201 bài tập phương trình vi phân

1
B
`
AI T
ˆ
A
.
P PHU
.
O
.
NG TR
`
INH VI PH
ˆ
AN
1) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ 2xy

y” = y
2
− 1
HD gia
’
i: ❉
✲

✕❛
✳
t y

= p : 2xpp

= p
2
− 1
❱✓♦
✳
✐ x(p
2
− 1) = 0 t❛ ❝♦✓✿
2pdp
p
2
− 1
=
dx
x
⇔ p
2
− 1 = C
1
⇔ p = ±
√
C
1
x + 1

p =
dy
dx
=
√
C
1
+ 1 ⇒ y =
2
3C
1
(C
1
x + 1)
3
2
+ C
2
2) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿
√
y.y” = y

HD gia
’

i: ❉
✲
✕❛
✳
t y

= p ⇒ y” = p
dp
dy
✭❤❛✒♠ t❤❡♦ ②✮✳ P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤✿
√
yp
dp
dy
= p
❱✓♦
✳
✐ p = 0 t❛ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝ ♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ dp =
dy
√
y
⇒ p = 2
√
y + C
1
⇔
dy
dx
= 2
√
y + C
1
⇒
dx =
dy
2
√
y + C
1
❚✒✉
✳
❞✖♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦

✬
♥❣ q✉❛✓t✿ x =
√
y −
C
1
2
ln|2
√
y + C
1
| + C
2
◆❣♦❛✒✐ r❛ y = c✿ ❤✕❛
✒
♥❣ ❝✉
⑦
♥❣ ❧❛✒ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠✳
3) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ a(xy

+ 2y) = xyy


HD gia
’
i: a(xy

+ 2y) = xyy

⇒ x(a − y)y

= −2ay
◆❫❡
✓
✉ y = 0✱ t❛ ❝♦✓ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉
✳
♦
✳
♥❣ ❞✖✉
✳
♦
✳
♥❣ ✈✓♦
✳
✐
a − y
y
dy = −
2a

x
dx ⇔ x
2a
y
a
e
−y
= C
◆❣♦❛✒✐ r❛ y = 0 ❝✉
⑦
♥❣ ❧❛✒ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠✳
4) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y” = y

e
y
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t y


= p ⇒ y” = p
dp
dy
t❤❛② ✈❛✒♦ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ p
dp
dy
= pe
y
❱✓♦
✳
✐p = 0 :
dp
dy
= e
y
⇔ p = e
y
+ C
1
⇒
dy
dx
= e
y
+ C

1
⇔
dy
e
y
+ C
1
= dx
❱✓♦
✳
✐ C
1
= 0 t❛ ❝♦✓✿

dy
e
y
+ C
1
=
1
C
1

e
y
+ C
1
− e
y

e
y
+ 1
dy =
1
C
1
(y −

e
y
dy
e
y
+ C
1
) =
y
C
1
−
1
C
1
ln(e
y
+ C
1
)
♥❤✉

✳
✈❫❛
✳
②✿

dx
e
y
+ C
1
=



−e
−y
nˆe
´
u C
1
= 0
1
C
1
(y − ln|e
y
+ C
1
|) nˆe
´

u C
1
= 0.
◆❣♦❛✒✐ r❛ y = C : ❤✕❛
✒
♥❣ ❧❛✒ ♠❫♦
✳
t ♥❣❤✐❫❡
✳
♠
5) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ xy

= y(1 + ln y − ln x) ✈✓♦
✳
✐ y(1) = e
www.VNMATH.com
2
HD gia
’
i: ❉
✲
✉
✳
❛ ♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
✿ y

=
y
x
(1 + ln
y
x
)✱ ❞✖✕❛
✳
t y = zx ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝✿ xz

= z ln z
• z ln z = 0 ⇒
dz
z ln z
=
dx
x
⇒ ln z = Cx ❤❛② ln

y
x
= Cx ⇔ y = xe
Cx
y(1) = e → C = 1. ❱❫❛
✳
② y = xe
x
6) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y”(1 + y) = y
2
+ y

HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t y

= z(y) ⇒ z

= z
dz

dy
t❤❛② ✈❛✒♦ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿
dz
z + 1
=
dy
y + 1
⇒ z + 1 = C
1
(y + 1) ⇒ z = C
1
y + C
1
− 1 ⇔
dy
C
1
y + C
1
− 1
= dx (∗)
• C
1
= 0 ⇒ (∗) ❝❤♦ y = C − x
• C
1

= 0 ⇒ (∗) ❝❤♦
1
C
1
ln|C
1
y + C
1
− 1| = x + C
2
◆❣♦❛✒✐ r❛ y = C ❧❛✒ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠✳
❚♦✓♠ ❧❛
✳
✐ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y = C, y = C − x;
1
C
1
ln|C
1
y + C
1
− 1| = x + C
2
7) ●✐❛

✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y

= y
2
−
2
x
2
HD gia
’
i: ❇✐❫❡
✓
♥ ❞✖❫♦
✬
✐ ✭✸✮ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣✿ x
2
y

= (xy)
2
− 2 (∗)

❉
✲
✕❛
✳
t z = xy ⇒ z

= y + xy

t❤❛② ✈❛✒♦ (∗) s✉② r❛✿
xz

= z
2
+ z − 2 ⇔
dz
z
2
+ z − 2
=
dx
x
⇔
3

z − 1
z + x
= Cx
❱❫❛
✳
② ❚P❚◗✿

xy − 1
xy + 2
= Cx
3
.
8) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ yy” + y
2
= 1
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t y

= z(y) ⇒ y” = z.
dz
dy
❇✐❫❡
✓
♥ ❞✖❫♦
✬
✐ ♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
✿
z
1 − z
2
dz =
dy
y
⇔ z
2
= 1 +
C
1
y
2
⇒
dy
dx
= ±

1 +
C
1
y
2
⇔ ±


dy

1 +
C
1
y
2
= dx ⇒ y
2
+ C
1
= (x + C
2
)
2
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y
2
+ C
1
= (x + C
2
)
2
9) ●✐❛
✬

✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ 2x(1 + x)y

− (3x + 4)y + 2x
√
1 + x = 0
HD gia
’
i: y

−
3x + 4
2x(x + 1)
.y = −
1
√
x + 1
; x = 0, x = −1
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦

✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✿

dy
y
=

3x + 4
2x(x + 1)
dx =

(
2
x
−
1
2(x + 1)
)dx ⇔ y =
Cx
2
√
x + 1
www.VNMATH.com
3
❇✐❫❡
✓

♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
✿ C

= −
1
x
2
⇒ C = −
1
x
+ ε.
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y =
x
2
√
x + 1
(
1
x
+ ε)
10) ●✐❛

✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y” = e
2y
t❤♦❛
✬

y(0) = 0
y

(0) = 0
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t z = y

→ y” = z.
dz
dy
♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr♦

✳
✬
t❤❛✒♥❤ z.
dz
dy
= e
2y
⇔
z
2
2
=
e
2y
2
+ ε
y

(0) = y(0) = 0 ⇒ ε = −
1
2
. ❱❫❛
✳
② z
2
= e
2y
− 1. ❚✒✉
✳
❞✖♦✓✿

z =
dy
dx
=
√
e
2y
− 1 ⇒

dy
√
e
2y
− 1
= x + ε. d¯ˆo
’
i biˆe
´
n t =
√
e
2y
− 1
arctg
√
e
2y
− 1 = x + ε
y(0) = 0 ⇒ ε = 0. ❱❫❛
✳

② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ t❤♦❛
✬
❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❡
✒
❜❛✒✐✿ y =
1
2
ln(tg
2
x + 1).
11) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ xy

+ 2y = xyy

t❤♦❛
✬

♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(−1) = 1✳
HD gia
’
i: ❱✐❫❡
✓
t ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❧❛
✳
✐✿ x(1 − y)y

= −2y❀ ❞♦ y(−1) = 1 ♥❫❡♥ y ≡ 0✳ ❉
✲
✉
✳
❛ ✈❫❡
✒
♣❤✉
✳
♦

✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❛✓❝❤ ❜✐❫❡
✓
♥✿
1 − y
y
dy = −2
dx
x
t✏✓❝❤ ♣❤❫❛♥ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ x
2
ye
−y
= C✳ ❚❤❛② ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ✈❛✒♦ t❛ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝ C =
1
e
✳ ❱❫❛
✳
② t✏✓❝❤ ♣❤❫❛♥

r✐❫❡♥❣ ❝❫❛
✒
♥ t✏✒♠ ❧❛✒✿ x
2
ye
1−y
= 1✳
12) ❇✕❛
✒
♥❣ ❝❛✓❝❤ ❞✖✕❛
✳
t y = ux✱ ❤❛
⑦
② ❣✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ xdy − ydx−

x
2
− y
2
dx = 0. (x > 0)
HD gia
’
i: ❉
✲

✕❛
✳
t y = ux; du = udx + xdu t❤❛② ✈❛✒♦ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❛✒ ❣✐❛
✬
♥ ✉
✳
✓♦
✳
❝ x✿ xdu −
√
1 − u
2
dx = 0✳ ❘♦
⑦
r❛✒♥❣ u −±1 ❧❛✒ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠✳ ❦❤✐ u ≡ ±1 ❞✖✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
t❛✓❝❤ ❜✐❫❡
✓

♥✿
du
1 − u
2
=
dx
x
✳ ❚P❚◗✿ arcsin u − ln x = C ✭❞♦ x > 0✮✳
❱❫❛
✳
② ◆❚◗ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y = ±x; arcsin
y
x
= ln x + C✳
13) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ xy


=

x
2
− y
2
+ y
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(1) = 0✳
HD gia
’
i:
xy

=

x
2
− y
2
+ y ⇐⇒ y


=

1 −
y
2
x
2
+
y
x
❞✖✕❛
✳
t u =
y
x
❤❛② y = ux s✉② r❛ y

= xu

+ u
♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤❛✒♥❤✿ xu

=
√
1 − u

2
⇐⇒
du
√
1 − u
2
=
dx
x
www.VNMATH.com
4
⇐⇒ arcsin u = ln Cx
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(1) = 0 ❦❤✐ C = 1✳ ❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ y = ±x✳
14) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❝✉

✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y

sin x = y ln y
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(
π
2
) = e✳
HD gia
’
i:
y

sin x = y ln y ⇐⇒
dy
y ln y

=
dx
sin x
⇐⇒ ln y = C tan
x
2
⇐⇒ y = e
C tan
x
2
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(
π
2
) = e ❦❤✐ C = 1✳ ❱❫❛
✳
② y = e
tan
x
2
✳

15) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(0) = 1✳
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t x + y = z =⇒ dy = dz − dx
♣❤✉
✳
♦

✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤❛✒♥❤✿ (2− z)dx + (2z − 1)dz = 0❀ ❣✐❛
✬
✐ r❛ x− 2z − 3 ln|z − 2| = C✳ ❱❫❛
✳
②
x + 2y + 3 ln|x + y − 2| = C
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(0) = 1 ❦❤✐ C = 2✳
16) ❇✕❛
✒
♥❣ ❝❛✓❝❤ ❞✖✕❛
✳
t y =
1
z
r❫♦
✒
✐ ❞✖✕❛
✳
t z = ux✱❤❛

⑦
② ❣✐❛
✬
✐
♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ (x
2
y
2
− 1)dy + 2xy
3
dx = 0
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t y =
1
z
❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝✿ (z

2
− x
2
)dz + 2zxdx = 0❀ r❫♦
✒
✐ ❞✖✕❛
✳
t z = ux✱ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝
(u
2
− 1)(udx + xdu) + 2udx = 0
⇐⇒
dx
x
+
u
2
− 1
u
3
+ u
du = 0
⇐⇒ ln|x| + ln
u
2

+ 1
|u|
= ln C ⇐⇒
x(u
2
+ 1)
u
= C
t❤❛② u =
1
xy
❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ 1 + x
2
y
2
= Cy✳
17) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

− xy = x + x
3
HD gia
’
i:
❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ❝❫❛
✓
♣ ✶ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒
y = Ce
x
2
2
.

x
2
2
+ 1
✳
www.VNMATH.com
5
18) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

− y = y
2
.
HD gia
’
i: ❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳

♥❣ tr✏✒♥❤ t❛✓❝❤ ❜✐❫❡
✓
♥ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒
ln|
y
y + 1
| = x + C.
19) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

+
y
x
= e
x
HD gia
’
i:
❉

✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ❝❫❛
✓
♣ ✶ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒ y =
C
x
+ e
x
−
e
x
x
✳
20) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦

✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

− y = y
3
.
HD gia
’
i: ❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❛✓❝❤ ❜✐❫❡
✓
♥ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒
C + x = ln|y| − arctgy.
21) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y


=
y
x
+ sin
y
x
✱ ✈✓♦
✳
✐ y(1) =
π
2
HD gia
’
i: y = zx ⇒ y

= z

x + z✱ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤✿
z

x = sin x ⇔
dz
sin z

=
dx
x
⇔ ln|tg
z
2
| = ln|x| + ln C ⇔ tg
z
2
= Cx
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ tg
y
2x
= Cx; y(1) =
π
2
⇒ C = 1.
❱❫❛
✳
②✿ tg
y
2x
= x✳
22) ●✐❛

✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ (x − y cos
y
x
)dx + x cos
y
x
dy = 0
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t
y
x
= z ⇒ y

= z

x + z ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖✉

✳
♦
✳
✳
❝ ❞✖✉
✳
❛ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣✿
x cos z.z

+ 1 = 0 ⇔

cos zdz = −
dx
x
+ C ⇔ sin z = − ln|x| + C
❱❫❛
✳
② ❚P❚◗✿ sin
y
x
= − ln|x| + C
23) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦

✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ (y
2
− 1)x
2
y
2
+ y

(x
4
− y
4
) = 0
HD gia
’
i: ▲❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖✕❛
✬
♥❣ ❝❫❛
✓
♣ ♥❤✉
✳
♥❣ ❣✐❛
✬
✐ ❦❤❛✓ ♣❤✓✉
✳

❝ t❛
✳
♣✳
www.VNMATH.com
6
❳❡♠ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❜❫❛
✳
❝ ❤❛✐ ❞✖❫♦
✓
✐ ✈✓♦
✳
✐ y

✿  = (x
4
+ y
4
)
2
⇒ y

1
=
y
2
x

2
; y

2
= −
x
2
y
2
.
❚✒✉
✳
❞✖♦✓ ❝♦✓ ❤❛✐ ❤♦
✳
♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y =
x
C
1
x + 1
; x
3
+ y
3
= C
2
24) ●✐❛

✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y
2
+ x
2
y

= xyy

HD gia
’
i: ❱✐❫❡
✓
t ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❧❛
✳
✐ y

=
y
2
x
2

y
x
− 1
❞✖❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✱ ❣✐❛
✬
✐
r❛ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y
2
= Cxe
y
x
25) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳

♠ r✐❫❡♥❣ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(1) = 0✳
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t

x = u − 1
y = v + 3.
t❤❛② ✈❛✒♦ ♣❤✉
✳

♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝✿
(u + v)du + (u− v)dv = 0✱ ❞✖❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t ❝♦✓ t✏✓❝❤ ♣❤❫❛♥ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒✿
u
2
+ 2uv − v
2
= C✳
❱❫❛
✳
② t✏✓❝❤ ♣❤❫❛♥ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬

❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❜❛♥ ❞✖❫❛
✒
✉ ❧❛✒✿ x
2
+ 2xy − y
2
− 4x + 8y = C
26) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0✳
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t

x = X − 1
y = Y + 3
✱ ♣❤✉
✳

♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤❛✒♥❤✿
(X + Y )dX + (X − Y )dY = 0
❞✖✕❛
✳
t Y = uX ❞✖✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
dX
X
+
1 − u
1 + 2u − u
2
du = 0✳
●✐❛
✬
✐ r❛ X
2
(1 + 2u − u
2
) = C ❤❛② x
2
+ 2xy − y

2
− 4x + 8y = C✳
27) ❚✏✒♠ t✏✓❝❤ ♣❤❫❛♥ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ b) y

=
2xy
x
2
− y
2
.
HD gia
’
i: ❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖✕❛
✬
♥❣ ❝❫❛

✓
♣✱ t❛ ❞✖✕❛
✳
t z =
y
z
✳ ❑❤✐ ❞✖♦✓ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr❫❡♥
tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤ xz

=
z(1 + z
2
)
1 − z
2
✳ ❍❛② (
1
z
−
2z
1 + z
2
)dz =

dx
x
✳ ❙✉② r❛ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤
♥❛✒② ❧❛✒
z
1 + z
2
= Cx, C = 0.
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖❛
⑦
❝❤♦ ❧❛✒ x
2

+ y
2
= C
1
y, C
1
= 0.
28) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

=
2x + y − 1
4x + 2y + 5
.
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t u = 2x + y ♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖✉
✳
❛ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣
du
dx
=
5u + 9
2u + 5
.
www.VNMATH.com
7
●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ♥❛✒② t❛ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝ ♥❣❤✐❫❡

✳
♠ 10u + 7 ln|5u + 9| = 25x + C.
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖❛
⑦
❝❤♦ ❧❛✒ 10y + 7 ln|10x + 5y = 9| − 5x = C.
29) ❚✏✒♠ t✏✓❝❤ ♣❤❫❛♥ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿
(x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0
HD gia
’
i: ❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖✉
✳
❛ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣ ❞✖✕❛
✬
♥❣ ❝❫❛
✓
♣ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝ ❜✕❛
✒
♥❣ ❝❛✓❝❤ ❞✖✕❛
✳
t x =
u + 1, y = v − 3, t❛ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝
dv

du
=
u + v
−u + v
✳ ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❛ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣
tr✏✒♥❤ ❧❛✒ v
2
− 2uv − v
2
= C.
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬

❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖❛
⑦
❝❤♦ ❧❛✒ y
2
− x
2
− 2xy − 8y + 4x = C
1
.
30) ❛✮ ❚✏✒♠ ♠✐❫❡
✒
♥ ♠❛✒ tr♦♥❣ ❞✖♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ❜❛✒✐ t♦❛✓♥ ❈❛✉❝❤② ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤
s❛✉ ❞✖❫❛② t❫♦
✒
♥ t❛
✳

✐ ✈❛✒ ❞✉② ♥❤❫❛
✓
t y

=
√
x − y.
❜✮ ❚✏✒♠ t✏✓❝❤ ♣❤❫❛♥ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ (x
2
− y
2
)dy − 2xydx = 0.
HD gia
’
i:
❛✮ ❇❛✒✐ t♦❛✓♥ ❈❛✉❝❤② ❝♦✓ ❞✉② ♥❤❫❛
✓
t ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ tr♦♥❣ ♠✐❫❡
✒
♥

D = {(x, y) ∈ R
2
|x − y ≥ δ} ✈✓♦
✳
✐ δ > 0 t✉✒② ②✓✳
❜✮ ❉
✲
✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣
dy
dx
=
xy
x
2
− y
2
✳ ❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳

♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖✕❛
✬
♥❣ ❝❫❛
✓
♣✱ t❛ ❞✖✕❛
✳
t
z =
y
x
✳ ❑❤✐ ❞✖♦✓ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr❫❡♥ tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤
xz

=
z(1 + z
2
)
1 − z
2
.
❍❛② (

1
z
−
2z
1 + z
2
)dz =
dx
x
✳
❙✉② r❛ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ♥❛✒② ❧❛✒
z
1 + z
2
= Cx, C = 0.
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖❛
⑦
❝❤♦ ❧❛✒ x
2
+ y
2
= C
1
y, C
1
= 0.
31) ❛✮ ❈❤✓✉
✳
♥❣ ♠✐♥❤ r✕❛
✒
♥❣ ❤❫❡
✳
❝❛✓❝ ✈❡❝t♦
✳
{e
2x
, xe
2x
, x
2
} ❧❛✒ ❤❫❡
✳

❞✖❫♦
✳
❝ ❧❫❛
✳
♣ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤✳
❜✮ ❚✏✒♠ t✏✓❝❤ ♣❤❫❛♥ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ (x − y)dy − (x + y)dx = 0;
HD gia
’
i:
❛✮ ❉✉✒♥❣ ❞✖✐
✳
♥❤ ♥❣❤✏
⑦
❛ ❦✐❫❡
✬
♠ tr❛ ❤❫❡
✳
❞✖❫♦
✳
❝ ❧❫❛

✳
♣ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ✳
❜✮ ❉
✲
✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣ y

=
x + y
x − y
✳ ❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖✕❛
✬
♥❣ ❝❫❛

✓
♣✱ t❛ ❞✖✕❛
✳
t
z =
y
x
✳ ❑❤✐ ❞✖♦✓ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr❫❡♥ tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤
xz

=
1 + z
2
1 − z
.
●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ♥❛✒② t❛ ❞✖✉
✳

♦
✳
✳
❝

x
2
+ y
2
= Ce
arctg
y
x
.
32) ❛✮ ❈❤✓✉
✳
♥❣ ♠✐♥❤ r✕❛
✒
♥❣ ❤❫❡
✳
❝❛✓❝ ✈❡❝t♦
✳
{cos
2
2x, sin
2
2x, 2} ❧❛✒ ❤❫❡
✳
♣❤✉
✳

t❤✉❫♦
✳
❝ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤✳
❚✏✓♥❤ ❞✖✐
✳
♥❤ t❤✓✉
✳
❝ ❲r♦♥s❦✐ ❝✉
✬
❛ ❝❤✉✓♥❣✳
❜✮ ❚✏✒♠ t✏✓❝❤ ♣❤❫❛♥ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ (x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0.
www.VNMATH.com
8
HD gia
’
i:
❛✮ ❍❫❡
✳
♥❛✒② ♣❤✉
✳

t❤✉❫♦
✳
❝ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ✈✏✒ 2 cos
2
2x + 2 sin
2
2x − 2 = 0✳
❜✮ P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ♥❛✒② ❝♦✓ t❤❫❡
✬
❞✖✉
✳
❛ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣ ❞✖✕❛
✬
♥❣ ❝❫❛
✓
♣✱ t❛ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳

❝
y

=
x + y
x − 2y + 1
.
❉
✲
✕❛
✳
t u = x −
1
3
, v = y +
1
3
✱ ❦❤✐ ❞✖♦✓ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr❫❡♥ tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤
v

=
u + v
u − 2v

.
●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ♥❛✒② t❛ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝
√
u
2
+ 2v
2
= Ce
1
√
2
arctg(
√
2
u
v
)
.
❍❛②


(3x − 1)
2
+ 2(3y + 1)
2
= C
1
e
1
√
2
arctg(
√
2
3x−1
3y+1
)
.
33) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y
2
+ x
2
y


= xyy

HD gia
’
i: P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✿ ❞✖✕❛
✳
t y = zx → y

= z

x + z
P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤
z − 1
z
dz =

dx
x
→ z − ln|z| = ln|x| + C
y
x
− ln|
y
x
| = ln|x| + C
34) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ y
2
+ x
2
y

= xyy

✳
HD gia
’
i: ❱✐❫❡
✓
t ♣❤✉
✳

♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❧❛
✳
✐ y

=
y
2
x
2
y
x
− 1
❞✖❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✱ ❣✐❛
✬
✐
r❛ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳

❝ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y
2
= Cxe
y
x
35) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y” cos y + (y

)
2
sin y = y

HD gia
’
i: y = C : ❤✕❛
✒
♥❣ ❧❛✒ ♠❫♦
✳
t ♥❣❤✐❫❡
✳
♠✳

y = C ✭❤✕❛
✒
♥❣✮✳ ❉
✲
✕❛
✳
t y

= p ⇒ y” = p
dp
dy
✭❤❛✒♠ t❤❡♦ y✮
t❤❛② ✈❛✒♦ ✭✷✮✿
dp
dy
cos y + p sin y = 1✿ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤✳
P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓

t ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ p = C cos y.
❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝ C = t❣y ✰ C
1
✳
t✒✉
✳
❞✖♦✓ p =
dy
dx
= sin y + C
1
cos y ⇔
dy
sin y + C
1

cos y
= dx
t✏✓❝❤ ♣❤❫❛♥ ❞✖✐ ❞✖❫❡
✓
♥✿
1

C
2
1
+ 1
ln



tg
y
2
+

1 +
1
C
2
1
−
1
C
1
−tg

y
2
+

1 +
1
C
2
1
+
1
C
1



= x + C
2
36) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y

+
1
2x − y
2

= 0
HD gia
’
i: ❈♦✐ x = x(y) ❧❛✒ ❤❛✒♠ ❝✉
✬
❛ y t❛ ❝♦✓✿ y

=
1
x

t❤❛② ✈❛✒♦ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿
www.VNMATH.com
9
1
x

+
1
2x − y
2
= 0 ⇔ x

+ 2x = y
2
: ♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤✳
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✿ x = Ce
−2y
❇✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
✿ C


(y) = y
2
e
2y
⇒ C(y) =
1
2
y
2
e
2y
−
1
2
ye
2y
+
1
4
e
2y
+ C
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬

❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ x = Ce
−2y
+
1
2
y
2
−
1
2
y +
1
4
37) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ xy” = y

+ x
2
HD gia
’
i: ❉

✲
✕❛
✳
t y

= p✱ ✭✶✮ tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤✿ xp

− p = x
2
t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✿ p = Cx

❇✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
→ C(x) = x + C
1
❙✉② r❛✿
dy
dx
= x(x + C
1
) → y =
x
3
3
+ C
1
.
x
2
2
+ C
2
38) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦

✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y
2
+ yy” = yy

HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t p = y

(p = 0)✱ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉
✳
♦
✳
♥❣ ❞✖✉
✳
♦
✳
♥❣ ✈✓♦
✳
✐✿ p
2
+ yp

dp
dy
= yp
⇔ p + y
dp
dy
= y✱ ①❡✓t y = 0 ❞✖✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
✿
dp
dy
+
p
y
= 1 ✭t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤✮
◆❚◗ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛

✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✿ p =
C
y
✱ ❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
⇒ C(y) =
y
2
2
+ C
1
◆❤✉
✳
✈❫❛
✳
②✿ p =
y
2
+ 2C
1
2y
⇒
dy

dx
=
y
2
+ 2C
1
2y
⇒
2ydy
y
2
+ 2C
1
= dx
⇒ y
2
= A
1
e
x
+ A
2
.
❈❤✉✓ ②✓✿ ❱❫❡
✓
tr❛✓✐ (yy

)

= yy


⇔ yy

= C
1
e
x
⇔ ydy = C
1
e
x
dx ⇔ y
2
= 2C
1
e
x
+ C
2
39) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ ye
y
= y

(y

3
+ 2xe
y
) ✈✓♦
✳
✐ y(0) = −1
HD gia
’
i: y

x
=
1
x

y
❜✐❫❡
✓
♥ ❞✖❫♦
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
✿ x

−
2

y
x = y
2
e
−y
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ x = y
2
(C − e
−y
)
y(0) = −1 ⇒ C = e.
❱❫❛
✳
② x = y
2
(e − e
−y
)
40) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ xy” = y


+ x
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t y

= p; ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤✿ p

−
1
x
p = 1
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ p = Cx ❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒

♥❣ s❫♦
✓
✿ C = ln|x| + C
1
www.VNMATH.com
10
⇒ p =
dy
dx
= (ln|x| + C
1
)x ⇒ y =

(ln|x| + C
1
)xdx + C
2
= C
1
x
2
+
x
2
2
ln|x| −
x
2
4
+ C

2
41) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y

+ xy = x
3
HD gia
’
i: ◆❣❤✐❫❡
✳
♥ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t y = Ce
−
x

2
2
❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
✿ C(x) = (x
2
− 2)e
−
x
2
2
+ ε
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y = εe
−
x
2
2
+ x
2
− 2.

42) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ (x
2
− y)dx + xdy = 0
HD gia
’
i: P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈✐❫❡
✓
t ❧❛
✳
✐✿ xy

−y = −x
2
✱ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛

✓
t✿ xy

−y = 0
❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y = Cx ❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
s✉② r❛ C = −x + ε
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ✿ y = −x
2
+ εx
43) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳

♥❣ tr✏✒♥❤✿ y

−
2
x
y =
3
x
2
✈✓♦
✳
✐ y(1) = 1
HD gia
’
i: P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤✿ y = Cx
2
; C

=
3
x
4
⇒ C = −
1

x
3
+ ε
y = εx
2
−
1
x
; y(1) = 1 ⇒ ε = 2
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y = 2x
2
−
1
x
44) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ (x + 1)(y

+ y
2

) = −y
HD gia
’
i: ❳❡✓t y = 0, ❜✐❫❡
✓
♥ ❞✖❫♦
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣ y

+
1
x + 1
.y = −y
2
❉
✲
✕❛
✳
t
1
y
= z ⇒ y


= −
z

z
2
= −y
2
z

❞✖✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
z

−
1
x + 1
.z = 1.
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬

❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✿ z = C
1
(x + 1) ❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
C
1
= ln|x + 1| + ε.
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠✿ z = (x + 1)(ln|x + 1| + ε)
♥❣♦❛✒✐ r❛ y = 0 ❝✉
⑦
♥❣ ❧❛✒ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠✳
❱❫❛

✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y =
1
(x + 1)(ln|x + 1| + ε)
✈❛✒ y = 0 ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❦✏✒ ❞✐
✳
✳
45) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ 2xy

+ y =
1
1 − x
HD gia
’
i: ❉
✲
✉
✳

❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣ y

+
1
2x
y =
1
2x(1 − x)
♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥
t✏✓♥❤ ❝❫❛
✓
♣ ✶
www.VNMATH.com
11
◆❣❤✐❫❡
✳

♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y =
C
√
x
✱ ❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
✿
C

(x) =
√
x
2x(1 − x)
⇒ C =
1
2
ln|
√
x + 1
√
x − 1
| + ε
❱❫❛
✳

② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y =
1
√
x

1
2
ln|
√
x + 1
√
x − 1
| + ε

46) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ xy

− y = x
2
sin x
HD gia

’
i: y

−
y
x
= x sin x✱ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤✳ ◆❚◗✿ y = Cx ❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣
s❫♦
✓
✿
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y = (C − cos x)x
47) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦

✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y

cos
2
x + y = tgx t❤♦❛
✬
y(0) = 0
HD gia
’
i: P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ → ◆❚◗ y = Ce
−tgx
;
y = tgx − 1 ✭♠❫♦
✳
t ♥❣❤✐❫❡
✳
♠
r✐❫❡♥❣✮
⇒ ◆❚◗✿ y = Ce
−tgx
+ tgx − 1
y(0) = 0 ⇒ C = 1✳ ❱❫❛
✳

② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❝❫❛
✒
♥ t✏✒♠✿ y = tgx − 1 + e
−tgx
.
48) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y

√
1 − x
2
+ y = arcsin x t❤♦❛
✬
y(0) = 0
HD gia
’
i: ◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✿ y = Ce
−arcsinx
❉❫❡
⑦
t❤❫❛
✓
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣✿
y = arcsinx − 1
⇒ ◆❚◗✿ y = Ce
−arcsinx
+ arcsinx − 1
y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❝❫❛
✒
♥ t✏✒♠✿ y = e
−arcsinx
+ arcsinx − 1
49) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡

✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y

=
1
2x − y
2
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(1) = 0✳
HD gia
’
i: ❳❡♠ x ❧❛✒ ❫❛
✬
♥ ❤❛✒♠✱ t❤❛② y


=
1
x

✱ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤❛✒♥❤
1
x

=
1
2x − y
2
⇐⇒ x

− 2x = −y
2
❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ❝❫❛
✓

♣ ♠❫♦
✳
t✱ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥
t✏✓♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t t✉
✳
♦
✳
♥❣ ✓✉
✳
♥❣ ❧❛✒ x = Ce
−2y
✳ ❇✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛

✒
♥❣ s❫♦
✓
❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝ ◆❚◗✿
x = Ce
−2y
+
y
2
2
−
y
2
+
1
4
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛

✒
✉ y(1) = 0 ❦❤✐ C =
3
4
✳
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❤♦
✬
❛ ♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉✿ x =
3
4
e
−2y
+
y
2
2
−
y

2
+
1
4
✳
www.VNMATH.com
12
50) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉ ❞✖❫❛②✱ ❜✐❫❡
✓
t r✕❛
✒
♥❣ s❛✉ ❦❤✐ ❞✖✕❛
✳
t y =
z
x
2
✱ t❛ ♥❤❫❛
✳
♥ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳

❝
♠❫♦
✳
t ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈✐ ♣❤❫❛♥ ❝❫❛
✓
♣ ❤❛✐ ❝♦✓ ♠❫♦
✳
t ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ y
∗
=
1
2
e
x
✿
x
2
y

+ 4xy

+ (x
2
+ 2)y = e

x
.
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t y = zx
2
=⇒ y

=
z

x − 2z
x
3
; y

=
z

x
2
− 4z

x + 6z
x
4

✳ P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤❛✒♥❤
✿ z

+ z = e
x
✱ ❝♦✓ ♠❫♦
✳
t ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❧❛✒ y
∗
=
e
x
2
✱ ◆❚◗ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✿

z = C
1
cos x + C
2
sin x✳ ❱❫❛
✳
② ◆❚◗ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❜❛♥ ❞✖❫❛
✒
✉ ❧❛✒✿
y = C
1
cos x
x
2
+ C
2
sin x
x
2
+
e
x
2x
2

51) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ ye
y
= y

(y
3
+ 2xe
y
)
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(0) = −1✳
HD gia
’

i: ❳❡♠ x ❧❛✒ ❫❛
✬
♥ ❤❛✒♠✱ t❤❛② y

=
1
x

✱ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤❛✒♥❤ x

−
2
y
x = y
2
e
−y
✳
◆❚◗ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓

♥ t✏✓♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t t✉
✳
♦
✳
♥❣ ✓✉
✳
♥❣ ❧❛✒ x =
C
y
❀ ❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣
s❫♦
✓
❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝ C(y) = −e
−y
+C✳ ◆❤✉
✳
✈❫❛

✳
② ◆❚◗ ❧❛✒ x =
C
y
−
1
ye
y
✳ ❚❤❛② ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ ①❛✓❝ ❞✖✐
✳
♥❤
❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝ C =
1
e
✳ ❚✒✉
✳
❞✖♦✓ ❑▲✳
52) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳

♠ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ y

− y = cos x − sin x✳
t❤♦
✬
❛ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ y ❜✐
✳
❝❤✕❛
✳
♥ ❦❤✐ x → ∞
HD gia
’
i: ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓

♥ t✏✓♥❤ r❛ y = Ce
x
+ sin x
t❤♦
✬
❛ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ y ❜✐
✳
❝❤✕❛
✳
♥ ❦❤✐ x → ∞ ❦❤✐ C = 0
53) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y

+ sin y + x cos y + x = 0
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡

✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(0) =
π
2
✳
HD gia
’
i:
y

+ sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y

+ 2 sin
y
2
cos
y
2
+ x.2 cos
2
y
2
= 0
⇐⇒
y


2 cos
2
y
2
+ tan
y
2
+ x = 0
❞✖✕❛
✳
t z = tan
y
2
=⇒ z

=
y

2 cos
2
y
2
✱ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤❛✒♥❤ ♣❤✉
✳
♦
✳

♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤
z

+ z = −x✳ ●✐❛
✬
✐ r❛✿ z = 1 − x + Ce
−x
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(0) =
π
2
❦❤✐ C = 0✳ ❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ y = 2 arctan(1 − x)✳
www.VNMATH.com
13
54) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡

✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

− x tan y =
x
cos y
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t z = sin y, ❦❤✐ ❞✖♦✓ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖❛
⑦
❝❤♦ tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤ z


− xz = x. ❉
✲
❫❛② ❧❛✒
♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ❝❫❛
✓
♣ ✶ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒ z = Ce
x
2
2
− 1✳
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦

✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❞✖❛
⑦
❝❤♦ ❧❛✒ sin y = z = Ce
x
2
2
− 1
55) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

− xy = x
HD gia
’
i:
❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳

♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ❝❫❛
✓
♣ ✶ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒ y = Ce
1
2
x
2
− 1✳
56) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

+
y
x
= x

√
y.
HD gia
’
i: ❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒
√
y =
C
√
x
+
1
5
x
2
.
57) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬

❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

−
y
x
= x
3
HD gia
’
i:
❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ❝❫❛
✓
♣ ✶ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒
y = Cx +

1
3
x
4
.
58) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

− y = y
2
.
HD gia
’
i:
❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦

✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒
y
2
=
1
Ce
−2x
− 1
.
59) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

+
y
x
= sin x
HD gia
’
i:
❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ❝❫❛
✓
♣ ✶ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒
y =
C
x
+
sin x
x
− cos x.
www.VNMATH.com
14
60) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y


− y = x
√
y.
HD gia
’
i:
❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒
√
y = Ce
1
2
x
− x − 2.
61) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬

❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

+ 2xy = xe
−x
2
HD gia
’
i:
❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈✐ ♣❤❫❛♥ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ❝❫❛
✓
♣ ✶✳
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒ y = (C +
x
2

2
)e
−x
2
✳
62) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

− 4
y
x
= x
√
y.
HD gia
’
i: ❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦

✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❧❛✒
√
y =
1
2
ln x + Cx
2
.
63) ❛✮ ❚✏✒♠ ♠✐❫❡
✒
♥ ♠❛✒ tr♦♥❣ ❞✖♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ❜❛✒✐ t♦❛✓♥ ❈❛✉❝❤② ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉
❞✖❫❛② t❫♦
✒
♥ t❛
✳
✐ ✈❛✒ ❞✉② ♥❤❫❛
✓

t y

= y + 3x.
❜✮ ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ❜❛✒✐ t♦❛✓♥ ❈❛✉❝❤② s❛✉ ❞✖❫❛②



y” −
1
x
y

= x
y(x = 1) = 1 va` y

(x = 1) = 2.
HD gia
’
i:
❛✮ ❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡

✓
♥ t✏✓♥❤ ❝❫❛
✓
♣ ✶ t❤♦
✬
❛ ❞✖✐
✳
♥❤ ❧②✓ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ t❫♦
✒
♥ t❛
✳
✐ ❞✉② ♥❤❫❛
✓
t
♥❣❤✐❫❡
✳
♠ tr❫❡♥ R
2
.
❜✮ ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ y” −

y

x
= x✱ t❛ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t
y = C
1
+ C
2
x +
x
2
2
.
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ❜❛✒✐ t♦❛✓♥ ❈❛✉❝❤② ❧❛✒
y = −

1
2
+ x +
x
2
2
.
64) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

+ ytgx = cos x
HD gia
’
i:
❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈✐ ♣❤❫❛♥ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ❝❫❛

✓
♣ ✶✳
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒✿
y = (C + x) cos x.
www.VNMATH.com
15
65) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

+
y
x
= x(
e
x
e
x
+ 1
)y

2
.
HD gia
’
i:
❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈✐ ♣❤❫❛♥ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❧❛✒
y =
1
Cx − x ln(e
x
+ 1)
.
66) ●✐❛
✬

✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ (x + 1)y” + x(y

)
2
= y

HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t y

= p✱ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉✐❧✐ ✭✈✓♦

✳
✐ x = −1✮
p

−
1
x + 1
p = −
x
x + 1
p
2
(∗)
❉
✲
✕❛
✳
t z = p
−1
= 0✱ ❞✖✉
✳
❛ (∗) ✈❫❡
✒
♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✒♥❤ ❝❫❛

✓
♣ ♠❫♦
✳
t✿
z

+
1
1 + x
z =
x
x + 1
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✿ z =
C
x + 1
❇✐❫❡

✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✓
♥❣ s❫♦
✓
❝✉❫♦
✓
✐ ❝✉✒♥❣ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝✿ z =
x
2
+ C
1
2(x + 1)
⇒ y

=
1
z
=
2(x + 1)
x
2
+ C
1
❙✉② r❛ ♥❣❤✐❫❡

✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿







ln|x
2
+ C
1
| +
2
√
C
1
arctg
x
√
C

1
+ C
2
nˆe
´
u C
1
> 0
ln|x
2
+ C
1
| +
1
√
−C
1
ln|
x −
√
−C
1
x +
√
−C
1
| + C
2
nˆe
´

u C
1
< 0
❈❤✉✓ ②✓ y = C ❧❛✒ ◆❑❉
67) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ x
2
y

= y(x + y)
HD gia
’
i: x
2
y

= y(x + y) ⇔ y

−
1
y
=
1
x
2

y
2
: ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉✐❧❧✐
❉
✲
✕❛
✳
t z = y
−1
(y = 0) : −z

−
1
x
z =
1
x
2
.
◆❚◗ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛

✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t✿ z = Cx
❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
❈✿ C(x) = ε −
1
2x
2
. ❱❫❛
✳
② z = x(ε −
1
2x
2
)
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒✿ y =
2x
εx

2
− 1
68) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ yy” − (y

)
2
= y
3
t❤♦❛
✬



y(0) = −
1
2
y

(0) = 0
www.VNMATH.com
16
HD gia
’
i: ❉

✲
✕❛
✳
t y

= p(y); y

= p.p

y
t❤❛② ✈❛✒♦ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤
py
dp
dy
− p
2
= y
3
,
❞✖✕❛
✳
t t✐❫❡
✓
♣✿ p(y) = y.z(y) ❞✖✉
✳
❛ ♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
dz
dy
=
1
z
⇒ z
2
= 2(y + C
1
) ⇔
dy
dx
= y

|2y + C|
❉♦ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ y(0) = −
1
2
; y

(0) = 0 ⇒ C = 1✳ ❚✒✉

✳
❞✖♦✓ s✉② r❛✿
dy
dx
= y

|2y + 1| ⇒ ln




|2y + 1| − 1

|2y + 1| + 1



= x + C
2
.
❞♦ y(0) = −
1
2
⇒ C
2
= 0.
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳

♠ r✐❫❡♥❣ ❝❫❛
✒
♥ t✏✒♠ t❤♦❛
✬
✿ ln




|2y + 1| − 1

|2y + 1| + 1



= x.
69) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ ydx + 2xdy =
2y
√
x
cos
2
y
dy t❤♦❛

✬
❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ y(0) = π
HD gia
’
i: ❉
✲
✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣ x

+
2
y
x =
2
cos
2
y

.x
1
2
✭❇❡r♥♦✉❧❧✐✮ (∗)
❉
✲
✕❛
✳
t z = x
1
2
t❛ ❝♦✓ z

= x

+
1
2
x
−
1
2
x

t❤❛② ✈❛✒♦ (∗)
z

+
1
y

z =
1
cos
2
y
◆❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ z =
c
y
❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
✿
C

=
y
cos
2
y
⇒ C(y) = ytgy + ln| cos y| + ε
❱❫❛
✳
② Z = tgy +

1
y
ln| cos y| +
ε
y
❱❛✒ ❚P❚◗ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ tgy +
1
y
ln| cos y| +
ε
y
=
√
x
y(0) = π ⇒ ε = 0 ✈❫❛
✳
② ❚P❘ ✿ tgy +
1
y
ln| cos y| =
√
x
70) ●✐❛
✬

✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ xydy = (y
2
+ x)dx
HD gia
’
i: ❉♦ y = 0 ❦❤❫♦♥❣ ♣❤❛
✬
✐ ❧❛✒ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠✱ ❝❤✐❛ ❤❛✐ ✈❫❡
✓
❝❤♦ xy ❜✐❫❡
✓
♥ ❞✖❫♦
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤
✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣✿ y


−
1
x
y = y
−1
❇❡r♥♦✉✐❧❧✐❀ ❉
✲
✕❛
✳
t z = y
2
❞✖✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣✿
z

−
2
x
z = 2 → z = −2x + Cx
2
❱❫❛

✳
② ❚P❚◗✿ y
2
= −2x + Cx
2
71) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ (y +
√
xy)dx = xdy
www.VNMATH.com
17
HD gia
’
i: ❉
✲
✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
❞❛
✳

♥❣ y

−
1
x
y =
1
√
x
.y
1
2
; x = 0
❉
✲
✕❛
✳
t z = y
1
2
: z

−
1
2x
z =
1
√
x
♣❤✉

✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ ❣✐❛
✬
✐ r❛ z =
√
x(ln x + C)
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y = x(ln x + C)
2
72) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ xy

− 2x
2
√
y = 4y

HD gia
’
i: P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉✐❧❧✐✱ ❞✖✕❛
✳
t z = y
1−α
=
√
y ⇒ z

=
1
2
√
y
♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr♦
✳
✬
t❤❛✒♥❤✿ z

−
4

x
z = 2x → ◆❚◗ z = Cx
4
− x
2
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t✿ y = (Cx
2
− 1)
2
x
4
.
73) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ 2x
2
y

= y
2

(2xy

− y)
HD gia
’
i: ❳❡♠ x ❧❛✒ ❤❛✒♠ t❤❡♦ ❜✐❫❡
✓
♥ y ✿ x

y
3
− 2xy
2
= −2x
2
❇❡r♥♦✉✐❧❧✐
❉
✲
✕❛
✳
t z =
1
x
✱ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ tr♦
✳
✬

t❤❛✒♥❤✿ z

+
2z
y
=
2
y
3
→ ❚P❚◗✿ y
2
= x ln Cy
2
✱ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠
❦②✒ ❞✐
✳
y = 0.
74) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ x
2
y


= y(x + y)
t❤♦❛
✬
♠❛
⑦
♥ ❞✖✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡
✳
♥ ❞✖❫❛
✒
✉ y(−2) = −4✳
HD gia
’
i: ❉♦ y(−2) = −4 ♥❫❡♥ y ≡ 0✳ ❉
✲
✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉✐❧❧✐✿

y

− 1y =
y
2
x
2
✳ ❚✐❫❡
✓
♣ t✉
✳
❝ ❞✖✕❛
✳
t z = y
−1
❞✖✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
P❚ t✉②❫❡
✓
♥ t✏✓♥❤ z

+
1
x

z = −
1
x
2
✳
◆❚◗ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t❤✉❫❛
✒
♥ ♥❤❫❛
✓
t t✉
✳
♦
✳
♥❣ ✓✉
✳
♥❣✿ z = Cx✱ ❜✐❫❡
✓
♥ t❤✐❫❡♥ ❤✕❛
✒
♥❣ s❫♦
✓
❞✖✉
✳
♦

✳
✳
❝
C(x) = Cx−
1
2x
✳ ◆❤✉
✳
✈❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❜❛♥ ❞✖❫❛
✒
✉ ❧❛✒✿ y =
2x
Cx
2
− 1
✳ ❉
✲
✐❫❡
✒
✉ ❦✐❫❡

✳
♥
❞✖❫❛
✒
✉ ❝❤♦ C =
1
2
✳ ❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ r✐❫❡♥❣ ❝❫❛
✒
♥ t✏✒♠ ❧❛✒ y =
4x
x
2
− 1
75) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y

− xy = −xy
3
HD gia
’

i: P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y

− xy = −xy
3
❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉✐❧❧✐✱ ❣✐❛
✬
✐ r❛ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝
y
2
(1 + Ce
−x
) = 1
76) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦

✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ xy

+ y = y
2
ln x.
HD gia
’
i: P❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ xy

+ y = y
2
ln x ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉✐❧❧✐✱ ❣✐❛
✬
✐ r❛ ❞✖✉
✳
♦
✳
✳
❝
y =
1

1 + Cx + ln x
✳
77) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

− 4
y
x
= x
√
y
www.VNMATH.com
18
HD gia
’
i: ❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳

♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐✱ ❜✕❛
✒
♥❣ ❝❛✓❝❤ ❞✖✕❛
✳
t z =
√
y t❛ ❞✖✉
✳
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣
tr✏✒♥❤ ✈❫❡
✒
❞❛
✳
♥❣ z

−
2
x
z =
x
2
✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒

z = x
2
(
1
2
ln|x| + C).
❱❫❛
✳
② ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❧❛✒
y = x
4
(
1
2
ln|x| + C)
2
.
78) ❚✏✒♠ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦

✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ ❝❛✓❝ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ s❛✉✿ y

+
y
x
= y
2
xtgx.
HD gia
’
i: ❉
✲
❫❛② ❧❛✒ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✈❛✒ ❝♦✓ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❧❛✒
y =
1

Cx + x ln| cos x|
✳
79) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ y
2
dx + (2xy + 3)dy = 0
HD gia
’
i: P (x, y) = y
2
, Q(x, y) = 2xy + 3;
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= 2y
(1) ⇔ d(xy
2
+ 3y) = 0✳ ❱❫❛
✳
② xy
2
+ 3y = C
80) ●✐❛

✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ e
x
(2 + 2x − y
2
)dx − ye
x
dy = 0
HD gia
’
i:
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= −2ye
x
s✉② r❛ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤ t✉
✳
♦
✳

♥❣ ❞✖✉
✳
♦
✳
♥❣ ✈✓♦
✳
✐✿ d

e
x
(2x−y
2
)

=
0.
❱❫❛
✳
② e
x
(2x − y
2
) = C.
81) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ (y

2
+ 1)
3
2
dx + (y
2
+ 3xy

1 + y
2
)dy = 0
HD gia
’
i: p = (y
2
+ 1)
3
2
; Q = y
2
+ 3xy

1 + y
2
⇒
∂P
∂y
=
∂Q
∂x

= 3y

1 + y
2
(∗)
❙✉② r❛ ♥❣❤✐❫❡
✳
♠ t❫♦
✬
♥❣ q✉❛✓t ❝✉
✬
❛ (∗) ❧❛✒✿
x

0
P (x, 0)dx +
y

0
Q(x, y)dy = C
⇔
y
3
3
+ x(1 + y
2
)
3
2
= C

82) ●✐❛
✬
✐ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿ (y cos
2
x − sin x)dy = y cos x(y sin x + 1)dx
HD gia
’
i:
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= y sin 2x + cos x
www.VNMATH.com