Chuyên đề: Các quy tắc tính đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm
I. Kiến thức cơ bản
1. Đạo hàm của một số hàm số thờng gặp. (Ký hiệu U=U(x))
( )

C
=0 (C là hằng số)
( )

x
=1
( )

n
x
=n.x
n-1
(n

N, n

2)
( )

n
U
=n.U
n-1
.
U

x
1
=-
2
1
x
(x

0)







U
1
=-
2
U
U

)( x
=
x2
1
(x>0)
( )

U
=
U
U
2

2. Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
( )


VU
=
VU



( )

UV
=
VUVU

+

).(

Uk
=
Uk

.
(k là hằng số)







V
U
=
2
..
V
VUVU

V
1
= -
2
1
V
3. Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)].
'g
x
=
u
f '
.
x
U

II. Kỹ năng cơ bản
- Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng,
hiệu, tích, thơng các hàm số.
- Tính đợc đạo hàm hàm số hợp.
III. Một số ví dụ
A.Ví dụ tự luận
VD1. Tính đạo hàm của các hàm số
1/ y=2x
5
-3x

4
+x
3
-
2
1
x
2
+1
2/ y=
2
1
x
4
-
3
4
x
3
+
4
1
x
2
+3x-2
3/ y=2x
2
(x-3)
4/ y=
1

2
+
+
m
mx
với m là tham số khác -1
Gi¶i
1/ Ta cã:
'y
= 10x
4
-12x
3
+3x
2
–x
2/ Ta cã:
'y
= 2x
3
- 4x
2
+
2
1
x+3
3/ Ta cã:
y= 2x
3
- 6x

2
⇒

'y
= 6x
2
-12x
4/ Ta cã:
y=
1
+
m
m
x+
1
2
+
m
Do m lµ tham sè kh¸c (-1), nªn
'y
=
1
+
m
m
VD2. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè
1/ y=
1
1
+

x
3/ y=
14
13
2
−
++
x
xx
2/ y=
1
2
+
−
x
x
4/ y=(3x-2)(x
2
+1)
Gi¶i:
1/ Ta cã:
'y
= -
2
)1(
)'1(
+
+
x
x

= -
2
)1(
1
+
x
∀
x
≠
-1
2/ Ta cã:
'y
=
2
)1(
)'1).(2()1)'.(2(
+
+−−+−
x
xxxx
=
2
)1(
)2()1(
+
−−+
x
xx
=
2

)1(
3
+
x
∀
x
≠
-1
3/ Ta cã:
'y
=
2
22
)14(
)'14)(13()14()'13(
−
−++−−++
x
xxxxxx
=
2
2
)14(
4).13()14)(16(
−
++−−+
x
xxxx
=
2

2
)14(
5612
−
−−
x
xx
∀
x
≠
4
1
4/ Ta cã:
'y
=
)'23(
−
x
(x
2
+1) - (3x-2)
)'1(
2
+
x
= 3(x
2
+1)-(3x-2).2x
= 3x
2

+3- 6x
2
+4x
= -3x
2
+4x+3
VD3. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè
1/ y= x
2
1 x
+
2/ y=
x
(x
2
-
x
+1)
3/ y=
x
x
−
+
1
1
Gi¶i:
1/ Ta cã:
'y
=
)(

′
x
.
2
1 x
+
+x
(
)
′
+
2
1 x
=
2
1 x
+
+
2
2
1 x
x
+
=
2
2
1
21
x
x

+
+
2/ Ta cã:
'y
=
)(
′
x
(x
2
-
x
+1) +
x
)1(
2
′
+−
xx
=
x
x
2
1x
2
+−
+
x
(2x-
x2

1
)
=
x
xx
2
1
2
+−
+ 2x
x
-
2
1
∀
x > 0
3/ Ta cã:
'y
=
( )
x
xxxx
−
′
−+−−
′
+
1
1)1(1)1(
=

x
x
x
x
−
−
+
+−
1
12
1
1

=
xx
xx
−−
++−
1)1(2
1)1(2
=
xx
x
−−
+−
1)1(2
3
∀
x <1
VD4. TÝnh ®¹o hµm hµm sè

1/ y= (2x+3)
10
2/ y= (x
2
+3x-2)
20
3/ y=
22
2
ax
x
+
(a lµ h»ng sè)
Gi¶i:
1/ Ta cã:
'y
= 10(2x+3)
9
.
)'32(
+
x
= 20(2x+3)
9
2/ Ta cã:
'y
= 20(x
2
+3x-2)
19

.
)23(
2
′
−+
xx
= 20(x
2
+3x-2)
19
.(2x+3)
3/ Ta cã:
'y
=
22
222222
)()'(
ax
axxaxx
+
′
+−+
=
22
22
3
22
2
ax
ax

x
axx
+
+
−+
=
322
23
)(
2
ax
xax
+
−
VD5. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C ): y=x
3
-3x+7
1/ T¹i ®iÓm A(1;5)
2/ Song song víi ®êng y=6x+1
Gi¶i:
Ta cã:
'y
= 3x
2
-3
1/ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là
k =
'y
(1) = 0

Phơng trình tiếp tuyến cần viết là:
y = 5.
2/ Gọi tiếp điểm là M(x
0
;y
0
)
y
0
= x
0
3
-3x
0
+7
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6

'y
(x
0
) = 6

3x
0
2
-3 = 6

x
0
=

3
Với x
0
=
3


y
0
=7.

Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6
3
Với x
0
=-
3


y
0
=7

Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6
3
VD6. Cho hàm số y=
1
1
2

+
++
x
xx
Giải bất phơng trình khi
'y

0
Giải:
Ta có:
+
'y
=
2)1(
)'1)(1()1()'1(
22
+
++++++
x
xxxxxx
=
2
2
)1(
)1()1)(12(
+
++++
x
xxxx
=

2
2
)1(
2
+
+
x
xx


x

-1
Do đó:
'y

0


2
2
)1(
2
+
+
x
xx

0