CHỦ ĐỀ 3 CON LẮC ĐƠN MÔN VẬT LÝ 12

Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ
CH  3: CON LC N
1



I. KIN THC
* Con lc n
+ Con lc n gm mt vt nng treo vào si dây không gin, vt nng kích thc không
áng k so vi chiu dài si dây, si dây khi lng không áng k so vi khi lng ca vt
nng.
+ Khi dao ng nh (sinα ≈ α (rad)), con lc n dao ng iu hòa vi phng trình:
s = S
o
cos(ωt + ϕ) hoc α = α
o
cos(ωt + ϕ); vi α =
l
s
; α
o
=
l
S
o

+ Chu k, tn s, tn s góc: T = 2π

g
l
; f =
π
2
1
l
g
; ω =
l
g
.
+ Lc kéo v khi biên  góc nh: F = -
s
l
mg
=-mgα
+ Xác nh gia tc ri t do nh con lc n : g =
2
2
4
T
l
π
.
+ Chu kì dao ng ca con lc n ph thuc  cao,  sâu, v!  a lí và nhi∀t  môi
trng.
* Nng lng ca con lc n
+ ng n#ng : W


=
2
1
mv
2

+ Th∃ n#ng: W
t
= mgl(1 - cosα) =
2
1
mglα
2
(α ≤ 1rad, α (rad)).
+ C n#ng: W = W
t
+ W

= mgl(1 - cosα
0
) =
2
1
mglα
2
0
.
C n#ng ca con lc n c bo toàn n∃u b qua ma sát.
1. Tn s góc:
g

l
ω
=
; chu k:
2
2
l
T
g
π
π
ω
= =
; tn s:
1 1
2 2
g
f
T l
ω
π π
= = =

iu ki∀n dao ng iu hoà: B qua ma sát, lc cn và α
0
<< 1 rad hay S
0
<< l
2. Lc kéo v (lc hi ph c)
2

sin
s
F mg mg mg m s
l
α α ω
= − = − = − = −

Lu ý: + Vi con lc n lc hi ph c t% l∀ thun vi khi lng.
+ Vi con lc lò xo lc hi ph c không ph thuc vào khi lng.
3. Phng trình dao ng:
s = S
0
cos(ωt + ϕ) hoc & = &
0
cos(ωt + ϕ) vi s = &l, S
0
= &
0
l
 v = s’ = -ωS
0
sin(ωt + ϕ) = -ωl&
0
sin(ωt + ϕ)
 a = v’ = -ω
2
S
0
cos(ωt + ϕ) = -ω
2

l&
0
cos(ωt + ϕ) = -ω
2
s = -ω
2
&l
Lu ý: S
0
óng vai trò nh A còn s óng vai trò nh x
4. H∀ th∋c c lp:
* a = -ω
2
s = -ω
2
&l
*
2 2 2
0
( )
v
S s
ω
= +
Tìm chiu dài con lc:
2 2
max
2
v v
g

α
−
=

CH  3: CON LC N
Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
2
*
2
2 2
0
v
gl
α α
= +

5. C n#ng:
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
W
2 2 2 2
ω α ω α
= = = =

mg
m S S mgl m l
l

Lu ý: C n#ng ca con lc n t% l∀ thun vi khi lng vt còn c n#ng ca con lc lò
xo không ph thuc vào khi lng ca vt
6. T(i cùng mt ni con lc n chiu dài l
1
có chu k T
1
, con lc n chiu dài l
2
có chu k
T
2
, con lc n chiu dài l
1
+ l
2
có chu k T
2
,con lc n chiu dài l
1
- l
2
(l
1
>l
2
) có chu k T

4
.
Thì ta có:
2 2 2
3 1 2
T T T
= +
và
2 2 2
4 1 2
T T T
= −

7. Khi con lc n dao ng vi α
0
b)t k. C n#ng, vn tc và lc c#ng ca si dây con lc
n
W = mgl(1-cosα
0
); v
2
= 2gl(cos& – cos&
0
) và T
C
= mg(3cos& – 2cos&
0
)
Lu ý: - Các công th∋c này áp d ng úng cho c khi α
0

có giá tr ln
- Khi con lc n dao ng iu hoà (α
0
<< 1rad) thì:

2 2 2 2
0 0
1
W= ; ( )
2
mgl v gl
α α α
= −
(ã có ∗ trên)

2 2
0
(1 1,5 )
C
T mg
α α
= − +

2
0
max 0 min
(1 ); (1 )
2
T mg T mg
α

α
= + = −


II. PHÂN DNG BÀI TP:
BÀI TOÁN 1: TÌM CÁC I LNG THNG GP V CON LC N

PHNG PHÁP:
 tìm mt s (i lng trong dao ng ca con lc n ta vi∃t biu th∋c liên quan ∃n
các (i lng ã bi∃t và (i lng cn tìm t+ ó suy ra và tính (i lng cn tìm.

1) Nng lng con lc n:
Ch,n mc th∃ n#ng t(i v trí cân b−ng O
+ ng n#ng: W=
2
1
mv
2

+ Th∃ n#ng h)p d.n ∗ ly 
α
:
t
W = mg (1-cos
)


+ C n#ng: W= W
t
+W


=
2 2
1
m A
2
ω

Khi góc nh:
2
t
1
W mg (1 cos ) mg
2
α α
= − = 

W=
2
0
1
mg
2
α


2) Tìm vn tc ca vt khi i qua ly 
α
(i qua A):
Áp d ng nh lut bo toàn c n#ng ta có:

C n#ng t(i biên = c n#ng t(i v trí ta xét
W
A
=W
N

W
tA
+W
A
=W
tN
+W
N





O

l

T

P

F
’

F
t

F

s

N

O

A

0
α

α
P




Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
3

⇔
mg (1 cos )
α
−

+
2
A
1
mv
2
=
0
mg (1 cos )
α
−

+0


2
A 0
v 2g (cos cos )
α α
= −


A 0
v = ± 2g (cos
 -cos )




Chú ý:+ Khi i qua v trí cân b−ng(VTCB)
0
α
=

+ Khi ∗ v trí biên
0
α α
=

Lc cng dây(phn lc ca dây treo) treo khi i qua ly 
α
(i qua A)
Theo nh lut II Newtn:
P

+


=m
a

chi∃u lên


ta c
2

A
ht
v
mgcos ma m
τ α
− = =

⇔
2
A
0
v
m mgcos m2g(cos cos ) mgcos
τ α α α α
= + = − +



0
 = mg(3cos -2cos )

Khi góc nh
0
10
α
≤

2
sin
cos 1

2
α α
α
α
≈



≈ −


khi ó
2 2 2
A 0
2 2
0
v g ( )
1
mg(1 2 3 )
2
α α
τ α α

= −


= − −




Chú ý: Lc d ng lên im treo (là lc c#ng T)


VÍ D MINH HA
VD1. T(i ni có gia tc tr,ng trng 9,8 m/s
2
, con lc n dao ng iu hoà vi chu kì
7
2
π
s.
Tính chiu dài, tn s và tn s góc ca dao ng ca con lc.
HD:
Ta có: T = 2π
g
l
 l =
2
2
4
π
gT
= 0,2 m; f =
T
1
= 1,1 Hz; ω =
T
π
2

= 7 rad/s.
VD2. Mt con lc n có chiu dài dây treo là 100cm, kéo con lc l∀ch khi VTCB mt góc
&0 vi cos&0 = 0,892 ri truyn cho nó vn tc v = 30cm/s. L)y g = 10m/s2.
a. Tính vmax
b. Vt có khi lng m = 100g. Hãy tính lc c#ng dây khi dây treo hp vi phng th/ng
∋ng góc & vi cos& = 0,9
HD:
a. Áp d

ng công th
∋
c tính t

c

c

a con l

c

n ta có:

b. Theo công th
∋
c tính l

c c
#
ng dây treo ta có:

VD3. T(i ni có gia tc tr,ng trng g, mt con lc n dao ng iu hòa vi biên  góc &
0

nh (&
0
< 10
0
). L)y mc th∃ n#ng ∗ v trí cân b−ng. Xác nh v trí (li  góc &) mà ∗ ó th∃
n#ng b−ng ng n#ng khi:
a) Con lc chuyn ng nhanh dn theo chiu dng v v trí cân b−ng.
b) Con lc chuyn ng chm dn theo chiu dng v phía v trí biên.
Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ
CH  3: CON LC N
4
HD: Khi W

= W
t
thì W = 2W
t

2
1
mlα
2

0
= 2
2
1
mlα
2
 α = ±
2
0
α
.
a) Con lc chuyn ng nhanh dn theo chiu dng t+ v trí biên α = - α
0
∃n v trí cân b−ng
α = 0: α = -
2
0
α
.
b) Con lc chuyn ng chm dn theo chiu dng t+ v trí cân b−ng α = 0 ∃n v trí biên α
= α
0
: α =
2
0
α
.


VD4. Mt con lc n gm mt qu cu nh khi lng m = 100 g, treo vào u si dây dài

l = 50 cm, ∗ mt ni có gia tc tr,ng trng g = 10 m/s
2
. B qua m,i ma sát. Con lc dao
ng iu hòa vi biên  góc α
0
= 10
0
= 0,1745 rad. Ch,n gc th∃ n#ng t(i v trí cân
b−ng. Tính th∃ n#ng, ng n#ng, vn tc và s∋c c#ng ca si dây t(i:
a) V trí biên. b) V trí cân b−ng.
HD
a) T(i v trí biên: W
t
= W =
2
1
mgl
2
0
α
= 0,0076 J; W

= 0; v = 0; T = mg(1 -
2
2
o
α
) = 0,985 N.
b) T(i v trí cân b−ng: W
t

= 0; W

= W = 0,0076 J; v =
m
W
d
2
= 0,39 m/s; T = mg(1 + α
2
0
) =
1,03 N.
VN D0NG: CÂU 1,11,12,13,14,15/1 8


BÀI TOÁN 2 : CT, GHÉP CHIU DÀI CON LC N
VÍ D MINH HA
VD1. 2 cùng mt ni trên Trái )t con lc n có chiu dài l
1
dao ng vi chu k T
1
= 2 s,
chiu dài l
2
dao ng vi chu k T
2
= 1,5 s. Tính chu k dao ng ca con lc n có chiu
dài l
1
+ l

2
và con lc n có chiu dài l
1
– l
2
.
HD: Ta có: T
2
+
= 4π
2
g
ll
21
+
= T
2
1
+ T
2
2
 T
+
=
2
2
2
1
TT
+

= 2,5 s; T
-
=
2
2
2
1
TT
−
= 1,32 s.
T+ (1) và (2)  T
1
=
2
22
−+
+
TT
= 2 s; T
2
=
2
22
−+
−
TT
= 1,8 s; l
1
=
2

2
1
4
π
gT
= 1 m; l
2
=
2
2
2
4
π
gT
= 0,81 m.

VD2. Khi con lc n có chiu dài l
1
, l
2
(l
1
> l
2
) có chu k dao ng tng ∋ng là T
1
, T
2
t(i
ni có gia tc tr,ng trng g = 10 m/s

2
. Bi∃t t(i ni ó, con lc n có chiu dài l
1
+ l
2
có chu
k dao ng là 2,7; con lc n có chiu dài l
1
- l
2
có chu k dao ng là 0,9 s. Tính T
1
, T
2
và
l
1
, l
2
.
HD:
Ta có: T
2
+
= 4π
2
g
ll
21
+

= T
2
1
+ T
2
2
(1); T
2
+
= 4π
2
g
ll
21
−
= T
2
1
- T
2
2
(2)


Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ
CH  3: CON LC N

5

VD3. Trong cùng mt khong thi gian và ∗ cùng mt ni trên Trái )t mt con lc n thc
hi∀n c 60 dao ng. T#ng chiu dài ca nó thêm 44 cm thì trong khong thi gian ó, con
lc thc hi∀n c 50 dao ng. Tính chiu dài và chu k dao ng ban u ca con lc.
HD:
Ta có: ∆t = 60.2π
g
l
= 50.2π
g
l
44,0+
 36l = 25(l + 0,44)  l = 1 m; T = 2π
g
l
= 2 s.

VD4
Hai con lc n chiu dài l1, l2 (l1>l2) và có chu kì dao ng tng ∋ng là T1; T2,
t(i ni có gia tc tr,ng trng g = 9,8m/s2. Bi∃t r−ng, c3ng t(i ni ó, con lc có chiu dài
l1 + l2 , chu kì dao ng 1,8s và con lc n có chiu dài l1 - l2 có chu kì dao ng 0,9 (s).
Tính T1, T2, l1, l2.

HD:
+ Con lc chiu dài l1 có chu kì T1=
g
l
.2
1

π

→
l1=
g.
4
T
2
2
1
π
(1)
+ Co lc chiu dài l2có chu kì T2=
g
l
.2
2
π

→
l1=
g.
4
T
2
2
2
π
(2)
+ Con lc chiu dài l1 + l2 có chu kì T3= 2

Π
.
g
ll
21
+

→
l1 + l2 =
81
,0
4
10.)8,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 81 cm (3)
+ Con lc có chiu dài l1 - l2có chu kì T' = 2
Π
.
g
ll
21

−

→
l1 - l2 =
2025
,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 20,25 cm (4)
T+ (3) (4) l1= 0,51 (m) = 51cm
l2 = 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T1= 2
Π
42,1
10
51,0
=
(s)
T2= 2
Π

1,1
10
3,0
=
(s)








Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ
CH  3: CON LC N
6
BÀI TOÁN 3: CON LC N B V NG INH, K!P CHT
PHNG PHÁP
1) Chu k∀ con lc:
* Chu k cn lc trc khi v)p inh:
1
1
T 2
g
π
=


,
1

: chiu dài con lc trc khi v)p
inh
* Chu k con lc sau khi v)p inh:
2
2
T 2
g
π
=

,
2

: chiu dài
con lc sau khi v)p inh
* Chu k ca con lc:
1 2
1
T (T T )
2
= +

2) Biên  góc sau khi v#p inh
0
∃
:

Ch,n mc th∃ n#ng t(i O. Ta có: W
A
=W
N

W
tA
=W
tN
2 0 1 0
mg (1 cos ) mg (1 cos )
β α
⇔ − = −
 

2 0 1 0
(1 cos ) (1 cos )
β α
⇔ − = −
 

*N∃u góc nh hn 1rad hoc 10
o
2 2
2 0 1 0
1 1
(1 (1 )) (1 (1 )
2 2
β α
 − − = − − 


1
0 0
2
∃ = 


: biên  góc sau khi v)p inh.
Biên  dài sau khi v)p inh:
0 2
A' =
∃ .



VÍ D MINH HA
VD1. Kéo con lc n có chiu dài

= 1m ra khi v trí cân b−ng mt góc nh so vi phng
th/ng ∋ng ri th nh4 cho dao ng. Khi i qua v trí cân b−ng, dây treo b vng vào mt
chi∃c inh óng di im treo con lc mt o(n 36cm. L)y g = 10m/s
2
. Chu kì dao ng ca
con lc là
A. 3,6s. B. 2,2s. C. 2s. D. 1,8s.

VD2: Mt con lc n có chiu dài

. Kéo con lc l∀ch khi v trí cân b−ng mt góc

0
α
= 30
0

ri th nh4 cho dao ng. Khi i qua v trí cân b−ng dây treo b vng vào mt chi∃c inh
n−m trên ng th/ng ∋ng cách im treo con lc mt o(n
/ 2

. Tính biên  góc
0
β
mà
con lc (t c sau khi vng inh ?
A. 34
0
. B. 30
0
. C. 45
0
. D. 43
0
.

N
O

0
α
A
0
β
Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
7
BÀI TOÁN 4: VIT PHNG TRÌNH DAO %NG CON LC N
PHNG PHÁP
1) Phng trình dao ng.
Ch,n: + gc to(  t(i v trí cân b−ng
+ chiu dng là chiu l∀ch vt
+ gc thi gian
Phng trình ly  dài: s=Acos(
ω
t +
ϕ
) m

v = - A
ω
sin(
ω
t +
ϕ
) m/s
* Tìm
ω
>0:
+
ω
= 2
π
f =
2
T
π
, vi
t
T
N
∆
=
, N: tng s dao ng
+
ω
=

g

, ( l:chiu dài dây treo:m, g: gia tc tr,ng trng t(i ni ta xét: m/s
2
)
+
mgd
I
ω
=
vi d=OG: khong cách t+ tr,ng tâm ∃n tr c quay.
I: mômen quán tính ca vt rn.
+
2 2
v
A s
ω
=
−

* Tìm A>0:
+
2
2 2
2
v
A s
ω
= +
vi
s .
α

=


+ khi cho chiu dài qu5 (o là mt cung tròn

MN
:

MN
A
2
=

+
0
A .
α
=

,
0
α
: ly  góc: rad.
* Tìm
ϕ
(
π ϕ π
− ≤ ≤
)
Da vào cách ch,n gc thi gian  xác nh ra

ϕ

Khi t=0 thì
0
0
x x
v v
=


=

⇔

0
0
x Acos
v A sin
ϕ
ω ϕ
=


= −


0
0
os
sin

x
c
A
v
A
ϕ
ϕ
ω

=





=


ϕ

= ?
Phg trình li  góc:
α
=
s

=
0
α
cos(

ω
t +
ϕ
) rad. vi
0
A
α
=

rad
2) Chu k∀ dao ng nh.
+ Con l#c n:
2T
g
π
=

2
2
2
2
4
4
T g
g
T
π
π

=






=






+ Con lc vt lý:
2
I
T
mgd
π
=
2
2
2
2
4
4
T mgd
I
I
g
T md

π
π

=





=




Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
8
VÍ D MINH HA:
VD1. Mt con lc n có chiu dài l = 16 cm. Kéo con lc l∀ch khi v trí cân b−ng mt góc
9
0
ri th nh4. B qua m,i ma sát, l)y g = 10 m/s
2
,
π

2
= 10. Ch,n gc thi gian lúc th vt,
chiu dng cùng chiu vi chiu chuyn ng ban u ca vt. Vi∃t phng trình dao ng
theo li  góc tính ra rad.
HD: Ta có:
ω
=
l
g
= 2,5
π
rad/s;
α
0
= 9
0
= 0,157 rad; cos
ϕ
=
0
0
0
α
α
α
α
−
=
= - 1 = cos
π


ϕ
=
π
.
Vy:
α
= 0,157cos(2,5
π
+
π
) (rad).

VD2. Mt con lc n dao ng iu hòa vi chu kì T = 2 s. L)y g = 10 m/s
2
,
π
2
= 10. Vi∃t
phng trình dao ng ca con lc theo li  dài. Bi∃t r−ng t(i thi im ban u vt có li 
góc
α
= 0,05 rad và vn tc v = - 15,7 cm/s.
HD: Ta có:
ω
=
T
π
2
=

π
; l =
2
ω
g
= 1 m = 100 cm; S
0
=
2
2
2
)(
ω
α
v
l +
= 5
2
cm;
cos
ϕ
=
0
S
l
α
=
2
1
= cos(

±
4
π
); vì v < 0 nên
ϕ
=
4
π
. Vy: s = 5
2
cos(
π
t +
4
π
) (cm).

VD3. Mt con lc n có chiu dài l = 20 cm. T(i thi im t = 0, t+ v trí cân b−ng con lc
c truyn vn tc 14 cm/s theo chiu dng ca tr c t,a . L)y g = 9,8 m/s
2
. Vi∃t phng
trình dao ng ca con lc theo li  dài.
HD: Ta có:
ω
=
l
g
= 7 rad/s; S
0
=

ω
v
= 2 cm; cos
ϕ
=
0
S
s
= 0 = cos(
±
2
π
);
vì v > 0 =>
ϕ
= -
2
π
. Vy: s = 2cos(7t -
2
π
) (cm).
VD4. Mt con lc n ang n−m yên t(i v trí cân b
−ng, truyn cho nó mt vn tc
v
0
= 40 cm/s theo phng ngang thì con lc n dao ng iu hòa. Bi∃t r−ng t(i v trí có li
 góc
α
= 0,1

3
rad thì nó có vn tc v = 20 cm/s. L)y g = 10 m/s
2
. Ch,n gc thi gian là
lúc truyn vn tc cho vt, chiu dng cùng chiu vi vn tc ban u. Vi∃t phng trình
dao ng ca con lc theo li  dài.
HD: Ta có S
2
0
=
2
2
0
ω
v
= s
2
+
2
2
ω
v
=
α
2
l
2
+
2
2

ω
v
=
4
22
ω
α
g
+
2
2
ω
v

ω
=
22
0
vv
g
−
α
= 5 rad/s;
S
0
=
ω
0
v
= 8 cm; cos

ϕ
=
0
S
s
= 0 = cos(
±
2
π
); vì v > 0 nên
ϕ
= -
2
π
.
Vy: s = 8cos(5t -
2
π
) (cm).
VD5: Mt con lc n dao ng iu hòa vi chu kì T =
5
π
s. Bi∃t r−ng ∗ thi im ban u
con lc ∗ v trí biên, có biên  góc
α
0
vi cos
α
0
= 0,98. L)y g = 10 m/s

2
. Vi∃t phng trình
dao ng ca con lc theo li  góc.
HD: Ta có:
ω
=
T
π
2
= 10 rad/s; cos
α
0
= 0,98 = cos11,48
0

α
0
= 11,48
0
= 0,2 rad;
cos
ϕ
=
0
α
α
=
0
0
α

α
= 1 = cos0 
ϕ
= 0. =>
α
= 0,2cos10t (rad).
Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ
CH  3: CON LC N
9
BÀI TOÁN 5. VA CHM TRONG CON LC N
PHNG PHÁP
+ Trng hp va ch(m mm: sau khi va ch(m h∀ chuyn ng cùng vn tc
Theo LBT ng lng:
A B AB A A B B A B
P P P m v m v (m m )V
+ = ⇔ + = +
   
 

Chi∃u phng trình này suy ra vn tc sau va ch(m V
+ Trng hp va ch(m àn hi: sau va ch(m hai vt chuyn ng vi các vn tc khác nhau
A2
v

và
B2

v

.
Theo nh lut bo toàn ng lng và ng n#ng ta có
A B A2 B2
dA dB dA2 dB2
P P P P
W W =W +W

+ = +


+


   
A A B B A A2 B A 2
2 2 2 2
A A B B A A2 B B2
m v m v m v m v
1 1 1 1
m v m v m v m v
2 2 2 2
+ = +


⇔

+ = +



   

t+ ây suy ra các giá tr vn tc sau khi va ch(m
A2
v
và
B2
v
.

VÍ D MINH HA
VD1
.
Con lc n gm 1 qu cu khi lng m1= 100g và si dây không giãn chiu dài l = 1m. Con
lc lò xo gm 1 lò xo có khi lng không áng k  c∋ng k = 25 (N/m) và 1 qu cu khi
lng m2 = m1= m = 100g
1. Tìm chu kì dao ng riêng ca m6i con lc.
2. B trí hai con lc sao cho khi h∀ CB (hình v7) kéo m1 l∀nh khi VTCB 1 góc
α
= 0,1
(Rad) ri buông tay.
a) Tìm vn tc qu cu m1 ngay trc lúc va ch(m vào qu cu (
α
<<).
b) Tìm vn tc ca qu cu m2 sau khi va ch(m vi m1và  nén cc (i ca lò xo ngay sau
khi va ch(m.
c) Tìm chu kì dao ng ca h∀
Coi va ch(m là àn hi xuyên tâm, b qua ma sát.

HD.
Tìm chu kì dao ng riêng ca t+ng con lc khi cha gn vào h∀:
+ Con lc lò xo:
1
0,1
2. 2. 0, 4
25
m
T s
k
π π
= = =
(s)
+ Con lc n :
1
1
2. 2. 2
10
l
T s
g
π π
= = =

2.
a) Vn tc m1 ngay sau va ch(m:
m
1
gh = =m
1

g.l.(1 - cos
α
) =
2
1 o
1
m v
2

góc
α
nh áp d ng công th∋c gn úng
2
2
1 cos 2sin
2
α
α α
− = =

V0=
α
101,0gl =
= 0,316 (m/s)
b) Tìm vn tc v
2
ca m
2
ngay sau khi va ch(m vi m
1

và  nén cc (i ca lò xo sau khi va
ch(m.
+ G,i v1, v2là vn tc ca m1, m2 ngay sau khi va ch(m
áp d ng nh lut bo toàn ng lng m
1
v
o
= m
1
v
1
+ m
2
v
2
(1)


k m
2

m
1
l

Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
10

nh lut bo toàn ng n#ng:
2 2 2
1 o 1 1 2 2
1 1 1
m v m v + m v
2 2 2
=
(2)
theo  bài m1= m2 nên t+ (1) => v
o
= v
1
+ v
2
(3)
t+ (2) => v
o
2
= v
1
2
+ v
2
2
(4)
T+ (3) và 4 => v

o
2
= (v1+ v2)
2
= v
1
2
+ v
2
2
=> 2v
1
. v
2
= 0
=> v1 = 0 ; v2 = v0 = 0,316 (m/s)
+ Nh vy, sau va ch(m, qu cu m
1
∋ng yên, qu cu m2 chuyn ng vi vn tc b−ng
vn tc ca qu cu m1 trc khi va ch(m.
+  nén cc (i ca lò xo
2
2 2 2
1 1
k. l m .v
2 2
∆ =
→

∆

l = 0,02 (m) = 2 (cm)

c) Chu kì dao ng :
khi m1 ca con lc n t+ v trí biên v vtcb p vào vt m2 ca con lc lò xo d+ng l(i. vt
m2 nén cc (i ri quay l(i vtcb p vào m1 truyn toàn b n#ng lng cho m1( b qua m,i
hao phí do ta nhi∀t) m2 l(i ∋ng yên, m1 l(i chuyn ng ra biên nh vy chu k ca h∀
T = (T1 + T2) / 2 = (2 + 0,4)/2 = 1,4 (s)


BÀI TOÁN 6 : S& THAY ∋I CHU K( CON LC N KHI THAY ∋I % CAO h, % SÂU d
* Phng pháp:
 tìm mt s (i lng liên quan ∃n s ph thuc ca chu kì dao ng ca con lc n
vào  cao so vi mt )t và nhi∀t  ca môi trng ta vi∃t biu th∋c liên quan ∃n các (i
lng ã bi∃t và (i lng cn tìm t+ ó suy ra và tính (i lng cn tìm.

Gia tc tr,ng trng ∗ mt )t: g =
2
R
GM
; R: bán kính trái )t R=6400km
1) Khi a con lc lên  cao h:
Gia tc tr,ng trng ∗  cao h:
h
2
2
GM g
g
h
(R h)
(1 )

R
= =
+
+
.
Chu k con lc dao ng úng ∗ mt )t:
1
T 2
g
π
=

(1)
Chu h con lc dao ng sai ∗  cao h:
2
h
T 2
g
π
=

(2)


1 h
2
T g
T g
=
mà

h
g
1
h
g
1
R
=
+

1
2
T
1
h
T
1
R
=
+

2 1
h
T = T (1 + )
R

Khi a lên cao chu k dao ng t#ng lên.
2) Khi a con lc xung  sâu d:
*∗  sâu d:
d

d
g = g(1- )
R

Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ
CH



3: CON L

C

N
11

Chúng

minh: P
d
= F
hd
3
d
2
4

m( (R d) .D)
3
mg G
(R d)
π
−
⇔ =
−

D: khi lng riêng trái )t

3
3
3
d
2 3 2 3 2
4
( .D)(R d)
R
M(R d) GM d
3
g G G .(1 )
(R d) .R (R d) .R R R
π
−
−
⇔ = = = −
− −



d
d
g = g(1- )
R

*Chu k

con lc dao ng ∗  sâu d:
2
d
T 2
g
π
=

(3)

d
1
2
g
T
T g
=
mà
d
g
d
1
g R

= −


1
2
≈
1
2 1
T
d
T = T (1+ )
R
d
1-
R

Khi a xung  sâu chu k dao ng t#ng lên nhng t#ng ít hn a lên  cao
*Xác )nh th∗i gian nhanh chm ca +ng h+ trong mt ngày êm.
Mt ngày êm: t = 24h = 24.3600 = 86400s.
Chu k dao ng úng là: T
1
chu k dao ng sai là T
2
+ S dao ng con lc dao ng úng thc hi∀n trong mt ngày êm:
1
1
t
N
T
=

+ S dao ng con lc dao ng sai thc hi∀n trong mt ngày êm:
2
2
t
N
T
=

+ S dao ông sai trong mt ngày êm:
1 1
2 1
1 1
N | N N | t | |
T T
∆ = − = −

+ Thi gian ch(y sai trong mt ngày êm là:
1
1
2
T
T . N t | 1|
T
τ
∆ = ∆ = −

 N∃u chu k t#ng con lc dao ng chm l(i
 N∃u chu k gim con lc dao ng nhanh lên
* Khi a lên  cao h con lc dao ng chm trong mt ngày là:

h
t.
R
τ
∆ =

* Khi a xung  sâu h con lc dao ng chm trong mt ngày là:
d
,
= t.
2R


VÍ D MINH HA:
VD1. Trên mt )t ni có gia tc tr,ng trng g = 10 m/s
2
. Mt con lc n dao ng vi chu
k T = 0,5 s. Tính chiu dài ca con lc. N∃u em con lc này lên  cao 5 km thì nó dao
ng vi chu k b−ng bao nhiêu (l)y ∃n 5 ch8 s thp phân). Cho bán kính Trái )t là R =
6400 km.
HD. Ta có: l =
2
2
4
π
gT
= 0,063 m; T
h
= T
R

hR
+
= 0,50039 s.
VD2. Ngi ta a mt con lc n t+ mt )t lên  cao h = 10 km. Phi gim  dài ca nó
i bao nhiêu %  chu kì dao ng ca nó không thay 9i. Bi∃t bán kính Trái )t R =
6400 km.
HD: Ta có: T = 2
π
g
l
= 2
π
'
'
g
l
=> l’ =
g
g
'
l =
)(
h
R
R
+
2
l = 0,997l.
Vy phi gim  dài ca con lc 0,003l, t∋c là 0,3%  dài ca nó.
Phone: 01689.996.187

BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH



3: CON L

C

N
12
VD3. Mt con lc ng h có th coi là con lc n. ng h ch(y úng ∗ mc ngang mt
bin. Khi a ng h lên %nh núi cao 4000 m thì ng h ch(y nhanh hay ch(y chm và
nhanh chm bao lâu trong mt ngày êm? Bi∃t bán kính Trái )t R = 6400 km. Coi nhi∀t 
không 9i.
HD:
Ta có: T
h
=
R
hR
+
T = 1,000625T > T nên ng h ch(y chm. Thi gian chm trong mt
ngày êm:
∆
t =

h
h
T
TT
)(86400
−
= 54 s.

VD4: Mt ng h qa lc ch(y úng gi ∗ Hà Ni. ng h s7 ch(y nhanh chm th∃ nào
khi a nó vào TPHCM. Bi∃t gia tc ri t do ∗ Hà Ni và TPHCM ln lt là 9,7926 m/s
2

9,7867 m/s
2
. B qua s nh h∗ng ca nhi∀t .  ng h ch% úng gi t(i TPHCM thì
phi /ch%nh  dài con lc nh th∃ nào?
HD. + Chu kì ca con lc ng h t(i Hà Ni là
T
1
= 2
1
g
l
.π
= 2 (s)
+ Chu kì dao ng ca con lc ng h t(i TPHCM là
T
2
= 2
1

g
l
.π


0003
,1
7867,9
7926,9
g
g
T
T
2
1
2
1
≈==


→
T
2
= 1,0003T
1
= 2,0006 (s)


Phone: 01689.996.187

BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH



3: CON L

C

N
13
+ Vì T
2
>T=1 => t(i TPHCM ng h ch(y chm trong 1 ngày:

∆t = 24.60.60.
26
T
TT
1
21
=
−
(s)
+  ng h t(i TPHCM c3ng ch% úng
=> T
'

2
= 2
2
'
g
l
.π
= T
1
= 2 (s)
 T
1
= T
'
2

2
'
g
l
=
2
1
'
2
g
g
l
l
g

l
=

 l
'
= 1,0006 l
 cn t#ng chiu dài dây lên mt lng là ∆l = l
'
- l = 0,0006.l
D: th)y l =1m => ∆l = 0,0006(m) = 0,6 mm

VN DNG: CÂU 16,17,38/ 9


BÀI TOÁN 7 : S& THAY ∋I CHU K( CON LC N KHI T−NG GI.M NHI/T %

PHNG PHÁP:
+ dây treo làm b0ng kim lo1i khi nhi∀t  thay 9i:
Chiu dài bi∃n 9i theo nhi∀t  :

=
0

(1 +
λ
t).

λ
: là h∀ s n∗ dài vì nhi∀t ca kim lo(i làm dây treo con lc.

0

: chiu dài ∗ 0
0
C
Chu k con lc dao ng úng ∗ nhi∀t  t
1
(
0
C):
1
1
T 2
g
π
=

(1)
Chu k con lc dao ng sai ∗ nhi∀t  t
2
(
0
C):
2
2
T 2
g
π
=


(2)

1 1
2 2
T
T
=



Ta có:
1 0 1
1 1
2 1
2 0 2
2 2
(1 t )
1 t 1
1 (t t )
(1 t )
1 t 2
λ
λ
λ
λ
λ
= +

+


= ≈ − −

= +
+

 

 

vì
1
λ



1 1
2 1 2 1 2 1
2
2 1
T T1 1
1 (t t ) T T (1 (t t ))
1
T 2 2
1 (t t )
2
λ λ
λ
≈ − −

= ≈ + −

− −

Vy
2 1 2 1
1
T = T (1+
2
(t - t ))
2

+ khi nhi∀t  t#ng thì chu k dao ng t#ng lên
+ khi nhi∀t  gim thì chu k dao ng gim xung
Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH



3: CON L

C

N
14
Chú ý: + khi a lên cao mà nhi∀t  thay 9i thì:
≈

1
2 1
2
T
1 h
1-
2(t - t ) -
T 2 R

+ khi a lên xung  sâu d mà nhi∀t  thay 9i thì:
≈
1
2 1
2
T
1 d
1- 2(t - t )-
T 2 2R

* Thi gian ch(y nhanh chm khi nhi∀t  thay 9i trong mt ngày êm là:
|
2 1
1
, = t 2 | t -t
2

* Thi gian ch(y nhanh chm t9ng quát:
) |
+
2 1

h 1
, = t | 2(t - t
R 2



*VÍ D MINH HA
VD1. Mt con lc n dao ng t(i im A có nhi∀t  25
0
C và t(i a im B có nhi∀t 
10
0
C vi cùng mt chu kì. Hi so vi gia tc trong trng t(i A thì gia tc tr,ng trng t(i B
t#ng hay gim bao nhiêu %? Cho h∀ s n∗ dài ca dây treo con lc là
α
= 4.10
-5
K
-1
.
HD:
Ta có: T
A
= 2
π
A
A
g
l
= 2

π
A
BAB
g
ttl ))(1( −+
α
= T
B
= 2
π
B
B
g
l

 g
B
= g
A
(1 +
α
(t
A
– t
B
) = 1,0006g
A
. Vy gia tc tr,ng trng t(i B t#ng 0,06% so vi gia tc
tr,ng trng t(i A.

VD2. Con lc ca mt ng h qu lc c coi nh mt con lc n. Khi ∗ trên mt )t vi
nhi∀t  t = 27
0
C thì ng h ch(y úng. Hi khi a ng h này lên  cao 1 km so vi
mt )t thì thì nhi∀t  phi là bao nhiêu  ng h v.n ch(y úng? Bi∃t bán kính Trái )t là
R = 6400 km và h∀ sô n∗ dài ca thanh treo con lc là
α
= 1,5.10
-5
K
-1
.

HD:
 ng h v.n ch(y úng thì chu k ca con lc ∗  cao h và ∗ trên mt )t phi b−ng
nhau hay: 2
π
g
l
= 2
π
h
h
g
ttl ))(1( −+
α
 t
h
= t -
α

g
g
h
−1
= t -
α
2
1






+
−
hR
R
= 6,2
0
C.

VD3;. Qu lc ng h có th xem là mt con lc n dao ng t(i mt ni có gia tc tr,ng
trng g = 9,8 m/s
2
. 2 nhi∀t  15
0
C ng h ch(y úng và chu kì dao ng ca con lc là T
= 2 s. N∃u nhi∀t  t#ng lên ∃n 25
0

C thì ng h ch(y nhanh hay chm bao lâu trong mt
ngày êm. Cho h∀ s n∗ dài ca thanh treo con lc
α
= 4.10
-5
K
-1
.
HD:
Ta có: T’ = T
)'(1 tt −+
α
= 1,0002T > T nên ng h ch(y chm. Thi gian chm trong mt
ngày êm là:
∆
t =
'
)'(86400
T
TT
−
= 17,3 s.

Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N

15
VD4: T(i mt ni nang b−ng mc nc bin, ∗ nhi∀t  10
0
C, mt ng h qu lc trong
mt ngày êm ch(y nhanh 6,48 (s) coi con lc ng h nh 1 con lc n thanh treo con lc
có h∀ s n∗ dài
λ
= 2.10
-5
K
-1
1. T(i VT nói trên ∗ thi gian nào thì ng h ch(y úng gi.
2. a ng h lên %nh núi, t(i ó t
0
là 6
0
C, ta th)y ng h ch(y úng gi. Gii thích
hi∀n tng này và tính  cao ca %nh núi so vi mc nc bin. Coi trái )t là hình cu có
bán kính R = 6400 km.
HD. 1. Xác nh nhi∀t  mà ng h ch% úng gi
Gi s8 ng h ch(y úng ∗ t
0
C vi chu kì
T = 2
g
)t1(l
2
g
l
10

λ+
π=π

2 t
1
= 100
0
, chu kì là T
1
= 2
g
)t1(l
10
λ+
π

→

2
1
t1
t1
T
T
11
λ
+≈
λ+
λ+
=

(t
1
- t
x
)
(VT
λ
t
1
<< 1;
λ
t
1
<< 1)
+ Theo biên : ng h ch(y nhanh
→
T
1
<T
→
t
1
< t
+  l
0
t chu kì theo t
0

∆
T

1
= T
1
- T ~
)tt(
2
T
1
−λ

Thi gian mà ng h ch(y sai trong 1 ngày êm là
∆
t = 24.60.60.
)tt(.43200
T
T
1
1
−λ≈

Theo biên 
∆
t = 6,48 (s)
→
t ~ 17,5
0
C
2 - Khi ng h ∗ trên %nh núi
Chu kì ca qu lc hoat ng thay 9i do
+ Nhi∀t  gim làm chiu dài con lc gim -> T gim

+  cao t#ng dn ti gia tc tr,ng trng gim -> T t#ng
Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
16
Hai nguyên nhân ó bù tr+ l.n nhau -> ng h ch(y úng ∗  cao h:
g
h
=
2
)
h
R
R
(g
+

Kí hi∀u: T
h
: Chu kì ∗  cao h
t
h
: t
0
∗  cao h
 bi∃n thiên chu kì

∆
t
h
theo  cao khi chiu dài con lc không 9i (n∃u coi t = t
h
)
R
h
g
g
T
T
h
n
+==
1


→

∆
t
h
= t
h
- T = T
R
h

l(i có

∆
T
t
=
2
T
t
h
λ
(t
h
- t) (
∆
t
1
:  bi∃n thiên theo nhi∀t )
Vì con lc ng h ch(y úng nên
∆
t
t
+
∆
t
h
= 0

→

0
R

h
T)tt(
2
T
h
=+−λ


→
h =
2
R).tt(
h
−
λ

Thay s ta c h = 0,736 km = 736 m

BÀI TOÁN 8: CON LC N CHU TÁC DNG NGOI L&C
Phng pháp:
 tìm chu kì dao ng ca con lc n khi con lc n chu thêm lc tác d ng ngoài tr,ng
lc ta vi∃t biu th∋c tính chu kì ca con lc n theo gia tc ri t do biu ki∃n và so sánh vi
chu kì ca con lc n khi con lc ch% chu tác d ng ca tr,ng lc  suy ra chu kì cn tìm.
* Các công th3c:
+ N∃u ngoài lc c#ng ca si dây và tr,ng lc, qu nng ca con lc n còn chu thêm tác
d ng ca ngo(i lc
→
F
không 9i thì ta có th coi con lc có tr,ng lc biu ki∃n:

→
'
P
=
→
P
+
→
F
và gia tc ri t do biu ki∃n :
→
'g
=
→
g
+
m
F
→
. Khi ó: T’ = 2
π
'g
l
.
Các trng hp c bi∀t:
*
F

có phng ngang:
+ T(i VTCB dây treo l∀ch vi phng th/ng ∋ng mt góc có:

tan
F
P
α
=

Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
17
+
2 2
' ( )
F
g g
m
= +

*
F

có phng th/ng ∋ng thì
'
F
g g
m

= ±

+ N∃u
F

hng xung thì
'
F
g g
m
= +

+ N∃u
F

hng lên thì
'
F
g g
m
= −

CÁC TR;NG H<P:
1) Khi
F P
↑↑
 
(cùng hng)
hd
F

g g
m
= +
khi ó T
2
<T
1:
chu k gim
2) Khi
F P
↑↓
 
(ngc hng)

hd
F
g g
m
= −
khi ó T
2
>T
1:
chu k t#ng
3) Khi
F P
⊥
 
(vuông góc)

2
2
hd
F
g g
m
 
= +
 
 
khi ó T
2
<T
1:
chu k gim
V trí cân b−ng mi
0
F
tan
P
α
=

Chú ý: Các lo1i lc có th4 g5p:
* Lc i∀n trng:
F qE
=
 
,  ln F =
|

q
|
E (N∃u q > 0 
F E
↑↑
 
; còn n∃u q < 0 
F E
↑↓
 
)
* Lc =y Ácsimét: F = DgV (
F

luông th/ng ∋ng hng lên)
Trong ó: D là khi lng riêng ca ch)t lng hay ch)t khí.
g là gia tc ri t do.
V là th tích ca phn vt chìm trong ch)t lng hay
ch)t khí ó.
* Lc quán tính:
F ma
= −
 
,  ln F = ma (
F a
↑↓
 
)
Lu ý: + Chuyn ng nhanh dn u
a v

↑↑
 
(
v

có hng chuyn ng)
+ Chuyn ng chm dn u
a v
↑↓
 

BÀI TOÁN: con lc khi gn vào h6 chuy4n ng t)nh ti7n v8i gia tc

a

PHNG PHÁP
- Khi con lc gn vào h∀ chuyn ng tính ti∃n vi gia tc
a

thì vt chu tác d ng thêm ca
lc quán tính
qt
F

=-m
a

(ngc chiu vi
a


)
Tr,ng lc hi∀u d ng(tr,ng lc biu ki∃n):
hd qt
P F P
= +
  

hd hd
mg mg ma g g a
⇔ = −  = −
     

+ khi h∀ chuyn ng nhanh dn u thì
a

cùng chiu vi
v

(chiu chuyn ng) khi ó
qt
F


ngc chiu chuyn ng
+ khi h∀ chuyn ng chm dn u thì
a

ngc chiu vi
v


(chiu chuyn ng) khi ó
qt
F


cùng chiu chuyn ng
1) Khi
qt
F P
↑↑
 
(cùng hng) thì
hd
g g a
= +
khi ó T
2
<T
1:
chu k gim
N
O

0
α
P

F


O

0
α

P

F


Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
18
2) Khi
qt
F P
↑↓
 
(ngc hng) thì
hd
g g a
= −
khi ó T
2

>T
1:
chu k t#ng
3) Khi
qt
F P
⊥
 
(vuông góc) thì
2 2
hd
g g a
= +
khi ó T
2
<T
1:
chu k gim
V trí cân b−ng mi
qt
0
F
tan
P
α
=

4) Khi
qt
F


hp vi
P

mt góc
α
thì:
2 2 2
hd
g g a 2ga.cos
α
= + +

+ Chu kì ca con lc n treo trong thang máy:
Thang máy ∋ng yên hoc chuyn ng th/ng u: T = 2
π
g
l
.
Thang máy i lên nhanh dn u hoc i xung chm dn u vi gia tc có  ln là a
(
→
a
hng lên): T = 2
π
ag
l
+
.
Thang máy i lên chm dn u hoc i xung nhanh dn u vi gia tc có  ln là a

(
→
a
hng xung): T = 2
π
ag
l
−
.
* Chu k con lc lúc u:
1
T 2
g
π
=

(1)
* Chu k con lc lúc sau:
2
hd
T 2
g
π
=

(2)
Khi con lc chu tác d ng thêm ca ngo(i lc không 9i
F

khi ó:

Tr,ng lc hi∀u d ng(tr,ng lc biu ki∃n):
hd
P F P
= +
  

hd hd
F
mg F mg g g
m
⇔ = +

= +


   


VÍ D MINH HA
VD1:
Mt con lc n gm si dây có chiu dài l = 1(m) và qu cu nh khi lng m = 100
(g), c treo t(i ni có gia tc tr,ng trng g = 9,8 (m/s2).
1.Tính chu k dao ng nh ca con lc.
2. Cho qu cu mang i∀n tích dng q = 2,5.10-4 t(o ra ng trng u có cng  E =
1000 (v/m).
Hãy xác nh phng ca dây treo con lc khi CB và chu kì dao ng nh ca con lc trong
các trng hp.
a) Véct
E
hng th/ng xung di

b) Véct
E
có phng n−m ngang.
HD:
1 - Chu kì dao ng nh ca con lc
Lúc u T0 = 2
8,9
1
.14,3.2
g
l
. ≈π
= 2 (s)
2 - Cho con lc tích i∀n dao ng trong trng u
+ Các lc tác d ng vào con lc:
gmP
=
: Tr,ng lc
N
O

0
α
P

F

Phone: 01689.996.187

BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
19
T: lc c#ng ca dây

EqF
d
=
: lc i∀n trng
+ Coi con lc dao ng trong trng tr,ng lc hi∀u d ng g'

d
'
EPP +=
= m
'
g

Khi CB dây treo con lc có phng ca
'
P
và chu kì dao ng nh c tính theo công th∋c:
T' = 2
'
g
1
.
π

a)
E
th/ng ∋ng xung di
+ g> 0 nên
d
F
cùng hng vi
E
, t∋c là th/ng ∋ng xung.
Vy khi CB, dây trheo v.n có phng th/ng ∋ng.
Ta có: P' = P + F
 mg'= mg + qE
 g'= g +
m
qE

+ Chu kì dao ng nh ca con lc
T' = 2
m
qE
g
1
2
g
1
.
'
+
π=π

Thay s
T' = 2.3,14.
1,0
10.10.5,2
8,9
1
34
−
−
+
= 1,8 (s)
b) Trng hp E n−m ngang
+)
d
E
có phng ⊥ vi
P

Khi CB, dây treo l∀ch góc
δ
so vi phng th/ng ∋ng, theo chiu ca lc i∀n trng.
tg
δ
=
mg
qE
P
F
d

=


→
tg
δ
=
255
,0
8,9.1,0
10.10.5,2
34
≈
−


→

δ
~ 140
+ Chu kì dao ng ca con lc
T'= 2
'
g
l
π

T+ hình v7:
P' =
g

cos
g
g
cos
P
'
⊗>
α
=→
α

β

P
d
F
T
g
E
VTCB

+

δ
T
d
F

'
P

P
Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
20
Do ó: T’ = 2
δ=
δ
π
cosT
g
cosl
.
0

→
T'= T0
97,114cos2cos
0
≈=δ
(s)
VD2. Mt con lc n có chiu dài dây treo 50 cm và vt nh có khi lng 0,01 kg mang i∀n
tích q
= +
5.10
-6

C, c coi là i∀n tích im. Con lc dao ng iu hòa trong i∀n trng
u mà vect cng  i∀n trng có  ln E = 10
4
V/m và hng th/ng ∋ng xung di.
L)y g = 10 m/s
2
, > = 3,14. Xác nh chu kì dao ng ca con lc.
HD:
Vt nh mang i∀n tích dng nên chu tác d ng ca lc i∀n trng
→
F
hng t+ trên xung
(cùng chiu vi véc t cng  i∀n trng
→
E
).
Vì
→
F
↑↑
→
E

↑↑
→
P
 P’ = P + F  gia tc ri t do biu ki∃n là g’ = g +
m
Eq ||
= 15 m/s

2
.
Chu kì dao ng ca con lc n trong i∀n trng là T’ = 2
π
'
g
l

≈
1,15 s.

VD3. Mt con lc n gm qu cu có khi lng riêng D = 4.10
3
kg/m
3
. khi t trong không
khí nó dao ng vi chu kì T = 1,5 s. L)y g = 9,8 m/s
2
. Tính chu kì dao ng ca con lc khi nó
dao ng trong nc. Bi∃t khi lng riêng ca nc là D
n
= 1 kg/l.
HD: Ta có: D
n
= 1 kg/l = 10
3
kg/m
3
. 2 trong nc qu cu chu tác d ng ca mt lc =y
Acsimet

→
a
F hng lên có  ln F
a
= D
n
.V.g =
D
D
n
g nên s7 có gia tc ri t do biu ki∃n g’ =
g -
D
D
n
g = 7,35 m/s
2
 T’ = T
'
g
g
= 1,73 s.

VD4:
Mt con lc n dao ng vi biên  nhh, chu kì là T0, t(i ni ga = 10m/s2 . Treo
con lc ∗ trn 1 chi∃c xe ri cho xe chuyn ng nhanh dn u trên ng ngang thì dây
treo hp vi phng th/ng ∋ng 1 góc
α
0 = 90
a) Hãy gii thích hi∀n tng và tính gia tc a ca xe.

b) Cho con lc dao ng vi biên  nh, hãy tính chu kì T ca con lc theo T0.

L∗i gii
a) Gii thích hi∀n tng:
Trong HQC gn vi xe (HQC không quán tính), vt nng ca con lc n phi chu 3 lc tác
d ng.
+ Tr,ng lc
gmP=

+ Lc c#ng dây T
+ Lc quán tính
0
amF −=

Khi con lc ∗ VTCB

0FTP
q
=++

q
F
ngc chiu vi
0
a
nên ngc chiu vi
0
v

+

δ

F
'
P
P
0
a
0
v
Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
21
Vy lc
q
F
làm cho dây treo l∀nh 1 góc
α
v phía ngc vi chiu chuyn ng ca xe.
tg
α
=
g
a

mg
ma
P
F
at
==


α
<<
→
tg
α

≈
α
do ó
a
≈
g
α
= 10.
9.
180
π
~ 1,57 (m/s2)
b) Thi∃t lp h∀ th∋c gi?a T0 và T
Do có thêm lc quán tính nên coi tr,ng lc hi∀u dungc ca con lc là

'

qt
'
gmFPP =+=

(Coi con lc dao ng trong trng gia tc ghd = g')
T+ hình v7 P'=
g
cos
g
g
cos
mg
cos
P
'
>
α
=
α
=
α

Chu kì dao ng ca con lc khi ó xác nh theo công th∋c
T = 2
'
g
l
.π
L(i có T0 = 2
g

l
.π


α=
α
== cos
g
cosg
g
g
T
T
'
0


Vy T = T0
αcos

VD5. Mt con lc n treo trong thang máy ∗ ni có gia tc tr,ng trng 10 m/s
2
. Khi thang
máy ∋ng yên con lc dao ng vi chu kì 2 s. Tính chu kì dao ng ca con lc trong các
trng hp:
a) Thang máy i lên nhanh dn u vi gia tc 2 m/s
2
.
b) Thang máy i lên chm dn u vi gia tc 5 m/s
2

.
c) Thang máy i xung nhanh dn u vi gia tc 4 m/s
2
.
d) Thang máy i xung chm dn u vi gia tc 6 m/s
2
.
HD: Khi thang máy ∋ng yên hoc chuyn ng th/ng u: T = 2π
g
l
.
a) Khi thang máy i lên nhanh dn u
→
a
hng lên, lc quán tính
F m a
→ →
= −
hng xung,
gia tc ri t do biu ki∃n g’ = g + a nên T’ = 2π
ag
l
+
 T’ = T
ag
g
+
= 1,83 s.
b) Thang máy i lên chm dn u: T’ = T
ag

g
−
= 2,83 s.
c) Thang máy i xung nhanh dn u: T’ = T
ag
g
−
= 2,58 s.
d) Thang máy i xung chm dn u: T’ = T
ag
g
+
= 1,58 s.

VD6. Treo con lc n vào trn mt ôtô t(i ni có gia tc tr,ng trng g = 9,8 m/s
2
. Khi ôtô
∋ng yên thì chu kì dao ng iu hòa ca con lc là 2 s. Tính chu kì dao ng ca con lc
Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
22
khi ôtô chuyn ng th/ng nhanh dn u trên ng n−m ngang vi gia tc 3 m/s
2
.
HD : Tr,ng lc biu ki∃n tác d ng lên vt:

→
'
P
=
→
P
+
→
qt
F
;
→
qt
F
= - m
→
a

→
'
g
=
→
g
-
→
a
; vì
→
g

⊥
→
a

 g’ =
22
ag +
≈ 10,25 m/s
2
. Khi ôtô ∋ng yên: T = 2π
g
l
; khi ôtô chuyn ng có gia tc:
T’ = 2π
'
g
l

T
T
'
=
'
g
g
 T’ = T
'
g
g
= 1,956 s.

VD7. Mt con lc n có chu kì dao ng T = 2 s. N∃u treo con lc n vào trn mt toa xe
ang chuyn ng nhanh dn u trên mt ng n−m ngang thì th)y r−ng ∗ v trí cân b−ng
mi, dây treo con lc hp vi phng th/ng ∋ng mt góc α = 30
0
. Cho g = 10 m/s
2
. Tìm gia
tc ca toa xe và chu kì dao ng mi ca con lc.
HD : Ta có: tanα =
P
F
qt
=
g
a
 a = gtanα = 5,77 m/s
2
. Vì
→
a

⊥
→
g
 g’ =
22
ga +
= 11,55 m/s
2

.
T’ = T
'
g
g
= 1,86 s.

VD8: Con lc n chiu dài dây treo l, treo vào trn thang máy, khi thang máy ∋ng yên chu
k dao ng úng là T=0,2s, khi thang máy bt u i nhanh dn u vi gia
Tc lên  cao 50m thì con lc ch(y sai l∀ch so vi lúc ∋ng yên b−ng bao
nhiêu.
A. Nhanh 0,465s B. Chm 0,465s C.Nhanh 0,541 D. Chm 0,541
HD:
bài trên nên b9 sung gia tc tr,ng trng không thay 9i và b−ng
+ Con lc i lên nhanh dn ==> lc quán tính ngc chiu chuyn
ng

+  sai l∀ch trong 1 s:
(Con lc ch(y nhanh)
+ Thang máy bt u chuyn ng nhanh dn u khi i 50m c vn
tc

==> Thi gian i 50m :

+  sai l∀ch trong thi gian 10s :

VD9: (H 2011)Mt con lc n c treo vào trn mt thang máy. Khi thang máy chuyn
ng th/ng ∋ng i lên nhanh dn u vi gia tc có  ln a thì chu kì dao ng iu hòa
ca con lc là 2,52 s. Khi thang máy chuyn ng th/ng ∋ng i lên chm dn u vi gia tc
c3ng có  ln a thì chu kì dao ng iu hòa ca con lc là 3,15 s. Khi thang máy ∋ng yên

thì chu kì dao ng iu hòa ca con lc là
A. 2,78 s. B. 2,96 s. D. 2,61 s. D. 2,84 s.
HD: Thang máy i lên nhanh dn u, gia tc tr,ng trng hi∀u d ng: g
1
= g + a
Thang máy i lên chm dn u, gia tc tr,ng trng hi∀u d ng: g
2
= g - a
Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
23

ga
ag
ag
g
g
T
T
5625,2
5625,0
52,2
15,3
2
1

1
2
=⇔
−
+
=⇔=

*
sT
g
ag
g
g
T
T
78,2
1
1
≈
+
==


áp án A.

BÀI TOÁN 9 : CON LC N DAO %NG TRÙNG PHÙNG
PHNG PHÁP
xác nh chu k ca con lc cha bi∃t da trên mt con lc ã bi∃t chu k d.
Cho hai con lc n: Con lc 1 chu k
1

T
ã bi∃t
Con lc 2 chu k
2
T
cha bi∃t
2 1
T T
≈

Cho hai con lc dao ng trong mt ph/ng th/ng ∋ng song song trc mt mt ngi
quan sát. Ngi quan sát ghi l(i nh?ng ln chúng i qua v trí cân b−ng cùng lúc cùng
chiu(trùng phùng).
G,i
θ
là thi gian hai ln trùng phùng liên ti∃p nhau
a) N7u
1
T
>
2
T
: con lc
2
T
thc hi∀n nhiu hn con lc
1
T
mt dao ng
ta có

1 2
( 1)
nT n T
θ
= = +

2
1
1
T
n
n
T
θ
θ

=

+



=



2
1
1
T

T
θ
θ
=
+

2
1
1
1 1
T
T
θ
=
+

2 1
1 1 1
= +
T T
9

b) N7u
1
T
<
2
T
: con lc
1

T
thc hi∀n nhiu hn con lc
2
T
mt dao ng
ta có
2 1
( 1)
nT n T
θ
= = +


2
1
1
T
n
n
T
θ
θ

=




= −




2
1
1
T
T
θ
θ
=
−

2
1
1
1 1
T
T
θ
=
−

2 1
1 1 1
= -
T T
9

BÀI TOÁN 10: CON LC N ANG DAO %NG T DÂY

PHNG PHÁP
1) Bài toán 3t dây:
2) Khi con l#c ∋t dây vt bay theo phng ti∃p tuy∃n vi qu5 (o t(i im ∋t.
+ Khi vt i qua v) trí cân b0ng thì 3t dây lúc ó vt chuy4n ng nén ngang v8i vn
tc :u là vn tc lúc 3t dây.
Vn tc lúc ∋t dây:
0 0
v 2g (1 cos )
α
= −

phng trình theo các tr c to( :
0
2
t h e o o x : x v . t
1
t h e o o y : y g t
2
=



=



Phng trình qu5 (o:
2
2
2

0 0
1 x 1
y g x
2 v 4 (1 cos )
α
= =
−


+ Khi vt 3t ; ly 
α
thì vt s< chuy4n ng ném xiên v8i vn tc ban :u là vn tc
lúc 3t dây.
Vn tc vt lúc ∋t dây:
0 0
v 2g (cos cos )
α α
= −

N

O

0
α
0
v

X

Y

N

0
α
0
v

X

Y

Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
24
Phng trình theo các tr c to( :
0
2
0
theo ox : x (v cos ).t
1
theo oy : y (v sin ).t gt
2
α

α
=



= −



Khi ó phng trình qu5 (o là:
2
2
0
1 g
y (tan ).x x
2 (v .cos )
α
α
= −

Hay:
2 2
2
0
1 g
y (tan ).x (1 tan )x
2 v
α α
= − +

Chú ý: Khi vt ∋t dây ∗ v trí biên thì vt s≅ ri t do theo phng trình:
2
1
y gt
2
=


VÍ D MINH HA
VD1
:Mt qu cu A có kích thc nh, khi lng m = 500g, treo b−ng 1 si dây mnh,
không dãn, chiu dài l = 1m. 2 VTCB không qu cu cách mt )t n−m ngang mt khong
0,8m. a qu cu ra khi VTCB sao cho si dây lp vi phng th/ng ∋ng 1 góc α0 =
600 ri buông cho nó chuyn ng không vn tc ban u. B qua lc cn môi trng (g =
10m/s2).
1. Tính lc c#ng T khi A ∗ VTCB.
2. N∃u i qua 0 thì dây ∋t thì mô t chuyn ng ca qu cu và phng trình qu5 (o
chuyn ng ca nó sau ó.
3. Xác nh vn tc ca qu cu khi ch(m )t và có v trí ch(m )t.

Li gii
1. Lc c#ng dây
nh lut bo toàn c nang mgh +
2
1
mv2 = mgh0
→ v2 = 2g(h0- h) = 2gl(cosα - cosα0)
nh lut 2 N:
a
m

T
P
F
=
+
=

→ T = mgcos α = maht
→ T = m (gcosα +
l
v
2
)
áp d ng (1) vi VT qu cu t+ A ∃n 0
→ v2o = 2gl(1 - cosα0) → | v0 | =
10
m/s
→ T = m [g + 2g (1 - cosα0)] = mg (3 - 2 cosα0)
Thay s: T = 0,5.10.(3 - 2cos600) = 10N
2. Chuyn ng ca qu cu sau khi dây ∋t
+ Khi ∃n VTCB, vn tc qu cu là
0
v
có phng nm ngang.
+ N∃u t(i VT0 dây b ∋t thì chuyên ng ca m sau khi dây ∋t là chuyên ng ném ngang.
+ Ch,n h∀ tr c oxy nh hình v7 ta c: qu cu chuyên dng theo
phng 0x : chuyn ng th/ng u: x = v0t =
t
10
(1)

phng oy: chuyn ng th/ng nhanh dn u, vn tc u = 0
l
0
v

G

m
A
α
0
H
y
M
x
Phone: 01689.996.187


BI DNG KIN THC – ÔN, LUYN THI I
HC VT LÝ

CH  3: CON LC N
25
→ y =
2
1
gt2 = 5t2 (2)
T+ (1) t=
10
x

→ thay vào (2) y =
2
1
x2 (x; y >0)
Vy qu5 (o chuyn ng ca vt là 1 nhánh ca parabol
3. Qa cu ch(m )t ∗ M vi yM = H = 0,8 cm
Thay vào PT qu5 (o: x =1,3 (cm)
nh lut bo toàn c n#ng:
2 2
1 1
. . . .
2 2
M o
mV m g H m v
= +
→V
M
=v
o
2
+2gH
→ |V
M
| =
1
,5268,0.10.210 ≈=+
(m/s)

BÀI TOÁN 11 : CON LC VT LÝ DH
Phng pháp

 tìm các (i lng liên quan ∃n con lc vt lí ta vi∃t các biu th∋c liên quan ∃n (i
lng cn tìm và các (i lng ã bi∃t t+ ó suy ra và tính (i lng cn tìm.
* Các công th3c:
+ Phng trình ng lc h,c:
P
M
→
= I
γ
→
; vi α ≤ 10
0
(α tính ra rad), ta có: α’’ +
d
mg
I
α = 0.
+ Phng trình dao ng: α = α
0
cos(ωt + ϕ); vi ω =
d
mg
I
.
+ Chu kì, tn s ca con lc vt lí: T = 2π
d
I
mg
; f =
1

2
π
d
mg
I
.
+ Con lc vt lí tng ng vi con lc n có chiu dài l =
d
I
m
.

VÍ D MINH HA:
VD1. Mt vt rn nh có khi lng m = 1 kg có th dao ng iu hòa vi biên  nh
quanh mt tr c n−m ngang vi tn s f = 1 Hz. Momen quán tính ca vt i vi tr c quay
này là 0,025 kgm
2
. Gia tc tr,ng trng ni t vt rn là 9,8 m/s
2
. Tính khong cách t+ tr,ng
tâm ca vt rn ∃n tr c quay.
HD : Ta có: f =
1
2
π
d
mg
I
 d =
2 2

4
f I
mg
π
= 0,1 m = 10 cm.

VD2. Mt con lc vt lí có khi lng 2 kg, khong cách t+ tr,ng tâm ca con lc ∃n tr c
quay là 100 cm, dao ng iu hòa vi tn s góc b−ng 2 rad/s t(i ni có gia tc tr,ng trng
9,8 m/s
2
. Tính momen quán tính ca con lc này i vi tr c quay.
HD: Ta có: ω =
d
mg
I
 I =
2
d
mg
ω
= 4,9 kgm
2
.


VD3. Mt con lc vt lí là mt vt rn có khi lng m = 4 kg dao ng iu hòa vi chu kì T
= 0,5s. Khong cách t+ tr,ng tâm ca vt ∃n tr c quay ca nó là d = 20 cm. L)y g = 10 m/s
2