giáo án "các quy tắc tính đạo hàm (11nc)"

Ngày dạy:
SVTT: Nguyễn Hiếu Nhi Trường THPT TP Cao Lãnh
§2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
(Tiết 1+2)
I. Mục tiêu
1. Kiến thức
- Học sinh hiểu và nắm được cách tính đạo hàm của một số hàm số
thường
- Nắm được các quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số.
- Hiểu được cách chứng minh các quy tắc tính đạo hàm của tổng và tích các
hàm số.
2. Kỹ năng
- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương các hàm số để tính
thành thạo đạo hàm một số hàm số đơn giản.
3. Tư duy
- Hiểu được các quy tắc tính đạo hàm.
- Hiểu và chứng minh được các công thức.
- Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống.
4. Thái độ
- Cẩn thận, chính xác. Tích cực hoạt động.
- Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp
cụ thể.
II. Chuẩn bị
1. Giáo viên: Giáo án, SGK, phấn màu, bảng phụ,…
2. Học sinh: SGK, các kiến thức đã học ở tiết trước,…
III. Phương pháp dạy học
- Kết hợp phương pháp vấn đáp, gợi vấn đề và thuyết trình.
IV. Tiến trình dạy học và các hoạt động
1. Ổn định lớp
2. Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi: Tìm đạo hàm của các hàm số sau

a)
3
3= +y x
b)
2
2 2= − +y x x
Giải:
a) Ta có
( )
( )
3 3 2 3
2 3 2
0 0
( ) 3 ( 3) 3 3 ( )
lim lim 3 3 ( ) 3
∆ → ∆ →
∆ = + ∆ + − + = ∆ + ∆ + ∆
∆
⇒ = + ∆ + ∆ =
∆
x x
y x x x x x x x x
y
x x x x x
x
Vậy
2
' 3=y x
.
b) Ta có

( )
2 2
2 2
2 2
0 0
2
( ) 2( ) 2 2 2
2 2
( ) 2( ) 2 2 2
2 2
lim lim
( ) 2( ) 2 2 2
1
2 2
∆ → ∆ →
∆ = + ∆ − + ∆ + − − +
∆ + ∆ −
=
+ ∆ − + ∆ + + − +
∆ + ∆ −
⇒ =
∆
+ ∆ − + ∆ + + − +
−
=
− +
x x
y x x x x x x
x x x

x x x x x x
y x x
x
x x x x x x
x
x x
Vậy
2
1
'
2 2
−
=
− +
x
y
x x
.
3. Đặt vấn đề
Qua bài tập trên ta thấy việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường rất phức tạp và
do đó mất nhiều thời gian. Để khắc phục vấn đề này chúng ta sẽ tìm hiểu bài học
hôm nay “Các quy tắc tính đạo hàm”, bài này sẽ cung cấp cho chúng ta những ta
quy tắc tính đạo hàm nhờ đó việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp sẽ được
quy về việc tính đạo hàm của những hàm số đơn giản hơn.
4.Tiến trình lên lớp
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung kiến thức
- Từ câu a) của phần ktbc GV gợi
vấn đề: đặt
3
( ) =u x x

( ) 3=v x
, biểu
diễn
( ) ( )= +y u x v x
.
GV yêu cầu HS tìm u’(x),v’(x) sau
đó so sánh kết quả giữa y’ và u’(x)
+v’(x).
- Từ đó GV khái quát lên thành bài
toán tổng quát và phát biểu định lí
1 trong SGK.
- GV hướng dẫn HS chứng minh
định lí.
+ GV yêu cầu HS tìm
∆y
với
( ) ( )= +y u x v x
.
+ Biểu diễn
∆y
theo
,∆ ∆u v
.
+ Tìm
0
lim
∆ →
∆
∆

x
y
x
.
- GV đưa ra nhận xét, yêu cầu HS
ghi chú.
- HS tìm được

2
'( ) 3 , '( ) 0= =u x x v x
Từ đó suy ra:
' '( ) '( )= +y u x v x
- HS chứng minh định lí theo
hướng dẫn của GV
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
 
∆ = + ∆ + +∆
 
− +
 
= + ∆ −
 
 
+ + ∆ −

 
= ∆ + ∆
y u x x v x x
u x v x
u x x u x
v x x v x
u v
0 0
0 0
lim lim
lim lim
'( ) '( )
∆ → ∆ →
∆ → ∆ →
∆ ∆ + ∆
⇒ =
∆ ∆
∆ ∆
= +
∆ ∆
= +
x x
x x
y u v
x x
u v
x x
u x v x
Vậy
[ ]

( ) ( ) ' '( ) '( )+ = +u x v x u x v x
.
- HS tiếp thu kiến thức.
1. Đạo hàm của tổng hay hiệu
hai hàm số
Định lí 1.
Nếu hai hàm số
( )=u u x
và
( )=v v x
có đạo hàm trên J thì
hàm số
( ) ( )= +y u x v x
cũng có
đạo hàm trên J, và
a)
[ ]
( ) ( ) ' '( ) '( )+ = +u x v x u x v x
;
b)
[ ]
( ) ( ) ' '( ) '( )− = −u x v x u x v x
.
Nhận xét
Có thể mở rộng định lí trên cho
- GV cho ví dụ minh họa.
- Từ ví dụ GV yêu cầu HS lên bảng
thực hiện H1.
GV gợi ý ở câu b) hãy biểu diễn
( )g x

theo
( )f x
, sau đó tính đạo
hàm của
( )g x
theo
( )f x
.
- GV đặt vấn đề: theo định lí 1 ta có
đạo hàm của tổng (hiệu) hai hàm số
bằng tổng (hiệu) các đạo hàm của
hai hàm số đó. Liệu điều tương tự
có xảy ra đối với tích của hai hàm
số hay không?
- GV cho HS xem xét một ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm số sau
( )
2
2y x x= +
+ GV đặt câu hỏi có bao nhiêu
cách tính đạo hàm của hàm số trên?
- HS lên bảng thực hiện H1
a) Ta có

4 3
'( ) 5 4 2
'( 1) 7
f x x x x
f
= − +

⇒ − =
b) Ta có:
( ) 1 ( )g x f x= +
'( ) '( )g x f x⇒ =
.
- HS trả lời và lên bảng thực hiện
yêu cầu của GV.
+ Có 2 cách tính: tính trực tiếp
theo định nghĩa hoặc biến đổi
tổng hay hiệu của nhiều hàm số:
Nếu các hàm số u,v,…,w có đạo
hàm trên J thì trên J ta có
( )
w ' ' ' w 'u v u v± ± ± = ± ± ±
Ví dụ. Tìm đạo hàm của các hàm
số sau, tính giá trị đạo hàm tại các
điểm
0
x
.
a)
2
0
7 , 1y x x x= + − =
b)
5 4
y x x x= − +
trên
( )
0;+∞

,
0
2x =
.
2.Đạo hàm của tích hai hàm số.
Gọi 1 HS lên tìm đạo hàm của hàm
số đó bằng một trong hai cách bạn
đã nêu.
- GV gợi vấn đề
Đặt
2
( ) , ( ) 2u x x v x x= = +
, biểu diễn
( ). ( )y u x v x=
Yêu cầu HS tìm
'( ), '( )u x v x
, so sánh
kết quả
'y
với
'. 'u v
và đưa ra nhận
xét: vậy điều tương tự của định lí 1
không còn đúng trong trường hợp
tích của hai hàm số nữa.
- GV gợi ý để HS tìm thấy mối liên
hệ giữa
'y
với
, , ', 'u v u v

.
- Từ đó GV khái quát bài toán và
phát biểu định lí 2.
- GV hướng dẫn HS tìm hiểu chứng
minh định lí 2 theo SGK.
- GV gọi 1 HS đứng tại chỗ trả lời
H2.
GV gọi HS lên bảng tìm lại cho
3 2
2y x x= +
thực hiện tính theo
định lí 1.
Dùng định lí 1, HS tìm được
2
' 3 4y x x= +
- HS tìm được

'( ) 2 , '( ) 1u x x v x= =
' '. 'y u v≠
Theo gợi ý của GV HS tìm được
mối liên hệ giữa
'y
với
, , ', 'u v u v
' ' 'y u v uv= +
.
- HS tìm hiểu chứng minh định lí
theo hướng dẫn của GV.
- HS trả lời: cách tính sai
HS lên bảng tính được

Định lí 2.
Nếu hai hàm số
( )u u x=
và
( )v v x=
có đạo hàm trên J thì
hàm số
( ). ( )y u x v x=
cũng có đạo
hàm trên J, và
[ ]
( ). ( ) ' '( ). ( ) ( ). '( )u x v x u x v x u x v x= +
Đặc biệt, nếu k là hằng số thì
[ ]
( ) ' '( )ku x ku x=
.
Chứng minh định lí 2 (SGK)
H2. Cách tính đạo hàm sau đúng
hay sai, tại sao?
( ) ( ) ( )
3 2 3 2
2 3
4 ' '. 4 '
3 .2 6
x x x x
x x x
 
− = −
 
= =

đúng.
- GV cho thêm một số ví dụ, gọi
HS lên bảng thực hiện.
GV gợi ý câu b) viết hàm số dưới
dạng
( ) ( )
7 7
y x x x x= + +
.
- GV gợi ý HS thực hiện H3.
a) Xem
( )uvw uv w=
vận dụng định
lí 2 cho hai hàm số
uv
và
w
.
b) Dựa vào công thức chứng minh
ở câu a) vận dụng vào giải câu b)
- GV gọi 1 HS phát biểu Định lí 3.
GV gợi ý yêu cầu HS về nhà chứng
minh Định lí 3.
GV viết công thức dưới dạng thu
gọn.
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2 3 2
3 2

2 2 3
4 2
4 ' '. 4
. 4 '
3 . 4 .2
5 12
x x x x
x x
x x x x
x x
 
− = −
 
+ −
= − +
= −
- HS lên bảng. tìm được
a) Ta có
( ) ( )
2 2
3
' 2 5 3 1 6
12 4
y x x x x
x x
= − − +
= − +
b) T a có
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
6 7
6 7
6 7
' 7 1
7 1
2 7 1
y x x x
x x x
x x x
= + +
+ + +
= + +
- HS lên bảng thực hiện H3
a) Ta có

( )
( )
' ( )' ( ) '
' ' '
' ' '
uvw uv w uv w
u v uv w uvw
u vw uv w uvw
= +
= + +
= + +
b)
( ) ( ) ( )
2

2
3
' 2 1 2 ( 1) 2
(1 )1
4
y x x x x x
x x
x
= − + + − +
+ −
= −
- HS phát biểu Định lí 3.
- HS ghi chú.
Ví dụ. Tìm đạo hàm của các hàm
số sau
a)
( ) ( )
2 2
1 5 3y x x= + −
b)
( )
2
7
y x x= +
.
2.Đạo hàm của thương hai hàm
số.
Định lí 3.
Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x)
có đạo hàm trên J và

( ) 0v x ≠
với
mọi
x J
∈
thì hàm số
( )
( )
u x
y
v x
=

cũng có đạo hàm trên J, và
'
2
' 'u u v uv
v v
−
 
=
 ÷
 
- GV cho ví dụ
- Từ ví dụ GV khái quát thành hệ
quả và yêu cầu HS về nhà chứng
minh hệ quả b).
- GV gọi 1 HS lên bảng thực hiện
H5.
- HS quan sát tiếp thu.

- HS ghi chú hệ quả.
- HS lên bảng thực hiện H5.
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2 3 2 1 3 1 2
'
2 1
2 2 1
2 1
x x x x
y
x
x x
x
− − − − +
=
−
− +
=
−
Đáp án C.
'
2
( ) '( ) ( ) ( ) '( )

( ) ( )
u x u x v x u x v x
v x v x
 
−
=
 
 
.
Ví dụ. Tìm đạo hàm của các hàm
số sau.
a)
1
y
x
=
b)
2
2
1
x
y
x
=
−
Hệ quả
a) Trên
( ) ( )
;0 0;−∞ ∪ +∞
ta có

'
2
1 1
x x
 
= −
 ÷
 
.
b) Nếu hàm số
( )v v x=
có đạo
hàm trên J và
( ) 0v x ≠
với mọi
x J
∈
thì trên J ta có
'
2
1 '( )
( ) ( )
v x
v x v x
 
= −
 ÷
 
.
H5. Chọn kết quả đúng trong các

kết quả sau đây.
Đạo hàm của hàm số
2
3 1
2 1
x x
y
x
− +
=
−
bằng ?
Đáp án. C
V. Củng cố - dặn dò
1. Củng cố
- GV nhắc lại các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
của hai hàm số.
- GV cho HS hoạt động nhóm (nếu có thời gian)
Câu hỏi. Tính các đạo hàm của các hàm số sau
a)
ax b
y
a b
+
=
+
b)
2
5 3
1

x
y
x x
−
=
+ +

c)
( ) ( )
2 2
1 5 3y x x= + −
d)
2
1y x x x= + +
2. Dặn dò
- Yêu cầu HS về nhà học bài và làm các bài tập còn lại trong SGK.
- Xem trước phần còn lại của bài, chuẩn bị bài tập cho tiết luyện tập.