Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số

S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn
TAI LIấU ễN THI TN THPT
Chuyờn ờ 1: KHO ST HM S V NHNG BI TON LIấN QUAN
I/-MễT Sễ KIấN THC C BAN CN LU Y:
A/-KHO ST S BIN THIấN V V TH HM S
Cỏc bc kho sỏt s bin thiờn v v th hm s:
1). Cỏc bc kho sỏt hm a thc (hm s bc ba; hm s trựng phng)
Tp xỏc nh.
Tỡm
y
Â
.
Cho
y 0
Â
=
tỡm cỏc nghim
0
x
Gii hn
x
lim y
- Ơđ
=
;
x
lim y
+ Ơđ
=
.
Bng bin thiờn.

Nờu s ng bin, nghch bin v cc tr (nu cú) ca hm s.
Giỏ tr c bit (cú ta im un khi kho sỏt hm s bc 3 chớnh xỏc húa th).
th v nhn xột.
2). Cỏc bc kho sỏt hm s nht bin
ax + b
y =
cx + d

( )
-c 0,ad bc 0
Tp xỏc nh:
d
D \
c
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
= -
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
Ă
Tỡm
( )
2
ad bc
y
cx d
-

Â
=
+
v khng nh
y
Â
dng hay õm,
d
x
c
" -ạ
.
Suy ra hm s ng bin hay nghch bin trờn tng khong xỏc nh
d d
; , ;
c c
ổ ửổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
- Ơ - - + Ơ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
v khụng cú cc tr.
Gii hn & tim cn ( ng +ngang):
Tớnh
x x
a a

lim y ; lim y
c c
- Ơ + Ơđ đ
= =
suy ra
a
y
c
=
l TCN
Tớnh
d d
x x
c c
lim y; lim y
- +
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
- -đ đ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
suy ra
d
x
c
=-

l TC
Bng bin thiờn.
Giỏ tr c bit (giao im vi Ox, Oy, ).
th v nhn xột.
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
 Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3:
3 2
y = ax + bx + cx + d

( )a 0¹
(chỉ nêu 4/6 dạng đồ thị)
 Hàm số trùng phương:
4 2
y = ax + bx + c

( )a 0¹

 Hàm số nhất biến :
( )

ax + b
y = ad bc 0
cx + d
- ¹
B/-CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:
f(x) = g(m) (1)
x
y

O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: Hàm số không có cực trị
⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: Hàm số có 2 cực trị
x
y
O
x
y

O
a < 0
a > 0
Dạng 2: Hàm số có 1 cực trị
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: Hàm số có 3 cực trị
y
I
x
y
O
Dạng 2: Hàm số nghịch biếnDạng 1: Hàm số đồng biến
x
O
I
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát.
+ Đường thẳng d: y = g(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox.
Các bước giải:
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình (1) :
Bước  : Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị (C) :y = f(x)
và đường thẳng d: y = g(m).
Bước : Dựa vào đồ thị để kết luận: (Chú ý so sánh g(m) với các giá trị cực trị

CD CT
y ; y
, nếu
đồ thị có tiệm cận ngang thì so sánh với giá trị tiệm cận ngang).
Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3 nghiệm, 4
nghiệm…ta chỉ cần chỉ rỏ các trường hợp thỏa đề.
Dạng 2: Viết PTTT của đồ thị hàm số?
 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
y f(x)=
tại
0 0 0
M (x ;y ) (C)Î
.
 Bước 1: Nêu dạng phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
y y f (x )(x x )
¢
- = -
(*)
 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có
0 0 0
x , y , f (x )
¢
thay vào (*).
Rút gọn ta có kết quả
 Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (d) )
Cách 1: Gọi M(x
0
; y

0
)
Î
(C): là tiếp điểm
 Bước 1: Lập luận để có được
0
f (x ) k
¢
=
⇒ ⇒
0
x
(hoành độ tiếp điểm)
 Bước 2: Tìm y
0
và thay vào:
0 0 0
y y f (x )(x x )
¢
- = -
. ta có kết quả
Cách 2: Gọi
d : y kx b= +

d là tiếp tuyến của
(C)

Û
( ) ( )
( )

f x k 1
f x kx b (2)
ì
¢
=ï
ï
í
ï
= +
ï
î
có nghiệm .
Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b
Lưu ý: Cho đường thẳng
: y ax b∆ = +
(hệ số góc của
∆
bằng a)
 Nếu tiếp tuyến // với đường thẳng
∆
thì hệ số góc tiếp tuyến bằng hệ số góc đường thẳng
∆
.
 Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
∆
thì hệ số góc tiếp tuyến là
1
k =
a
-

,
(a 0)¹

 Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
1 1
A(x ;y )
(CTNC)
Phương pháp:
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
Cách 1: Gọi
0 0
M(x ;y ) (C)Î
là tiếp điểm.
 Tính
0 0
y , f (x )
¢
theo x
0
.
 Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
0 0 0
y y f (x )(x x )
¢
- = -
(1)
Vì tiếp tuyến đi qua
1 1
A(x ;x )
nên

1 0 0 1 0
y y f (x )(x x )
¢
- = -

Từ đó giải phương trình tìm x
0
thay vào (1).
Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k .
 Suy ra phương trình đường thẳng d có dạng:
1 1
y y k(x x )- = -
(1)
 d là tiếp tuyến của (C)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
f x k 1
f x k x x y 2
ì
¢
=ï
ï
Û
í
ï
= - +
ï
î
có nghiệm

 Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1)
Dạng 3: Cực trị của hàm số
Điều kiện để hàm số có cực trị:
Vắn tắt: Xét hàm số y = f(x)
 Hàm số đạt cực trị tại x
0
thì
0
f (x ) 0
¢
=
(ngược lại không luôn đúng)
 Hàm số y = f(x) có: (Dấu hiệu thứ nhất)

0
f (x ) 0
¢
=
và
f (x)
¢
có đổi dấu khi x qua
0
x
thì hàm số có cực trị tại
0
x
.

0

f (x ) 0
¢
=
và
f (x)
¢
có đổi dấu từ + >>
-
khi x qua
0
x
thì hàm số có cực đại tại
0
x
.

0
f (x ) 0
¢
=
và
f (x)
¢
có đổi dấu từ
-
>> + khi x qua
0
x
thì hàm số có cực tiểu tại
0

x
.
 Hàm số y = f(x) có:

0
f (x ) 0
¢
=
và
0
f (x ) 0
¢¢
¹
thì thì hàm số có cực trị tại
0
x
.

0
f (x ) 0
¢
=
và
0
f (x ) 0
¢¢
<
thì thì hàm số có cực đại tại
0
x

.


0
f (x ) 0
¢
=
và
0
f (x ) 0
¢¢
>
thì thì hàm số có cực tiểu tại
0
x
.
Học sinh chú ý:
 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
 Hàm số bậc 3:
3 2
y = ax + bx + cx + d

( )a 0¹
→ không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
 Hàm số bậc 4 dạng:
4 2
y = ax + bx + c

( )a 0¹
→ có 1 cực trị hoặc 3 cực trị.

 Hàm số nhất biến dạng:
( )
ax + b
y = ad bc 0
cx + d
- ¹
→ chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
Dạng 4: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
 Hàm số bậc 3:
3 2
y = ax + bx + cx + d

( )a 0¹
đồng biến trên
y 0, x
¢
"Û ³ Ρ ¡
 Hàm số bậc 3:
3 2
y = ax + bx + cx + d
( )a 0¹
nghịch biến trên
y 0, x
¢
"Û £ Ρ ¡
 Hàm số:
ax + b
y =
cx + d

đồng biến trên từng khoảng xác định
y 0, x D ad bc 0
¢
> " - >Û Î Û
 Hàm số:
ax + b
y =
cx + d
nghịch biến trên từng khoảng xác định
y 0, x D ad bc 0
¢
< " - <Û Î Û
Dạng 5: Giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1). Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
 Số M gọi là GTLN của hàm số y = f(x) trên D nếu:
0 0
x D : f (x) M
x D : f (x ) M
ì
" Σ
ï
ï
í
ï
=$ Î
ï
î
(ký hiệu M là giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x) trên D)
 Số m gọi là GTNN của hàm số y = f(x) trên D nếu:
0 0

x D : f (x) m
x D : f (x ) m
ì
" γ
ï
ï
í
ï
=$ Î
ï
î
(ký hiệu m là Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f(x) trên D)
2). Cách tìm GTLN-GTNN trên
( )
a;b
.
 Lập bảng biến thiên của hàm số trên
( )
a;b
.
 Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì giá trị cực đại
(cực tiểu) là GTLN (GTNN) của hàm số trên
( )
a;b
.
3). Cách tìm GTLN-GTNN trên
[ ]
a;b
.
 Tìm các điểm x

1
,x
2
, , x
n
của f(x) trên
[ ]
a;b
tại đó
f (x) 0
¢
=
hoặc
f (x)
¢
không xác
định.
 Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b).
 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[a,b]
[a,b]
M max f (x) ; m minf(x)= =
Dạng 6: Biện luận số giao điểm của 2 đường
( ) ( )C : y = f x

và
( ): ( )
¢
C y = g x
Số giao điểm của hai đường cong
( ) ( )C : y = f x
và
( ): ( )
¢
C y = g x
là số nghiệm của phương
trình hoành độ giao điểm
( ) ( )f x = g x
(1)
S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn
II/-MễT Sễ BAI TP MU CO HNG DN GIAI
Bi 1. Cho hm s
3
y x 3x 2= - +
(C)
a). Kho sỏt v v th (C) ca hm s .
b). Da vo th (C) , bin lun theo m s nghim ca phng
3
x 3x 2 m 0- + - =
.
c). Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im
( )
M 2;4
.
d). Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cú honh

1
x
2
=
.
e). Vit phng trỡnh ca (C) ti cỏc im cú tung l 0 .
GIAI:
a). Kho sỏt v v th (C) ca hm s .
Tp xỏc nh:
D = Ă
S bin thiờn
+ Gii hn
x
lim y
- Ơđ
=- Ơ
v
x
lim y
+ Ơđ
= + Ơ
+ Bng bin thiờn
2
y' 3x 3= -
y' 0 x 1= =
Bng bin thiờn:
Hm s ng bin trờn cỏc khong
( )
; 1- Ơ -
v

( )
1;+ Ơ
, nghch bin trờn khong
( )
1;1-
.
Hm s t cc i ti
x 1=-
,
Cẹ
y 4=
, t cc tiu ti
x 1=
,
CT
y 0=
.
th
+ im un:
y'' 6x=
y'' 0 x 0= =
Do y'' i du khi x i qua
0
x 0=
Ta im un
( )
U 0;2
+ Giao im ca th vi cỏc trc ta
Giao im vi Oy:
x 0 y 2= =ị

:
( )
0;2
Giao im vi Ox:
( ) ( )
x 1
y 0 : 1;0 , 2;0
x 2
ộ
=
ờ
= -
ờ
=-
ở
Nhn xột: th nhn im un
( )
U 0;2
lm tõm i xng.
b). Da vo th (C) , bin lun theo m s nghim ca phng
3
x 3x 2 m 0- + - =
.
S nghim thc ca phng trỡnh
3
x 3x 2 m 0- + - =
bng s giao im ca
th (C) ca hm s
3
y x 3x 2= - +

v ng thng (d):
y m=
.
Da vo th ta cú:
x
y
y
-
-1
1
+
0
0
+
-
+
4
+
-
0
S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn
Vi
m 0<
hoc
m 4>
, (d) v (C) cú mt im chung, do ú phng trỡnh cú
mt nghim.
Vi
m 0=
hoc

m 4=
, (d) v (C) cú hai im chung, do ú phng trỡnh cú
hai nghim.
Vi
0 m 4< <
, (d) v (C) cú ba im chung, do ú phng trỡnh cú ba nghim.
c). Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im
( )
M 2;4
.
( )
M 2;4
l
( )
y 2 9
Â
=
.
Phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im M l
y 9x 14= -
.
d). Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cú honh
1
x
2
=
.
H s gúc ca tip tuyn ti im im thuc th hm s cú honh
0
1

x
2
=
, cú tung
0
1
y
2
=
.
H s gúc ca tip tuyn ti tip im
1 1
;
2 2
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
l
1 9
y
2 4
ổử
ữ
ỗ
Â

=-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Phng tỡnh tip tuyn ca (C) ti im
1 1
;
2 2
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
l
9 13
y x
4 8
=- +
.
e). Vit phng trỡnh ca (C) ti cỏc im cú tung l 0 .
im thuc (C) cú tung
0
y 0=
, cú honh
01

x 2= -
hoc
02
x 1=
.
H s gúc ca tip tuyn ti im
( )
2;0-
l
( )
y 2 9
Â
- =
.
Phng trỡnh ca hai tip tuyn ca (C) ti im cú tung bng 0 l
y 9x 18= +
v
y 0=
.
Bi 2: Cho hm s : y = x
3
+ 3x
2
4.
a). Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho.
b). Tỡm m phng trỡnh x
3
3x
2
+ m = 0 cú 3 nghim phõn bit.

c). Vit phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im M(1; 2)
GIAI:
a). Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho (HS t giai)
b). Tỡm m phng trỡnh x
3
3x
2
+ m = 0 cú 3 nghim phõn bit.
Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
x
3
+ 3x
2
4 = m 4 (1)
Phng trỡnh (1) l phng trỡnh honh giao im ca th (C): y = x
3
+ 3x
2
4 v ng
thng (d): y = m 4.
Phng trỡnh ó cho cú 3 nghim phõn bit khi v ch khi ng thng (d) ct th (C) ti 3
im phõn bit.
Da vo th suy ra: 4 < m 4 < 0 hay: 0 < m < 4
c). Vit phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im M(1; 2)
Phng trỡnh tip tuyn: y = 3x 5.
Bi 3: Cho hm s y = x
3
+ 3x
2
+ 1.

a). Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b). Da vo th (C), bin lun s nghim ca phng trỡnh sau theo m :
3 2
m
x 3x 1
2
+ + =
c). Vit phng trinh tiờp tuyờn vi th (C) bit tt vuụng gúc vi ng thng
1
y x 2
3
= +
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
GIẢI:
b). Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m :
3 2
m
x 3x 1
2
+ + =
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y= m/2; nên ta có:
+ Nếu
m
2
> 5 hoặc
m
2
<1 Hay m>10 hoặc m< 2 thì PT (1) có nghiệm duy nhất.
+ Nếu m = 10 hoặc m = 2 thì PT (1) có 2 nghiệm
+ Nếu 2 < m < 10 thì phương trình (1) có 3 nghiệm.

c). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
y x 2
3
= +
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 3x.
Bài 4: Cho hàm số
3
y x 3x= -
, có đồ thị (C).
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b). Xác định m sao cho phương trình
3
x 3x m 1 0- + - =
có ba nghiệm phân biệt.
c). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
GIẢI:
b). Xác định m sao cho phương trình
3
x 3x m 1 0- + - =
có ba nghiệm phân biệt.
Phương trình
3
x 3x 1 m- = -Û
. Do đó số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị
và đường thẳng y=1-m.
Dựa vào đồ thị (C) ta thấy, phương trình có ba nghiệm phân biệt
1 m 3- < <Û

c). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.

 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox

3
x 0
x 3x 0 x 3
x 3
é
=
ê
ê
- = =Û
ê
ê
=-
ê
ë
 Diện tích cần tìm là:
( )
3 3 3
3 3 3
0 0
3
9
S x 3x dx 2 x 3x dx 2 x 3x dx
2
-
= - = - = - =
ò ò ò
Bài 5: Cho hàm số
3 2 2

y x 2mx m x 2= - + -
(m là tham số) (1)
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
b). Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
GIẢI:
b). Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi và chỉ khi
y (1) 0
m 1
y (1) 0
ì
¢
=
ï
ï
=Û
í
ï
¢¢
>
ï
î
Bài 6: Cho hàm số
3
1 2
y x mx
3 3
= - +
(1) , (m là tham số ) .
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=1

2). Tìm tham số m để hàm số (1)
a). Đồng biến trên tập xác định của nó
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
b). Có cực đại và cực tiểu
c). Đạt cực tiểu tại điểm
0
x 2=
ĐS:
2).
a).
ycbt m 0Û £
b).
ycbt m 0>Û
c).
ycbt m 4=Û
Bài 7: Cho hàm số
3 2
1 3
y x x 4
4 2
= - +
có đồ thị là (C )
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số
b). Dùng đồ thị (C ) ,tìm tham số m để phương trình :
3 2
x 6x m 0- + =
có ba nghiệm
phân biệt
HD:
b).

3 2 3 2
1 3 m
x 6x m 0 x x 4 4
4 2 4
- + = - + = - +Û
; ĐS: 0 < m < 32
Bài 8: cho hàm số
( )
3 2
y x m 1 x m= + - -
(1)
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m=–2
b). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
c). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
1 2 3
x , x , x
thoả mãn:
2 2 2
1 2 3
49
x x x
4
+ + =
HD:
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = – 2
Khi m = – 2:
3 2
y x 3x 2= - +
. (Học sinh tự giải)
b). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

PTHĐ giao điểm của (C) và trục Ox:
( ) ( )
( )
3 2 2
x m 1 x m 0 x 1 x mx m 0+ - - = - + + =Û
ĐS:
m 0 ;m 4
1
m
2
ì
< >
ï
ï
ï
í
ï
-¹
ï
ï
î
c). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
1 2 3
x , x , x
thoả mãn:
2 2 2
1 2 3
49
x x x
4

+ + =
 ý 1:
m 0 ;m 4
1
m
2
ì
< >
ï
ï
ï
í
ï
-¹
ï
ï
î
 ý 2:
2 2 2
1 2 3
49
x x x
4
+ + =
2 2
1 2
45
x x
4
+ =Û

9 5
m ,m
2 2
= =-Û Û
ĐS:
9 5
m ,m
2 2
= =-
Bài 9: Cho hàm số
4 2
y x 2x= -
(C)
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b). Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
x 2x m- =
c). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
x 2=
.
S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn
d). Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú tung
y 8=
.
e). Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) , bit h s gúc ca tip tuyn bng 24 .
GIAI:
a). Kho sỏt v v th (C) ca hm s .
Tp xỏc nh:
D = Ă
S bin thiờn

+ Gii hn
x
lim y
Ơđ
= + Ơ
+ Bng bin thiờn
3 2
y 4x 4x 4x(x 1)
Â
= - = -
y 0 x 0
Â
= =
v
x 1=
Bng bin thiờn:
Hm s ng bin trờn cỏc khong
( )
1;0-
v
( )
1;+ Ơ
,
nghch bin trờn cỏc khong
( )
; 1- Ơ -
v
( )
0;1
.

Hm s t cc i ti
x 0=
,
Cé
y 0=
, t cc tiu ti
x 1=
,
CT
y 0=
.
th
Giao im ca th vi cỏc trc ta
+ Giao im vi Oy:
x 0 y 0= =ị
:
( )
0;0
+ Giao im vi Ox:
( )
( )
x 0
y 0 : 0;0 , 2;0
x 2
ộ
=
ờ
=
ờ
=

ở
Nhn xột: Hm s ó cho l hm s chn nờn th ca nú nhn trc tung lm trc i xng.
b). Bin lun theo m s nghim thc ca phng trỡnh
4 2
x 2x m- =
S nghim thc ca phng trỡnh
4 2
x 2x m- =
bng s giao im ca
th (C) ca hm s
4 2
y x 2x= -
v ng thng (d):
y m=
.
Da vo th ta cú:
Vi
m 1< -
, (d) v (C) khụng cú im chung, do ú phng trỡnh vụ nghim.
Vi
m 1=-
hoc
m 0>
, (d) v (C) cú hai im chung, do ú phng trỡnh cú hai nghim.
Vi
1 m 0- < <
, (d) v (C) cú bn im chung, do ú phng trỡnh cú bn nghim.
c). Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú honh
x 2=
.

Tung ca tip tuyn ti im cú honh
0
x 2=
l
0
y 8=
H s gúc ca tip tuyn ti im
( )
2;8
l
( )
y' 2 24=
.
Phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im
( )
2;8
l
y 24x 56= -
.
d). Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú tung
y 8=
.
im thuc th hm s cú tung
0
y 8=
, cú honh
0
x 2=
.
H s gúc ca tip tuyn ti tip im v

( )
2;8-
ln lt l
( )
y' 2 24=
,
( )
y' 2 24- = -
.
x
y
y
-
-1
1
+
0 0
+

+
-1
+
+
0
0

-1
S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn
Phng tỡnh tip tuyn ca (C) ti im
( )

2;8
l
y 24x 56= -
v ti im
( )
2;8-
l
y 24x 40=- -
.
e). Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) , bit h s gúc ca tip tuyn bng 24 .
im
( )
0 0
M x ;y
thuc (C) cú h s gúc tip tuyn ti M l:
( )
0
y x 24
Â
=
.
Khi ú, ta cú:
( )
( )
3 2
0 0 0 0 0 0
4x 4x 24 0 x 2 4x 8x 12 0 x 2- - = - + + = =
Lỳc ny tung ca M l
0
y 8=

.
Phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im M l
y 24x 56= -
.
Bi 10: Tim iờu kiờn m ờ:
a). Hm s
4 2
y x mx m 5= + - -
cú 3 cc tr
b). Hm s
3 2 2
y x 3mx (m 1)x 2= - + - +
t cc tiu ti im
x 2=
HD:
a). Hm s
4 2
y x mx m 5= + - -
cú 3 cc tr

3 2
y 4x 2mx 2x(2x m)
Â
= + = +

Hm s cú 3 cc tr khi
y 0
Â
=
cú 3 nghim phõn bit

phng trỡnh
2
2x m 0+ =
cú 2 nghim phõn bit khỏc 0

m < 0
Bi 11: Cho hm s:
2 4
y 2x x= -
.
a). Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b). Dựng th (C), bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh:
4 2
x 2x m 0- + =
.
HD:
b). Dựng th (C), bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh:
4 2
x 2x m 0- + =
.
Phng trỡnh:
4 2 2 4
x 2x m 0 m 2x x- + = = -

S nghim ca pt trờn l s giao im ca ng thng y = m v ụ thi (C).
Da vao th (C) ta cú:
m 1
m 0
ộ

=
ờ
ờ
<
ở
phng trinh cú 2 nghim
m 0=
phng trinh cú 3 nghim
0 m 1< <
phng trinh cú 4 nghim
m 1>
phng trinh vụ nghim
Bi 12: Cho hm s
4 2
1
y x 2x 4
4
= - +
(C)
1). Kho sỏt s bin thiờn v v th (C)
2). Lp phng trỡnh tip tuyn ca th (C) trong cỏc trng hp:
a). Tip tuyn ca (C) ti gc to
b). Tip tuyn ca (C) cú h s gúc bng 8
c). Tip tuyn ca (C) song song vi ng thng d: y = x + 1
d). Tip tuyn ca (C) vuụng gúc vi ng thng :
1
y x 1
15
= +
e). Tip tuyn ca (C) i qua im

4
M 4;
3
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
(NC)
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
HD:
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a). Tiếp tuyến của (C) tại gốc toạ độ
Tại điểm (0; 0) có tiếp tuyến y = – 3x
b). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng –8
Tìm được hai tiếp điểm:
16
1;
3
æ ö
÷
ç
-
÷
ç

÷
ç
è ø
;
20
5;
3
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
 Tại điểm
16
1;
3
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
có tiếp tuyến

8
y 8x
3
=- +
 Tại điểm
20
5;
3
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
có tiếp tuyến
100
y 8x
3
=- -
c). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = x + 1
Tìm được một tiếp điểm:
2
2;
3
æ ö
÷
ç

-
÷
ç
÷
ç
è ø
Tại điểm
2
2;
3
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
có tiếp tuyến
8
y x
3
= +
d). Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng Δ:
1
y x 1
15
= +
Tìm được hai tiếp điểm:

( )
6;18-
;
50
2;
3
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
Tại điểm
( )
6;18-
có tiếp tuyến
y 15x 72=- -
Tại điểm
50
2;
3
æ ö
÷
ç
-
÷
ç

÷
ç
è ø
có tiếp tuyến
40
y 15x
3
=- +
e). Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
4
M 4;
3
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
(NC)
Tìm được hai tiếp điểm:
( )
6;18-
;
50
2;
3
æ ö

÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
 Tại điểm
4
4;
3
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
có tiếp tuyến
32
y 3x
3
=- -
 Tại điểm
4
1;
3

æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
có tiếp tuyến
4
y
3
=
Bài 13: Cho hàm số
4 2
y x 2mx m 1= - + -
(1) , (m là tham số ) .
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m = 1
b). Tìm tham số m để hàm số có ba cực trị tạo thành một tam giác đều
HD:
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m = 1
Khi m = 1, ta có:
4 2
y x 2x= -
. Học sinh tự giải
b). Tìm tham số m để hàm số có ba cực trị tạo thành một tam giác đều
Ta có:
( )
2

y 4x x m
¢
= -
;
2
y 0 x 0;x m
¢
= = =Û
S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn
Hm s cú ba cc tr khi m > 0
To ba im cc tr l A(0;m1) ;
( )
2
B m; m m 1- - + -
;
( )
2
C m; m m 1- + -
Ta luụn cú: AB = AC, nờn tam giỏc ABC u khi
2 2
AB BC=
Lỳc ú:
4
3
m m 4m 3m+ = =
loai m = 0.
Bi 14: Cho hm s
2x 1
y
x 1

+
=
+
(C)
a). Khao sỏt v v th (C) ca hm s .
b). Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cú honh
1
x
2
=
.
c). Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cú tung
1
y
2
=-
.
d). Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) , bit h s gúc ca tip tuyn k = 4.
e). Tỡm m ng thng
( )
5
d : y mx 2m
3
= + -
ct (C) ti 2 im phõn bit .
GIAI:
a). Khao sỏt v v th (C) ca hm s .
Tp xỏc nh:
{ }
D \ 1= -Ă

S bin thiờn:
+ Gii hn

( )
x 1
lim y
-
-đ
= + Ơ
v
( )
x 1
lim y
+
-đ
=- Ơ

x 1= -ị
l tim cn ng

x
lim y 2
- Ơđ
=
v
x
lim y 2
+ Ơđ
=

y 2=ị
l tim cn ngang
+ Bng bin thiờn

( )
2
1
y 0, x 1
x 1
Â
= > " -ạ
+
Bng bin thiờn:
Hm s ng bin trờn cỏc khong
( )
; 1- Ơ -
v
( )
1;- + Ơ
.
Hm s khụng cú cc tr.
th
+ Giao im ca th vi cỏc trc ta
Giao im vi Oy:
x 0 y 1= =ị
:
( )
0;1
Giao im vi Ox:
1 1

y 0 x : ;0
2 2
ổ ử
ữ
ỗ
= =- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

+ Nhn xột: th nhn giao im
( )
I 1;2-
ca hai tim cn lm tõm i xng.
x
y
y
-
-1
+
2
+
+
+
-
2
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ

1
x
2
=
.
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ
0
1
x
2
=
, có tung độ
0
4
y
3
=
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
1 4
;
2 3
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

là
1 4
y'
2 9
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
1 4
;
2 3
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
là
4 14
y x
9 9
= +

.
c). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
y
2
=-
.
Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ
0
1
y
2
=-
, có hoành độ
0
3
x
5
=-
,
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
3 1
;
5 2
æ ö
÷
ç
- -
÷
ç

÷
ç
è ø
là
3 5
y'
5 2
æ ö
÷
ç
- =
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
3 1
;
5 2
æ ö
÷
ç
- -
÷
ç
÷
ç
è ø

là
5
y x 1
2
= +
.
d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 4.
Điểm
( )
0 0
M x ;y
thuộc đồ thị (C), có hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
( )
0
y' x 4=
.
Khi đó, ta có:
( )
0 01
2
0
1 1 1
4 x 1 x
2 2
x 1
= + = ± = -Û Û
+
hoặc
02
3

x
2
=-
.
Tung độ của điểm M là
01
1
y 0
2
æ ö
÷
ç
- =
÷
ç
÷
ç
è ø
hoặc
01
3
y 4
2
æ ö
÷
ç
- =
÷
ç
÷

ç
è ø
.
Vậy có hai tiếp tuyến có phương trình là
y 4x 2= +
và
y 4x 10= +
.
e). Tìm m để đường thẳng
( )
5
d : y mx 2m
3
= + -
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Tìm m để đường thẳng
( )
5
d : y mx 2m
3
= + -
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình:
2x 1 5
mx 2m
x 1 3
+
= + -
+
(1) có hai nghiệm phân biệt và khác –1.

x 1" -¹
, (1)
Û
2
1 2
mx m x 2m 0
3 3
æ ö
÷
ç
- + + - =
÷
ç
÷
ç
è ø
(2)
Ta thấy (2) không có nghiệm
x 1=-
.
Khi đó (2) có 2 nghiệm phân biệt khi:
2
2
1 1
9m 2m 3m 0
9 3
∆
æ ö
÷
ç

= - + = - >
÷
ç
÷
ç
è ø

1
m
9
Û ¹
.
Vậy
1
m
9
" ¹
thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 15: Cho hàm số
y
x 3
x 2
=
-
-
có đồ thị (C)
S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn
a). Kho sỏt s bin thiờn v v th (C).
b). Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng d: y = mx + 1 ct th ca hm s
ó cho ti hai im phõn bit.

c). Vit phng trỡnh tip tuyn vi th (C) bit tip tuyn // vi ng thng d:
y = x + 1
HD:
a). Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) (HS t giai)
b). Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng d: y = mx + 1 ct th ca hm
s ó cho ti hai im phõn bit.
Phng trỡnh honh ca (C) v ng thng
y mx 1= +
:
2
x 3
mx 1 g(x) mx 2mx 1 0, x 1
x 2
-
= + = - + = ạ
-
(1)
(C) v d ct nhau ti hai im phõn bit

phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit khỏc 1

2
m 0
m m 0
g(1) 0

ỡ
ạ
ù
ù

ù
ù
Â
= - >
ớ
ù
ù
ạ
ù
ù
ợ
m 0
m 0
m 0 m 1
m 1
m 2m 1 0
ỡ
ạ
ù
ù
ộ
<
ù
ù
ờ
< >
ớ
ờ
ù
>

ở
ù
- + ạ
ù
ù
ợ
c). Vit phng trỡnh tip tuyn vi th (C) bit tip tuyn // vi ng thng d: y = x + 1
S: Tiờp tuyờn cõn tim co phng trinh: y = x 3.
Bi 16: Cho hm s: y = f(x) =
2x m
1 x
+
-
a). Kho sỏt v v th (C) ca hm s khi m = 3.
b). Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C), bit tip tuyn ú cú h s gúc bng 5.
c). Tỡm m hm s luụn luụn ng bin trờn tp xỏc nh ca nú.
HD:
a). Kho sỏt v v th (C) ca hm s khi m = 3 (HS t giai)
b). Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C), bit tip tuyn ú cú h s gúc bng 5.
Tip tuyn ca (C) cú h s gúc bng 5 nờn:
( )
0
2
0
5
f (x ) 5 5
1 x
Â
= =
-

0 0
0 0
x 0 y 3
x 2 y 7
ộ
= =ị
ờ
ờ
= =-ị
ở
. T o co:
Phng trinh tiờp tuyờn ti: A(0; 3): y = 5x + 3
Phng trinh tiờp tuyờn ti:
B(2; 7)-
: y = 5x 17
c). Tỡm m hm s luụn luụn ng bin trờn tp xỏc nh ca nú. S: m > 2
Bi 17: Cho hm s
x m
y
x 1
-
=
+
(G) ,( m l tham s )
1). Tỡm tham s m im A(5;2) thuc th (G)
2). Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) khi m = 3
3). Lp phng trỡnh tip tuyn ca th (C) trong cỏc trng hp
a). Tip tuyn ca (C) cú h s gúc bng 4

b). Tip tuyn ca (C) song song vi ng thng d: y = 4x + 10
c). Tip tuyn ca (C) vuụng gúc vi ng thng : y = x + 1
d). Tip tuyn ca (C) i qua im M(3; 9) (NC)
HD:
1). Tỡm tham s m im A(5;2) thuc th (G)
Tớnh c m = 3
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
2). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m = 3.
Khi m = 3, ta có:
x 3
y (C)
x 1
-
=
+
. Học sinh tự khảo sát
3). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 4
Tìm ra được hai tiếp điểm: (0; – 3), (0; – 3)
 Tại điểm (0; – 3) có tiếp tuyến y = 4x – 3
 Tại điểm (–2; 5) có tiếp tuyến y = 4x + 13
b). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = 4x + 10
Tìm ra được hai tiếp điểm: (0; – 3), (0; – 3)
 Tại điểm (0; – 3) có tiếp tuyến y = 4x – 3
 Tại điểm (–2; 5) có tiếp tuyến y = 4x + 13
c). Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng Δ: y = – x + 1
Tìm ra được hai tiếp điểm: (–3; 3), (1;–1).
 Tại điểm (–3; 3) có tiếp tuyến y = x + 6
 Tại điểm (1;–1) có tiếp tuyến y = x – 2
d). Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(3; 9) (NC)

Tìm ra được hai tiếp điểm: (–3; 3), (1;–1).
 Tại điểm (–3;3) có tiếp tuyến y = x + 6
 Tại điểm (1;–1) có tiếp tuyến y = 4x – 3
Bài 18: Cho hàm số
2
y
2 x
=
-
(C)
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b). Tìm toạ độ giao điểm của (C ) và parabol(P):
2
y x 1= +
c). Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt
d). Tìm m để đường thẳng
y x m= +
cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB 2=
(NC)
HD:
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) (HS tự khảo sát)
b). Tìm toạ độ giao điểm của (C ) và parabol(P):
2
y x 1= +
Các giao điểm (0; 1) và (1; 2)
c). Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Ta có phương trình:
( )
2

2x m 4 x 2 2m 0+ - + - =
2
m 8m= +D
ĐS:
m 0
m 8
é
<
ê
ê
> -
ë
d). Tìm m để đường thẳng
y x m= +
cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB 2=
(NC)
ĐS: m = 1, m = – 5
Bài 19: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số
1).
4 2
f (x) x 18x 2= - +
trên đoạn
[ ]
1;4-
S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn
2).
2
x 7x 4
y f(x)

x
- +
= =
trờn khong
(0; )+ Ơ
;
3).
2
y f(x) x 9 x= = + -
.
HD:
1).
4 2
f (x) x 18x 2= - +
trờn on
[ ]
1;4-
f

(x) =
3
f (x) 4x 36x; f (x) 0
 Â
= - =

[ ]
[ ]
[ ]
x 0 1;4
x 3 1;4

x 3 1;4 (loai)
ộ
= -ẻ
ờ
ờ
= -ẻ
ờ
ờ
=- -ẽ
ờ
ở

Ta co: f(0) = 2; f(3) = 79; f(1) = 15; f(4) = 30
Vy
[ ]
1;4
max f (x) f(0) 2
-
= =
;
[ ]
1;4
minf(x) f(3) 79
-
= =-
2).
2
x 7x 4
y f(x)
x

- +
= =
trờn khong
(0; )+ Ơ
;
Ta cú
4
y x 7
x
= - +
.
Trờn khong
(0; )+ Ơ
, ta cú:
2
2 2
4 x 4
y 1
x x
-
Â
= - =
;
2
y 0 x 4 0 x 2
Â
= - = =
Bng bin thiờn
Da vo bng bin thiờn, ta cú:

(0; )
min f(x) f(2) 3
+ Ơ
= =-
;
Khụng tn ti giỏ tr ln nht ca hm s trờn khong
(0; )+ Ơ
.
3).
2
y f(x) x 9 x= = + -
.
Tp xỏc nh
D [ 3;3]= -
Ta cú
2
2 2
x 9 x x
y 1
9 x 9 x
- -
Â
= - =
- -
2 2
2
y 0
3
9 x x
9 x x

x
x ( 3;3)
2
x [0;3)
x ( 3;3)
ỡ
ỡ
ù
ỡ
Â
ù
=
ù
- =
- =
ù
ù ù ù
=
ớ ớ ớ
ù ù ù
-ẻ
ẻ
-ẻ
ù
ù ù
ợ
ợ
ù
ợ
3

f ( 3) 3, f (3) 3, f 3 2
2
ổ ử
ữ
ỗ
- =- = =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
x
'y
y
+
+
0

2
+
0
+
3

Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
Do đó
D
D
3
max f (x) f 3 2, minf(x) f( 3)

2
æ ö
÷
ç
= = = -
÷
ç
÷
ç
è ø
III/-MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP THÊM:
 Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan
Bài 1: Cho hàm số: y =
1
3
x
3
– 2x
2
+ mx – 2
1). Xác định m để:
a). Hàm số đồng biến trên
¡
.
b). Hàm số có cực trị.
c). Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
d). Hàm số có hai điểm cực trị dương.
2). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 (C
3
), khi m = 4 (C

4
), khi m = 6 (C
6
).
Bài 2: Cho hàm số y = – x
3
+ 3x
2
– 3mx – 3m – 4 (C
m
)
1). Xác định m để:
a). Hàm số nghịch biến trên R.
b). Phương trình: x
3
– 3x
2
+ 3mx + 3m + 4 = 0 có ba nghiệm phân biệt
2). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 (C
0
), khi m = 1 (C
1
), khi m = 2 (C
2
).
3). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
0
) và trục hoành.
4). Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y =
3 2

x 3x 4- + -
trên đoạn
[ ]
1;1-
.
Bài 3: Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + m – 2 (C
m
).
a). Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
b). Tìm m để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu ở hai phía đối với trục tung.
c). Khảo sát hàm số khi m = 4 (C
4
).
d). Gọi A là giao điểm của (C
4
) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của (C
4
) tại A.
e). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
4
) và (d).
Bài 4: Cho hàm số: y = – x
4
+ 2mx

2
– 2m + 1 (C
m
)
a). Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
b). KSHS khi m = 5 (C
5
), khi m = 0 (C
0
)
c). Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (C
5
) và trục hoành.
d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C
5
) tại tiếp điểm có hoành độ x = 2.
Bài 5: Cho hàm số: y =
(m 1)x m 3
mx 2
+ + +
+
, m là tham số
a). Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó?
b). Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó?
c). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 (C
2
), khi m = –1 (C
-1
)
d). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

2
) các trục ox, oy và đường thẳng x = 2
e). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh ox.
f). Tìm trên (C
2
) những điểm có tọa độ nguyên.
Bài 6: Cho hàm số: y =
mx 1
2x m
+
-
a). Chứng minh rằng
"
m hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
b). Xác định m để đường tiệm cận đứng của nó đi qua điểm
A(1; 2)
.
c). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 (C).
Bài 7: Cho hàm số y =
2 2
x 2kx k 1
x k
- + +
-
(CTNC)
a). Chứng minh rằng hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu và tổng các giá trị cực trị
của chúng bằng 0.
b). Xác định k để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
c). Xác định k để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1; 2)

d). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi k = 1 (C)
). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(3,0).
f). Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (C) đường tiệm cận xiên của (C) và hai
đường thẳng x = 2, x = 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng (H) quay quanh trục ox.
g). Tìm điểm trên (C) có tọa độ nguyên
Bài 8: Cho hàm số: y =
2
x x m
1 x
+ +
-
(CTNC)
a). Xác định m sao cho hàm số có cực trị.
b). Xác định m sao cho hàm số có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
c). Xác định m sao cho hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó?
d). Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
e). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –3 (C), khi m = –1
f). Chứng minh đường thẳng (d): y = x-t luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N.
g). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục tọa độ.
h). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ.
 Bài toán tìm GTLN-GTNN trên đoạn:
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
1
y x 2x 3x 5
3
= - + +
trên đoạn
3
;5

2
é ù
ê ú
ê ú
ë û

ĐS:
3
;5
2
min y 5
é ù
ê ú
ê ú
ë û
=

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2x 3
y
x 1
+
=
-
trên đoạn [ -2 ;
0
]
ĐS:
[ ]
[ ]

2;0
2;0
1
min y 3; maxy
3
-
-
=- =

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y x 4 x= + -
:
ĐS:
[ 2;2]
[ 2;2]
min y 2; max y 2 2
-
-
=- =
Bài 4: . Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y x 2ln x= -
trên
2
1
;e
e
é ù
ê ú

ê ú
ë û

Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
ĐS:
2
2
4
1
1
;e
;e
e
e
min y 1; max y e 4
é ù
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
ë û
= = -
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2x
f (x) x e= -
trên đoạn
[ 1;0]-
ĐS:

[ ]
1;0
1
max f (x) ln 2
2
-
=- -
;
[ ]
2
1;0
min f (x) 1 e
-
-
=- -
Bài 6:. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
f (x) sin 2x x= -
trên
;
2 2
π π
é ù
ê ú
-
ê ú
ë û
ĐS:
;
;
2 2

2 2
min f (x) , max f (x)
2 2
π π
π π
π π
é ù
é ù
ê ú
-
ê ú
-
ê ú
ê ú
ë û
ë û
=- =
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
f x 4sin x 2cos2x= +
trên đoạn
0;
2
π
é ù
ê ú
ê ú
ë û
.
ĐS:

0;
0;
2
2
minf(x) 2, maxf (x) 2 2
π
π
é ù
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
ë û
= =

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin
4
x – 4sin
2
x +5
ĐS:
[ ]
[ ]
0;1
0;1
minf(t) 2, maxf(t) 5= =
HD: Đặt t = sin
2

x thì
0 t 1£ £
. Xét hàm f(t) = t
2
– 4t + 5.
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) =
2
x 4x 4
x 1
- +
-
trên khoảng
( ;1)- ¥
.
ĐS:
( ;1)
max f (x) f (0) 4
- ¥
= = -
Bài 10 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
x
y
x 2
=
+
trên
( ]
2;4-

ĐS:

( 2;4]
2
max y
3
-
=
Bài 11: Tìm a và b để cho hàm số
2
2
x ax b
y
x 1
+ +
=
+
đạt GTLN bằng 5 và GTNN bằng
1-
.
Bài 12 : Cho hàm số y = ln(1 + x). Chứng minh rằng:
y
e (1 xy ) 1
¢
- =
.
Bài 13 : Cho hàm số y = x.sinx. Chứng minh rằng:
xy 2(y sin x) xy 0
¢ ¢¢
- - + =
.
Bài 14: Cho hàm số

2
x
2
y x.e
-
=
. Chứng minh rằng,
2
xy (1 x )y
¢
= -
Bài 15: Cho hàm số
2x x
y e e 3x= + -
. Tìm x để
y 0
¢
³

ĐS:
x 0³
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán