần đánh trúng trên tổng số lần đánh.
17
Bài tập
Luyện tập kĩ năng
1.Tìm giá trị của x trong mỗi tỉ lệ thức.
2.Năm 2001, Alan Webb
đã phá kỉ lục của Jim
Ryun 36 tuổi : chạy 1 dặm
trong 3 phút 53.43 giây.
Tốc độ này là bao nhiêu

nếu tính theo đơn vị
feet/giây.
3.Sử dụng cách thức
chuyển đổi đơn vị để
chuyển
a. 50m mỗi giây sang km mỗi giờ
b.0,025 ngày sang giây.
c.1200 ounces sang tấn(16oz = 1lb;2000lb = 1 tấn).
4. Viết một tỉ lệ thức và trả lời mỗi câu hỏi
sử dụng số hạng chuyển đổi 1ounce = 28,4g.
a. Một phần tám ounce của xương sườn nặng
bao nhiêu gam?
b. Nếu một cây kem ốc quế nặng 50g thì nó
nặng bao nhiêu ounce?
18
c. Nếu một con mèo nhà điển hình nặng 160 ounce thì nó nặng bao nhiêu
gam?
d. Một gói phomat 100 gam thì nặng bao nhiêu ounce?
5. Viết một tỉ lệ và trả lời một câu hỏi bằng cách sử dụng số hạng chuyển đổi
1inch = 2,54cm.
a. Một giáo viên cao 62, 5 inch. Hỏi cô ấy cao bao nhiêu cm?
b. Một trần nhà thông thường cao 96 inch ( 8 feet ). Hỏi nó cao bao nhiêu
cm?
c. Đường kính của một đĩa CD là 12cm. Hỏi đường kính của nó là bao nhiêu
inch?.
d. Bán kính của một lon soda điển hình là 3,2cm. Hỏi bán kính của nó là bao
nhiêu inch ?
6. Cả Tab và Crystal đều có mèo.
a. Tab mua một cái túi thức ăn của mèo nặng 3 pound, 30 ngày một lần. Hỏi
con mèo của cậu ấy ăn thức ăn theo tỉ lệ nào?

b. Crystal mua một cái túi thức ăn 5 pound 45 ngày 1 lần. Hỏi con mèo của
cô ấy ăn thức ăn theo tỉ lệ nào?
c. Con mèo của Tab hay Crystal ăn thức ăn trong mỗi ngày nhiều hơn?
Lập luận và áp dụng
7. Một nhóm sinh viên đo một số đối tượng xung quanh trường học của họ
bằng đơn vị mã và met
Kết quả đo lường theo đơn vị mã và mét
Mã 7 3.5 7.5 4.25 6.25 11
Mét 6.3 3.2 6.8 3.8 5.6 9.9
a. Sử dụng số liệu của họ thể hiện trong bảng để tìm số hạng chuyển đổi
giữa mã và met.
Sử dụng số hạng chuyển đổi để trả lời những câu hỏi sau:
b. Chiều dài của một sân bóng đá là 100 mã. Hỏi nó dài bao nhiêu met?
c. Nếu mất 200m để đến xa lộ tiếp theo, thì quãng đường đến đó là bao
nhiêu mã?
d. Một thanh ngang 100 met thì dài bao nhiêu mã?
e. Bạn cần mua bao nhiêu mét vải nếu bạn cần 15 mã vải?
8. Một mã bằng 3 feet
a. Làm một cái bảng như trên và chỉ ra số lượng feet theo đơn vị chiều dài từ
1 đến 5 mã.
b. Đối với mỗi mã được thêm vào trong bảng, thì có nhiều hơn bao nhiêu
feet?
19
c. Viết một tỉ lệ thức mà bạn có thể sử dụng để chuyển đổi các số đo giữa
mã và f feet.
d. Sử dụng tỉ lệ thức bạn đã viết để chuyển đổi mỗi đơn vị.
150 mã = f feet.
9. Một cuộc đua 1 dặm hay một cuộc đua 1500m dài hơn? Đưa ra lí do của
bạn.
10. Áp dụng: Khi trộn theo hướng dẫn, một ly nước chanh đậm đặc 12 –

ounce trở thành nước chanh 64 ounce.
a. Cần bao nhiêu lon 12 – ounce đậm đặc để làm 120 phần nếu mỗi phần 8
ounce?
b. Cần bao nhiêu ounce đậm đặc để làm một ounce nước chanh?
c. Viết một tỉ lệ mà bạn có thể sử dụng để tìm số ounce đậm đặc dựa trên số
ounce nước chanh đã yêu cầu.
d. Sử dụng tỉ lệ bạn đã viết để tìm số ounce nước chanh có thể làm từ lon 16
– ounce đậm đặc cùng loại.
11. Áp dụng:Bí quyết ứng dụng trong nhiều
sách dạy nấu ăn quốc tế sử dụng các phép
đo chuẩn. Một công thức bánh cần 120 ml
nước đường. Thông thường cũng công thức
bánh này cần bao nhiêu ly ? (1000 ml = 1l,
1.06 quart = 1l, 4 ly = 1 quart )
Ôn tập
12. Các sinh viên khoa toán và các câu lạc bộ cờ đã làm việc với nhau để
gây quỹ cho nhóm riêng của họ. Các câu lạc bộ cùng nhau góp được 480$.
Có 12 thành viên trong các câu lạc bộ toán và chỉ có 8 thành viên trong câu
lạc bộ cờ. Quỹ nên được chia như thế nào giữa hai câu lạc bộ? Giải thích
câu trả lời của bạn.
13. Biểu đồ hộp cho thấy chiều dài bằng cm của các thành viên họ nhà chim
bói cá. Chiều dài của 5 con chim tạo nên 5 số. Sử dụng thông tin bên dưới để
nối mỗi chim bói cá với chiều dài của nó.
20
• Sắp xếp những con chim bói cá theo kích thước từ chim bói cá nhỏ
Pygmy đến chim bói cá Laughing.
• Chim bói cá nổi tiếng nhất, là chim Belted, giống từ Alaska đến
Florida. Nó chỉ dài 2,6 cm dài hơn chiều dài trung bình của chim bói
cá.
• Chim bói cá Ringed, một con chim nhiệt đới gần chiều dài trung bình

hơn chim bói cá Green.
Nâng cao kĩ năng tư duy lập luận
Bảy mảnh ghép của Trung Quốc cổ đại gọi là
Tangram được xác định bằng cách sử dụng
hình vuông ABCD và tập hợp các trung điểm.
Điểm E, F, G, H, I và J lần lượt là trung điểm
của các đoạn AB, BC, AC, AG, GC và EF. Tỉ
số diện tích mỗi mảnh Tangram so với diện
tích của cả hình vuông là gì ?
21
Trong bài 2.2, bạn đã làm việc với các hệ số chuyển đổi từ một đơn vị
đo lường này sang đơn vị khác. Bạn cũng đã viết các tỷ lệ, như số dặm trên
một giờ và thấy rằng các tỷ lệ này có mẫu số 1. Các tỷ lệ này rất thuận tiện
cho việc tính toán. Bạn sẽ nhận thấy một số dạng khi sử dụng tỷ lệ để tạo
bảng và vẽ đồ thị. Trong điều tra này bạn cần phải sử dụng công cụ đại số để
hiểu rõ hơn về dạng này.
Sự khảo sát
Kênh tàu
Trong điều tra này, bạn sẽ sử dụng dữ liệu về các con kênh để vẽ đồ
thị và viết phương trình thể hiện mối quan hệ giữa dặm và km. Bạn sẽ sử
dụng các cách khác nhau để tìm các giá trị con thiếu trong bảng sau.
kênh Chiều dài (dặm) Chiều dài (km)
Albert ( Bỉ)
80 129
Alphonse XIII (Tây Ban Nha)
53 85
Houston (Texas)
50 81
Kile ( Đức)
62 99

Main-Danube (Đức)
106 171
Moscow-Volga (Nga)
80 129
Panama (Panama)
51 82
NSt.Lawrnce Seaway (Canada/U.S)
189 304
22
Suez ( Ai Cập)
101
Trollhatte (Thụy Điển)
87
Bước 1. Vẽ cẩn thận và chia tỷ lệ cặp trục tọa độ cho dữ liệu trong
bảng. Cho x là chiều dài theo dặm và y là chiều dài theo km. Vẽ đồ thị của
tám cặp tọa độ đầu tiên.
Bước 2. Đồ thị mà bạn đã vẽ có hình gì? Kết nối các điểm để minh
họa. Giải thích cách mà bạn sử dụng đồ thị để tính chiều dài theo km của
kênh đào Suez và chiều dài theo dặm của kênh đào Trollhatte.
Bước 3. Trên máy tính của bạn, tạo ra một đồ thị của cùng các điểm
trên, và so sánh nó với đồ thị vẽ tay của bạn. Sử dụng danh sách L1 với độ
dài theo dặm và danh sách L2 với độ dài theo km.
Bước 4. Sử dụng danh sách L3 để tính toán tỷ lệ
2
1
L
L
. Giải thích những
gì mà trong danh sách L3 biểu diễn. Nếu bạn làm tròn những giá trị trong
danh sách L3 đến hàng chữ số thập phân bạn sẽ nhận được gì?

Bước 5. Sử dụng các giá trị đã được làm tròn ở bước 4 để tính chiều
dài theo km của kên đào Suez. Bạn cũng có thể sử dụng kết quả của bạn để
tìm chiều dài theo dặm của kênh đào Trollhatte hay không?
Số km trong mỗi dặm là như nhau vì vậy giá trị mà bạn tìm thấy được gọi là
một hằng số.
Bước 6. Làm thế nào bạn có thể chuyển đổi x km thành y dặm? Sử
dụng các biến viết một phương trìnhđể biểu thị sự liên quan giữa dặm và
km.
Bước 7. Sử dụng phương trình mà bạn đã viết trong bước 6 để tìm
chiều dài theo km của kênh đào Suez và độ dài theo dặm của kênh đào
trollhatte. Làm thế nào để sử dụng phương trình này như một tỷ lệ?
Bước 8. Đồ thị của phương trình của bạn trên máy tính. So sánh đồ thị
này với đồ thị vẽ tay của bạn. Tại sao đồ thị không đi qua gốc tọa độ?
Bước 9. Theo dõi đồ thị của phương trình của bạn. Tìm độ dài theo
km của kênh đào Suez bằng cách tìm y khi x xấp xỉ 101 dặm. Theo dõi đồ
thị để ước tính chiều dài theo dặm của kênh đào Trollhatte. Làm thế nào để
23
trả lời những câu hỏi so sánh
với những gì bạn nhận được từ
đồ thị vẽ tay của bạn?
Bước 10. Sử dụng chức
năng của máy tínhđể tìm ra độ
dài bị thiếu của kênh đào Suez và
kênh đào Trollhatte.
Bước 11. Trong cuộc điều tra
này bạn sử dụng một số cách để tìm giá trị thiếu- xấp xỉ với một đồ thị, tính
toán với một tỷ lệ, giải một phương trình, và tìm kiếm một bảng. Viết vài
câu giải thích cho các phương pháp mà bạn thích và lý do tại sao.
Kênh đào Panama cho phép tàu băng qua dải đất giữa Đại Tây Dương và
Thái Bình Dương. Trước khi kênh hoàn thành vào năm 1913, tàu thuyền

phải đi hàng vạn dặm nguy hiểm xung quanh Cape Horn, mặc dù chỉ có 50
dặm tách 2 đại dương. Tìm hiểu nhiều hơn về những con kênh nổi tiếng tại
www.keymath.com/DA.
Các tỷ số, các tỷ lệ và các yếu tố chuyển đổi có liên quan chặt chẽ.
Trong điều tra này, bạn đã thấy cách chuyển đổi tỷ lệ
129
80
km
mi
sang một tỷ lệ
xấp xỉ 1,6km trong mỗi dặm. Bạn cũng có thể sử dụng tỷ lệ đó như một hệ
số chuyển đổi giữa km và dặm. Các số trong tỷ lệ khác nhau, nhưng kết quả
tỷ lệ vẫn như nhau, hoặc là hằng số. Km và dặm là tỷ lệ thuận- số km trên
mỗi dặm sẽ luôn luôn giống nhau. Khi hai đại lượng khác nhau có mối quan
hệ như thế này thì người ta gọi đó là biến tỉ lệ thuận.
Biến tỉ lệ thuận
Một phương trình dưới dạng y=kx là một biến tỉ lệ thuận. Đại lượng
được thể hiện bởi x và y là tỷ lệ thuận và k là hằng số biến thiên.
Bạn có thể biểu diễn bất kỳ tỷ số, tỷ lệ, hoặc hệ số chuyển đổi với một
biến tỉ lệ thuận. Sử dụng một phương trình biến thiên tỉ lệ thuận hoặc đồ
thịlà môt cách thay thế cho việc giải quyết các tỷ lệ thức. Một phương trình
biến đổi trực tiếp cũng giúp bạn thực hiện tính toán với các giá cả.
Ví dụ: Một cửa hàng tạp hóa quảng cáo viêc bán giảm giá nước ngọt.
24
a. Viết một tỷ lệ cho giá của mỗi lô sáu lon.
b.Viết một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa số lô được giảm
và giá cả của chúng.
c. Giá của 15 lô là bao nhiêu?
d. Sol đang tích trữ cho nhà hàng của mình. Ông mua hết 210 đô-la
nước ngọt. Ông ấy đã mua được bao nhiêu lô.

Lời giải:
a.Tỷ lệ được cho là
$600
4six pack−
. Tỷ lệ này được đơn giản hóa đến mức
1,5 đô-la mỗi lô.
b. Sử dụng x cho số lô và y cho chi phí theo đô-la. Viết một tỷ lệ
tương ứng
1,50
1
y
x
=
y tương ứng với 1,50 và x tương ứng với 1.
1,50
.
1
y x
=
Nhân cho x để quay lại phép chia.
Y=1,50x Kết quả của bạn là một phương trình biến thiên tỉ lệ
thuận.
Hằng số k là tỷ lệ 1,50 đô-la mỗi lô. Bạn có thể dựa vào đồ thị của
phương trình này để xác định tất cả các điểm trong tình huống này không?
Bạn có thể nhận được một phương trình tương tự nếu bạn bắt đầu với
tỷ lệ
600
4
y
x

=
không? Bạn có thấy một cách làm khác để tìm ra phương
trình khi bạn đã biết tỷ lệ ?
c. Bạn có thể theo dõi đồ thị để tìm điểm khi x=15, hoặc bạn có thể
thay thế x bằng 15 vào phương trình, số lượng lô là:
Y= 1,50 (15)=22,5
Mười lăm gói sáu có giá 22,5 đô-la.
d. Bạn tìm kiếm bảng cho đến khi dừng lại ở trên giá trị của x mà y có
giá trị là 210. Hoặc bạn có thể thay thế y bằng 210 vào phương trình, chi phí
theo đô-la là:
25