de cuong on tap toan cuc hay

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KỲ II MÔN TOAN LỚP 9
PHẦN ĐẠI SỐ
A /. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
I/. Kiến thức cơ bản :
Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là
phương trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0 Trong đó
(
0a ≠
)
a,b,c là các số cho trước
x là ẩn số
1).Công thức nghiệm & công thức nghiệm thu
gọn
Với phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (
0a
≠
) ta có :
Công thức nghiệm
Công thức nghiện
thu gọn (b chẳn; b’=
2
b
)
2
4b ac∆ = −
-
0∆ <

: PTVN
-
0
∆ =
: PT có n
0
kép
1 2
2
b
x x
a
−
= =
-
0∆ >
: PT có 2 n
0
1 2
;
2
b
x x
a
− ± ∆
=
2
' 'b ac∆ = −
-
' 0∆ <

: PTVN
-
' 0∆ =
: PT có n
0
kép
1 2
'b
x x
a
−
= =
-
' 0∆ >
: PT có 2 n
0
1 2
' '
;
b
x x
a
− ± ∆
=
* Ghi nhớ : Các trường hợp đặc biệt
☺Nếu a + b + c = 0 => PT có hai nghiệm là :
1 2
1;
c
x x

a
= =
☺Nếu a – b + c = 0 => PT có hai nghiệm là :
1 2
1;
c
x x
a
−
= − =
2). Hệ thức Viét :
* Nếu x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 (
0a ≠
) thì tổng và tích của hai
nghiệm là :
1 2 1 2
; .
b c
x x x x
a a
−
+ = =
Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó

là nghiệm của phương trình x
2
– Sx +
P = 0.
II/. Các dạng bài tập cơ bản :
♣ Dạng 1 : Giải phương trình
1). 4x
2
– 11x + 7 = 0 (a = 4; b = – 11; c = 7)
* Cách 1 : Sử dụng công thức nghiệm
2 2
4 ( 11) 4.4.7 9 0 3b ac∆ = − = − − = > ⇒ ∆ =
Vì
0
∆ >
nên phương trình có 2 nghiệm là :
2).
2
2 1
2
1 1
x
x x
− =
− +
(*) - TXĐ :
1x ≠ ±
(*)
2
2 1.( 1) 2.( 1).( 1)

1 ( 1).( 1) 1.( 1).( 1)
x x x x
x x x x x
− + −
⇔ − =
− + − + −
2
2
2 1 2 2
2 3 0
x x x
x x
⇔ − + = −
⇔ − − =
Vì a – b + c = 2 – (– 1) – 3 = 0
Nên phương trình có 2 nghiệm là :
1 2
3
1;
2
c
x x
a
−
= − = =
3). 3x
4
– 5x
2
– 2 = 0 (**)

Đặt x
2
= t
≥
0 , (**)
0253
2
=−− tt

⇔
t
1
= 2 (nhận) và t
2
=
1
3
−
(loại)
Với t = 2 => x
2
= 2 <=> x =
2±
♣ Dạng 2 : Phương trình có chứa tham số
VD : Cho PT : x
2
– 4x + 2m – 1 =
0
Tìm m để phương trình : - Vô nghiệm
- Có nghiệm kép

- Có 2 nghiệm phân
biệt
Giải :
Ta có : a = 1; b = – 4; c = 2m – 1
⇒
2
' ( 2) 1.(2 1) 3 2m m∆ = − − + = −
* Để phương trình trên vô nghiệm thì
0
∆ <
3
3 2 0 2 3
2
m m m⇒ − < ⇔ − < − ⇔ >
* Để phương trình trên có nghiệm kép thì
0∆ =
3
3 2 0 2 3
2
m m m⇒ − = ⇔ − = − ⇔ =
* Để PT trên có 2 nghiệm phân biệt thì
0
∆ >
3
3 2 0 2 3
2
m m m⇒ − > ⇔ − > − ⇔ <
Dạng 3 : Giải bài toán bằng cách lập phương
trình , hệ phương trình.
☺ Loại 1 : Tìm tham số m thoả ĐK cho trước

- Tính
∆
theo tham số m
- Biện luận
∆
theo ĐK của đề bài ;
- Tìm ĐKXĐ của phương trình (nếu có)
- Biến đổi về dạng PT bậc 2 một ẩn số.
- Giải PT bằng công thức nghiệm
- Nhận nghiệm và trả lời
1
11 3 7
2 8 4
b
x
a
− + ∆ +
= = =
;
2
11 3
1
2 8
b
x
a
− − ∆ −
= = =
* Cách 2 : Trường hợp đặc biệt
Vì a + b + c = 4 + (-11) + 7 = 0

Nên phương trình có 2 nghiệm là :
1 2
7
1;
4
c
x x
a
= = =
III/. Bài tập tự giải :
Dạng 1 : Giải các phương trình sau :
1).
2
10 21 0x x− + =
2).
2
3 19 22 0x x− − =
3).
2
(2 3) 11 19x x− = −
4).
8
1 1 3
x x
x x
+ =
+ −
5).
4 2
13 36 0x x− + =

Dạng 2 : Tìm tham số m thoả ĐK đề bài
. Cho phương trình : mx
2
+ 2x + 1 = 0
a). Với m = -3 giải phương trình trên.
b). Tìm m để phương trình trên có :
- Nghiệm kép
- Vô nghiệm
- Hai nghiệm phân biệt
Dạng 3 : Bài 28,30 trang 22, bài 46,47 trang 59
B/. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ :
I/. Kiến thức cơ bản :
1). Điểm A(x
A
; y
A
) & đồ thị (C) của hàm số
y = (x):
- Nếu f(x
A
) = y
A
thì điểm A thuộc đồ thị (C)
- Nếu f(x
A
)
≠
y
A
thì điểm A không thuộc đồ thị

(C)
2). Sự tương giao của hai đồ thị :
Với (P) & (D) theo thứ tự là đồ thị của hai hàm
số :
y = f(x) và y = g(x) . Khi đó ta có :
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P)& (D)
f(x) = g(x) (1)
- Nếu (1) vô nghiệm => (P) & (D) k./có điểm
chung
- Nếu (1) có n
0
kép => (P) & (D) tiếp xúc nhau
- Nếu (1) có 1n
0
hoặc 2 n
0
=> (P) & (D) có 1 hoặc
2 điểm chung.
II/. Các dạng bài tập cơ bản :
♣ Dạng 1 : Vẽ đồ thị
VD : Cho 2 hàm số y = - x + 1 và y = 2x
2
.
a). Hãy Vẽ đồ thị 2 h/số lên cùng mặt phẳng Oxy.
b). Dựa vào đồ thị tìm hoành độ giao điểm và
kiểm tra lại bằng PP đại số.
Giải :
- Xác định toạ độ các điểm thuộc đồ thị :
x 0 1
y = - x + 1 1 0

X -1 -½ 0 ½ 1
2 2
1 2
2 1 2 1 0
1
1;
2
x x x x
x x
= − + ⇔ + − =
⇔ = − =
 y
1
= 2(-1)
2
= 2 , y
2
= 2(1/2)
2

= ½
Vậy Tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên là :
M( -1; 2) N( 1/2 ; 1/2)
Dạng 2 : Xác định hàm số
VD
1
: Cho hàm số : y = ax
2
. Xác định hàm số
trên biết đồ thị (C) của nó qua điểm A( -1;2)

Giải
Thay toạ độ của A(-1; 2) thuộc đồ thị (C) vào
hàm số
Ta được : 2 = a.( -1) => a = - 2
Vậy y = -2x
2
là hàm số cần tìm.
VD
2
: Cho Parabol (P) : y =
1
2
x
2

a). Vẽ đồ thị hàm số trên.
b). Tìm m để đường thẳng (D) : y = 2x + m tiếp
xúc với (P)
Giải :
a).
- Xác định toạ độ các điểm thuộc đồ thị :
x -2 -1 0 1 2
y = ½x
2
2 ½ 0 ½ 2
- Vẽ đồ thị :
b). Tacó PT hoành độ giao điểm của (P) & (D)
là :
- Đồ thị của h/s y = ax + b có dạng đường thẳng,
nên khi vẽ ta cần tìm 2 điểm thuộc đồ thị

- Đồ thị của h/số y = ax
2
có dạng đường cong
parabol đối xứng nhau qua Oy, nên khi vẽ ta cân
tìm khoảng 5 điểm thuộc đồ thị.
y =
2
1
2
x
x
y = 2x
2
2 ½ 0 ½ 2
- Vẽ đồ thị :
b). Hai đồ thị trên có hoành độ giao điểm là x
1
= -1
và x
2
= ½
Thật vậy :
Ta có PT hoành độ giao điểm của 2 h/số là:

2 2
1
2 4 2 0
2
x x m x x m= + ⇔ − − =
(1)

Để (P) và (D) tiếp xúc nhau khi (1) có nghiệm
kép
2
' ( 2) 1.( 2 ) 0
4 2 0 2
m
m m
⇒ ∆ = − − − =
⇒ + = ⇔ = −
Vậy m = -2 thì đồ thị (P) và (D) tiếp xúc nhau.
III/. Bài tập tự giải :
1). Cho hai hàm số :
- (D) : y = – 4x + 3
- (P) : y = – x
2

a). Vẽ đồ thị (D) và (P) lên cùng mp toạ độ
b). Xác định toạ độ giao điểm của (D) và (P),
bằng phương pháp đại số.
2). Cho hàm số (P) : y = ax
2
(
0a ≠
)
a). Xác định hàm số (P). Biết rằng đồ thị của nó
qua điểm A(2; - 2).
b). Lập phương trình đường thẳng (D). Biết rằng
đồ thị của nó song song với đường thẳng y = 2x
và tiếp xúc với (P).
PHẦN HÌNH HỌC

GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN :
1. Góc ở tâm :
Sđ AB
n
= SđAOB
Sđ AB
lon
= 360
0
Sđ AB
n

Sđ nữa đường tròn bằng 360
0

2. Góc nội tiếp
AMB =
sdAB
2
1
3. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
xAB =
sdAB
2
1

4. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn :
BMD =
)(
2

1
sdACsdBD −

5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn :
AID =
)(
2
1
sdBCsdAD −

6. Một số tính chất về góc với đường tròn :

7. Tứ giác nội tiếp :
*
ĐN :
* Tính chất :
8. Một số dạng chứng minh tứ giác nội tiếp
:

y = 2x
2
x
ABCD là tứ giác nội tiếp
; ; ; ( )A B C D O⇔ ∈
A + C =180
0
=> ABCD nội tiếp
ADB = ACB = 90
=> A;B;C;D thuộc đ.tròn đ.kính AB
=> ABCD nội tiếp đ.tròn đ.kính AB

xAD = DCB
=> ABCD nội tiếp
ABCD nội tiếp <=> A + C = 180
0

hoặc B + D = 180
0


9.
Một số hệ thức thường gặp :

10. Một số hệ thức thường gặp :
(do
∆
ABI
∆
DCI)
(do
∆
MAD
∆
MCB)
(do
∆
MBA
∆
MAC)
11. Độ dài đường tròn & cung tròn :
* Chu vi đường tròn :

* Độ dài cung AB có số đo n
0
:
12. Diện tích hình tròn & hình quạt tròn :
* Diện tích hình tròn :
* Diện tích hình quạt cung AB
có số đo n
0
là :
1 (3điểm)
Giải phương trình và hệ phương trình:
a)
2
6x 7x 3 0− − =
b)
2
4x 4 3x 3 0− + =
c)
4 2
2x 8x 0− =
d)
8x 7y 7
2x 2y 3
+ = −


+ =

2 (2 điểm)
Cho phương trình :

2
x (4m 1)x 4m 0− − − =
(x là ẩn số)
a) Chứng minh pt luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.Tính tổng và tích của
2 nghiệm theo m
b) Gọi
1 2
x , x
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có
2 2
1 2 1 2
x x x .x 13+ − =
3 (1,5 điểm)
Cho hàm số :
2
x
y
2
−
=
(P)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Tìm các điểm M thuộc đồ thị (P) sao cho M có tung độ bằng 2 lần hoành độ .

4 (3,5 điểm)
IA.IC = IB.ID
MA.MB = MD.MC
MA
2
= MB.MC

AB
2
+ BC
2
+ CD
2
+ DA
2
= 8R
2
2 .C R d R
= Π =
»
0
. .
180
AB
R n
l
π
=
2
.S R
π
=
S
quạt
=
2 0
0

. . .
360 2
R n l R
π
=
Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A ở ngoài đường tròn ( O ) cách tâm O
một khoảng bằng 2R. Vẽ đường thẳng ( d ) vuông góc với OA tại A. Từ một điểm M trên (d) vẽ
hai tiếp tuyến MD, ME đến đường tròn (O) với D, E là hai tiếp điểm.
a)Chứng minh tứ giác MDOE là tứ giác nội tiếp và 5 điểm M, A, D, E, O
cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường thẳng DE cắt MO tại N và cắt OA tại B.
Chứng minh OB.OA = ON.OM. Suy ra độ dài OB không đổi khi M lưu động
trên đường thẳng (d).
c) Cho MA=
3R
2
. Tính diện tích tứ giác ABNM theo R.

ĐÁP ÁN
1 (3 ñieåm) m ỗi câu 0,75 điểm
Giải các pt :
a)
2
6x 7x 3 0− − =
1
2
49 72 121
11 (0,25đ)
7 11 3
x (0,25đ)

12 2
7 11 1
x (0,25đ)
12 3
∆ = + =
∆ =
+
= =
− −
= =
b)
2
4x 4 3x 3 0− + =
1 2
' 12 12 0 (0,25đ)
b 4 3 3
x x (0,5đ)
2a 8 2
∆ = − =
−
= = = =

c)
4 2
2x 8x 0− =
Đặt
)0(
2
≥= txt
Ta có phương trình :

2
2t 8t 0− =
Giải phương trình này ta được :
1 2
t 0 ; t 4= =
0,25 đ
Với
t
= 0 .Ta có
0=x
0,25 đ
Với
t
= 4 .Ta có
x 2= ±
0,25 đ
d)
8x 7y 7
2x 2y 3
+ = −


+ =

35
8x 7y 7 8x 7y 7
x
2
8x 8y 12 y 19
y 19

−

+ = − + = −
=
 

⇔ ⇔ ⇔
  
− − = − − = −
 

=

(0,25 đ + 0,25 đ + 0,25 đ )
Baøi 2 (2 ñieåm)
Cho PT :
2
x (4m 1)x 4m 0− − − =
(
x
là ẩn số)
a) Chứng minh pt luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
Ta có :
2 2 2
(4m 1) 16m 16m 8m 1 (4m 1) 0∆ = − + = + + = + ≥
0,5 đ
Nên pt luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m 0,25 đ
b)Tính tổng và tích của 2 nghiêm theo m
Ta có :

1 2
1 2
b
S x x 4m 1
a
c
P x .x 4m
a
−
= + = = −
= = = −
0,25 đ+ 0,25 đ
c)
2 2
1 2 1 2
x x x .x 13+ − =
(1)
Ta có :
(1)
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x .x 13 (x x ) 3x .x 13 (4m 1) 12m 13⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ − + =
2
3
16m 4m 12 0 m 1 v m
4
⇔ + − = ⇔ = − =
(0,25 đ + 0,25 đ + 0,25 đ )
Baøi 3 ( 1,5 ñieåm)
Cho hàm số :

2
x
y
2
−
=
(P)
a)Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
Lập bảng giá trị đặc biệt : 0, 5 đ

Vẽ đồ thị 0, 5 đ
b)Tìm các điểm thuộc đồ thị (P) có tung độ bằng hai lần hoành độ
Ta có y =2x nên
2
2
x
2x x 4x 0 x 0 v x 4
2
−
= ⇔ + = ⇔ = = −
0,25 đ
Vậy có hai điểm thuộc đồ thị ( P ) có tung độ bằng hai lần hoành độ là :
(0 ; 0); ( 4 ; 8)− −
0,25 đ

Baøi 4 ( 3,5 ñiểm)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A ở ngoài đường tròn ( O ) cách tâm O
một khoảng bằng 2R. Vẽ đường thẳng ( d ) vuông góc với OA tại A. Từ một điểm M trên (d) vẽ
hai tiếp tuyến MD, ME đến đường tròn (O) với D, E là hai tiếp điểm.

x
y
0
0
1
-1/2
2
-2 -1/2 -2
-1-2
d
O
A
M
D
E
N
B
a)Chứng minh tứ giác MDOE là tứ giác nội tiếp và 5 điểm M, A, D, E, O
cùng thuộc một đường tròn.
+Ta có góc ODM = 90
o
và góc OEM = 90
o
(vì MD, ME tiếp xúc với ( O ))
0,25 đ
Nên tứ giác MDOE nội tiếp được trong đường tròn đường kính là OM.
0,25 đ
+Ta có góc MAO = 90
o
(gt) nên A thuộc đường tròn đường kính là OM

0,25 đ
Vậy 5 điểm M, A, D, E, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
0,25 đ
b) Đường thẳng DE cắt MO tại N và cắt OA tại B.
Chứng minh OB.OA = ON.OM. Suy ra độ dài OB không đổi khi M lưu động
trên đường thẳng (d).
Ta có MO vuông góc với DE vì OD = OE và MD = ME 0,5 đ
Hai tam giác vuông OAM và ONB đồng dạng với nhau cho ta:
OB ON
ON.OM OB.OA
OM OA
= ⇔ =
(đpcm)
Tam giác vuông ODM cho : ON.OM= OD
2
=R
2
Suy ra
2
ON.OM R R
OB
OA 2R 2
= = =
( không đổi ) 0,5 đ
c) Cho MA=
3R
2
. Tính diện tích tứ giác ABNM theo R.
Ta có dt(ABNM) = dt(OAM) – dt(ONB) 0,25 đ

dt(OAM)=
2
1 1 3R 3R
OA.MA 2R.
2 2 2 2
= =
0,25 đ
Ta có : OM =
5R
2
( dùng đl Pitago trong tam giác vuông OAM)
Ta có: ON.OM = R
2
2
R 2R
ON
5R
5
2
⇔ = =

0,25 đ
Ta có :
2 2 2
2 2 2
R 4R 9R 3R
NB OB ON NB
4 25 100 10
= − = − = ⇔ =

0,25 đ

2
1 1 3R 2R 3R
Dt(ONB) ON.NB . .
2 2 10 5 50
= = =
0,25 đ
Vậy dt(ABNM)=
2 2 2 2
3R 3R 72R 36R
2 50 50 25
− = =
(đvdt) 0,25 đ