bài tập tích phân ôn thi đại học 2015
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.06 MB, 44 trang )
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 1
TP1: TCH PHN HM S HU T
Dng 1: Tỏch phõn thc
Cõu 1.
x
Idx
xx
2
2
2
1
712
=
-+
ũ
ã
Idx
xx
2
1
169
1
43
ổử
=+-
ỗữ
ốứ
ũ
=
( )
xxx
2
1
16ln49ln3+ = 125ln216ln3+
Cõu 2.
dx
I
xx
2
53
1
=
+
ũ
ã
Ta cú:
x
x
xxxx
3232
111
(1)1
=-++
++
ị
Ixx
x
2
2
2
11313
lnln(1)ln2ln5
2228
1
2
ộự
= ++=-++
ờỳ
ởỷ
Cõu 3.
x
Idx
xxx
5
2
32
4
31
256
+
=
+
ũ
ã
I
2413714
lnlnln2
331565
=-++
Dng 2: i bin s
Cõu 4.
x
Idx
x
2
4
(1)
(21)
-
=
+
ũ
ã
Ta cú:
xx
fx
xx
2
111
()
32121
Â
ổửổử
=
ỗữỗữ
++
ốứốứ
ị
x
IC
x
3
11
921
ổử
-
=+
ỗữ
+
ốứ
Cõu 5.
( )
( )
x
Idx
x
99
1
101
0
71
21
-
=
+
ũ
ã
( )
xdxxx
Id
xxx
x
9999
11
2
00
7117171
2192121
21
ổửổửổử
==
ỗữỗữỗữ
+++
ốứốứốứ
+
ũũ
x
x
100
100
11711
1
21
0
910021900
ổử
-
ộự
=ì=ở-ỷ
ỗữ
+
ốứ
Cõu 6.
x
Idx
x
1
22
0
5
(4)
=
+
ũ
ã
t tx
2
4=+
ị
I
1
8
=
Cõu 7. Idx
xx
4
3
4
1
1
(1)
=
+
ũ
ã
t tx
2
=
ị
t
Idt
t
t
3
2
1
1113
ln
242
1
ổử
=-=
ỗữ
+
ốứ
ũ
Cõu 8.
dx
I
xx
3
62
1
(1)
=
+
ũ
www.VNMATH.com
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 2
ã
t : x
t
1
=
ị
t
Idtttdt
tt
3
1
6
3
42
22
1
3
3
1
1
11
ổử
=-=-+-
ỗữ
++
ốứ
ũũ
=
117413
13512
p
-
+
Cõu 9.
dx
I
xx
2
102
1
.(1)
=
+
ũ
ã
xdx
I
xx
2
4
5102
1
.
.(1)
=
+
ũ
. t
tx
5
=
ị
dt
I
tt
32
22
1
1
5
(1)
=
+
ũ
Cõu 10.
x
Idx
x
1
7
25
0
(1)
=
+
ũ
ã
t txdtxdx
2
12=+ị=
ị
t
Idt
t
2
3
55
1
1(1)11
.
24
2
-
==
ũ
Cõu 11.
x
Idx
xx
2
7
7
1
1
(1)
-
=
+
ũ
ã
xx
Idx
xx
2
76
77
1
(1).
.(1)
-
=
+
ũ
. t
tx
7
= ị
t
Idt
tt
128
1
11
7(1)
-
=
+
ũ
Cõu 12.
x
Idx
x
2
2001
21002
1
.
(1)
=
+
ũ
ã
x
Idxdx
xx
x
x
22
2004
3210021002
11
3
2
1
(1)
1
1
==
+
ổử
+
ỗữ
ốứ
ũũ
. t
t dtdx
xx
23
12
1=+ị=-
.
Cỏch 2
: Ta cú:
xxdx
I
xx
1
2000
2200022
0
1.2
2
(1)(1)
=
++
ũ
. t
txdtxdx
2
12=+ị=
ị
t
Idtd
tt
tt
1000
22
1000
100021001
11
1(1)1111
11
22
2002.2
ổửổử
-
== =
ỗữỗữ
ốứốứ
ũũ
Cõu 13.
Ixxdx
1
536
0
(1)=-
ũ
ã
t
dttt
txdtxdxdxIttdt
x
1
78
326
2
0
111
13(1)
3378168
3
ổử
-
=-ị=-ị=ị=-=-=
ỗữ
ốứ
ũ
Cõu 14.
xdx
I
x
1
03
(1)
=
+
ũ
ã
Ta cú:
xx
xx
xx
23
33
11
(1)(1)
(1)(1)
+-
==+-+
++
Ixxdx
1
23
0
1
(1)(1)
8
ộự
ị=+-+=
ởỷ
ũ
Cõu 15.
x
Idx
x
2
2
4
1
1
1
+
=
+
ũ
ã
Ta cú:
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
. t
txdtdx
x
x
2
11
1
ổử
=-ị=+
ỗữ
ốứ
ị
dt
Idt
tt
t
33
22
2
11
111
2222
2
ổử
==-
ỗữ
-+
-
ốứ
ũũ
t
t
3/2
12121
.lnln
1
2222221
ổử
==
ỗữ
ỗữ
++
ốứ
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 3
Câu 16.
x
Idx
x
2
2
4
1
1
1
-
=
+
ò
·
Ta có:
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
-
-
=
+
+
. Đặt
txdtdx
x
x
2
11
1
æö
=+Þ=-
ç÷
èø
Þ
dt
I
t
5
2
2
2
2
=-
+
ò
.
Đặt
du
tudt
u
2
2tan2
cos
=Þ=
;
uuuu
12
55
tan2arctan2;tanarctan
22
=Þ==Þ=
Þ
u
u
Iduuu
2
1
21
2225
()arctanarctan2
2222
æö
==-=-
ç÷
èø
ò
Câu 17.
x
Idx
x
1
4
6
0
1
1
+
=
+
ò
·
Ta có:
xxxxxxxx
xxxxxxxx
44224222
66242626
1(1)11
11(1)(1)111
+-++-+
==+=+
+++-++++
Þ
dx
Idxdx
xx
11
3
232
00
11()1
34343
1()1
ppp
=+=+=
++
òò
Câu 18.
x
Idx
xx
2
2
3
1
1-
=
+
ò
·
Ta có:
x
Idx
x
x
2
2
1
1
1
1
-
=
+
ò
. Đặt
tx
x
1
=+
Þ
I
4
ln
5
=
Câu 19.
xdx
I
xx
1
42
0
1
=
++
ò
.
·
Đặt tx
2
=
Þ
dtdt
I
tt
t
11
22
2
00
11
22
63
1
13
22
p
===
++
æö
æö
++
ç÷
ç÷
èøèø
òò
Câu 20.
x
Idx
xx
15
2
2
42
1
1
1
+
+
=
-+
ò
·
Ta có:
x
x
xx
x
x
2
2
42
2
2
1
1
1
1
1
1
+
+
=
-+
+-
. Đặt
txdtdx
x
x
2
11
1
æö
=-Þ=+
ç÷
èø
Þ
dt
I
t
1
2
0
1
=
+
ò
. Đặt
du
tudt
u
2
tan
cos
=Þ=
Þ
Idu
4
0
4
p
p
==
ò
Câu 21.
x
Idx
x
3
2
3
4
0
1
=
-
ò
·
x
Idxdx
xxxx
33
2
33
2222
00
1111
ln(23)
2412
(1)(1)11
p
æö
==+=-+
ç÷
-+-+
èø
òò
www.VNMATH.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 4
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
Câu 1.
x
Idx
xx
2
391
=
+-
ò
·
x
Idxxxxdxxdxxxdx
xx
222
2
(391)391
391
== =
+-
òòòò
+IxdxxC
23
11
3==+
ò
+
Ixxdx
2
2
91=-
ò
xdxxC
3
222
2
2
11
91(91)(91)
1827
= =-+
ò
Þ
IxxC
3
23
2
1
(91)
27
=-++
Câu 2.
xx
Idx
xx
2
1
+
=
+
ò
·
xx
dx
xx
2
1
+
+
ò
xx
dxdx
xxxx
2
11
=+
++
òò
.
+
x
Idx
xx
2
1
1
=
+
ò
. Đặt t=
xxtxx
2
11+Û-= xt
322
(1)Û=- xdxttdt
22
4
(1)
3
Û=-
Þ
tdtttC
23
444
(1)
393
-=-+
ò
=
( )
xxxxC
3
1
44
11
93
+-++
+
x
Idx
xx
2
1
=
+
ò
=
dxx
xx
2(1)
3
1
+
+
ò
=
xxC
2
4
1
3
++
Vậy:
( )
IxxC
3
4
1
9
=++
Câu 3.
x
Idx
x
4
0
21
121
+
=
++
ò
·
Đặt tx21=+. I =
t
dt
t
3
2
1
2ln2
1
=+
+
ò
.
Câu 4.
dx
I
xx
6
2
2141
=
+++
ò
·
Đặt tx41=+. I
31
ln
212
=-
Câu 5. Ixxdx
1
32
0
1=-
ò
·
Đặt: tx
2
1=-
Þ
( )
Ittdt
1
24
0
2
15
=-=
ò
.
Câu 6.
x
Idx
x
1
0
1
1
+
=
+
ò
·
Đặt tx=
Þ
dxtdt2.= . I =
tt
dt
t
1
3
0
2
1
+
+
ò
=
ttdt
t
1
2
0
2
22
1
æö
-+-
ç÷
+
èø
ò
=
11
4ln2
3
- .
Câu 7.
x
Idx
xx
3
0
3
313
-
=
+++
ò
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 5
·
Đặt txtdudx12=+Þ=
Þ
tt
Idttdtdt
t
tt
222
3
2
111
281
(26)6
1
32
-
==-+
+
++
òòò
3
36ln
2
=-+
Câu 8.
Ixxdx
0
3
1
1
-
=+
ò
·
Đặt
tt
txtxdxtdtItdt
1
1
74
323
3
0
0
9
1133(1)3
7428
æö
=+Þ=+Þ=Þ=-=-=-
ç÷
èø
ò
Câu 9.
x
Idx
xx
5
2
1
1
31
+
=
+
ò
·
Đặt
tdt
txdx
2
31
3
=+Þ=
Þ
t
tdt
I
t
t
2
2
4
2
2
1
1
3
2
.
3
1
.
3
æö
-
+
ç÷
ç÷
èø
=
-
ò
dt
tdt
t
44
2
2
22
2
(1)2
9
1
=-+
-
òò
t
tt
t
3
44
2111009
lnln.
931275
22
æö
-
=-+=+
ç÷
+
èø
Câu 10.
xx
Idx
x
3
2
0
21
1
+-
=
+
ò
·
Đặt xtxt
2
11+=Û=-
Þ
dxtdt2=
Þ
ttt
Itdt ttdtt
t
2
22
2225
423
1
11
2(1)(1)1454
22(23)2
55
æö
-+
==-=-=
ç÷
èø
òò
Câu 11.
xdx
I
xx
1
2
0
2
(1)1
=
++
ò
·
Đặt txtxtdtdx
2
112
=+Þ=+Þ=
tt
Itdttdtt
tt
t
2
2
22
223
3
1
11
(1)1116112
.2222
33
æö
æö
Þ==-= =
ç÷
ç÷
èøèø
òò
Câu 12.
( )
x
Idx
x
4
2
0
1
112
+
=
++
ò
·
Đặt
dx
txdtdxtdt
x
112(1)
12
=++Þ=Þ=-
+
và
tt
x
2
2
2
-
=
Ta có: I =
tttttt
dtdttdt
t
ttt
444
232
222
222
1(22)(1)1342142
3
222
æö
-+ +-
==-+-
ç÷
èø
òòò
=
t
tt
t
2
12
34ln
22
æö
-++
ç÷
ç÷
èø
=
1
2ln2
4
-
Câu 13.
x
Idx
x
8
2
3
1
1
-
=
+
ò
www.VNMATH.com
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 6
ã
x
Idx
xx
8
22
3
1
11
ổử
=-
ỗữ
ỗữ
++
ốứ
ũ
=
( )
xxx
8
22
3
1ln1
ộự
+-++
ởỷ
=
( ) ( )
1ln32ln83++-+
Cõu 14. Ixxxdx
1
32
0
(1)2=
ũ
ã
Ixxxdxxxxxxdx
11
3222
00
(1)2(21)2(1)= =-+
ũũ
. t
txx
2
2=-
ị
I
2
15
=- .
Cõu 15.
xxx
Idx
xx
2
32
2
0
23
1
-+
=
-+
ũ
ã
xxx
Idx
xx
2
2
2
0
()(21)
1
=
-+
ũ
. t
txx
2
1=-+ Itdt
3
2
1
4
2(1)
3
ị=-=
ũ
.
Cõu 16.
xdx
I
x
2
3
3
2
0
4
=
+
ũ
ã
t txxtxdxtdt
3
2232
4423=+ị=-ị=
ị
Ittdt
3
2
4 3
4
338
(4)42
225
ổử
=-=-+
ỗữ
ốứ
ũ
Cõu 17.
dx
I
xx
1
2
1
11
-
=
+++
ũ
ã
Ta cú:
xxxx
Idxdx
x
xx
11
22
22
11
1111
2
(1)(1)
+-++-+
==
+-+
ũũ
x
dxdx
xx
11
2
11
111
1
22
ổử
+
=+-
ỗữ
ốứ
ũũ
+
Idxxx
x
1
1
11
1
111
1ln|1
22
-
-
ổử
ộự
=+=+=
ỗữ
ởỷ
ốứ
ũ
+
x
Idx
x
1
2
2
1
1
2
-
+
=
ũ
. t
txtxtdtxdx
222
1122=+ị=+ị=
ị
I
2
=
tdt
t
2
2
2
2
0
2(1)
=
-
ũ
Vy:
I 1= .
Cỏch 2
: t txx
2
1=++.
Cõu 18.
( )
xx
Idx
x
1
3
3
1
4
1
3
-
=
ũ
ã
Ta cú: Idx
xx
1
1
3
23
1
3
11
1.
ổử
=-
ỗữ
ốứ
ũ
. t
t
x
2
1
1=-
ị
I 6= .
Cõu 19.
x
Idx
x
2
2
1
4 -
=
ũ
ã
Ta cú:
x
Ixdx
x
2
2
2
1
4 -
=
ũ
. t t =
xtxtdtxdx
222
44-ị=-ị=-
ị
I =
ttdttt
dtdtt
t
ttt
0
000
2
222
3
333
()42
(1)ln
2
444
ổử
==+=+
ỗữ
+
ốứ
ũũũ
=
23
3ln
23
ổử
-
ỗữ
-+
ỗữ
+
ốứ
www.VNMATH.com
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 7
Cõu 20.
x
Idx
xx
25
22
2
(1)5
=
++
ũ
ã
t tx
2
5=+
ị
dt
I
t
5
2
3
115
ln
47
4
==
-
ũ
.
Cõu 21.
x
Idx
xx
27
3
2
1
2-
=
+
ũ
ã
t tx
6
=
ị
tt
Idtdt
t
tttt
33
3
222
11
2221
551
(1)11
ộự
-
==-+-
ờỳ
+++
ởỷ
ũũ
25
531ln
312
p
ổử
=-+-
ỗữ
ốứ
Cõu 22.
Idx
xx
1
2
0
1
1
=
++
ũ
ã
t txxx
2
1=+++
ị
dt
It
t
13
13
1
1
2323
ln(21)ln
213
+
+
+
==+=
+
ũ
Cõu 23.
x
Idx
xx
3
2
22
0
(11)(21)
=
++++
ũ
ã
t xt21++=
ị
Itdt
t
t
4
2
3
42364
2161242ln
3
ổử
=-+-=-+
ỗữ
ốứ
ũ
Cõu 24.
x
Idx
xxxx
3
2
0
2(1)211
=
+++++
ũ
ã
t tx1=+
ị
ttdt
Itdt
tt
22
22
2
2
11
2(1)
2(1)
(1)
-
==-
+
ũũ
t
2
3
1
22
(1)
33
=-=
Cõu 25.
xxx
Idx
x
3
22
3
4
1
2011-+
=
ũ
ã
Ta cú:
x
IdxdxMN
xx
3
2222
2
33
11
1
1
2011
-
=+=+
ũũ
x
Mdx
x
3
22
2
3
1
1
1-
=
ũ
. t t
x
3
2
1
1=-
ị
Mtdt
3
7
3
2
3
0
3217
2128
-
=-=-
ũ
Ndxxdx
xx
22
2222
3
32
11
1
2011201114077
2011
16
2
-
ộự
===-=
ờỳ
ởỷ
ũũ
ị
I
3
14077217
16128
=
Cõu 26.
dx
I
xx
1
3
33
0 (1).1
=
++
ũ
ã
t tx
3
3
1=+
ị
tdt
Idt
tttt
33
22
2
22
11
4323
33
.(1).(1)
==
ũũ
www.VNMATH.com
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 8
dtdt
t
dt
t
t
tt
t
t
333
2
3
222
3
224
111
33
4
23
3
3
1
1
1
1
1
.1
-
ổử
-
ỗữ
ốứ
===
ộựổử
ổử
-
-
ỗữ
ờỳ
ỗữ
ốứ
ốứ
ởỷ
ũũũ
t
dt
udu
tt
34
13
1=-ị=
ị
uu
Iduuduu
1
1
11
21
2
21
2
22
33
33
3
00
0
0
111
1
333
2
3
-
-
ổử
ỗữ
=====
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ũũ
Cõu 27.
x
Idx
xx
x
22
4
2
3
1
1
=
ổử
-+
ỗữ
ốứ
ũ
ã
t tx
2
1=+
ị
t
Idt
t
3
22
2
2
(1)
2
-
=
-
ũ
=
tt
dttdtdt
tt
333
42
2
22
222
21119242
ln
34
42
22
ổử
-++
=+=+
ỗữ
ỗữ
-
ốứ
ũũũ
Dng 2: i bin s dng 2
Cõu 28.
( )
x
Ixxdx
x
1
0
1
2ln1
1
ổử
-
ỗữ
=-+
ỗữ
+
ốứ
ũ
ã
Tớnh
x
Hdx
x
1
0
1
1
-
=
+
ũ
. t xttcos;0;
2
p
ộự
=ẻ
ờỳ
ởỷ
ị
H 2
2
p
=-
ã
Tớnh Kxxdx
1
0
2ln(1)=+
ũ
. t
ux
dvxdx
ln(1)
2
ỡ
=+
ớ
=
ợ
ị
K
1
2
=
Cõu 29.
Ixxxdx
2
522
2
()4
-
=+-
ũ
ã
I = xxxdx
2
522
2
()4
-
+-
ũ
= xxdx
2
52
2
4
-
-
ũ
+ xxdx
2
22
2
4
-
-
ũ
= A + B.
+ Tớnh A = xxdx
2
52
2
4
-
-
ũ
. t tx=- . Tớnh c: A = 0.
+ Tớnh B = xxdx
2
22
2
4
-
-
ũ
. t xt2sin= . Tớnh c: B = 2
p
.
Vy:
I 2
p
= .
www.VNMATH.com
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 9
Cõu 30.
(
)
xdx
I
x
2
2
4
1
34
2
=
ũ
ã
Ta cú:
x
Idxdx
xx
22
2
44
11
34
22
-
=-
ũũ
.
+ Tớnh I
1
=
dx
x
2
4
1
3
2
ũ
=
xdx
2
4
1
37
216
-
=
ũ
.
+ Tớnh
x
Idx
x
2
2
2
4
1
4
2
-
=
ũ
. t
xtdxtdt2sin2cos=ị= .
ị
tdt
Itdttdt
tt
2
222
22
2
42
666
1cos1113
cotcot.(cot)
8888
sinsin
ppp
ppp
ổử
===-=
ỗữ
ốứ
ũũũ
Vy:
( )
I
1
723
16
=
Cõu 31.
xdx
I
x
1
2
6
0
4
=
-
ũ
ã
t txdtxdx
32
3=ị=
ị
dt
I
t
1
2
0
1
3
4
=
-
ũ
.
t
tuudtudu2sin,0;2cos
2
p
ộự
=ẻị=
ờỳ
ởỷ
ị
Idt
6
0
1
318
p
p
==
ũ
.
Cõu 32.
x
Idx
x
2
0
2
2
-
=
+
ũ
ã
t xtdxtdt2cos2sin=ị=-
ị
t
Idt
2
2
0
4sin2
2
p
p
==-
ũ
.
Cõu 33.
xdx
I
xx
1
2
2
0
32
=
+-
ũ
ã
Ta cú:
xdx
I
x
1
2
22
0 2(1)
=
ũ
. t xt12cos-= .
ị
tt
Idt
t
2
2
2
2
3
(12cos)2sin
4(2cos)
p
p
+
=-
-
ũ
=
( )
ttdt
2
3
2
34cos2cos2
p
p
++
ũ
=
33
4
22
p
+-
Cõu 34. xxdx
1
2
2
0
121
ũ
ã
t xtsin=
ị
Itttdt
6
0
31
(cossin)cos
1288
p
p
=-=+-
ũ
www.VNMATH.com
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 10
Dng 3: Tớch phõn tng phn
Cõu 35. Ixdx
3
2
2
1=-
ũ
ã
t
x
dudx
ux
x
dvdx
vx
2
2
1
1
ỡ
ỡ
=
ùù
=-
ị
ớớ
-
=
ù
ợù
=
ợ
x
Ixxxdxxdx
xx
33
22
22
22
3
1
1.521
2
11
ộự
ị= = +
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũũ
dx
xdx
x
33
2
2
22
521
1
=
-
ũũ
Ixx
23
2
52ln1= +-
ị
( )
I
521
ln21ln2
24
=-++
Chỳ ý: Khụng c dựng phộp i bin x
t
1
cos
= vỡ
[ ]
2;31;1
ộự
ẽ-
ởỷ
www.VNMATH.com
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 11
TP3: TCH PHN HM S LNG GIC
Dng 1: Bin i lng giỏc
Cõu 1.
xx
Idx
xx
2
8cossin23
sincos
=
-
ũ
ã
( )
xxx
Idxxxxxdx
xx
2
(sincos)4cos2
sincos4(sincos
sincos
-+
ộự
== +
ởỷ
-
ũũ
xxC3cos5sin=-+.
Cõu 2.
xxx
Idx
x
cottan2tan2
sin4
=
ũ
ã
Ta cú:
xxxx
IdxdxdxC
xxx
x
2
2cot22tan22cot4cos41
2
sin4sin42sin4
sin4
-
====-+
ũũũ
Cõu 3.
x
Idx
xx
2
cos
8
sin2cos22
p
ổử
+
ỗữ
ốứ
=
++
ũ
ã
Ta cú:
x
Idx
x
1cos2
1
4
22
1sin2
4
p
p
ổử
++
ỗữ
ốứ
=
ổử
++
ỗữ
ốứ
ũ
x
dx
dx
x
xx
2
cos2
1
4
22
1sin2
sincos
4
88
p
p
pp
ổ
ử
ổử
ỗ
ữ
+
ỗữ
ỗ
ữ
ốứ
=+
ỗ
ữ
ổử
ộự
ổửổử
ỗ
ữ
++
ỗữ
+++
ỗữỗữ
ờỳ
ữ
ốứ
ỗ
ốứốứ
ởỷ
ứ
ố
ũũ
x
dx
dx
xx
2
cos2
11
4
2
3
22
1sin2sin
48
p
pp
ổ
ử
ổử
+
ỗ
ỗữ
ữ
ốứ
ỗ
ữ
=+
ổửổử
ỗ
ữ
+++
ỗữ
ỗữ
ữ
ỗ
ốứ
ốứ
ứ
ố
ũũ
xxC
13
ln1sin2cot
48
42
pp
ổ
ử
ổửổử
=++-++
ỗ
ữ
ỗữ
ỗữ
ữ
ỗ
ốứ
ốứ
ứ
ố
Cõu 4.
dx
I
xx
3
23sincos
p
p
=
+-
ũ
ã
dx
I
x
3
1
2
1cos
3
p
p
p
=
ổử
-+
ỗữ
ốứ
ũ
=
dx
I
x
2
3
1
4
2sin
26
p
p
p
=
ổử
+
ỗữ
ốứ
ũ
=
1
43
.
Cõu 5. Idx
x
6
0
1
2sin3
p
=
-
ũ
ã
Ta cú: Idxdx
xx
66
00
1
11
2
2
sinsinsinsin
33
pp
pp
==
ũũ
www.VNMATH.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 12
xx
dxdx
xx
x
66
00
cos
cos
2626
3
sinsin
2cos.sin
3
2626
pp
pp
p
p
pp
æö
æöæö
+
ç÷
ç÷ç÷
èøèø
èø
==
æöæö
-
+-
ç÷ç÷
èøèø
òò
xx
dxdx
xx
66
00
cossin
2626
11
22
sincos
2626
pp
pp
pp
æöæö
-+
ç÷ç÷
èøèø
=+
æöæö
-+
ç÷ç÷
èøèø
òò
xx
66
00
lnsinlncos
2626
pp
pp
æöæö
= +=
ç÷ç÷
èøèø
Câu 6.
Ixxxxdx
2
4466
0
(sincos)(sincos)
p
=++
ò
.
·
Ta có: xxxx
4466
(sincos)(sincos)++ xx
3373
cos4cos8
641664
=++Þ I
33
128
p
= .
Câu 7. Ixxxdx
2
44
0
cos2(sincos)
p
=+
ò
·
Ixxdxxdx
22
22
00
111
cos21sin21sin2(sin2)0
222
pp
æöæö
=-=-=
ç÷ç÷
èøèø
òò
Câu 8. Ixxdx
2
32
0
(cos1)cos.
p
=-
ò
·
A =
( )
xdxxdx
22
2
52
00
cos1sin(sin)
pp
=-
òò
=
8
15
B =
xdxxdx
22
2
00
1
cos.(1cos2).
2
pp
=+
òò
=
4
p
Vậy I =
8
15
–
4
p
.
Câu 9.
2
2
0
Icoscos2
x
xdx
p
=
ò
·
Ixxdxxxdxxxdx
222
2
000
11
coscos2(1cos2)cos2(12cos2cos4)
24
ppp
==+=++
òòò
xxx
2
0
11
(sin2sin4)
448
p
p
=++=
Câu 10.
x
Idx
x
3
2
0
4sin
1cos
p
=
+
ò
www.VNMATH.com
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 13
ã
xxx
xxxxx
x
x
33
2
4sin4sin(1cos)
4sin4sincos4sin2sin2
1cos
sin
-
==-=-
+
Ixxdx
2
0
(4sin2sin2)2
p
ị=-=
ũ
Cõu 11.
Ixdx
2
0
1sin
p
=+
ũ
ã
xxxx
Idxdx
2
22
00
sincossincos
2222
pp
ổử
=+=+
ỗữ
ốứ
ũũ
x
dx
2
0
2sin
24
p
p
ổử
=+
ỗữ
ốứ
ũ
xx
dxdx
3
2
2
3
0
2
2sinsin
2424
p
p
p
pp
ộự
ờỳ
ổửổử
=+-+
ờỳ
ỗữỗữ
ốứốứ
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũũ
42=
Cõu 12.
dx
I
x
4
6
0
cos
p
=
ũ
ã
Ta cú: Ixxdx
4
24
0
28
(12tantan)(tan)
15
p
=++=
ũ
.
Dng 2: i bin s dng 1
Cõu 13.
xdx
I
xx
sin2
34sincos2
=
+-
ũ
ã
Ta cú:
xx
Idx
xx
2
2sincos
2sin4sin2
=
++
ũ
. t txsin=
ị
IxC
x
1
lnsin1
sin1
=+++
+
Cõu 14.
dx
I
xx
35
sin.cos
=
ũ
ã
ũ ũ
==
x
x
dx
x
x
x
dx
I
23233
cos.2sin
8
cos.cos.sin
t txtan= .
ItttdtxxxC
t
x
3342
2
3131
3tantan3lntan
42
2tan
-
ổử
=+++=++-+
ỗữ
ốứ
ũ
Chỳ ý:
t
x
t
2
2
sin2
1
=
+
.
Cõu 15.
dx
I
xx
3
sin.cos
=
ũ
ã
dxdx
I
xxxxx
22
2
sin.cos.cossin2.cos
==
ũũ
. t txtan=
dxt
dtx
xt
22
2
;sin2
cos1
ị==
+
dtt
Idt
t
t
t
2
2
1
2
2
1
+
ị==
+
ũũ
tx
tdttCxC
t
22
1tan
()lnlntan
22
=+=++=++
ũ
www.VNMATH.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 14
Câu 16.
xx
Ixdx
x
2011
20112009
5
sinsin
cot
sin
-
=
ò
·
Ta có:
x
x
Ixdxxdx
xx
2011
2011
2
2
44
1
1
cot
sin
cotcot
sinsin
-
-
==
òò
Đặt
txcot=
Þ
IttdtttC
240248046
2
201120112011
20112011
t(1)
40248046
=+=++
ò
=
xxC
40248046
20112011
20112011
cotcot
40248046
++
Câu 17.
xx
Idx
x
2
0
sin2.cos
1cos
p
=
+
ò
·
Ta có:
xx
Idx
x
2
2
0
sin.cos
2
1cos
p
=
+
ò
. Đặt tx1cos=+
Þ
t
Idt
t
2
2
1
(1)
22ln21
-
==-
ò
Câu 18.
Ixxdx
3
2
0
sintan
p
=
ò
·
Ta có:
xxx
Ixdxdx
xx
2
33
2
00
sin(1cos)sin
sin.
coscos
pp
-
==
òò
. Đặt txcos=
Þ
u
Idu
u
1
2
2
1
13
ln2
8
-
=-=-
ò
Câu 19.
Ixxdx
2
2
sin(21cos2)
p
p
=-+
ò
·
Ta có: IxdxxxdxHK
22
22
2sinsin1cos2
pp
pp
=-+=+
òò
+ Hxdxxdx
2
22
2sin(1cos2)
22
pp
pp
pp
p
==-=-=
òò
+ Kxxxxdx
222
22
sin2cos2sincos
pp
pp
==-
òò
xdx
2
2
2
2sin(sin)
3
p
p
=-=
ò
I
2
23
p
Þ=-
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 15
Câu 20.
dx
I
xx
3
24
4
sin.cos
p
p
=
ò
·
dx
I
xx
3
22
4
4.
sin2.cos
p
p
=
ò
. Đặt txtan=
Þ
dx
dt
x
2
cos
=
.
tdtt
Itdtt
t
tt
3
33
223
2
22
1
11
(1)11834
22
33
æö
æö
+-
==++=-++=
ç÷
ç÷
èø
èø
òò
Câu 21.
( )
2
2
0
sin2
2sin
x
I
dx
x
p
=
+
ò
·
Ta có:
xxx
Idxdx
xx
22
22
00
sin2sincos
2
(2sin)(2sin)
pp
==
++
òò
. Đặt tx2sin=+ .
Þ
t
Idtdtt
tt
tt
3
33
22
22
2
2122
222ln
æöæö
-
==-=+
ç÷ç÷
èøèø
òò
32
2ln
23
=-
Câu 22.
x
Idx
x
6
0
sin
cos2
p
=
ò
·
xx
Idxdx
x
x
66
2
00
sinsin
cos2
2cos1
pp
==
-
òò
. Đặt
txdtxdxcossin=Þ=-
Đổi cận:
xtxt
3
01;
62
p
=Þ==Þ=
Ta được
t
Idt
t
t
3
1
2
2
3
1
2
1122
ln
2222
21
-
=-=
+
-
ò
=
1322
ln
22526
-
-
Câu 23.
x
Iexx dx
2
2
sin3
0
.sin.cos.
p
=
ò
·
Đặt tx
2
sin=
Þ
I =
t
etdt
1
0
1
(1)
2
-
ò
=
e
1
1
2
- .
Câu 24. Ixxdx
2
1
2
sinsin
2
6
p
p
=×+
ò
·
Đặt txcos= . I
3
(2)
16
p
=+
Câu 25.
x
Idx
xx
4
66
0
sin4
sincos
p
=
+
ò
www.VNMATH.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 16
·
x
Idx
x
4
2
0
sin4
3
1sin2
4
p
=
-
ò
. Đặt
tx
2
3
1sin2
4
=- Þ I = dt
t
1
4
1
21
3
æö
-
ç÷
èø
ò
=
t
1
1
4
42
33
= .
Câu 26.
( )
x
Idx
xx
2
3
0
sin
sin3cos
p
=
+
ò
·
Ta có: xxxsin3cos2cos
6
p
æö
+=-
ç÷
èø
;
xxsinsin
66
pp
æö
æö
=-+
ç÷
ç÷
èø
èø
=
xx
31
sincos
2626
pp
æöæö
-+-
ç÷ç÷
èøèø
Þ
I =
xdx
dx
xx
22
32
00
sin
6
31
1616
coscos
66
pp
p
pp
æö
-
ç÷
èø
+
æöæö
ç÷ç÷
èøèø
òò
=
3
6
Câu 27.
xx
Idx
x
2
4
2
3
sin1cos
cos
p
p
-
-
=
ò
·
xx
Ixdxxdx
xx
44
2
22
33
sinsin
1cos.sin
coscos
pp
pp
=-=
òò
xx
xdxxdx
xx
0
4
22
0
3
sinsin
sinsin
coscos
p
p
-
-
=+
òò
=
xx
dxdx
xx
0
22
4
22
0
3
sinsin
coscos
p
p
-
-+
òò
7
31
12
p
=
Câu 28. Idx
xx
6
0
1
sin3cos
p
=
+
ò
·
Idx
xx
6
0
1
sin3cos
p
=
+
ò
=
dx
x
6
0
11
2
sin
3
p
p
æö
+
ç÷
èø
ò
=
x
dx
x
6
2
0
sin
1
3
2
1cos
3
p
p
p
æö
+
ç÷
èø
æö
-+
ç÷
èø
ò
.
Đặt
txdtxdxcossin
33
pp
æöæö
=+Þ=-+
ç÷ç÷
èøèø
Þ
Idt
t
1
2
2
0
111
ln3
24
1
==
-
ò
Câu 29. Ixxdx
2
2
0
13sin22cos
p
=-+
ò
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 17
·
Ixxdx
2
0
sin3cos
p
=-
ò
=
Ixxdxxxdx
3
2
0
3
sin3cossin3cos
p
p
p
=-+-
òò
33=-
Câu 30.
xdx
I
xx
2
3
0
sin
(sincos)
p
=
+
ò
·
Đặt xtdxdt
2
p
=-Þ=-
Þ
tdtxdx
I
ttxx
22
33
00
coscos
(sincos)(sincos)
pp
==
++
òò
Þ
dxdx
2Ix
xx
x
22
4
2
2
0
00
11
cot()1
224
(sincos)
sin()
4
pp
p
p
p
===-+=
+
+
òò
Þ
I
1
2
=
Câu 31.
xx
Idx
xx
2
3
0
7sin5cos
(sincos)
p
-
=
+
ò
·
Xét:
( ) ( )
xdxxdx
II
xxxx
22
12
33
00
sincos
;
sincossincos
pp
==
++
òò
.
Đặt
xt
2
p
= Ta chứng minh được I
1
= I
2
Tính I
1
+ I
2
=
( )
dxdx
x
xx
x
22
2
2
00
1
tan()1
2
24
sincos
0
2cos()
4
pp
p
p
p
==-=
+
-
òò
Þ
II
12
1
2
==
Þ
III
12
7–51==.
Câu 32.
xx
Idx
xx
2
3
0
3sin2cos
(sincos)
p
-
=
+
ò
·
Đặt xtdxdt
2
p
=-Þ=-
Þ
ttxx
Idtdx
ttxx
22
33
00
3cos2sin3cos2sin
(cossin)(cossin)
pp
==
++
òò
Þ
xxxx
IIIdxdxdx
xxxxxx
222
332
000
3sin2cos3cos2sin1
21
(sincos)(cossin)(sincos)
ppp
=+=+==
+++
òòò
Þ
I
1
2
= .
Câu 33.
xx
Idx
x
2
0
sin
1cos
p
=
+
ò
·
Đặt
ttt
xtdxdtIdtdtI
tt
22
00
()sinsin
1cos1cos
pp
p
pp
-
=-Þ=-Þ==-
++
òò
www.VNMATH.com
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 18
tdt
IdtI
tt
2
22
00
sin(cos)
2
448
1cos1cos
pp
ppp
ppp
ổử
ị==-=+ị=
ỗữ
ốứ
++
ũũ
Cõu 34.
xx
Idx
xx
4
2
33
0
cossin
cossin
p
=
+
ũ
ã
t xtdxdt
2
p
=-ị=-
ị
ttxx
Idtdx
ttxx
0
44
2
3333
0
2
sincossincos
cossincossin
p
p
=-=
++
ũũ
ị
xxxxxxxx
Idxdxxdx
xxxx
4433
222
3333
000
cossinsincossincos(sincos)11
2sin2
22
sincossincos
ppp
++
====
++
ũũũ
ị
I
1
4
= .
Cõu 35.
Ixdx
x
2
2
2
0
1
tan(cos)
cos(sin)
p
ộự
=-
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũ
ã
t xtdxdt
2
p
=-ị=-
ị
Itdt
t
2
2
2
0
1
tan(sin)
cos(cos)
p
ộự
=-
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũ
xdx
x
2
2
2
0
1
tan(sin)
cos(cos)
p
ộự
=-
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũ
Do ú:
Ixxdx
xx
2
22
22
0
11
2tan(cos)tan(sin)
cos(sin)cos(cos)
p
ộự
=+
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũ
=
dt
2
0
2
p
p
=
ũ
ị
I
2
p
= .
Cõu 36.
xx
Idx
x
4
0
cossin
3sin2
p
-
=
-
ũ
ã
t uxxsincos=+
du
I
u
2
2
1
4
ị=
-
ũ
. t
ut2sin=
tdt
Idt
t
44
2
66
2cos
12
44sin
pp
pp
p
ị===
-
ũũ
.
Cõu 37.
x
Idx
xx
3
2
0
sin
cos3sin
p
=
+
ũ
ã
t tx
2
3sin=+ = x
2
4cos- . Ta cú: xt
22
cos4=-v
xx
dtdx
x
2
sincos
3sin
=
+
.
I =
x
dx
xx
3
2
0
sin
.
cos3sin
p
+
ũ
=
xx
dx
xx
3
22
0
sin.cos
cos3sin
p
+
ũ
=
dt
t
15
2
2
3
4 -
ũ
= dt
tt
15
2
3
111
422
ổử
-
ỗữ
+-
ốứ
ũ
www.VNMATH.com
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 19
=
t
t
15
2
3
12
ln
42
+
-
=
115432
lnln
4
15432
ổử
++
ỗữ
-
ỗữ
ốứ
=
( ) ( )
(
)
1
ln154ln32
2
+-+.
Cõu 38.
xxxx
Idx
xx
2
3
32
3
(sin)sin
sinsin
p
p
++
=
+
ũ
ã
xdx
Idx
x
x
22
33
2
33
1sin
sin
pp
pp
=+
+
ũũ
.
+ Tớnh
x
Idx
x
2
3
1
2
3
sin
p
p
=
ũ
. t
ux
dudx
dx
dv
vx
x
2
cot
sin
ỡ
=
ù
ỡ
=
ị
ớớ
=
=-
ợ
ù
ợ
ị
I
1
3
p
=
+ Tớnh
dxdxdx
I=
x
x
x
222
333
2
2
333
423
1sin
1cos2cos
242
ppp
ppp
pp
===-
+ổửổử
+
ỗữỗữ
ốứốứ
ũũũ
Vy: I 423
3
p
=+- .
Cõu 39.
x
dx
xx
I
2
22
0
sin2
cos4sin
p
+
=
ũ
ã
xx
dx
x
I
2
2
0
2sincos
3sin1
p
=
+
ũ
. t
ux
2
3sin1=+ ị
udu
du
u
I
22
11
2
22
3
33
===
ũũ
Cõu 40.
x
Idx
x
6
0
tan
4
cos2
p
p
ổử
-
ỗữ
ốứ
=
ũ
ã
x
x
Idxdx
x
x
2
66
2
00
tan
tan1
4
cos2
(tan1)
pp
p
ổử
-
ỗữ
+
ốứ
==-
+
ũũ
. t
txdtdxxdx
x
2
2
1
tan(tan1)
cos
=ị==+
ị
dt
I
t
t
1
1
3
3
2
0
0
113
12
(1)
-
=-==
+
+
ũ
.
Cõu 41.
x
Idx
xx
3
6
cot
sin.sin
4
p
p
p
=
ổử
+
ỗữ
ốứ
ũ
ã
x
Idx
xx
3
2
6
cot
2
sin(1cot)
p
p
=
+
ũ
. t xt1cot+=
dxdt
x
2
1
sin
ị=-
ị
( )
t
Idttt
t
31
31
31
31
3
3
12
22ln2ln3
3
+
+
+
+
ổử
-
==-=-
ỗữ
ốứ
ũ
www.VNMATH.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 20
Câu 42.
dx
I
xx
3
24
4
sin.cos
p
p
=
ò
·
Ta có:
dx
I
xx
3
22
4
4.
sin2.cos
p
p
=
ò
. Đặt
dt
txdx
t
2
tan
1
=Þ=
+
Þ
tdtt
Itdtt
t
tt
3
223
33
(1)11834
2
(2)(2)
22
33
11
1
+-
==++=-++=
òò
Câu 43.
x
Idx
xxx
4
2
0
sin
5sin.cos2cos
p
=
+
ò
·
Ta có:
x
Idx
xxx
4
22
0
tan1
.
5tan2(1tan)cos
p
=
++
ò
. Đặt
txtan= ,
Þ
t
Idtdt
tt
tt
11
2
00
12112
ln3ln2
322123
252
æö
==-=-
ç÷
++
++
èø
òò
Câu 44.
xdx
xxx
I
2
4
42
4
sin
cos(tan2tan5)
p
p
-
-+
=
ò
·
Đặt
dt
txdx
t
2
tan
1
=Þ=
+
Þ
tdtdt
I
tttt
2
11
22
11
2
2ln3
3
2525
==+-
-+-+
òò
Tính
dt
I
tt
1
1
2
1
25
-
=
-+
ò
. Đặt
t
uIdu
0
1
4
11
tan
228
p
p
-
-
=Þ==
ò
. Vậy I
23
2ln
38
p
=+
Câu 45.
x
Idx
x
2
2
6
sin
sin3
p
p
=
ò
.
·
xx
Idxdx
xxx
2
22
32
66
sinsin
3sin4sin4cos1
pp
pp
==
òò
Đặt txdtxdxcossin=Þ=-
Þ
dtdt
I
t
t
3
0
2
2
2
0
3
2
11
ln(23)
1
44
41
4
=-==-
-
-
òò
Câu 46.
xx
Idx
x
2
4
sincos
1sin2
p
p
-
=
+
ò
www.VNMATH.com
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 21
ã
Ta cú: xxxxx1sin2sincossincos+=+=+ (vỡ x ;
42
pp
ộự
ẻ
ờỳ
ởỷ
)
ị
xx
Idx
xx
2
4
sincos
sincos
p
p
-
=
+
ũ
. t
txxdtxxdxsincos(cossin)=+ị=-
Idtt
t
2
2
1
1
11
lnln2
2
ị===
ũ
Cõu 47. Ixxxdx
2
6
35
1
21cos.sin.cos=-
ũ
ã
t
tdt
txtxtdtxxdxdx
xx
5
6
36352
2
2
1cos1cos63cossin
cossin
=-=-ị=ị=
tt
Ittdt
1
1
713
66
0
0
12
2(1)2
71391
ổử
ị=-=-=
ỗữ
ốứ
ũ
Cõu 48.
xdx
I
xx
4
2
0
tan
cos1cos
p
=
+
ũ
ã
Ta cú:
xdx
I
xx
4
22
0
tan
costan2
p
=
+
ũ
. t
222
2
tan
2tan2tan
cos
=+ị=+ị=
x
txtxtdtdx
x
ị
33
22
32===-
ũũ
tdt
Idt
t
Cõu 49.
x
Idx
xx
2
3
0
cos2
(cossin3)
p
=
-+
ũ
ã
t txxcossin3=-+
ị
t
Idt
t
4
3
2
31
32
-
==-
ũ
.
Cõu 50.
x
Idx
xx
4
24
0
sin4
cos.tan1
p
=
+
ũ
ã
Ta cú:
x
Idx
xx
4
44
0
sin4
sincos
p
=
+
ũ
. t
txx
44
sincos=+ Idt
2
2
1
222ị=-=-
ũ
.
Cõu 51.
x
Idx
x
4
2
0
sin4
1cos
p
=
+
ũ
ã
Ta cú:
xx
Idx
x
2
4
2
0
2sin2(2cos1)
1cos
p
-
=
+
ũ
. t tx
2
cos =
ị
t
Idt
t
1
2
1
2(21)1
26ln
13
-
=-=-
+
ũ
.
Cõu 52.
x
Idx
x
6
0
tan()
4
cos2
p
p
-
=
ũ
www.VNMATH.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 22
·
Ta có:
2
6
2
0
tan1
(tan1)
p
+
=-
+
ò
x
I
dx
x
. Đặt txtan=
Þ
1
3
2
0
13
(1)2
-
=-=
+
ò
dt
I
t
.
Câu 53.
3
6
0
tan
cos2
p
=
ò
x
I
dx
x
·
Ta có:
33
66
tantan
2222
cossincos(1tan)
00
pp
==
òò
xx
I
dxdx
xxxx
.
Đặt
txtan=
Þ
3
3
3
112
ln
2
623
1
0
==
ò
-
t
Idt
t
.
Câu 54.
x
Idx
x
2
0
cos
7cos2
p
=
+
ò
·
xdx
I
x
2
22
0
1cos
262
2sin
p
p
==
-
ò
Câu 55.
dx
xx
3
4
35
4
sin.cos
p
p
ò
·
Ta có: dx
x
x
x
3
3
8
4
4
3
1
sin
.cos
cos
p
p
ò
dx
x
x
3
2
4
3
4
11
.
cos
tan
p
p
=
ò
.
Đặt
txtan=
Þ
( )
Itdt
3
3
8
4
1
431
-
==-
ò
Câu 56.
3
2
0
coscossin
()
1cos
xxx
I
xdx
x
p
++
=
+
ò
·
Ta có:
xxxxx
IxdxxxdxdxJK
xx
2
22
000
cos(1cos)sin.sin
.cos.
1cos1cos
ppp
æö
++
==+=+
ç÷
ç÷
++
èø
òòò
+ Tính
J
xxdx
0
.cos.
p
=
ò
. Đặt
uxdudx
dvxdxvxcossin
ìì
==
Þ
íí
==
îî
J
2Þ=-
+ Tính
xx
Kdx
x
2
0
.sin
1cos
p
=
+
ò
. Đặt xtdxdt
p
=-Þ=-
ttttxx
Kdtdtdx
ttx
222
000
().sin()().sin().sin
1cos()1cos1cos
ppp
pppp
p
Þ===
+-++
òòò
xxxxdxxdx
KdxK
xxx
222
000
().sinsin.sin.
2
2
1cos1cos1cos
ppp
pp
p
+-
Þ==Þ=
+++
òòò
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 23
Đặt txcos=
dt
K
t
1
2
1
2
1
p
-
Þ=
+
ò
, đặt
tudtudu
2
tan(1tan)=Þ=+
udu
Kduu
u
22
44
4
2
4
44
(1tan)
.
2224
1tan
pp
p
p
pp
pppp
-
+
Þ====
+
òò
Vậy
I
2
2
4
p
=-
Câu 57.
2
2
6
cos
I
sin3cos
p
p
=
+
ò
x
dx
xx
·
Ta có:
2
22
6
sincos
sin3cos
p
p
=
+
ò
xx
I
dx
xx
. Đặt tx
2
3cos=+
Þ
( )
dt
I
t
15
2
2
3
1
ln(154)ln(32)
2
4
==+-+
-
ò
Dạng 3: Đổi biến số dạng 2
Câu 58. Ixxdx
2
1
2
sinsin.
2
6
p
p
=×+
ò
·
Đặt xtt
3
cossin,0
22
p
æö
=££
ç÷
èø
Þ
I = tdt
4
2
0
3
cos
2
p
ò
=
31
242
p
æö
+
ç÷
èø
.
Câu 59.
2
22
0
3sin4cos
3sin4cos
p
+
=
+
ò
xx
I
dx
xx
·
222
222
000
3sin4cos3sin4cos
3cos3cos3cos
ppp
+
==+
+++
òòò
xxxx
I
dxdxdx
x
xx
22
22
00
3sin4cos
3cos4sin
pp
=+
+-
òò
xx
dxdx
xx
+ Tính
2
1
2
0
3sin
3cos
p
=
+
ò
x
I
dx
x
. Đặt cossin=Þ=-txdtxdx
Þ
1
1
2
0
3
3
=
+
ò
dt
I
t
Đặt
2
3tan3(1tan)=Þ=+tudtudu
Þ
2
6
1
2
0
33(1tan)3
3(1tan)6
p
p
+
==
+
ò
udu
I
u
+ Tính
2
2
2
0
4cos
4sin
p
=
-
ò
x
I
dx
x
. Đặt
11
sincos=Þ=txdtxdx
1
1
21
2
1
0
4
ln3
4
==
-
ò
dt
Idt
t
www.VNMATH.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 24
Vậy:
3
ln3
6
p
=+I
Câu 60.
x
Idx
xx
4
2
6
tan
cos1cos
p
p
=
+
ò
·
Ta có:
xx
Idxdx
xx
x
x
44
22
2
2
66
tantan
1
costan2
cos1
cos
pp
pp
==
+
+
òò
Đặt
uxdudx
x
2
1
tan
cos
=Þ=
Þ
u
Idx
u
1
2
1
3
2
=
+
ò
. Đặt
u
tudtdu
u
2
2
2
2
=+Þ=
+
.
Idtt
3
3
7
7
3
3
737
3.
33
-
Þ===-=
ò
Câu 61.
x
Idx
xx
2
4
sin
4
2sincos3
p
p
p
æö
+
ç÷
èø
=
-
ò
·
Ta có:
( )
xx
Idx
xx
2
2
4
1sincos
2
sincos2
p
p
+
=-
-+
ò
. Đặt txxsincos=-
Þ
Idt
t
1
2
0
11
2
2
=-
+
ò
Đặt
tu2tan=
Þ
u
Idu
u
1
arctan
2
2
2
0
12(1tan)11
arctan
2
22
2tan2
+
=-=-
+
ò
www.VNMATH.com
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 25
Dng 4: Tớch phõn tng phn
Cõu 62.
xx
Idx
x
3
2
3
sin
cos
p
p
-
=
ũ
.
ã
S dng cụng thc tớch phõn tng phn ta cú:
xdx
IxdJ
xxx
33
3
3
33
14
,
coscoscos3
pp
p
p
pp
p
-
ổử
==-=-
ỗữ
ốứ
ũũ
vi
dx
J
x
3
3
cos
p
p
-
=
ũ
tớnh J ta t txsin.= Khi ú
dxdtt
J
xt
t
3
3
3
2
2
2
3
3
2
3
2
1123
lnln
cos21
23
1
p
p
-
-
-
===-=-
+
+
-
ũũ
Vy
I
423
ln.
3
23
p
-
=-
+
Cõu 63.
x
x
Iedx
x
2
0
1sin
.
1cos
p
ổử
+
=
ỗữ
+
ốứ
ũ
ã
Ta cú:
xx
xx
xx
x
22
12sincos
1sin1
22
tan
1cos2
2cos2cos
22
+
+
==+
+
ị
x
x
edxx
Iedx
x
22
2
00
tan
2
2cos
2
pp
=+
ũũ
= e
2
p
Cõu 64.
( )
xx
Idx
x
4
2
0
cos2
1sin2
p
=
+
ũ
ã
t
ux
dudx
x
dvdx
v
x
x
2
cos2
1
1sin2
(1sin2)
ỡ
=
ỡ
=
ùù
ị
ớớ
=
=-
ùù
+
+
ợ
ợ
ị
Ixdxdx
xx
x
44
2
00
1111111
4
21sin221sin2162
2
0
cos
4
pp
p
p
p
ổử
=-+=-+
ỗữ
++ổử
ốứ
-
ỗữ
ốứ
ũũ
( )
x
11122
.tan.01
4
16241622416
2
0
p
pppp
ổử
=-+-=-++=-
ỗữ
ốứ
www.VNMATH.com
