Chuyên đề Các quy tắc tính đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm
I. Kiến thức cơ bản
1. Đạo hàm của một số hàm số thờng gặp. (Ký hiệu U=U(x))
( )

C
=0 (C là hằng số)
( )

x
=1
( )

n
x
=n.x
n-1
(n

N, n

2)
( )

n
U
=n.U
n-1
.
U

x
1
=-
2
1
x
(x

0)







U
1
=-
2
U
U

)( x
=
x2
1
(x>0)
( )

U
=
U
U
2

2. Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
( )


VU
=
VU



( )

UV
=
VUVU

+

).(

Uk
=
Uk

.
(k là hằng số)







V
U
=
2
..
V
VUVU

V
1
= -
2
1
V
3. Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)].
'g
x
=
u
f '
.
x
U

II. Kỹ năng cơ bản
- Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng,
hiệu, tích, thơng các hàm số.
- Tính đợc đạo hàm hàm số hợp.
III. Một số ví dụ
A.Ví dụ tự luận
VD1. Tính đạo hàm của các hàm số
1/ y=2x
5
-3x

4
+x
3
-
2
1
x
2
+1
2/ y=
2
1
x
4
-
3
4
x
3
+
4
1
x
2
+3x-2
3/ y=2x
2
(x-3)
4/ y=
1

2
+
+
m
mx
với m là tham số khác -1
Gi¶i
1/ Ta cã:
'y
= 10x
4
-12x
3
+3x
2
–x
2/ Ta cã:
'y
= 2x
3
- 4x
2
+
2
1
x+3
3/ Ta cã:
y= 2x
3
- 6x

2
⇒

'y
= 6x
2
-12x
4/ Ta cã:
y=
1
+
m
m
x+
1
2
+
m
Do m lµ tham sè kh¸c (-1), nªn
'y
=
1
+
m
m
VD2. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè
1/ y=
1
1
+

x
3/ y=
14
13
2
−
++
x
xx
2/ y=
1
2
+
−
x
x
4/ y=(3x-2)(x
2
+1)
Gi¶i:
1/ Ta cã:
'y
= -
2
)1(
)'1(
+
+
x
x

= -
2
)1(
1
+
x
∀
x
≠
-1
2/ Ta cã:
'y
=
2
)1(
)'1).(2()1)'.(2(
+
+−−+−
x
xxxx
=
2
)1(
)2()1(
+
−−+
x
xx
=
2

)1(
3
+
x
∀
x
≠
-1
3/ Ta cã:
'y
=
2
22
)14(
)'14)(13()14()'13(
−
−++−−++
x
xxxxxx
=
2
2
)14(
4).13()14)(16(
−
++−−+
x
xxxx
=
2

2
)14(
5612
−
−−
x
xx
∀
x
≠
4
1
4/ Ta cã:
'y
=
)'23(
−
x
(x
2
+1) - (3x-2)
)'1(
2
+
x
= 3(x
2
+1)-(3x-2).2x
= 3x
2

+3- 6x
2
+4x
= -3x
2
+4x+3
VD3. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè
1/ y= x
2
1 x
+
2/ y=
x
(x
2
-
x
+1)
3/ y=
x
x
−
+
1
1
Gi¶i:
1/ Ta cã:
'y
=
)(

′
x
.
2
1 x
+
+x
(
)
′
+
2
1 x
=
2
1 x
+
+
2
2
1 x
x
+
=
2
2
1
21
x
x

+
+
2/ Ta cã:
'y
=
)(
′
x
(x
2
-
x
+1) +
x
)1(
2
′
+−
xx
=
x
x
2
1x
2
+−
+
x
(2x-
x2

1
)
=
x
xx
2
1
2
+−
+ 2x
x
-
2
1
∀
x > 0
3/ Ta cã:
'y
=
( )
x
xxxx
−
′
−+−−
′
+
1
1)1(1)1(
=

x
x
x
x
−
−
+
+−
1
12
1
1

=
xx
xx
−−
++−
1)1(2
1)1(2
=
xx
x
−−
+−
1)1(2
3
∀
x <1
VD4. TÝnh ®¹o hµm hµm sè

1/ y= (2x+3)
10
2/ y= (x
2
+3x-2)
20
3/ y=
22
2
ax
x
+
(a lµ h»ng sè)
Gi¶i:
1/ Ta cã:
'y
= 10(2x+3)
9
.
)'32(
+
x
= 20(2x+3)
9
2/ Ta cã:
'y
= 20(x
2
+3x-2)
19

.
)23(
2
′
−+
xx
= 20(x
2
+3x-2)
19
.(2x+3)
3/ Ta cã:
'y
=
22
222222
)()'(
ax
axxaxx
+
′
+−+
=
22
22
3
22
2
ax
ax

x
axx
+
+
−+
=
322
23
)(
2
ax
xax
+
−
VD5. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C ): y=x
3
-3x+7
1/ T¹i ®iÓm A(1;5)
2/ Song song víi ®êng y=6x+1
Gi¶i:
Ta cã:
'y
= 3x
2
-3
1/ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là
k =
'y
(1) = 0

Phơng trình tiếp tuyến cần viết là:
y = 5.
2/ Gọi tiếp điểm là M(x
0
;y
0
)
y
0
= x
0
3
-3x
0
+7
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6

'y
(x
0
) = 6

3x
0
2
-3 = 6

x
0
=

3
Với x
0
=
3


y
0
=7.

Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6
3
Với x
0
=-
3


y
0
=7

Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6
3
VD6. Cho hàm số y=
1
1
2

+
++
x
xx
Giải bất phơng trình khi
'y

0
Giải:
Ta có:
+
'y
=
2)1(
)'1)(1()1()'1(
22
+
++++++
x
xxxxxx
=
2
2
)1(
)1()1)(12(
+
++++
x
xxxx
=

2
2
)1(
2
+
+
x
xx


x

-1
Do đó:
'y

0


2
2
)1(
2
+
+
x
xx

0