Bài tập tích phân rất hay

Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012

ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail:
1

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Bài 1 ðịnh nghĩa
2
3
1
3 2
x x
dx
x x
+ +
− +
∫

2 4
sin x.cos xdx
∫

3
dx
sin x.cos x
∫

1
x x
0

dx
4 2
−
+
∫

x x
e e 2dx
−
+ −
∫

x 3
(e 1) .dx
+
∫

x x
x x
2 .3
dx
9 4
−
∫

2 2
cos2x
dx
cos x.sin x
∫

2x x
dx
e e
+
∫

( )
4
4
1 x
dx
x x 1
−
+
∫

( )
2
5
2x 3x 9
dx
x 1
− +
−
∫

2 sin cos
dx
x x

+ −
∫

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
3 2
2
3 3 1
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
biết rằng
( )
1
1
3
F
=

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
1 sin
1 cos
x
f x
x

+
=
+
biết rằng F(0) = 2
Tìm hàm số f(x) có ñồ thị ñi qua ñiểm A(- 1; 2) và thỏa mãn:
( )
2
'
b
f x ax
x
= +
ở ñây f(1) = 4 và f’(1) = 0.
Tìm hàm số f(x) có ñồ thị ñi qua ñiểm A(1; 0), ñạt cực trị tại x = e và có
( )
1
f '' x
x
=

Bài 2 Biến ñổi vi phân, tính trực tiếp
(
)
2
1
dx
x x +
∫

sin

1 sin 2
x
dx
x
+
∫

4
dx
sin x.cosx
∫

3 5
4
sin .cos
dx
x x
∫

3 2
4
4 5
x x
dx
x
+
+
∫
. Nhân thêm x
2

3 2
0
2
x x xdx
− +
∫

2
3
2
cos cos cos
x x xdx
π
π
−
−
∫

3 2
2
2 4
2 3 1
x x x
dx
x x
− + −
− +
∫

(

)
(
)
2
3
1
1 3
x
dx
x x
+
− +
∫

( )
1
4 2
2
2
1
2
5 4
2
x x
dx
x x
+ +
+
∫

20
2
1
3 2
x
dx
x x
−
 






 
− +
∫

1
2
0
x 4
dx
x 4x 5
+
+ +
∫

( )

3
2
2
dx
x 1 x 2x 2
− − +
∫

( )
1
2 2
0
dx
x 2 x 3
− +
∫

2
2
2
0
x 5
dx
x 2
+
+
∫

( )( )( )
dx

x 1 x 1 x 4
− + +
∫

3
dx
x 3x
−
∫

7 3
dx
x 10x
−
∫

1
3
2
4
0
x
dx
x 1
−
∫

6
53
3

dx
sin x.cosx
π
−
π
−
∫

(
)
2
tan x 2cot x dx
−
∫

2
3
sin x
dx
cos x
∫

2
0
cos x.sin8xdx
π
∫


Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012

ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail:
2

2
2
.
x
x x
x e
dx
x e e
−
+
∫
Bài 3 ðổi biến số
Loại thứ nhất: ñặt u theo x.
3
xdx
∫

1
3
1
3
1
x
dx
x
+

∫

(1 sinx)dx
sinx(1 cosx)
+
+
∫

cosx.sin x.dx
sin x cosx
+
∫

cosx.dx
13 10sinx cos2x
− −
∫

1
2
0
1 1
dx
x x
+ + +
∫

sin2 2sin
dx
x x

−
∫

6
12
1
x
dx
x
+
∫

2 2
2 1 3 1
xdx
x x
− + −
∫

(
)
2
1 2 2
dx
x x x
+ + +
∫

1 1
dx

x x
+ + +
∫

2 2
sin cos
2sin 2sin2 5cos
x x
dx
x x x
+
− +
∫

sin cos 1
cos2 2cos
4
x x
x x e dx
π
+ +
 
 


 
+ +





 
 
 
∫

4
1
3
dx
x x
+
∫

(
)
2
1
2
0
ln 1
1
x x x
dx
x x
+ +
+ +
∫

1

2
0
1
ln
1
x
x dx
x
+
−
∫

33
3
x x dx
−
∫
.
2 2
3
3
4
1
2011
x x x
dx
x
− +
∫

2
cos
8
sin 2 cos2 2
x
dx
x x
π
 


+




 
+ +
∫
.
2
4
4 2
4
sin
cos (tan 2tan 5)
xdx
x x x
π
π

−
− +
∫

∫
+
3
0
2
sin3cos
sin
π
dx
xx
x

2
2
0
3
sin
2
7 5sin cos
x
dx
x x
π
π
 



−




 
− −
∫
. ð/s:
ln3 – ln4
(
)
4
3
0
5sin cos
sin cos
x x
dx
x x
π
−
+
∫
. ð/s: 1.
3
5 3
2
0

2
1
x x
dx
x
+
+
∫

(
)
1
1
0
2
2 9 3 2
x
x x
dx
−
− −
∫

4
2
4 3 2
1
2
2 5 4 4
x

dx
x x x x
−
+ + + +
∫

2
3 2
2
0
2 3
1
x x x
dx
x x
− +
− +
∫
. ð/s: 4/3.
2
cos
8
sin 2 cos2 2
x
dx
x x
π
 



+




 
+ +
∫

cos
4
2 3sin 2
x
dx
x
π
 


−




 
−
∫

1
0

2
I
1
x
dx
x
=
+
∫
ð/s: 10/3 – 4ln2
5
2
1
1
3 1
x
dx
x x
+
+
∫
. ð/s: 100/27 +
ln9/5
2
6
sin 2 1 sin
8 sin
−
+
∫

x x
dx
x
π
π
.
9
2
2
3
ln
ln 1
e
e
xdx
x x
−
∫

2
2
4 2
1
1
2 1
x
dx
x x
−
+ +

∫
. ð/s: 1/10
2
3
1
ln 2 ln
e
x x
dx
x
+
∫
.
(
)
2
3
0
3sin 2cos
sin cos
x x
dx
x x
π
−
+
∫
. ð/s: ½
1
2 3

0
( sin )
1
x
x x dx
x
+
+
∫
.
6
0
tan( )
4
os2x
x
I dx
c
π
π
−
=
∫
. ð/s:
1 3
2
−

I
( )

∫
++
+
=
4
0
2
211
1
dx
x
x
.

3
0
3
3. 1 3
x
dx
x x
−
+ + +
∫
.

3
6
cotx
dx

sinx.sin x
4
π
π
 
π


+




 
∫
.

Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012

ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail:
3

2
0
sin 2 3cos
2sin 1
x x
dx
x
π

−
+
∫
.

4
2
3
6
cos
sin .sin
4
x
dx
x x
π
π
π
 


+




 
∫

6

1
10
3 2
x
dx
x x
−
+ +
∫

cos3
cos2 2sin 3
x
dx
x x
− +
∫

1
1
x
dx
e
+
∫

1
x
e dx
+

∫

1
4 3
x x
dx
e e
−
− +
∫

2
ln
ln
x
dx
x x x
−
∫

(
)
(
)
2 ln 1 ln
1 ln
x x x
dx
x x
+ +

+
∫

3 3
sin cos
dx
x x
+
∫

( )( )
0
4
sin4
1 sin 1 cos
x
dx
x x
π
−
+ +
∫

3
2 98 100
1
3
1
dx
x x x

+ + +
∫
. ðặt t =
1/x
(
)
(
)
2 5
1 5 2
x x dx
− +
∫

(
)
1
2 2
0
1 1 1
dx
x x x
+ + + +
∫

2
2
1
x
dx

x x
+ −
∫

(
)
2
6
1
dx
x x +
∫

(
)
(
)
1
3
0
1 3 1
dx
x x
+ +
∫

2
tan
cos 1 cos
x

dx
x x
+
∫

2 2
sin sin2 3cos
dx
x x x
+ −
∫

(
)
2
2 2
1
1
dx
x x x
+ +
∫

2
3
4
cos 5cos 1
dx
x x
π

π
−
∫

1
3
3
6
1
3
2011
x x x
dx
x
− +
∫

(
)
6
2
2
0
sin 2 cos
sin cos
x x
dx
x x
π
+

−
∫
.
ln3
2
ln2
x
x x
e
dx
e e
−
−
∫

3
4
2
4
1
1 5sin
dx
x
π
π
−
∫

3 4
x x dx

+
∫

3
3
3
2
sin sin
.cot
sin
x x
xdx
x
π
π
−
−
−
∫

4
0
cot 1
.sin 1
x
x
dx
e x
π
+

+
∫

sin
1 sin 2
x
e x
dx
x
+
∫

(
)
1
1 ln
ln
e
x
dx
x x x
−
+
∫
Loại thứ hai: ñặt x theo t.
(
)
5
2
1

8
1
3
1 x
dx
x
+
∫

8
2
4
16
x
dx
x
−
∫

4
0
sin cos
2 sin2
x x
dx
x
π
−
+
∫

2
2 2
1
4
x x dx
−
∫

( )
2
0
2
4
x
I x dx
x
= −
−
∫
. ð/s:
4
π
−

1
2
2
0
3 2

x dx
I
x x
=
+ −
∫
. ð/s:
3 3
4
2 2
π
+ −

2
0
2 2
x
dx
x x
+ + −
∫

1
2
0
1
dx
x x
+ −
∫

3
cos
cos sin
x
dx
x x
−
∫

3 2
3
3 4
x x
dx
x x
−
−
∫

3ln 2
2
0
1 3 1
x
x
e
e
+ +
∫

(
)
ln5
ln 2
10 1 1
x x
dx
e e
−
− −
∫

Bài 4 Tính từng phần
Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012

ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail:
4

0
cos2
x
e xdx
π
−
∫

(
)
2 x

2
x x 1 e
dx
x 1
+ +
+
∫

1
2
3
2
0
4
ln
4
 
−
=
 
+
 
∫
x
I x dx
x
. ð/s:
15 3
I ln 2
4 5

 
= − −
 
 

2
2
1
1 ln
ln
e
x x
dx
x x x
+
+
∫


4
2
0
x sin(x )dx
4
π
π
+
∫
.
4

3
0
.sin
cos
x x
dx
x
π
∫

( )
4
0
sin 2 .ln tan 1
x x dx
π
+
∫

(
)
2
2
1
ln
1
e
x x
dx
x+

∫

1
0
4
ln
4
x
x dx
x
 
−






 
+
∫

I =
4
0
tan .ln(cos )
cos
x x
dx
x

π
∫
.
3
6
ln tan
xdx
π
π
∫


( )
0
2
2
4
x
.sin cos
x d
x x x
π
−
+
∫
Bài 5 Phối hợp ñổi biến và từng phần
2
2
1
1

ln
4 ln
e
x dx
x x
 



+





 
−
∫
.
2
0
sin
1 cos
x x
dx
x
π
+
+
∫

( )
( )
(
)
2
2
0
2 ln 4
x x x dx
− + +
∫

2
1
1
ln
e
x dx
x
 


+




 
∫

( )
2
0
cos
x x dx
π
−
∫

(
)
ln2
2
0
.
1
x
x
x e
dx
e +
∫

dx
x
x
∫
+
3

1
2
2
1ln

∫








+
+
=
e
dxxx
xx
x
I
1
2
ln3
ln1
ln
.
(
)

2 3
1 ln 2 ln
1 ln
x x x x x
dx
x x
+ + + +
+
∫

(
)
2
sin ln
x x dx
∫

3 2
3
1 3 1
x
x
x x e
dx
x e x x
 
− + +




+





+ +
 
∫

2
cos
0
( sinx).sin 2 .
x
e xdx
π
+
∫

(
)
4
1
ln 9
x
I dx
x
−
=

∫
.
(
)
(
)
2
2
1
1 ln
1
e
x x x
dx
x x
+ +
+
∫
.
4
3
2
1
(5 ) . 5
ln x x x
dx
x
− + −
∫
.

1
1
ln
1 3ln
e
x x dx
x x
 



+





 
+
∫

Bài 6 Cận ñặc biệt
ðối
(
)
2 2
1
1
ln 1

2 1
x
x x
dx
−
+
+
∫

Bù
2
0
1 sin
1 cos
x
x
e dx
x
π
+
+
∫


3
2
0
cos cos sin
( )
1 cos

x x x
x dx
x
π
+ +
+
∫
.
( )
4
0
ln 1 tan
x dx
π
+
∫

3
0
sin .sin 2 .sin3
x x xdx
π
∫

( )
3
6
cos sin
x x dx
π

π
−
∫

Nghịch ñảo
2
2
1
2
ln
1
x
dx
x +
∫
. ð/s: 0
Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012

ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail:
5

Bài 7 Diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị
(
)
2
ln 2
4
x x
y

x
+
=
−
và trục hoành. ð/s: 2ln2 2 3
3
π
− + −

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường
4
x x
y e e
−
= −
và y = 3.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 ñường y = x – x
2
và y = x
3
– x. ð/s: 37/12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường
1
x
y e
= +
,trục hoành, x = ln3 và x = ln8. ð/s:
2 + ln(3/2)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường

2 2
16; 3 12
y x x y x x
= − = −
. ð/s: 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường
3
1
1
x
y
e
=
−
,trục hoành, x = ln3 và x = ln8
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hai hàm số
2
1
y x
= −
và
5
y x
= +

A02. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường:
2
4 3
y x x

= − +
và y = x + 3.
A07. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường:
(
)
1
y e x
= +
và
(
)
1
x
y e x
= +

B02. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường
2
4
4
x
y = −
và
2
4 2
x
y =

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2

x0; x va
12
1y ;
2
3
sin21
2
π
π
==+=−=
xx
y

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
5
( 1) ; y ; x 1
x
y x e
= + = =

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
342:(C) ;0
23
−+−==
xxxyy
và tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có
hoành ñộ bằng 2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường y = 0 và
(

)
2
1
1
x x
y
x
−
=
+

Bài 8 Thể tích khối tròn xoay
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số
ln
e
y x
x
= − , trục hoành và ñường thẳng
1
x
=
. ð/s:
(
)
2
2
e e
π
− −

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số
.
1
=
+
x
x
x e
y
e
, trục
hoành và ñường thẳng
1
x
=
quanh trục Ox
Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm
số
(
)
3
ln 1
y x x
= +
và các ñường thẳng y = 0, x = 1. ð/s:
(
)
2ln 2 1
3
π

−

B08. Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các ñường
ln , 0,
y x x y x e
= = =
khi quay quanh Ox.
Cho hình phẳng
{
}
xyxyD === ;
2
quay quanh Ox. Tính thể tích tạo thành.

Bài 9 ðề thi
D11.
4
0
4 1
2 2 1
x
dx
x
−
+ +
∫
D10.
1
3
2 ln

e
x xdx
x
 


−




 
∫
D10.1.
1
ln 2
ln
e
x
dx
x x x
−
+
∫

Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012

ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail:
6

D10.2.
2
2
0
sin
1 cos
x
dx
x
π
+
∫

D09.
3
1
1
x
dx
e
−
∫

D08.
2
3
1
ln
x
dx

x
∫

D07.
3 2
1
ln
e
x xdx
∫

D06.
( )
1
2
0
2
x
x e dx
−
∫

D05.
( )
2
sin
0
cos cos
x
e x xdx

π
+
∫

D04.
( )
3
2
2
ln
x x dx
−
∫

D03.
2
2
0
x x dx
−
∫

B11.
3
2
0
1 sin
cos
x x
dx

x
π
+
∫

B10.
(
)
2
1
ln
2 ln
e
x
dx
x x+
∫

B10.1.
2
2
4
1
2 4
3
x
dx
x
− −
∫

B10.2
1
2
0
2 1
5 6
x
dx
x x
−
− +
∫

B09.
(
)
3
2
1
3 ln
1
x
dx
x
+
+
∫

B08.

(
)
4
0
sin
4
sin 2 2 1 sin cos
x
dx
x x x
π
π
 


−




 
+ + +
∫

B06.
ln5
ln3
2 3
x x
dx

e e
−
+ −
∫

B05.
2
0
sin 2 .cos
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫

B04.
1
1 3ln .ln
e
x x
dx
x
+
∫

A11.
( )
4

0
. sin 1 cos
. sin cos
x x x x
I dx
x x x
π
+ +
=
+
∫

A10.
2
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫

A09.
( )
2

3 2
0
cos 1 cos
x xdx
π
−
∫

A08.
6
4
0
tan
cos2
x
dx
x
π
∫

A06.
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
dx
x x
π

+
∫

A05.
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
dx
x
π
+
+
∫

A04.
2
1
1 1
x
dx
x+ −
∫

A03.
2 3
2
5
4

dx
x x
+
∫

CD11.
(
)
2
1
2 1
1
x
dx
x x
+
+
∫

CD10.
1
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫

CD09.
( )
1
2
0
x x
e x e dx
−
+
∫