đề thi và đáp án HKII lớp 11 năm 2011 - 2012

S GIO DC V ĐO TO ĐĂKLĂK
THI HỌC K II NĂM HỌC 2011-2012
TRƯNG THPT HUỲNH THÚC KHNG
MÔN THI : TON 11
THI GIAN : 90 pht (không k thi gian giao đ)
ĐỀ RA
A – PHẦN CHUNG (6,5 điểm)
Bài 1 (1,5 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
→
−
− +
x
x
x x
3
2
1
27
lim
5 6
b)
→−∞
+ −
+ + −
x
x x
x x x
4 2
3 4
2 4 1

lim
3 5 4
3)
→+∞
 
+ + −
 ÷
 
x
x x x
2
lim 9 3 1 3

Bài 2 (1,5 điểm).
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

−
≠ −


− −
=


+ = −


x
x
x x

f x
x x
2
2
1
, 1
2 3
( )
1
1 , 1
2

Bài 3 (1,5 điểm). Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y =
5
3
x
2
- 2x
2
+ 2x + 1 - 5
x
b)
= − +y x x
2
(5 3) 9 1
c)
( )
( )
+

=
−
x
y
x
sin 3 1
cos 15 2
Bài 4 (2,0 điểm).Cho hình chóp A.BCD có đáy là tam giác BCD vuông tại C , BC = CD = 2a , AB ⊥ (BCD),
AB = a. Gọi M là trung điểm BD
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AMC) và (BCD)
B – PHẦN RIÊNG (Thí sinh được chọn làm một trong hai phần sau)
I – PHẦN DNH CHO BAN KHTN
Bài 5A (2,0 điểm).
a) Tính
→−∞
 
 
+ +
 ÷
 
 
 
x
x x x
2
lim 3 5 25 1
.
b) Cho hàm số y =
2 2

3
x
x
+
⊥
−
(C
1
). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C
1
) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng 2x + y – 12 = 0 và hoành độ của tiếp điểm là một số âm.
Bài 6A (1,5 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh hai mặt chéo của hình lập phương vuông góc với nhau
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’
II – PHẦN DNH CHO BAN CƠ BẢN
Bài 5B (2,0 điểm).
a) Tính
→
+ − +
−
x
x x
x
2
2
1
3 3 1
lim
1

.
b) Cho hàm số
+
=
−
x
y
x
2 1
1
(C
2
). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C
2
) tại điểm có hoành độ x = 2.
Bài 6B (1,5 điểm). Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh CD.
a) chứng minh (AIB)
⊥
(BCD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
CÂU ĐP N ĐIỂM
1a (0,5đ)
=
( )
( )
( ) ( )
2
2
3 3
3 3 9

3 9
lim lim 27
3 1 1
x x
x x x
x x
x x x
→ →
− + +
+ +
= =
− − −
0,25x2
1b (0,5đ)
=
2
2
4
4
4
4
4 3
4 3
4 1
4 1
2
2
1
lim lim
3 5 1

3 5 1
2
4
4
x x
x
x
x
x
x
x
x x x
x x x
→−∞ →−∞
 
+ −
+ −
 ÷
 
= = −
 
+ + −
+ + −
 ÷
 
0,25x2
1c (0,5đ)
=
2 2
2 2

9 3 1 9 3 1
lim lim
9 3 1 3 9 3 1 3
x x
x x x x
x x x x x x
→+∞ →+∞
+ + − +
=
+ + + + + +

2
2
1 1
(3 ) (3 )
1
lim lim
2
3 1
3 1
9 3
9 3
x x
x
x x
x
x x
x x
→+∞ →+∞
+ +

= = =
 
+ + +
+ + +
 ÷
 
0,25
0,25
2a (1,0đ)
TXĐ: D =
\{3}ℜ
\{-1;3}x∀ ∈ℜ
ta có hàm số phân thức hữu tỉ y =
2
2
1
2 3
x
x x
−
− −
nên liên tục
Xét tại x= -1 ta có: f(-1) =
1
2
;
2
2
1 1
1 1

lim ( ) lim
2 3 2
x x
x
f x
x x
→ →
−
= =
− −
Vậy
1
lim ( )
x
f x
→
= f(-1) nên hàm số liên tục tại x = -1
Kết luận: hàm số liên tục trên
\{3}ℜ
và gián đoạn tại x = 3
0,25
0,25
0,25
0,25
2b (0,5đ) Đặt f(x) = 4x
3
– 9x
2
+2x + 2. Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R
f(-1)= -13; f(0) = 2; f(1) = -1; f(2) = 2

khi đó: f(-1).f(0) = -26; f(0).f(1) = - 2; f(1).f(2) = - 2
vậy hàm số có ít nhất ba nghiệm thuộc (-1; 2)
0,25
0,25
3a (0,5đ)
y’ = 5x
2
– 4x + 2 -
5
2 x
0,5
3b (0,5đ)
y’ = (5x - 3)’.
2
9 1x +
+ (5x - 3).(
2
9 1x +
)’
= 5.
2
9 1x +
+ (5x - 3).
( )
2
2
9 1 '
2 9 1
x
x

+
+
= 5.
2
9 1x +
+ (5x - 3).
2
18
2 9 1
x
x +
= 5.
2
9 1x +
+ (5x - 3).
2
9
9 1
x
x +
0,25
0,25
3c (0,5đ)
y’ =
( ) ( )
[ ]
2
sin 3 1 '. os(15 2 ) sin 3 1 os(15 2 ) '
os (15 2 )
x c x x c x

c x
+ − − + − 
 
−
=
( ) ( ) ( )
2
3 1 ' os 3 1 . os(15 2 ) (15 2 )'sin 3 1 sin(15 2 )
os (15 2 )
x c x c x x x x
c x
+ + − + − + −
−
=
( ) ( )
2
3 os 3 1 . os(15 2 ) 2sin 3 1 sin(15 2 )
os (15 2 )
c x c x x x
c x
+ − − + −
−
0,25
0,25
4a (1,0đ) Hình vẽ để làm đúng câu a)
Vì AB
⊥
(BCD) nên AB
⊥
BC vậy

∆
ABC vuông ở B
Vì AB
⊥
(BCD) nên AB
⊥
BD vậy
∆
ABD vuông ở B
Ta có:
AB CD
BC CD
⊥


⊥


⇒
CD
⊥
(ABC)
⇒
CD
⊥
AC. Vậy
∆
ACD vuông ở C
0,25
0,25

0,25
0,25
4b (1,0đ) Kẻ BH
⊥
AM khi đó BH
⊥
(AMC).
Vậy góc giữa (AMC) và (BCD) là góc giữa AB và BH là
ABH
∧

Ta có AB = a; BM =
2
2
BD
a
=
cot
ABH
∧
= tan
BAM
∧
=
BM
AB
=
2
⇒
ABH

∧
≈
35
0
15’52”
0,25
0,25
0,25
0,25
H
C
A
B
D
M
5Aa
(1,0đ)
=
(
)
( )
( )
2 2
2
2
3 25 25 1
lim 3 5 25 1 lim
5 25 1
x x
x x x

x x x
x x
→−∞ →−∞
− +
+ + =
− +
2
2
3 3 3
lim lim
10
1
1
5 25
5 25
x x
x
x
x
x
→−∞ →−∞
− − −
= = =
 
+ +
+ +
 ÷
 
0,5
0,5

5Ab
(1,0đ)
Gọi tiếp điểm là M
0
(x
0;
y
0
). Ta có y’ =
( )
2
8
3x
−
−
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0 nên phương trình tiếp tuyến
có dạng 2x + y + c = 0 (1)
Khi đó hệ số góc tiếp tuyến k = - 2 nên
( )
2
0
8
3x
−
−
= -2
0
0
7( )
1

x l
x
=

⇔

= −

Với x
0
= -1 thì y
0
= 0 ta được c = 2. phương trình tiếp tuyến là: 2x + y – 1 = 0
0,25
0,25
0,25
0,25
6Aa
(0,75đ)
Hình vẽ để làm đúng câu a)
Ta có AC
⊥
BD;
BB’
⊥
(ABCD)
⇒
BB’
⊥
AC

Vậy AC
⊥
(BB’D’D)
⇒
(AA’C’C)
⊥
(BB’D’D)
0,25
0,25
0,25
6Ab
(0,75đ)
Ta có AA’//BB’
⇒
AA’//(BB’D’D)
Mà BD’
⊂
(BB’D’D) nên khoảng cách từ AA’ đến BD’ bằng khoảng cách từ AA’ đến
(BB’D’D) bằng OA =
2
2
a
0,25
0,25
0,25
5Ba
(1,0đ)
=
( )
→

  
+ − + + + −
 ÷ ÷
  
 
− + + −
 ÷
 
x
x x x x
x x x
2 2
1
2 2
3 3 1 3 3 1
lim
1 3 3 1
=
( )
( ) ( )
→
+ − −
 
− + + + −
 ÷
 
x
x x
x x x x
2

2
1
2
3 3 1
lim
1 1 3 3 1
=
( ) ( )
( )
( ) ( )
→ →
 
− − +
 ÷
− + +
 
=
   
− + + + − − + + + −
 ÷  ÷
   
x x
x x
x x
x x x x x x x x
2
1 1
2 2
1
8 1

4
8 6 2
lim lim
1 1 3 3 1 1 1 3 3 1
( )
→
 
− +
 ÷
 
=
 
+ + + −
 ÷
 
x
x
x x x
1
2
1
8
4
lim
1 3 3 1
= -
5
4
0,25
0,25x2

0,25
5Bb
(1,0đ)
Gọi tiếp điểm là M
0
(2;y
0
)
Ta có y’ =
( )
2
3
1x
−
−
; f ’(2) = -3; y
0
= 5
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M
0
(2;5) là: y = - 3(x - 2) + 5 hay y = - 3x -1
0,25x3
0,25
6Ba
(0,75đ)
Hình vẽ để làm đúng câu a)
∆
ACD cân nên AI
⊥
CD

∆
BCD cân nên BI
⊥
CD
⇒
CD
⊥
(AIB)
⇒
(BCD)
⊥
(AIB)
0,25
0,25
0,25
6Bb
(0,75đ)
Trong (AIB) Kẻ IH
⊥
AB khi đó IH là đường vuông góc chung của AB và CD
Ta có AI =
−AB IB
2 2
=
a 3
2
; IH =
−AI AH
2 2
=

 
 
−
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
a a
2
2
3
2 2
=
a 2
2
0,25
0,25X2
A
I
BB
D
C
HB
C'
B'
A'
D
A B
C

D'