Phương pháp lặp giải bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ Hoàng Thu Hợp.

i

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC


HOÀNG THU HỢP

PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN
VỀ ĐỘ UỐN CỦA BẢN CÓ GIÁ ĐỠ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. VŨ VINH QUANG


THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
ii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận đƣợc sự động viên đóng góp
nhiệt tình từ các thầy cô giáo của trƣờng ĐHKH – Đại học Thái Nguyên, tôi

xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo. Đặc biệt tôi gửi lời cảm ơn
sâu sắc tới TS. Vũ Vinh Quang là ngƣời thầy đã đề xuất các hƣớng nghiên
cứu, động viên thƣờng xuyên và tận tâm chỉ bảo nghiêm túc về chuyên môn
trong suốt thời gian qua để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ
lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và ngƣời thân đã động viên khuyến khích
và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2014
Tác giả

iii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN i
MỤC LỤC iii
MỞ ĐẦU 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 3
1.1. Không gian Sobolev. 3
1.1.1. Không gian
( )
k
C W
3
1.1.2. Không gian
( )
p
L W
4

1.1.3. Không gian
( )
1,
W
p
W
5
1.1.4. Không gian
( )
1
0
H W
và khái niệm vết của hàm. 7
1.1.5. Công thức Green, bất đẳng thức Poincare 9
1.1.6. Không gian Sobolev với chỉ số âm
( )
1
H
-
W
và
( )
1
2
H
-
¶W
. 10
1.2. Phƣơng trình elliptic. 11
1.2.1. Khái niệm nghiệm yếu của phƣơng trình. 12

1.2.2. Phát biểu các bài toán biên. 13
1.3. Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản 15
1.3.1. Lƣợc đồ lặp hai lớp 15
Xét bài toán: 15
1.3.2. Lƣợc đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phƣơng pháp
lặp 16
Chƣơng 2 18
PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA 18
2.1. Mô hình bài toán song điều hòa 18
2.1.1. Toán tử song điều hòa 18
2.1.2. Các điều kiện biên của phƣơng trình song điều hòa 19
iv

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

2.2. Phƣơng pháp xấp xỉ biên giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên
hỗn hợp mạnh 20
2.2.1. Phƣơng pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện
biên hỗn hợp mạnh 20
2.3. Sơ đồ lặp của phƣơng pháp 24
Chƣơng 3 28
CÁC SƠ ĐỒ LẶP GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐỘ UỐN 28
CỦA BẢN CÓ GIÁ ĐỠ 28
3.1. Mô hình các bài toán cơ học 28
3.2. Phƣơng pháp lặp kết hợp giải bài toán có một giá đỡ 30
3.2.1. Mô tả phƣơng pháp. 30
3.2.2. Sơ đồ lặp kết hợp 32
3.2.3. Các ví dụ thử nghiệm 34
3.3. Phƣơng pháp kết hợp giải bài toán có hai giá đỡ bên trong 37
3.3.1. Mô tả phƣơng pháp 37

3.3.2. Các ví dụ thử nghiệm 39
KẾT LUẬN 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO 43
PHẦN PHỤ LỤC 44
1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

MỞ ĐẦU

Trong thực tế, khi nghiên cứu các bài toán cơ học và vật lý kỹ thuật bằng
cách mô hình hóa, bài toán thƣờng dẫn đến các dạng phƣơng trình elliptic cấp 2
hoặc các dạng phƣơng trình song điều hòa với các điều kiện biên khác nhau. Khi
điều kiện biên của bài toán đang xét không tồn tại các điểm kì dị thì đã có nhiều
phƣơng pháp của các tác giả trên thế giới để tìm nghiệm gần đúng của các bài
toán tƣơng ứng nhƣ phƣơng pháp sai phân, phƣơng pháp phần tử hữu hạn…
Trong trƣờng hợp khi điều kiện biên của bài toán tồn tại các điểm kì dị là
các điểm phân cách giữa các loại điều kiện biên hàm và đạo hàm, điều này
thƣờng sảy ra với mô hình các bài toán cơ học và vật liệu đàn hồi. Khi đó các
phƣơng pháp tìm nghiệm thông thƣờng sẽ gặp khó khăn. Đối với các bài toán
thuộc dạng này, để tìm nghiệm xấp xỉ ta có thể sử dụng phƣơng pháp tích
phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dƣới dạng khai triển thông qua các hệ hàm cơ
sở. Một hƣớng nghiên cứu khác đó là xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tƣ
tƣởng chia miền.
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu bài toán về độ uốn của bản có
giá đỡ bên trong, một trong những bài toán điển hình trong cơ học. Mô hình
toán học của bài toán là bài toán song điều hòa với điều kiện biên kì dị. Xây
dựng các sơ đồ lặp dựa trên tƣ tƣởng chia miền tìm nghiệm xấp xỉ của bài
toán. Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính toán để kết luận sự hội tụ của các
phƣơng pháp lặp. Nội dung của luận văn gồm 3 chƣơng:

Chƣơng 1: Trình bày những kết quả lý thuyết quan trọng về các không
gian Sobolev, bất đẳng thức Green, bất đẳng thức Poincare, phƣơng trình
elliptic với khái niệm nghiệm yếu và các bài toán biên, lý thuyết về phƣơng
pháp lặp toán tử.
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Chƣơng 2: Trình bày kiến thức về bài toán song điều hòa, cơ sở của
phƣơng pháp lặp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn
hợp mạnh.
Chƣơng 3: Nghiên cứu mô hình bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ,
trên cơ sở của phƣơng pháp chia miền và phƣơng pháp lặp luận văn đƣa ra sơ
đồ lặp giải bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong, tiến hành thực
nghiệm kiểm tra tính đúng đắn của phƣơng pháp đã đƣa ra. Trong luận văn,
các chƣơng trình thực nghiệm đƣợc lập trình trên ngôn ngữ Matlab chạy trên
máy tính PC.
Mặc dù đã rất cố gắng xong nội dung của luận văn không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong nhận đƣợc những đóng góp của các thầy cô giáo
và các anh chị em bạn bè đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện hơn.
3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Chƣơng 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chƣơng này, luận văn trình bày những kết quả lý thuyết quan
trọng về các không gian Sobolev, bất đẳng thức Green, bất đẳng thức
Poincare, phƣơng trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và các bài toán

biên, lý thuyết về phƣơng pháp lặp toán tử. Các kết quả này là nền tảng về
mặt lý thuyết đƣợc sử dụng trong các chƣơng sau của luận văn.
1.1. Không gian Sobolev.
1.1.1. Không gian
( )
k
C W

Giả sử
W
là một miền bị chặn trong không gian Euclid
n
chiều
n
¡
và
W
là bao đóng của
W
. Ta kí hiệu
( ) ( )
, 0,1,2
k
CkW=
là tập các hàm có
đạo hàm đến cấp
k
kể cả
k
trong

W
, liên tục trong
W
. Ta đƣa vào
( )
k
C W

chuẩn:

( )
( )
max
k
C
x
k
u D u x
a
a
W
ÎW
=
=
å

trong đó
( )
12
, , ,

n
a a a a=
đƣợc gọi là đa chỉ số vectơ với các tọa độ
nguyên không âm,
12

n
a a a a= + + +
:

1
1

1

n
n
n
u
Du
xx
aa
a
aa
++
¶
=
¶¶

Sự hội tụ theo chuẩn đã cho là sự hội tụ đều trong

W
của các hàm và tất
cả đạo hàm của chúng đến cấp
k
. Rõ ràng tập
( )
k
C W
với chuẩn đã cho là
không gian Banach.
4

S húa bi Trung tõm Hc liu

1.1.2. Khụng gian
( )
p
L W

Gi s
W
l mt min trong
n
Ă
v
p
l mt s thc dng. Ta kớ hiu
( )
p
L W

l lp cỏc hm o c
f
xỏc nh trờn
W
sao cho:

( )
(*)
p
f x dx
W
<Ơ
ũ

Trong
( )
p
L W
ta ng nht cỏc hm bng nhau hu khp trờn
W
. Nh
vy cỏc phn t ca
( )
p
L W
l cỏc lp tng ng cỏc hm o c tha
món (*) v hai hm tng ng nu chỳng bng nhau hu khp trờn
W
. Vỡ :

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
p
p p p
p
f x g x f x g x f x g x
ổử
ữ
ỗ
+ Ê + Ê +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ

nờn rừ rng
( )
p
L W
l mt khụng gian vect.
Ta a vo
( )
p
L W
phim hm
.
p

c xỏc nh bi:

( )
1
p
p
p
u u x dx
W
ớỹ
ùù
ùù
=
ỡý
ùù
ùù
ợỵ
ũ

1.1.2.1 nh lý. (Bt ng thc Hoder).
Nu
1 pÊ < Ơ
v
( )
p
uLẻW
,
( )
p
vLẻW

thỡ
( )
p
uv LẻW
v

( ) ( )
'
||
pp
u x v x dx u v
W
=
ũ

Trong ú
',
1
p
p
p
=
-
tc l
11
1
'pp
+=
,
'p

c gi l s m liờn hp
i vi
p

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.1.2.2. Định lý. (Định lý Minkowski).
Nếu
1 p£ < ¥
thì

p p p
f g f g+ £ +

1.1.2.3. Định lý.
Không gian
( )
p
L W
với
1 p£ < ¥
là một không gian Banach.
1.1.3. Không gian
( )
1,
W
p
W

1.1.3.1. Định nghĩa.
Cho
W
là một miền trong
n
¡
. Hàm
( )
ux
đƣợc gọi là khả tích địa
phƣơng trong
W
nếu
( )
ux
là một hàm trong
W
và với mỗi
0
x ÎW
đều tồn
tại một lân cận
w
của
0
x
để
( )
ux

khả tích trong
W
.
1.1.3.2. Định nghĩa.
Cho
W
là một miền trong
n
¡
. Giả sử
( ) ( )
,u x v x
là hai hàm khả tích
địa phƣơng trong
W
sao cho ta có hệ thức:

( )
1
1
1

n
k
k
kk
n
u dx v dx
xx
j

j
WW
¶
=-
¶¶
òò

đối với mọi
( ) ( ) ( )
01
, , 0 1,2, ,
k
ni
x C k k k k i nj Î W = + + £ =
.
Khi đó,
( )
vx
đƣợc gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của
( )
ux
.
Kí hiệu:

( )
1
1

n
k

kk
n
u
vx
xx
¶
=
¶¶

6

S húa bi Trung tõm Hc liu

1.1.3.3. nh ngha
Gi s
p
l mt s thc,
1 pÊ < Ơ
,
W
l mt min trong
n
Ă
. Khụng
gian Sobolev
( )
1,
W
p
W

c nh ngha nh sau:

( ) ( ) ( )
1,
W | , , 1, ,
p p p
i
u
u u L L i n
x
ớỹ
ùù
ả
ùù
W = ẻ W ẻ W =
ỡý
ùù
ả
ùù
ợỵ

Trong ú cỏc o hm trờn l cỏc o hm suy rng.
Vi
2p =
, ta kớ hiu
( ) ( )
1,2 1
W HW = W
, ngha l:

( ) ( ) ( )
1 2 2
| , , 1,2, ,
i
u
H u u L L i n
x
ớỹ
ùù
ả
ùù
W = ẻ W ẻ W =
ỡý
ùù
ả
ùù
ợỵ

1.1.3.4. B
i) Khụng gian
( )
1,
W
p
W
l khụng gian Banach vi chun

( ) ( )
( )
1,

W
1
pp
p
n
L
i
i
L
y
uu
x
WW
=
W
ả
=+
ả
ồ


trong ú
1 pÊ < Ơ
, dng chun ny tng ng vi dng sau:

( ) ( ) ( )
1,
1
W
p p p

pp
p
LL
u u u
W W W
ổử
ữ
ỗ
= + ẹ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ

trong ú
, ,
in
uu
u
xx
ổử
ảả
ữ
ỗ
ữ
ẹ=
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ảả
ốứ
v
( )
( )
1
1
p
p
p
p
n
L
i
L
u
u
x
d
d
W
W
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ẹ=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
ồ


ii) Khụng gian
( )
1
H W
l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng:
7

S húa bi Trung tõm Hc liu


( )
( )
( )
( )
( )
( )
12

2
1
1
, , , , ,
n
HL
ii
L
uv
u v u v u v H
xx
WW
W
ổử
ảả
ữ
ỗ
ữ
= + " ẻ W
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ảả
ốứ
ồ


1.1.4. Khụng gian

( )
1
0
H W
v khỏi nim vt ca hm.
1.1.4.1. nh ngha.
Vi bt kỡ
1 pÊ < Ơ
, khụng gian Sobolev
( )
1,
0
W
p
W
c nh ngha
nh cỏc bao úng ca
( )
D W
(khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn cú giỏ
compact trong
W
) tng ng vi chun ca
( )
1,
W
p
W
. Khụng gian
( )

1
0
H W

c xỏc nh bi:

( ) ( )
1 1,2
00
WH W = W

1.1.4.2. nh lý.
Gi s
ảW
l liờn tc Lipschitz thỡ:
i) Nu
1 pnÊ<
thỡ
( ) ( )
1,
0
W
pq
LW è W
l:
- Nhỳng Compact i vi
1, *qp
ộự
ẻ
ờỳ

ởỷ
trong ú
1 1 1
*p p n
=-
,
- Nhỳng liờn tc i vi
*qp=
.
ii) Nu
pn=
thỡ
( ) ( )
1,
0
W
nq
LW è W
l nhỳng Compact nu
)
1,q
ộ
ẻ + Ơ
ờ
ở
.
iii) Nu
pn>
thỡ
( ) ( )

1, 0
0
W
p
CW è W
l nhỳng Compact.
1.1.4.3. nh lý (nh lý vt).
i) Tn ti duy nht mt ỏnh x tuyn tớnh liờn tc c gi l vt
8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


( ) ( )
1 1 * 2 1
:
nn
H R R L Rg

+
´ a

sao cho với bất kì
( ) ( )
1 1 * 0 1nn
u H R R C R R

++
Î ´ Ç ´
, ta có

( )
1
|
n
R
uug
-
=
.
ii) Giả sử
W
là một tập mở trong
n
¡
sao cho
¶W
là liên tục Lipschitz
thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục:

( ) ( )
12
: HLg W ® ¶ W

sao cho với bất kì
( ) ( )
10
u H CÎ W Ç W
ta có
( )
|uug

¶W
=
.
Hàm
( )
ug
đƣợc gọi là vết của
u
trên
¶W
.
1.1.4.4. Định nghĩa.
Giả sử biên
¶W
là liên tục Lipschitz, không gian
( )
1
2
H ¶W
đƣợc gọi là
miền giá trị của ánh xạ vết
g
, tức là:

( ) ( )
( )
1
1
2
HHg¶W = W

1.1.4.5. Định lý.
Giả sử
¶W
là liên tục Lipschitz thì:
i)
( )
1
2
H ¶W
là một không gian Banach với chuẩn:

(
)
( )
( ) ( )
1
2
2
2
2
1
H
x x y
n
u x u y
u u x ds ds ds
xy
¶W
+

¶W ¶W ¶W
-
=+
-
ò ò ò

ii) Tồn tại một hằng số
( )
C
g
W
sao cho:

( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2
1
,
H
H
u C u u H
g
g
W
¶W

£ W " Î W

Khi đó
( )
C
g
W
đƣợc gọi là hằng số vết.

9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.1.4.6. Bổ đề.
Giả sử
¶W
là liên tục Lipschitz, không gian
( )
1
2
H ¶W
có các tính chất sau:
i) Tập
( )
{ }
|,
n
u u C R
¥
¶W

Î
là trù mật trong
( )
1
2
H ¶W
.
ii) Nhúng
( ) ( )
1
2
2
HL¶W Ì ¶ W
.
iii) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục:

( ) ( )
1
1
2
g
g H u HÎ ¶W ® Î W

Với
( )
g
ugg =
và tồn tại một hằng số
( )
1

C W
chỉ phụ thuộc miền
W

sao cho:

( )
( )
( )
( )
1
1
2
1
2
1
,
g
H
H
u C g g H
¶W
W
£ W " Î W

1.1.5. Công thức Green, bất đẳng thức Poincare
1.5.1.1. Định lý (Công thức Green).
Giả sử
¶W
là liên tục Lipschitz, cho

( )
1
,u v HÎW
khi đó:

( ) ( )
,1
i
ii
uu
u dx v dx u v n ds i n
xx
gg
W W ¶W
¶¶
= - + £ £
¶¶
ò ò ò

trong đó
( )
1
, ,
n
n n n=
là vectơ pháp tuyến ngoài của
W
.
1.1.5.2. Tính chất.
Giả sử biên

¶W
là liên tục Lipschitz. Khi đó:

( ) ( ) ( )
{ }
11
0
| , 0H u u H ugW = Î W =


10

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.1.5.3. Tính chất.(Bất đẳng thức Poincare).
Tồn tại một hằng số
C
W
sao cho:

( ) ( )
( )
22
1
0
,
LL
u C u u H
W
WW

£ Ñ " Î W

Trong đó hằng số
C
W
phục thuộc vào đƣờng kính của
W
đƣợc gọi là hằng số
Poincare. Bất đẳng thức Poincare có ý nghĩa rằng
( )
2
L
uu
W
=Ñ
là một
chuẩn trên
( )
1
H W
đã xác định.
1.1.5.4. Định lý (Bất đẳng thức Poincare mở rộng)
Giả sử biên
¶W
liên tục Lipschitz,
12
¶ W= G GU
, trong đó
12
,GG

là các
tập đóng, rời nhau,
1
G
có độ đo dƣơng. Khi đó, tồn tại hằng số
( )
C W
sao cho:

( ) ( )
22
LL
u C u
W
WW
£Ñ

( ) ( )
1
,0u H ug" Î W =
trên
1
G

1.1.6. Không gian Sobolev với chỉ số âm
( )
1
H
-
W

và
( )
1
2
H
-
¶W
.
1.6.1.1. Định nghĩa.
Ta kí hiệu
( )
1
H
-
W
là một không gian Banach đƣợc xác định bởi:

( ) ( )
( )
'
11
0
HH
-
W = W

với chuẩn:

( )
( )

{ }
( ) ( )
( )
11
0
1
1
0
1
0
,
\0
,
sup
HH
H
H
H
Fu
F
u
-
-
WW
W
W
W
=

Trong đó

( ) ( )
11
0
,
,
HH
Fu
-
WW
là tích năng lƣợng trên cặp không gian đối ngẫu.
11

S húa bi Trung tõm Hc liu

1.1.6.2. B .
Cho
( )
1
FH
-
ẻW
thỡ tn ti
1n +
hm
01
, , .,
n
f f f
trong
( )

2
L W

sao cho:

0
1
n
i
i
i
f
Ff
x
=
ả
=+
ả
ồ

Theo ngha phõn b v ng thi:

( ) ( )
12
22
0
inf
n
i
HL

i
Ff
-
WW
=
=
ồ

trong ú inf ly trờn tt c cỏc vect
( )
01
, , ,
n
f f f
trong
( )
1
2
n
L
+
ộự
W
ờỳ
ởỷ
.
1.1.6.3. nh ngha.
Gi s
ảW
liờn tc Lipschitz, ta kớ hiu

( )
1
2
H
-
ảW
l mt khụng gian
Banach c xỏc nh nh sau:

( ) ( )
'
11
22
HH
-
ổử
ữ
ỗ
ữ
ảW = ảW
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ

vi chun tng ng:
1.2. Phng trỡnh elliptic.
Gi s

n
Wẻ Ă
l min gii ni vi biờn
ả W= G
. Xột phng trỡnh
o hm riờng tuyn tớnh cp
2m
ca n hm
( )
,u x x ẻW


( ) ( )
| | 2m
Au a x D u f x
a
a
a Ê
==
ồ
(1.1)
Trong ú
( ) ( )
a
,a x f x
l cỏc hm cho trc,
A
l mt toỏn t vi phõn
tuyn tớnh, ta cú:
i) Vi m=1 thỡ (1.1) l phng trỡnh o hm riờng cp hai.

12

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ii) Với m=2 thì (1.1) là phƣơng trình đạo hàm riêng cấp bốn.
Bài toán tìm nghiệm của (1.1) đƣợc gọi là bài toán biên nếu trên biên
G

nghiệm
( )
ux
thỏa mãn một số điều kiện biên:

( )
, 0,1, , 1
ii
B u g i m= = -

Trong đó
( )
, 0,1, , 1
i
B u i m=-
là các toán tử biên.
1.2.1. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình.
Xét phƣơng trình:

uf-=V
(1.2)
Giả sử

( ) ( )
2
,u C f CÎ W Î W
và phƣơng trình (1.2) thỏa mãn trong
miền
W
. Khi đó,
( )
ux
đƣợc gọi là nghiệm cổ điển của phƣơng trình (1.2).
Lấy hàm
j
bất kì thuộc
( ) ( )
0
DC
¥
W = W
nhân với hai vế của (1.2) rồi lấy
tích phân ta đƣợc:
u dx f dxjj
WW
-=
òò
V
(1.3)
Áp dụng công thức Green vào (1.3) và kết hợp với điền kiện
|0j
¶W
=

ta có :

1
n
i
ii
u
dx f dx
xx
j
j
=
WW
¶¶
=
¶¶
å
òò
(1.4)
hay:

u fdx f dxj
WW
Ñ Ñ =
òò

Nhƣ vậy, nếu
u
là nghiệm của phƣơng trình (1.2) thì có (1.4). Nhƣng

nếu
( )
fCÎW
thì phƣơng trình (1.2) không có nghiệm cổ điển. Vậy, ta cần
mở rộng khái niệm khi
( )
2
fLÎW
.
13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.2.1.1. Định nghĩa.
Giả sử
( ) ( )
12
,,u H f L uÎ W Î W
đƣợc gọi là nghiệm yếu của phƣơng
trình (1.1) nếu (1.3) đƣợc thỏa mãn.
1.2.1.2. Mệnh đề.
Nếu
u
là nghiệm yếu của phƣơng trình (1.2) và
( ) ( )
2
,u C f CÎ W Î W
thì
u
là nghiệm cổ điển, tức là

uf-=V
.
Chứng minh. Giả sử
u
là nghiệm yếu của phƣơng trình (1.2), tức là
( )
1
uHÎW
và ta có (1.4) với mọi hàm
( )
Dj ÎW
, kết hợp với điều kiện
( )
2
uCÎW
ta suy ra:

( ) ( )
0,u f dx u Dj
W
+ = " Î W
ò
V

Vì
( )
D W
trù mật trong
( )
2

,L u fW+V
trực giao vơi mọi
( )
Dj ÎW
nên
0uf+=V
trong
( )
2
L W
. Nhƣng vì
uV
liên tục nên
0uf+ºV
trong
( )
C W
. Vậy
u
là nghiệm cổ điển của phƣơng trình (1.2).
W


1.2.2. Phát biểu các bài toán biên.
1.2.2.1. Bài toán Dirichlet.
Xét bài toán:

,
,
u f x

uxj
í
ï
- = Î W
ï
ì
ï
= Î ¶W
ï
î
V
(1.5)
trong đó
( )
2
fLÎW
.
Hàm
( )
1
uHÎW
đƣợc gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.5) nếu:

( )
1
0
uHw- Î W
(1.6)
trong đó
w

là hàm thuộc
( )
1
H W
, có vết bằng
j
và:

( )
1
0
,u vdx fvdx v H
WW
Ñ Ñ = " Î W
òò
(1.7)

14

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.2.2.2.Nhận xét
+ Nghiệm yếu của bài toán (1.5) là nghiệm yếu của phƣơng trình
uf-=V
vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phƣơng trình này là hàm
( )
1
uHÎW
thỏa mãn (1.7) với mọi
( ) ( )

1
00
v C H
¥
Î W Ì W
.
+ Nếu
u
là nghiệm yếu của bài toán (1.5) và đặt
,,ufj
đủ trơn thì
nghiệm theo nghĩa cổ điển.
1.2.2.3. Bài toán Neumann
Xét bài toán :

,
,
f u x
u
hx
n
í
ï
- = Î W
ï
ï
ì
¶
ï
= Î ¶ W

ï
ï
¶
î
V
(1.8)
trong đó
( ) ( ) ( )
2
,,h C f C u CÎ ¶ W Î W Î W
là nghiệm cổ điển.
Nhân hai vế của phƣơng trình
uf-=V
với
( )
1
vHÎW
rồi lấy tích
phân ta đƣợc:

v udx vfdx
WW
-=
òò
V
(1.9)
Áp dụng công thức Green vào (1.9) ta có:

u
v dS u vdx vfdx

n
¶W W W
¶D
- + Ñ Ñ =
¶
ò ò ò

Kết hợp với (1.8) ta suy ra:

( )
1
,u vdx fvdx hvdS v H
W W ¶ W
Ñ Ñ = + " Î W
ò ò ò
(1.10)
15

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.2.2.4. Định nghĩa.
Nếu
( ) ( )
22
,h L f LÎ ¶W Î W
thì nghiệm yếu của bài toán Neumann
(1.7) là hàm
( )
1
uHÎW

thỏa mãn (1.10).
1.3. Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản
1.3.1. Lược đồ lặp hai lớp
Xét bài toán:

Ay f=
(1.11)
trong đó
:A H H®
là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực
hữu hạn chiều
H
. Giả sử
A
là toán tử đối xứng, xác định dƣơng,
fHÎ
là
vectơ tùy ý.
Trong mỗi phƣơng pháp lặp, xuất phát từ
0
y
bất kì thuộc
H
, ngƣời ta
đƣa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ
1, 2
, , ,
k
y y y
của phƣơng trình (1.11).

Các xấp xỉ nhƣ vậy đƣợc biết nhƣ là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp
1,2, k =
, bản chất của những phƣơng pháp này là giá trị
1k
y
+
có thể đƣợc
tính thông qua các giá trị lặp trƣớc:
1
, ,
kk
yy
-

Phƣơng pháp lặp đƣợc gọi là phƣơng pháp lặp một bƣớc hoặc hai bƣớc
nếu xấp xỉ
1k
y
+
có thể đƣợc tính thông qua một hoặc hai giá trị trƣớc đó.
Dạng chính tắc của lƣợc đồ lặp hai lớp là:

1
1
, 0,1,2,
kk
kk
k
yy
B Ay f k

q
+
+
-
+ = =
(1.12)
Lƣợc đồ lặp (1.12) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm
y
của phƣơng trình (1.11)
với bất kì toán tử
k
B
và cách trọn tham số
1k
q
+
.
Nếu
k
BE=
thì lƣợc đồ lặp (1.11) đƣợc gọi là lƣợc đồ lặp hiện.
16

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


1
1
, 0,1,2,
k

kk
y
k
yy
A f k
q
+
+
-
+ = =
(1.13)
Trong trƣờng hợp
k
qq=
là hằng số thì lƣợc đồ lặp (1.13) còn gọi là lƣợc đồ
lặp đơn giản.
Nếu
k
BE¹
thì lƣợc đồ lặp (1.11) đƣợc gọi là lƣợc đồ ẩn.
1.3.2. Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp
Lƣợc đồ lặp (1.12) với toán tử
k
BB=
, tham số
1k
qq
+
=
không đổi

( )
0,1,2, k =
còn đƣợc gọi là lƣợc đồ lặp dừng, có dạng:

1
, 0,1,2
k
kk
y
yy
B A f k
q
+
-
+ = =
(1.15)
1.3.2.1. Định lý
Nếu
A
là toán tử đối xứng , xác định dƣơng thì:

1
2
BAq>
hay
( ) ( )
1
, A , ,
2
Bx x x x x Hq> " Î

(1.16)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lƣợc đồ lặp (1.14) trong không gian
A
H
với
tốc độ hội tụ cấp số nhân.

1
, 0,1,2, , 1
kk
AA
z z krr
+
£ = <
(1.17)

trong đó:

( )
1
2
0
2
0
2
1
1 , min , min ,
2
2
kk

kk
A B A
B
BB
B
qd d
r d l d l q
*
*
*
æö
÷
ç
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
= - = = -
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
ç

ç
÷ è ø
ç
÷
èø
+
=

17

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

là phần tử đối xứng của toán tử
B
.
Nhận xét. Với
k
BB=
cố định, định lý đã đƣa ra quy tắc lựa chọn giá
trị
q
để lƣợc đồ lặp hội tụ. Trong trƣờng hợp
BE=
, điều kiện hội tụ sẽ
đƣợc đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn:

( )
11
10
22

kk
E A Al q ql
æö
÷
ç
÷
- = - >
ç
÷
ç
÷
ç
èø

hay:

1
10
2
Aq->

Nhƣ vậy, lƣợc đồ lặp hội tụ với mỗi
2
A
q <
.
18

S húa bi Trung tõm Hc liu

Chng 2
PHNG PHP LP GII BI TON SONG IU HềA

2.1. Mụ hỡnh bi toỏn song iu hũa
2.1.1. Toỏn t song iu hũa
Trong khụng gian
( )
4
C W
cha cỏc hm s
( )
12
,u x x
liờn tc cựng cỏc
o hm riờng cp 4 trong min úng
W
, xột toỏn t song iu hũa:

4 4 4
2
4 2 2 4
1 1 2 2
2
u u u
u
x x x x
ả ả ả
D = + +
ả ả ả ả

(2.1)
Chn hm
( )
4
vC=W
tựy ý, xột tớch vụ hng
( )
2
,uvD
. S dng
cụng thc Green v cụng thc tớch phõn tng phn, qua cỏc phộp bin i vi
( ) ( )
44
,u C v Cẻ W ẻ W
ta cú:

( )
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 2 2
,2
u v u u u v
u v dx
x x x x
x x x x
W
ổử
ả ả ả ả ả ả

ữ
ỗ
ữ
ỗ
D = + + +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ảả
ỗ
ả ả ả ả
ốứ
ũ


( )
( )
2 2 2
22
1 2 1 2 1 2
22
12
12
u u u
v u n n n n n n ds
n s x x
xx
G
ớỹ

ộự
ùù
ả ả ả ả ả
ùù
ùù
ờỳ
+ D + - + - + -
ỡý
ờỳ
ùù
ả ả ả ả
ảả
ờỳ
ùù
ởỷ
ùù
ợỵ
ũ


2
2
vu
ds
nn
G
ảả
-
ảả
ũ

(2.2)
Trong lý thuyt n hi, toỏn t song iu hũa thng c vit di dng:
( )
2 2 2 2 2
2
2 2 2
1 2 1 2
1 1 2
21
u u u
u
x x x x
x x x
s
ss
ổử
ộự
ả ả ả ả
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
ỗ
D = + + - +
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
ỗ
ả ả ả ả

ữ
ả ả ả
ốứ
ờỳ
ởỷ

2 2 2
2 2 2
2 2 1
uu
x x x
s
ổử
ả ả ả
ữ
ỗ
ữ
ỗ
++
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ả ả ả
ốứ

(2.3)

19

S húa bi Trung tõm Hc liu

trong ú
s
l mt s thc (hng s Poisson,
01sÊ<
). Ta cú:

( )
( )
2 2 2 2 2
2
2 2 2
1 2 1 2
1 1 2
, 2 1
u v v u v
u v dx
x x x x
x x x
ss
W
ộự
ổử
ả ả ả ả ả
ữ
ỗ
ờỳ
ữ

ỗ
D = + + - +
ữ
ờỳ
ỗ
ữ
ữ
ả ả ả ả
ỗ
ả ả ả
ốứ
ờỳ
ởỷ
ũ

2 2 2
2 2 2
2 2 1
u v v v
dx vNudS MudS
n
x x x
s
W G G
ộự
ổử
ả ả ả ả
ữ
ỗ
ờỳ

ữ
ỗ
+ + - -
ữ
ờỳ
ỗ
ữ
ữ
ả
ỗ
ả ả ả
ốứ
ờỳ
ởỷ
ũ ũ ũ
(2.4)
trong ú:

( ) ( )
( )
3
2
2
2
1
1
u
Nu u
n
sn

u
Mu u
n
s
ss
ảả
= - + -
ả
ảả
ả
= D + -
ả
V
(2.5)
Khi
0s =
thỡ (2.2) l trng hp riờng ca (2.4).
2.1.2. Cỏc iu kin biờn ca phng trỡnh song iu hũa
Xột phng trỡnh song iu hũa:

2
ufD=
trong
W
(2.6)
Cỏc iu kin biờn ca bi toỏn thụng thng gm cỏc dng nh sau:
Dng th nht

0
0, ờ

u
u
tr n
n
=
ả
=G
ả
(2.7)
Dng th hai

0,
0, ờ
u
Mu tr n
=
=G
(2.8)
20

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Dạng thứ ba

0,
0, ê
Mu
Nu tr n
=
=G

(2.9)
Điều kiện dạng thứ nhất (2.7) là tƣơng đƣơng với các điều kiện:

12
0,
0, 0, ê
u
uu
tr n
xx
=
¶¶
= = G
¶¶
(2.10)
Ngoài các điều kiện dạng trên, đối với phƣơng trình song điều hòa còn
gắn với các dạng điều kiện biên khác, đó là các điều kiện biên hỗn hợp giữa
hàm và đạo hàm hƣớng, đây là hƣớng cần nghiên cứu.
2.2. Phƣơng pháp xấp xỉ biên giải bài toán song điều hòa với điều kiện
biên hỗn hợp mạnh
Để giải các bài toán song điều hòa với điều kiện biên phức tạp, ngƣời ta
thƣờng kết hợp các phƣơng pháp hạ cấp phƣơng trình cấp bốn xuống hai
phƣơng trình cấp hai, phƣơng pháp chia miền và phƣơng pháp lặp hiệu chỉnh
đạo hàm để đƣa các bài toán cấp bốn với điều kiện biên hỗn hợp hay hỗn hợp
mạnh về dãy các bài toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp yếu dễ giải. Sự
hội tụ của các phƣơng pháp đã đƣợc các tác giả chứng minh. Sau đây luận văn
trình bày tƣ tƣởng chính của các phƣơng pháp trên.
2.2.1. Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên
hỗn hợp mạnh
Xét mô hình bài toán song điều hòa sau:

2
0
1
2
,,
,,
,,
,
A
D B E
u f x
u g x S
u
gx
n
u
g x S S S
n
= Î W
=Î
¶
= Î ¶ W
¶
¶
=Î
¶
V
V
UU

(2.11)
21

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Hệ điều kiện biên trên đƣợc mô tả trong hình 2.1










Hình 2.1.
Để tìm nghiệm của bài toán trên, sử dụng phƣơng pháp hạ cấp phƣơng
trình: đặt
vu=V
với
,xvj" Î W =
với
A
xS"Î
. Khi đó bài toán (2.11)
sẽ tƣơng đƣơng với hai bài toán cấp hai sau:

1
2

,
,
,
,
C
A
D E B
v f x
v g x S
v x S
v
g x S S S
n
j
í
ï
= Î W
ï
ï
ï
=Î
ï
ï
ï
ì
=Î
ï
ï
ï
¶

ï
=Î
ï
ï
¶
ï
î
V
UU
(2.12)
2
0
,
,
,
D E B
u v x
u
g x S S S
n
u g x
í
ï
= Î W
ï
ï
ï
¶
ï
=Î

ì
ï
¶
ï
ï
= Î W
ï
ï
î
V
UU
(2.13)
Nhƣ vậy nếu xác định đƣợc
j
thì lời giải bài toán (2.11) sẽ tìm đƣợc từ
lời giải của (2.12) và (2.13). Vấn đề mấu chốt của phƣơng pháp là tìm cách
,
u
u
n
¶
¶

,
uu
nn
¶ ¶ D
¶¶

,
uu
nn
¶ ¶ D
¶¶

u
n
u
n
¶
¶
¶D
¶

0
1
ug
ug
=
D=

D
S

E
S

C
S

A
S

B
S