Chứng minh BĐT nhờ Tích phân, định lý Lagrang

Bài 1: Chứng minh
ln (1), , ,0
a b a a b
a b b a
a b b
− −
< < ∀ ∈ < <¡
Cách 1: Sử dụng định lý Lagrang
Ta thấy (1) có dạng:
1 ln ln 1a b
a a b b
−
< <
−
, biểu thức
ln lna b
a b
−
−
gợi ý cho ta sử dụng định lý Lagrang
Xét hàm số
( ) lnf x x=
trên
[ ; ]b a
. Vì
( )f x
liên tục trên
[ ; ]b a
và khả vi trên khoảng
( ; )b a

nên theo
định lý Lagrang,
( ) ( ) 1 ln ln
( ; ) : '( )
f a f b a b
c b a f c
a b c a b
− −
∃ ∈ = ⇒ =
− −
.
Vì
1 1 1 1 ln ln 1
( ; ) ln
a b a b a a b
c b a
a c b a a b b a b b
− − −
∈ ⇒ < < ⇒ < < ⇔ < <
−
./.
Cách 2: Sử dụng tích phân
Ta thấy (1) có dạng:
1 1
( ) ln ln ( )b a a b a b
a b
− < − < −
, gợi ý sử dụng tích phân
Với
1 1 1

( ; )x b a
a x b
∀ ∈ ⇒ < <
. Hàm số
1
( )f x
x
=
liên tục trên
[ ; ]b a
nên ta có:
1 1 1 1 1
ln ln ln
a a
a a a
a
b
b b b b b
a b a b
dx dx dx x x x a b
a x b a b a a
− −
< < ⇒ < < ⇒ < − <
∫ ∫ ∫
Một số bài tương tự:
Vận dụng kết quả bài 1, ta có kết quả sau:
Bài 2: Chứng minh
1
*
1 1

1 1 , (2)
n n
e n
n n
+
   
+ < < + ∀ ∈
 ÷  ÷
   
¥
Hướng dẫn:
(2)
1 1 1
ln
1
n
n n n
+
⇔ < <
+
, có dạng của (1) với
1,a n b n= + =
Một số bài tương tự:
Bài 3: Chứng minh rằng:
, 0; ,
2
a b a b
π
 
∀ ∈ <

 ÷
 
, ta có:
2 2
cos cos
b a b a
tgb tga
a b
− −
< − <
Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng tích phân
Ta có
2 2 2
1 1 1
; ,0
cos cos cos 2
x a x b
a x b
π
< < ∀ < < < <
1

Suy ra:
2 2 2
1 1 1
cos cos cos
b b b
a a a
dx dx dx

a x b
< <
∫ ∫ ∫
Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang
Biến đổi về:
2 2
1 1
cos cos
tgb tga
a b a b
−
< <
−
Bài 4: Cho
0x y> >
. Chứng minh rằng:

( ) ( )
2005 2006 2006 2005
2006 2006y x y x y x x y− < − < −
Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng tích phân
2005 2005 2005
x x x
y y y
y dt t dt x dt< <
∫ ∫ ∫
Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang
Biến đổi về
2006 2006

2005 2005
2006 2006
x y
y x
x y
−
< <
−
Bài 5: Chứng minh rằng:
ln(1 ) 0
1
x
x x x
x
< + < ∀ >
+
Cách 1: Sử dụng tích phân
0 0 0
1 1
1 1
x x x
dt dt dt
x t
< <
+ +
∫ ∫ ∫
Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang
Biến đổi về:
1 ln(1 ) ln(1 0) 1
1 0 1 0

x
x x
+ − +
< <
+ − +
Bài 6: Chứng minh:
1
1 1
1 1 (6), 0
1
x x
x
x x
+
   
+ > + ∀ >
 ÷  ÷
+
   
Hướng dẫn:
(6)
1 1
( 1)ln 1 ln 1 ( 1) ( )
1
x x f x f x
x x
   
⇔ + + > + ⇔ + >
 ÷  ÷
+

   
với
1
( ) ln 1f x x
x
 
= +
 ÷
 
Ta chứng minh rằng
( )f x
là hàm số đồng biến trong khoảng
(0; )+∞
. Thật vậy:
1 1 1
( ) .(ln( 1) ln ) '( ) (ln( 1) ln ) ln( 1) ln
1 1
f x x x x f x x x x x x
x x x
 
= + − ⇒ = + − + − = + − −
 ÷
+ +
 
Mặt khác theo kết quả của bài 1 với
1,a x b x= + =
. Ta có:
1 1 1 1
ln ln( 1) ln
1 1

x
x x
x x x x
+
< < ⇒ < + −
+ +
Do đó
'( ) 0, 0f x x> ∀ >
.
Hàm f đồng biến nên
( 1) ( )f x f x+ >
./.
2

Bài 7: Chứng minh rằng
2
1
ln(1 1 ) lnx x
x
+ + < +
(7) với mọi
(0; )x ∈ +∞
Hướng dẫn:
(7)
2
2
1 1 1 1 1 1
ln ln 1
x
x x x x x

 
+ +
< ⇔ + + <
 ÷
 ÷
 
. Đặt
1
t
x
=
, bài toán đưa về chứng minh
2
ln( 1 )t t t+ + <
,
(0; )t∀ ∈ +∞
(7.1).
Cách 1: (Sử dụng tích phân): Ta có
2 2
0
2 2
0
0 0
1 1
1, 0 , 0 ln( 1 ) ln( 1 )
1 1
t t
t
t
x dx dx t x x x t t x

x x
< ∀ > ⇒ < ∀ > ⇒ + + < ⇒ + + <
+ +
∫ ∫
Cách 2: (Sử dụng định lý Lagrang): Biến đổi (7.1) về dạng:
2 2
ln( 1 ) ln(0 1 0 )
1
0
t t
t
+ + − + +
<
−
Xét hàm số
2
( ) ln( 1 )f x x x= + +
trên
[0; ]t
. Ta thấy
( )f x
liên tục trên
[0; ]t
, khả vi trên
(0; )t
nên
2
0 0
2
0

1 ( ) (0) ln( 1 )
(0; ): '( )
0
1
f t f t t
x t f x
t t
x
− + +
∃ ∈ = = =
−
+
.
Vì
2
2
2
0
1 ln( 1 )
1 1 ln( 1 )
1
t t
t t t
t
x
+ +
< ⇒ < ⇔ + + <
+
.
Bài 8: Chứng minh rằng

2 2
1 ln( 1 ) 1 , 0x x x x x+ + + > + ∀ >
(8) với mọi
(0; )x ∈ +∞
Hướng dẫn:
(8)
2 2
2 2 2
2 2
ln( 1 ) 1
ln( 1 ) 1 1 ln( 1 )
1 1 1 1
x x x
x x x x x x x
x
x x
+ +
⇔ + + > + − ⇔ + + > ⇔ >
+ + + +
2 2
2
ln( 1 ) ln(0 1 0 ) 1
0
1 1
x x
x
x
+ + − + +
⇔ >
−

+ +
Cách 1: Sử dụng tích phân
Ta có
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
, : 0
1 1 1 1 1 1
x x
t t x dt dt
x t x t
< ∀ < < ⇒ <
+ + + + + +
∫ ∫
2 2
2 2
0
0
1
ln( 1 ) ln( 1 )
1 1 1 1
x
x
x
dt t t x x
x x
⇒ < + + ⇔ < + +
+ + + +
∫
Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang

Xét hàm số
2
( ) ln( 1 )f t t t= + +
trên
[0; ]x
. Do
( )f x
liên tục trên
[0; ]x
và khả vi trên
(0; )x
. Do đó
tòn tại
2
0 0
2
0
1 ( ) (0) ln( 1 )
(0; ) : '( )
0
1
f x f x x
x x f x
x x
x
− + +
∃ ∈ = = =
−
+
3

Do
0
2 2 2
0
1 1 1
(0; )
1 1 1 1
x x
x x x
∈ ⇒ > >
+ + + +
. Suy ra:
2
2
ln( 1 ) 1
1 1
x x
x
x
+ +
>
+ +
4