ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 HKII

Chương
IV
Chương
IV
BẤT PHƯƠNG
TRÌNH
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 -
HKII
Trường thpt Định Thành – Lý Việt Phương
Ôn Tập Toán 10

I. Dấu của nhị thức:
( )
)0( ≠+= abaxxf

x
∞−
-b/a +
∞

( )
xf
Trái dấu a 0 Cùng dấu a
II . Dấu của tam thức:
( )
)0(
2
≠++= acbxaxxf
1/
0
>∆

:
( )
21
2
1
2
0 xx
xx
xx
cbxax <



=
=
⇔=++

x
∞−
1
x

2
x
+
∞

( )
xf
Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

2/
0=∆
:
a
b
xcbxax
2
0
2
−=⇔=++
khi đó: f(x) cùng dấu với a






−∈∀
a
b
Rx
2
\

x
∞−
-b/2a +
∞

( )

xf
Cùng dấu a 0 Cùng dấu a

3/
0<∆
:
0
2
=++ cbxax
vô nghiệm. khi đó:f(x) cùng dấu với a
Rx ∈∀

x
∞−
+
∞

( )
xf
Cùng dấu a
4/ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠

⇔

∆ >

1

Trường thpt Định Thành – Lý Việt Phương
Ôn Tập Toán 10
Gọi
1 2
,x x
là hai nghiệm của pt
0
2
=++ cbxax
. Khi đó :
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c
P x x
a

= + = −




= =


5/ f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu
1 2

. 0 0 . 0
c
P x x a c
a
⇔ = < ⇔ < ⇔ <
6/ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
0
0 0
0 . 0
0
c
P a c
a
∆ >

∆ > ∆ >
 

⇔ ⇔
  
> >
>
 


7/ f(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt
0
0 0
0 0 . 0
0 . 0

0
c
P a c
a
S b a
b
a


∆ >
∆ > ∆ >
 

  
> ⇔ > ⇔ >
  
  
> − >
 

− >


8/ f(x) = 0 có hai nghiệm âm phân biệt
0
0 0
0 0 . 0
0 . 0
0
c

P a c
a
S b a
b
a


∆ >
∆ > ∆ >
 

  
> ⇔ > ⇔ >
  
  
< − <
 

− <


9/
( )



≤∆
>
⇔∈∀≥
0

0
0
a
Rxxf
2
Trường thpt Định Thành – Lý Việt Phương
Ôn Tập Toán 10
10/
( )



≤∆
<
⇔∈∀≤
0
0
0
a
Rxxf


1/ Công thức lượng giác cơ bản:
2 2
sin cos 1x x
+ =
tan cot 1 , ,
2
x x x k x k k Z
π

π π
 
= ≠ + ≠ ∈
 ÷
 
2
2
1
1 tan ,
cos 2
x x k k Z
x
π
π
 
+ = ≠ + ∈
 ÷
 
( )
2
2
1
1 cot ,
sin
x x k k Z
x
π
+ = ≠ ∈
2/ Công thức nhân đôi:
sin 2 2sin .cosa a a=

2 2 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= − = − = −
2
2.tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
3/ Công thức hạ bậc:

2
1 cos2
sin
2
a
a
−
=

2
1 cos2
cos
2
a
a
+
=

2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
−
=
+
4/ Các công thức khác (sgk)
Chương II TÍCH VÔ HƯỚNG
Bài 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1/ Định lý côsin:
Trong tam giác ABC với BC = a, AB = c, AC = b ta có :
2 2 2
2 .cosa b c bc A
= + −
2 2 2
2 .cosb a c ac B
= + −
2 2 2
2 .cosc a b ab C
= + −
2/ Định lí sin:
3
Chương VI
Trường thpt Định Thành – Lý Việt Phương
Ôn Tập Toán 10

Trong tam giác ABC bất kì với BC=a,CA=b,AB=c và R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác đó ta có:


3/ Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
m
a
2
=
2 2 2
2( )
4
b c a+ −
m
b
2
=
2 2 2
2( )
4
a c b+ −
m
c
2
=
2 2 2
2( )
4
a b c+ −
4/ Công thức tính diện tích tam giác :

S =
1
sin
2
ac B
=
1 1
sin sin
2 2
ab C bc A=
S =
cba
hchbha .
2
1
.
2
1
.
2
1
==

S =
4
abc
R
=







++
=
2
.
cba
prp
S =
( )( )( )p p a p b p c− − −
(Hê-rông)



1/ Tọa độ điểm và véctơ :
Trong hệ tọa độ Oxy:
1/ Cho A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
). khi đó:
( )
ABAB
yyxxAB −− ;

( )
2
2
()
ABAB
yyxxABAB −+−==
2/
( )
baMN ;=
khi đó độ dài đoạn
22
baMNMN +==

3/ M là trung điểm đoạn AB thì M






++
2
;
2
BABA
yyxx
4/ G là trọng tâm
∆

ABC thì G






++++
3
;
3
CBACBA
yyyxxx
2/ Các phép toán của véctơ:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
4
Chương III
:
Trường thpt Định Thành – Lý Việt Phương
Ôn Tập Toán 10
Trong hệ tọa độ Oxy cho
( ) ( )
2121
;,; bbbaaa ==


( )
2211
; bababa ±±=±
;
( )
21
;. kakaak =
;



=
=
⇔=
22
11
ba
ba
ba
 Tích vô hướng theo tọa độ
2211
bababa +=
 Tích vô hướng theo độ dài và góc
( )
bababa ,cos =

a
r
và
b

r
cùng phương
bkaRk =∈∃ :
3/ Góc giữa hai véctơ:

( )
00
1800 ≤≤ ba
;
a
r
và
b
r
vuông góc
⇔
. 0a b
=
r r

( )
ba
ba
ba
.
.
;cos =
(với
0 , 0a b≠ ≠
r r r r

)
4/ Phương trình đường tròn:
1. Đường tròn (C) có tâm I(a; b) , bán kính r có phương trình (C): (x –
a )
2
+( y – b)
2
= r
2

2. Đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 với
2 2
0a b c+ − >
Có tâm I (a ; b ) , bán kính r =
2 2
a b c+ −

3. Đường tròn (C) qua gốc tọa độ O(0 ; 0) có pt: x
2
+ y
2
– 2ax – 2by = 0
với
2 2
0a b+ >
Có tâm I (a ; b ) , bán kính r =

2 2
a b+


5/ Véctơ chỉ phương của đường thẳng:
1. Véctơ
u
được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu
0≠u
và
giá của
u
song song hoặc trùng với đường thẳng d.
2. Nếu đường thẳng d có véctơ chỉ phương
( )
21
;uuu =
thì d có hệ số góc
1
2
u
u
k =
.
3. Nếu đường thẳng d có hệ số góc k thì đường thẳng d có véctơ chỉ
phương
( )
ku ;1=
.
5

Trường thpt Định Thành – Lý Việt Phương
Ôn Tập Toán 10
6/ Véctơ pháp tuyến của đường thẳng, liên hệ giữa vtcp và vtpt:
1. Véctơ
n
được gọi là Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu
0≠n
và
giá của
n
vuông góc với đường thẳng d.
2. Vtcp và vtpt của đường thẳng d vuông góc với nhau và
0. =nu
.
3. Nếu đường thẳng d có véctơ chỉ phương
( )
bau ;=
khi đó ta có thể xác
định vtpt của đường thẳng d như sau:
( )
abn −= ;
hoặc
( )
abn ;−=

7/ Phương trình tổng quát của đường thẳng :
 Định nghĩa :
Phương trình có dạng Ax + By + C = 0 , trong đó A, B
không đồng thời bằng 0 ,
được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

8/ Phương trình tham số của đường thẳng :
 Định nghĩa :
Phương trình có dạng



+=
+=
btyy
atxx
0
0
, trong đó a, b không đồng
thời bằng 0 ,
được gọi là phương trình tham số của đường thẳng.
9/ Vị Trí tương đối của hai đường thẳng:
Ta xét một trường hợp cụ thể sau :
Cho hai đường thẳng có pttq:
;0:
1111
=++
CyBxAd
;0:
2222
=++
CyBxAd
 Đường thẳng d qua
( )
00
; yxM

có vtpt
( )
BAn ;=
có pttq là:
A(x - x
0
) + B(y - y
0
) = 0.
 Từ pttq của d: Ax + By + C = 0 ta có véctơ pháp tuyến của d là
( )
BAn ;=
 Đường thẳng d qua
( )
00
; yxM
có vtpt
( )
bau ;=
có ptts là:



+=
+=
btyy
atxx
0
0
 Từ ptts là:




+=
+=
btyy
atxx
0
0
ta có véctơ chỉ phương của d là
( )
bau ;=
6
Trường thpt Định Thành – Lý Việt Phương
Ôn Tập Toán 10
Số giao điểm giữa d
1
và d
2
là số nghiệm của hệ pt :



=++
=++
0
0
222
111
CyBxA

CyBxA
(I)
 d
1
// d
2
⇔ Hệ phương trình (I) vô nghiệm.
 d ≡ d’ ⇔ Hệ phương trình (I) vô số nghiệm.
 d
1
cắt d
2
⇔ Hệ phương trình (I) có một nghiệm
10/ Góc giữa hai đường thẳng :
Bài 1: Xét dấu các biểu thức sau:
a/
( )
x
x
xf
−
+
=
5
63
b/
( ) ( )( )
7439 +−= xxxf
c/
( ) ( )

5 3 2f x x x= −

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a/
0132
2
<+−− xx
b/
0
24
96
2
≥
−
−+
x
xx
c/
( )( )
0312 ≤−+ xx

d/
2
2
0
1
x
x
≥
−

e/
xx
x 1
63
2
≥
+
−
f/
( ) ( )
2 5
2 1
0
1
x x
x
− +
≥
−

 Cho hai đường thẳng có pttq:
0:
1111
=++
CyBxAd
có vtpt
( )
111
; BAn =

0:
2222
=++
CyBxAd
có vtpt
( )
222
; BAn =
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
được tính dựa vào:

( )
( )
21
21
2121
.
.
;cos;cos
nn
nn
nndd
==

( )
0
21

0
90;0
≤≤
dd
;
0.
212121
=⇔⊥⇔⊥
nnnndd
 Nếu
111
: mxkyd
+=
và
222
: mxkyd
+=
Khi đó
1.
2121
−=⇔⊥
kkdd
7
Trường thpt Định Thành – Lý Việt Phương
Ôn Tập Toán 10
g/
2
2 5 2 0x x+ + <
h/
2

32
32
2
≥
−
+−
x
xx
i/
2
2
( 2)( 3 2)
0
9
x x x
x
− + +
≤
−
Bài 3: Bài toán về tam thức
1/ Cho biểu thức:
( )
510
2
−−= xmxxf

a/ Định m để
( )
Rxxf ∈∀< 0
b/ Định m để

( )
0=xf
có hai nghiệm trái dấu.
2/ Cho biểu thức:
( ) ( )
145
2
+−+= mxxmxf

a/ Với m = -2, giải bất phương trình
( )
0≤xf
b/ Định m để
( )
Rxxf ∈∀> 0
3/ Cho tam thức:
( ) ( )
212
22
−−++−= mmxmxxf

a/ Định m để
( )
0=xf
có hai nghiệm trái dấu.
b/ Định m để
( )
Rxxf ∈∀> 0
4/ Cho biểu thức:
( ) ( )

423
2
−+−= mxxmxf

a/ Định m để
( )
Rxxf ∈∀< 0
b/ Với m = 2, giải bất phương trình
( )
0≥xf
.
5/ Cho biểu thức:
( ) ( )
122
2
−+−= mxxmxf

a/ Định m để
( )
Rxxf ∈∀< 0
b/ Định m để
( )
0=xf
có hai nghiệm cùng dấu.
6/ Cho tam thức:
( ) ( )
1123
2
+++−−= mxmxxf

a/ Định m để
( )
Rxxf ∈∀< 0
b/ Định m để
( )
0=xf
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.
7/ Cho biểu thức:
( )
843
2
+−+−= mxmxxf
a/ Định m để phương trình
( )
0=xf
có nghiệm .
b/ Định m để phương trình
( )
0=xf
có hai nghiệm trái dấu.
8/ Cho biểu thức:
( ) ( ) ( )
2
2 2 1 1f x m x m x= − + + − +
.
a/ Chứng minh rằng phương trình
( )
0=xf
có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b/ Định m để phương trình

( )
0=xf
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm.
Bài 4: Hệ trục tọa độ
1/ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho
ABC∆
có A(2 ; -1), B(-2 ; -2), C(3 ; 2)
a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d qua A và d //
BC.
8
Trường thpt Định Thành – Lý Việt Phương
Ôn Tập Toán 10
c/ Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm O, A, C.
d/ Viết phương trình tham số của đường thẳng a qua C và có hệ
số góc k = -3
e/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng b qua B và có
vtcp
( )
1 ; 4u = − −
r
2/ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho A(2 ; -1), B(3 ; -2) , đường thằng d: x
- 3y + 2 = 0
a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
Tìm tọa độ giao điểm giữa đường thằng AB và d.
b/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng a qua B và a
⊥
d.
c/ Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường
thằng d.

3/ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho A(3 ; 0), B(1 ; -2) , đường thằng d:



−=
−=
3
2
y
tx
a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng a qua B và a
⊥
d.
Tìm tọa độ giao điểm giữa đường thằng a và d.
c/ Viết phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính.
d/ Tìm tọa độ điểm M trên đt d sao cho độ dài đoạn BM nhỏ nhất.
4/ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho
ABC
∆
có A(2 ; -1), B(-2 ; -2), C(3 ; 2)
Đường tròn (C):
( )
43
2
2
=+− yx
, đường thẳng d: 2x – 3 = 0
a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng a qua A và vuông
góc với d.

b/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB
c/ Chứng minh rằng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
d/ Viết phương trình tổng quát đường phân giác trong tại góc A
của
ABC∆
9
Trường thpt Định Thành – Lý Việt Phương
Ôn Tập Toán 10
Bài 5: Giá trị lượng giác
1/ Cho
πα
π
α
<<=
2
,
3
2
sin
. Tính
ααα
2sin,tan,cos

2/ Cho
2
3
,
3
1
cos

π
απα
<<−=
. Tính
ααα
2sin,cot,sin

3/ Cho
2
0,3tan
π
αα
<<=
. Tính
ααα
2sin,sin,cos
4/ Chứng minh rằng :
xxxx
2222
sin.tansintan =−
5/ Rút gọn biểu thức:
2
1 cos
tan sin
sin
x
A x x
x
 
+

= −
 ÷
 
6/ Biết sinx + cosx =
2
1
. Tính sin2x
7/ Tính






−
3
cos
π
x
biết
3
1
sin =x
và
π
π
<< x
2
.
8/ Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x :

2
2
2
1 sin
2 tan
1 sin
x
A x
x
+
= −
−
9/ Chứng minh rằng :
( ) ( )
xxxx 2sinsin1.tan2.sin1 =−+
10/ Rút gọn biểu thức:
aaaA
222
cot.coscos +=
11/ Chứng minh rằng :
x
x
x
x
x
cos
cot
sin
sin
tan

=−
12/ Chứng minh rằng :
( )
xxx
x
x
2
cossin1tan
cos
1
cos =−






+
13/ Rút gọn biểu thức:
( )
xxxA 2sincossin
2
+−=
Bài 6: Giải tam giác:
1/ Cho
ABC
∆
có
0
60,5,3 ===

∧
BBCAB
tính
aABC
hRSAAC ,,,,
∆
∧
2/ Cho
ABC
∆
có
00
60,45,6 ===
∧∧
BCBC
tính
cABC
hrSAB ,,,
∆
3/ Cho
ABC
∆
có
00
45,60,4 ===
∧∧
CBa
tính
bABC
hRSb ,,,

∆
4/ Cho
ABC∆
có
6,4,3 === cba
tính
aABC
hSRA ,,,
∆
∧
Bài 7: Chứng minh rằng trong tam giác ABC có:
1/
( )
2 2
cos cosb c a b C c B− = −
2/
( )
( )
2 2
cos cos cosb c A a c C b B− = −
10
Trường thpt Định Thành – Lý Việt Phương
Ôn Tập Toán 10
3/
sin sin cos sin cosC A B B A
= +
11