Chuyên đề 2: Mũ - Logarit

Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
Chuyên đề 2: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
PHẦN I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
I/-LŨY THƯA VÀ CĂN THỨC
Các định nghĩa Các tính chất

{
n
n
a a.a a
thöøa soá
=

(n , n 1, a )
+
∈ ≥ ∈¢ ¡

m n m n
a .a a
+
=

1
a a=

a∀

0
a 1=

a 0∀ ≠


m
m n
n
a
a
a
−
=

n
n
1
a
a
−
=

{ }
(n , n 1, a \ 0 )
+
∈ ≥ ∈¢ ¡


m n n m m.n
(a ) (a ) a= =

m
n
m

n
a a=

(a 0; m, n , n 2) > ∈ ≥¥


n n n
(a.b) a .b=

m
n
m
n
m
n
1 1
a
a
a
−
= =

n
n
n
a a
b
b
 
=

 ÷
 
II/-HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
1). Hàm số mũ: y = a
x
( a > 0, a ≠ 1 )
 Tập xác định :
D = ¡
 Tập giá trị :
T
+
= ¡
( Vì:
x
a 0, x > ∀ ∈¡
)
 Tính đơn điệu:
+ a > 1 : Hàm số đồng biến:
1 2
x x
1 2
x x a a> ⇒ >
+ 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến:
1 2
x x
1 2
x x a a> ⇒ <
2). Hàm số lôgarít: y = log
a
x

a). lôgarít

ÐN
M
a
log N M a N (0 a 1, N 0)= = < >Û ¹

a
log N
có nghĩa khi
a 0
a 1
N 0
>


≠


>


b). Các tính chất :

a
log 1 0=

a
log a 1=


M
a
log a M=

a
log N
a N=

a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N= +

1
a a 1 a 2
2
N
log log N log N
N
 
= −
 ÷
 

a a
log N .log N
α
= α
 Đặc biệt:
2
a a
log N 2.log N=

c). Công thức đổi cơ số :

a a b
log N log b.log N=

a
b
a
log N
log N
log b
=
Hệ quả:

a
b
1
log b
log a
=

a
a
log N log N
β
α
α
β
=
d). Hàm số lôgarít: y = log

a
x ( a > 0, a ≠ 1 )
 Tập xác định:
D
+
= ¡
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
 Tập giá trị
T = ¡
 Tính đơn điệu:
+ a > 1 : hàm số
a
y log x=
đồng biến:
1 2 a 1 a 2
x x 0 log x log x> > ⇒ >
+ 0 < a < 1 : hàm số
a
y log x=
nghịch biến
1 2 a 1 a 2
x x 0 log x log x> > ⇒ <
Một số điểm cần lưu ý:
Mũ Lôgarít
0 a 1< ≠
M N
a a M N= ⇔ =
0 a 1
< ≠
;

M, N 0>
a a
log M log N M N= ⇔ =
a 1>
M N
a a M N> ⇔ >
a 1>
a a
log M log N M N> ⇔ >
0 a 1< <
M N
a a M N> ⇔ <
0 a 1< <
a a
log M log N M N> ⇔ <
e). Đạo hàm số mũ, lôgarít
Hàm số sơ cấp Hàm hợp

2
1 1
x
x
′
 
= −
 ÷
 

1
(x )' .x

α α −
= α

2
1 u
u
u
′
′
 
= −
 ÷
 

1
(u )' .u .u
α α −
′
= α

( )
1
x
2 x
′
=

( )
n
n

n 1
1
x
n x
−
′
=

( )
u
u
2 u
′
′
=

( )
n
n
n 1
u
u
n u
−
′
′
=

x x
(e )' e=


x x
(a )' a ln a=

u u
(e )' u .e
′
=

u x
(a )' u .a .ln a
′
=

( )
1
ln x (x 0)
x
′
= ≠

( )
a
1
log x ' (x 0)
x.ln a
= ≠

( )
u

ln u (u 0)
u
′
′
= ≠

( )
a
u
log u (u 0)
u.lna
′
′
= ≠

1
(ln x) (x 0)
x
′
= >

a
1
(log x) (x 0)
xln a
′
= >

u
(lnu) (u 0)

u
′
′
= >

a
u
(log u) (u 0)
u.ln a
′
′
= >
III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1). PHƯƠNG TRÌNH MŨ
a). Phương trình mũ cơ bản:
Với:
a 0,a 1,b 0> >¹
ta có:
x b
a b x a= =Û

b). Một số phương pháp giải phương trình mũ:
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số:
Với:
a 0,a 1> ¹
:
f (x) g(x)
a a f(x) g(x)= =Û
Phương pháp 2: Lôgarit hoá:
a 0,a 1,b 0> >¹

:
( )
f (x) g(x)
a
a b f (x) g(x). log b= =Û

Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
Thông thường biến đổi PT (nếu cần) sau đó đặt ẩn phụ
f (x)
t a=
, nhớ điều kiện
t 0>

2). PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
a). Phương trình lôgarit cơ bản:

b
a
a 0,a 1:log x b x a> = =¹ Û


a
b
f (x) 0
a 0,a 1:log f (x) b
f (x) a
ì
>
ï
ï

> =¹ Û
í
ï
=
ï
î
b). Một số phương pháp giải phương trình lôgarit:
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số:
a a
f (x) g(x)
a 0,a 1:log f (x) log g(x)
f (x) 0 hay : g(x) 0
ì
=
ï
ï
> =¹ Û
í
ï
> >
ï
î
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
(Thông thường chọn hàm số đơn giản hơn để đặt điều kiện dương)
Phương pháp 2: Phương pháp mũ hóa:
a
g(x)
f (x) 0
a 0,a 1:log f (x) g(x)
f (x) a

ì
>
ï
ï
> =¹ Û
í
ï
=
ï
î
Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
Thông thường biến đổi PT (nếu cần) sau đó đặt
a
t log f (x)=
Nếu f(x) xác định thì không cần đặt điều kiện cho t (
t Î ¡
)
III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1). Bất phương trình mũ cơ bản:
a > 1
0 < a < 1
x
a b>
a
b 0 : x log b> >
x
a b>
a
b 0 : x log b> <
b 0 : £

BPT có nghiệm
Î ¡x"
b 0 : £
BPT có nghiệm
Î ¡x"
x
a b<
a
b 0 : x log b> <
x
a b<
a
b 0 : x log b> >
b 0 : £
BPT vô nghiệm
b 0 : £
BPT vô nghiệm
2). Bất phương trình logarit:
a > 1
0 < a < 1
( )
a
log f x b>
( )
b
f x a>

( )
a
log f x b>

( )
( )
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
b
f x a
f x 0
<
>

( )
a
log f x b<
( )
( )
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï

î
b
f x a
f x 0
<
>

( )
a
log f x b<
( )
b
f x a>
3). Một số phép biến đổi cần thiết:
a). Bất phương trình mũ:
( ) ( )f x g x
a a<

 Nếu
a > 1
:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a < a f x g x<Û

 Nếu
0 < a < 1
:
( ) ( )

( ) ( )
f x g x
a a f x g x< >Û
b). Bất phương trình lôgarit:
( ) ( )
a a
log f x log g x<

 Nếu
a > 1
:
( ) ( )
( ) ( )
( )
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
a a
f x g x
log f x log g x
f x 0
<
<
>
Û

 Nếu
0 < a < 1
:
( ) ( )
( ) ( )
( )
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
a a
f x g x
log f x log g x
g x 0
>
<
>
Û

PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG.
 BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
BÀI 1. Giải phương trình
x x 1 x 2 x x 1
2 2 2 5 2.5
+ + -
+ + = +
.

GIẢI:
Ta có:
x x 1 x 2 x x 1
2 2 2 5 2.5
+ + -
+ + = +
x x x 2 x x
1
2 2 .2 2 .2 5 2.5 .
5
+ + = +Û
( )
x
x x x x
5
2
2 7 5
1 2 4 .2 1 .5 7.2 .5 5 x log 5
5 5 2
æ ö æö
÷ ÷
ç ç
+ + = + = = =Û Û Û Û
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là

5
2
x log 5=
.
BÀI 2. Giải phương trình
2
x 2
x x 2
1
3
9
-
- -
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
.
GIẢI:
Ta có
2
x 2
x x 2
1
3

9
-
- -
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø

( )
2
x 2
x x 2 2
3 3
-
- - -
=Û

2
x x 2 2x 4
3 3
- - - +
=Û

2
x x 2 2x 4- - =- +Û

2
x x 6 0+ - =Û
x 2
x 3
é
=
ê
Û
ê
=-
ë
.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
x 2, x 3= = -
.
BÀI 3. Giải phương trình
x x
25 30.5 125 0- + =
.
GIẢI:
Phương trình đã cho tương đương:
( )
2
x x
5 30.5 125 0- + =
.
Đặt
x
t 5=
, điều kiện

t 0>
.
Khi đó phương trình trở thành:
2
t 30t 125 0- + =
t 5
t 25
é
=
ê
Û
ê
=
ë
(nhận)
+ Với
x
t 5 5 5 x 1= = =Û Û
.
+ Với
x x 2
t 25 5 25 5 5 x 2= = = =Û Û Û
.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
x 1, x 2= =
.
BÀI 4. Giải phương trình
x 2 x
3 3 10
+ -

+ =
.
GIẢI:
Ta có
x 2 x
3 3 10
+ -
+ =
x
x
1
9.3 10
3
+ =Û
Đặt
x
t 3=
, điều kiện
t 0>
.
Khi đó phương trình trở thành:
1
9t 10
t
+ =
2
9t 10t 1 0- + =Û
t 1
1
t

9
é
=
ê
Û ê
ê
=
ê
ë
(nhận)
 Với
x
t 1 3 1 x 0= = =Û Û
.
 Với
x 2
1
t 3 3 x 2
9
-
= = =-Û Û
.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
x 0, x 2= =-
.
BÀI 5. Giải phương trình
x x x
3.9 7.6 6.4 0+ - =
.
GIẢI:

Phương trình đã cho tương đương:
2x x
3 3
3. 7. 6 0
2 2
æö æö
÷ ÷
ç ç
+ - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Đặt
x
3
t
2
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
, điều kiện

t 0>
.
S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn
Khi ú phng trỡnh tr thnh:
2
3t 7t 6 0+ - =
( )
2
t
3
t 3 loaùi
ộ
ờ
=
ờ

ờ
ờ
=-
ở
Vi
x x 1
2 3 2 3 3
t x 1
3 2 3 2 2
-
ổử ổử ổử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= = = =-

ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
.
Vy phng trỡnh ó cho cú 1 nghim l
x 1=-
.
BAI 6. Gii phng trỡnh
2
x 4 x 2
5 7
- +
=
.
GIAI:
Ta cú:
2 2
x 4 x 2 x 4 x 2
5 5
5 7 log 5 log 7
- + - +
= =
( ) ( ) ( ) ( )
2
5 5
x 4 x 2 log 7 x 2 x 2 x 2 log 7 0- = + - + - + =
( )
( )

5
5
x 2
x 2 x 2 log 7 0
x 2 log 7
ộ
=-
ờ
+ - - =
ờ
= +
ở
.
Vy phng trỡnh ó cho cú 2 nghim l
5
x 2, x 2 log 7=- = +
.
BAI 7. Gii phng trỡnh
x
3 11 x= -
.
GIAI:
Ta cú
x 2=
l nghim ca phng trỡnh cho.
Mt khỏc, hm s
x
y 3=
luụn ng bin trờn
Ă

, hm s
y 11 x= -
luụn nghch bin trờn
Ă

nờn
x 2=
l nghim duy nht ca phng trỡnh ó cho.
Vy phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht l
x 2=
.
BAI 8. Gii phng trỡnh
( )
x x
1 1
3x 11 . 3x 10 0
4 2
ổử ổử
ữ ữ
ỗ ỗ
- + + + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
GIAI:
t
x

1
t
2
ổử
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
, iu kin
t 0>
.
Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh:
( )
2
t 3x 11 t 3x 10 0- + + + =
t 1
t 3x 10
ộ
=
ờ

ờ
= +
ở
Vi
x

1
t 1 1 x 0
2
ổử
ữ
ỗ
= = =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vi
x
1
t 3x 10 3x 10
2
ổử
ữ
ỗ
= + = +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
(*).
Ta cú
x 2=-

tha món phng trỡnh (*) nờn l nghim ca phng trỡnh (*).
M hm s
x
1
y
2
ổử
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
luụn nghch bin trờn
Ă
, hm s
y 3x 10= +
luụn ng bin trờn
Ă
. Do
ú
x 2=-
l nghim duy nht ca phng trỡnh (*).
Vy phng trỡnh ó cho cú 2 nghim l
x 0, x 2= =-
.
BAI TP CO AP Sễ
BAI 1: Gii phng trỡnh:

S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn
a).
2
x 1
x 6x 2
1
25
5
+
- +
ổử
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
S:
1
x 5;x
2
= =
b).
x 1 x x x 1
5 10 .2 .5
- - +
=
S:

x 2=-
BAI 2: Gii bt phng trỡnh:
a).
2x 1 x
2 17.2 8 0
+
- + Ê
S:
[ ]
S 1;3= -
b).
( ) ( )
x x
4 15 4 15 8+ + - >
S:
( ) ( )
S ; 1 1;= - Ơ - + ƠU
BAI 4: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a).
x 1 x x 1
5 6.5 3.5 52
+ -
+ - =
b).
x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2
3 3 3 9.5 5 5
+ + + + +
+ + = + +
c).
x x 1

3 .2 72
+
=
d).
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7
4 4 4 1
- + + + + +
+ = +
BAI 2: Gii phng trỡnh:
a).
( ) ( ) ( )
ln x 3 ln x 1 ln 3x 7- + - = -
S:
x 5=
b).
( ) ( )
4 2 2 4
log log x log log x 2+ =
S:
x 16=
BAI 3: Gii bt phng trỡnh v h phng trỡnh sau:
a).
( ) ( )
3 1
3
2log x 2 log 2x 19 0+ + + Ê
S:
( ]
S 2;3= -

b).
8 8 8
8
8
8
log (xy) 3log x.log y
log x
x
4log
y log y
ỡ
=
ù
ù
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ù
ù
ợ
S:
( )
1
8;2 2 , ; 2
2
ổ ử
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
BAI TP:
Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1).
x x 1 x 2
3 3 3 351
+ +
+ + =
2).
x 1 x 2 x 2 x 3
2 2 3 3
+ + - -
+ = +

3).
x x 1
7.5 2.5 11
-
- =
4).
x 2x 2x x
14.7 4.3 19.3 7+ = -
Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1).
( )

2
x x
6x 10
0,2 5
-
-
=
2).
2
x x 5 2x 3
3 2
2 3
- - +
ổử ổử
ữ ữ
ỗ ỗ
=
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
3).
( ) ( )
4x 1 2x 3
3 2 2 3 2 2
- +
+ = -
4).
( )

2
x x
x 1
9. 3 81
-
-
=
Bai 3. Giai cac phng trinh sau:
1).
2x 2x
9 3 6 0- - =
2).
x x 1
2 4 1
-
- =
3)
x x
25 5 12 0- - =
4).
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
- + =
Bai 4. Giai cac phng trinh sau:
1).
x x x
10.25 29.10 10.4 0- + =
2).
x x x

5.36 3.16 2.81= +
3).
x x x
25 3.15 2.9 0+ + =
4).
x x x
4.9 12 3.16+ =
Bai 5. Giai cac phng trinh sau:
1).
x 1 x 3
5 5 26
- - +
+ =
2).
x 1 2 x
7
2 2
2
- -
- =
3).
x 1 2 x
3 3 28
+ -
+ =
4).
2 2
2x x 1 2x x
7 7 8 0
- + + -

+ - =
Bai 6. Giai cac phng trinh sau:
1).
2
x 2x 8 x 2
4 5
+ - -
=
2).
x 1
x 1
x
3 .8 1
-
-
=
Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán
3).
2
x 9 x
2 .3 8
-
=
4).
x 1 2x 1
4.9 3 2
- +
=
Bài 7. Giải các phương trình sau:
1).

x x x
8 2.4 2 2 0- - + =
2).
2 2
x x 2 x x
2 2 3
- + -
- =
3).
x x x x
3.8 4.12 18 2.27 0+ - - =
4).
2 2
x x x x 2x
2 4.2 2 4 0
+ -
- - + =
Bài 8. Giải các phương trình sau:
1).
2 3 4 20
log x log x log x log x+ + =
2).
( ) ( )
2
(x 3)
1
3x 1 2 log x 1
log 2
+
- + = + +

2
log
3).
( )
2
2
9 3
3
1 x 1
log x 5x 6 log log (x 3)
2 2
-
- + = + -
4).
( ) ( )
2 2
2 2 2
log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3+ + + + + = +
Bài 9. Giải các phương trình sau:
1).
8
2
4 16
log 4x
log x
log 2x log 8x
=
2).
x 3 3
x

1
log 3 log x log 3 log x
2
+ = + +
3).
( ) ( )
x 1 x
2 2
log 4 4 .log 4 1 3
+
+ + =
4).
( )
3 9x
3
4
2 log x log 3 1
1 log x
- - =
-
Bài 10. Giải các bất phương trình sau:
1).
2
x 3x
2 4
- +
<
2).
2
2x 3x

7 9
9 7
-
³
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
3).
x 2 x 1
3 3 28
+ -
+ £
4).
x x
4 3.2 2 0- + >
5).
2x 1 2x 2 2x 3
2 2 2 448
- - -
+ + ³
6).
x x
22 3 0
-
+ - <

7).
( ) ( )
x x 1
0, 4 2,5 1,5
+
- >
8).
x x x
5.4 2.25 7.10+ £
Bài 11. Giải các bất phương trình sau:
1).
1
3
3x 1
log 1
x 2
-
>
+
2).
4 4
log (x 7) log (1 x)+ > -
3).
2 2
log (x 5) log (3 2x) 4+ - -£
4).
2
2
log (x 4x 5) 4- - <
5).

x
5
log (26 3 ) 2- >
6).
x
3
log (13 4 ) 2- >
1).
( )
log 4 2x 2
8
- ³
2).
( ) ( )
log 3x 5 log x 1
1 1
5 5
- > +
3).
( )
log x log x 2 log 3
0,2 5 0,2
- - <
4).
2
log x 5log x 6 0
3 3
- + =
5).
1 1

1
1 log x log x
+ >
-
6).
2
0,2 0,2
log x 5log x 6- < -