Tải bản đầy đủ (.doc) (2 trang)

Ứng dụng Định lý Lagrange CM BDT hàm

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (83.6 KB, 2 trang )

Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT Hàm
I. Định lý Larange: Cho hàm số
)(xfy
=
liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên
( )
ba;
khi đó
( )
bac ;
∈∃

sao cho:
ab
afbf
cf


=
)()(
)('
II. Bài toán: Cho hàm số
)(xfy
=
xác định và có đạo hàm cấp hai trên
( )
ba;
CMR:


a. Nếu
0)("

xf

( )
bax ;
∈∀
( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên
( )
ba;
) thì:
)
2
(
2
)()(
2121
xx
f
xfxf
+

+
b. Nếu
0)("

xf

( )

bax ;
∈∀
( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên
( )
ba;
) thì:
)
2
(
2
)()(
2121
xx
f
xfxf
+

+
• Chứng minh :
Không mất tính tổng quát giả sử
21
xx
<
Xét hàm số
)(xf
liên tục trên
( )
ba;
chứa
( )

21
; xx
. Theo định lý Larange ta có:

( )
21
; xxt
∈∃
sao cho:
2
)('
)()
2
(
)('
2
)()
2
(
12
1
21
1
21
1
21
tf
xx
xf
xx

f
tf
x
xx
xf
xx
f
=


+
⇔=

+

+
(1)

( )
21
; xxk
∈∃
sao cho:
2
)('
)
2
()(
)('
2

)
2
()(
12
21
2
21
2
21
2
kf
xx
xx
fxf
kf
xx
x
xx
fxf
=

+

⇔=
+

+


(2)

Trừ (1) cho (2) suy ra:
2
)(')(')()(
12
21
tfkf
xx
xfxf

=

+
(3)
+) Nếu
0)("

xf

( )
bax ;
∈∀



)(' xf
đồng biến trên
( )
ba;

)(')(' tfkf

>⇒
kết hợp với (3) suy ra:
)
2
(
2
)()(
2121
xx
f
xfxf
+

+
+) Nếu
0)("

xf

( )
bax ;
∈∀



)(' xf
nghịch biến trên
( )
ba;


)(')(' tfkf
<⇒
kết hợp với (3) suy ra:
)
2
(
2
)()(
2121
xx
f
xfxf
+

+
III. Mở rộng
+) Dùng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh BĐT trên với n số:
a.
)(
)(
11
n
x
f
n
xf
n
i
i
n

i
i
∑∑
==

b.
)(
)(
11
n
x
f
n
xf
n
i
i
n
i
i
∑∑
==

IV. Ứng dụng:
1.
xxf sin)(
=
trên







2
;0
π
Ta có:
0sin)("
<−=
xxf







∈∀
2
;0
π
x
Vậy:
)
2
sin(
2
sinsin
2121

xxxx
+

+
2.
xxf cos)(
=
trên






2
;0
π
Ta có:
0cos)("
<−=
xxf







∈∀
2

;0
π
x
Vậy:
)
2
cos(
2
coscos
2121
xxxx
+

+
3.
xxf tan)(
=
trên






2
;0
π
Ta có:
0
sin2

)("
2
>=
xcox
x
xf







∈∀
2
;0
π
x
Vậy:
)
2
tan(
2
tantan
2121
xxxx
+

+
4.

xxf cot)(
=
trên






2
;0
π
Ta có:
0
sin
cos2
)("
2
>=
x
x
xf







∈∀

2
;0
π
x
Vậy:
)
2
cot(
2
cotcot
2121
xxxx
+

+
5.
xxf ln)(
=

0
>∀
x
Ta có:
0
1
)("
1
)('
2
<−=⇒=

x
xf
x
xf

0
>∀
x
Vậy:
)
2
ln(
2
lnln
2121
xxxx
+

+
Tổng quát:
)ln(
lnlnln
2121
n
xxx
n
xxx
nn
+++


+++


)ln(ln
21
21
n
xxx
xxx
n
n
n
+++
≤⇔


Do hàm
xxf ln)(
=
đồng biến nên suy ra:
n
xxx
xxx
n
n
n
+++




21
21
(BĐT Cauchy)
6.
α
xxf
=
)(

0
>∀
x
Ta có:
2
)1()("

−=
α
αα
xxf
+) Nếu
0<
α
hoặc
1
>
α

0)("
>⇒

xf

0
>∀
x
Vậy
α
αα
)
2
(
2
2121
xxxx
+

+
Tổng quát:
α
ααα
)(
2121
n
xxx
n
xxx
nn
+++

+++


+) Nếu
10
≤≤
α

0)("
≤⇒
xf

0
>∀
x
Vậy
α
αα
)
2
(
2
2121
xxxx
+

+
Tổng quát:
α
ααα
)(
2121

n
xxx
n
xxx
nn
+++

+++


×