Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường Vật Lý 11

 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 1 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Chuyên đề
CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT ĐIỆN TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG
Chuyển động của các hạt tích điện – gọi tắt là các hạt điện – trong điện từ trường được ứng dụng trong
nhiều dụng cụ điện tử quan trọng như ống tia điện tử trong dao động kí điện tử, trong ống hình của máy thu
hình và máy tính, kính hiển vi điện tử, máy gia tốc,… Vì vậy những hiểu biết về sự chuyển động của các hạt
điện trong điện từ trường rất cần cho những người làm chuyên môn trong ngành điện tử. Và với những ứng
dụng thiết thực đó, bài toán chuyển động của các hạt tích điện trong điện từ trường cũng được đề cập khá nhiều
trong các đề thi học sinh giỏi và trong các kì thi olympic. Bài toán bao quát một phạm vi kiến thức khá rộng về
điện và cơ. Vì vậy việc giới thiệu các dạng khác nhau của loại bài toán này là rất bổ ích đối với học sinh.
Bài 1: CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT ĐIỆN TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG
1. Phương trình tổng quát
Giả thiết một hạt điện có khối lượng m, điện tích q, chuyển động với vận tốc
v

trong không gian tồn tại
một điện trường
E

và một từ trường
B

, hạt điện sẽ chịu một lực tác dụng:


BvqEqF





 (1.1)
Trong hệ SI,
F

đo bằng N
q
đo bằng C
E

đo bằng V/m
v

đo bằng m/s
B

đo bằng T
Khi vận tốc v

của hạt điện nhỏ hơn vận tốc ánh sáng rất nhiều, km/s300000cv 

thì khối lượng m
của hạt điện được coi là không đổi trong quá trình chuyển động. Ta có phương tình chuyển động của hạt điện
theo định luật Newton II
)vm(
dt
d
dt
vd
mamF





 (1.2)
a

là gia tốc của hạt điện, đo bằng m/s
2
Ta có:


BvqEq)vm(
dt
d
F





 (1.3)


BvqEq
dt
pd
F







Trong đó vmp



là vectơ động lượng của hạt điện.
Trong trường hợp tổng quát, điện trường và từ trường là các đại lượng biến thiên theo thời gian và không
gian:
)t,r(EE



 )t,r(BB




Khi đó, giải các bài toán về chuyển động của hạt điện sẽ rất phức tạp. Ở đây chúng ta chỉ giới hạn xét
trong các trường dừng, khi
E

và
B

chỉ phụ thuộc không gian, không đổi theo thời gian:
)r(EE




 )r(BB




2. Năng lượng của hạt điện chuyển động trong điện từ trường
Từ phương trình chuyển động (1.3) của hạt điện, nhân vô hướng hai vế với v



BvvqEvq)vm(
dt
d
v





Ta có Evq)vm(
dt
d
2
1
2


 (1.4)
Lấy tích phân hai vế của (1.4) theo thời gian từ t

1
đến t
2
ứng với sự chuyển động của hạt điện từ điểm 1
đến điểm 2 trong không gian điện từ trường
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 2 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
dtEvq)vm(d
2
1
2
1
2
1
t
t
v
v
2






2
1
V
V
21

2
1
2
1
2
2
)VV(qdVqsdEqmv
2
1
mv
2
1


(1.5)
Ở đây
21
v,v


là vận tốc của hạt điện tại hai điểm 1 và 2
V
1
, V
2
là điện thế tại các điểm 1, 2, và chú ý rằng dVsdEdtEv 





là độ giảm điện thế giữa điểm đầu
và điểm cuối của đoạn chuyển dời
sd

của hạt điện. Do đó:
2
2
21
2
1
qVmv
2
1
qVmv
2
1
 (1.6)
Suy ra, đối với các điểm bất kì trong điện trường dừng
constqVmv
2
1
2

Nếu vận tốc ban đầu của hạt điện tại điểm 1 bằng không, 0v
1


, ta có động năng của hạt tích điện tại
điểm 2:
qU)VV(qmv

2
1
21
2
2
 (1.7)
21
VVU  là hiệu điện thế giữa hai điểm 1 và 2. Có thể thấy rằng độ tăng động năng của hạt điện phụ
thuộc vào hiệu điện thế giữa điểm đầu và điểm cuối, hay bằng độ giảm thế năng của hạt điện.
Từ các kết quả trên, ta nhận thấy:
 Điện trường dừng làm thay đổi động năng của hạt điện.
 Điện trường tăng tốc khi động năng của hạt tăng và điện trường hãm khi động năng của hạt giảm.
 Từ trường dừng không làm thay đổi động năng của hạt mà chỉ làm thay đổi hướng chuyển động của hạt
điện.
 Trong quá trình hạt điện chuyển động trong điện từ trường dừng thì năng lượng toàn phần của hạt bảo
toàn.
Từ (1.7) người ta đưa ra một đơn vị năng lượng gọi là êlectrôn – vôn (eV), là năng lượng mà một điện tích
C10.6,1eq
19
 thu được khi đi qua một hiệu điện thế tăng tốc bằng 1V.
J10.6,1eV1
19

eV10.24,6J1
18

Đối với êlectrôn, kg10.1,9m
31
 , C10.6,1e
19

 , suy ra vận tốc của hạt điện
U600U
m
e2
v  (km/s)
Áp dụng biểu thức này khi
c
v

và hiệu điện thế tăng tốc U nhỏ.
Trường hợp U > 100 kV thì
c
v

, khi đó khối lượng của hạt điện biến đổi theo vận tốc, không áp dụng
được biểu thức trên.
Động năng của hạt điện nhận được trong quá trình chuyển động trong điện trường chỉ phụ thuộc vào điểm
đầu và điểm cuối, điều đó chứng tỏ điện trường là một trường thế.
Từ phương trình (1.3) nếu biết sự phụ thuộc của các trường vào tọa độ )r(E


, )r(B


, biết các điều kiện ban
đầu của hạt điện, ta có thể giải bài toán để tìm quỹ đạo cũng như các thông số khác của chuyển động của hạt
điện. Giải bài toán như vậy cũng còn phức tạp. Vì vậy ta xét một số trường hợp riêng thông qua các bài sau đây.
Bài 2: CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT ĐIỆN TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU
Dạng chuyển động đơn giản nhất là chuyển động của hạt điện trong điện trường đều, tức là điện trường có
cường độ

E

không đổi về hướng và độ lớn tại mọi điểm.Ví dụ, điện trường giữa hai bản tụ điện phẳng là điện
trường đều (hình 1).
1. Chuyển động của hạt điện trong điện trường đều
Giả sử hạt điện bay vào điện trường đều
E

với vận tốc ban đầu
0
v

dưới góc

đối với phương
E

.
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 3 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Phương trình chuyển động của hạt điện trong điện trường có dạng
Eq
dt
vd
m


 (2.1)
Vận tốc chuyển động của hạt điện



2
1
2
1
t
t
v
v
dtEqvdm




)tt(
m
Eq
vv
1212



1
v

và
2
v

là vận tốc tại các thời điểm t

1
và t
2
.
Hình 1: Điện trường đều giữa hai bản tụ điện phẳng
Nếu chọn t
1
= 0, vận tốc
01
vv


 thì tại thời điểm t
2
= t hạt điện có vận tốc vv
2


 :
tavt
m
Eq
vv
00




 (2.2)
Với

m
Eq
a



Là gia tốc của hạt điện dưới tác dụng của điện trường
E

.
Bán kính vectơ
r

của hạt điện được xác định bởi công thức
 

t
0
0
2
v
0
0
tvt
m
Eq
2
1
dtvdt
dt

dr
rr





00
2
rtvt
m
Eq
2
1
r




 (2.3)
Hình 2: Chuyển động của hạt điện trong điện trường đều
0
r

là bán kính vectơ của hạt điện tại thời điểm t
1
= 0. Hình 2.
Nếu xét chuyển động của hạt điện dưới tác dụng của điện trường trong hệ toạn độ Đêcác sao cho hướng
của trường ngược chiều dương của trục y (đối với hạt mang điện âm, chọn hướng của trường cùng chiều dương
với trục y).

Ở thời điểm t
0
= 0 hạt bắt đầu chuyển động vào điện trường tại điểm 0r
0


với vận tốc
0
v

(hình 3)
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 4 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Hình 3: Hạt chuyển động trong điện trường đều
Ta có tại thời điểm t
constvv
x0x
 (vì điện trường không tác dụng lên hạt điện theo phương Ox).
y0y
vEt
m
q
v

tvx
x0

tvEt
m
q

2
1
y
y0
2

Quỹ đạo của chuyển động có dạng parabol:
x
v
v
x
v
E
m
q
2
1
y
x0
y0
2
2
x0
 (2.4)
Từ điều kiện 0
dx
dy
*
xx



, ta có vị trí của đỉnh parabol
qE
vmv
x
y0x0
*
 ,
qE
mv
2
1
y
2
y0
max
 (2.5)
2. Chuyển động của êlectrôn trong ống tia điện tử
Một trường hợp riêng đáng quan tâm là chuyển động của êlectrôn trong ống tia điện tử dùng tụ điện lái tia
(hình 4). Hạt điện trong trường hợp này là êlectrôn có điện tích q = e, khối lượng m,
0
v

hướng vuông góc với
vectơ cường độ điện trường
E

.
Tại thời điểm 0t
0

 , hạt ở gốc tọa độ O.
Hình 4: Chuyển động của điện tích trong điện trường.
Phương trình chuyển động của hạt điện trong điện trường:







2
0x0
t
m
eE
2
1
y
tvtvx
(2.6)
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 5 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Quỹ đạo chuyển động của hạt điện trong điện trường có dạng:
2
2
0
x
v
E
m

e
2
1
y  (2.7)
Tụ điện lái tia có chiều dài bản cực l.
Khoảng cách giữa 2 bản cực d và hiệu điện thế giữa 2 bản cực
C
U .
Êlectrôn được tăng tốc dưới hiệu điện thế U
0
, khi bay vào điện trường nó có vận tốc đầu
0x00
U
m
e2
vv 
Theo hướng vuông góc với vectơ cường độ điện trường
E

.
Chuyển động trong điện trường, êlectrôn có vận tốc










t
d
U
m
e
Et
m
e
v
U
m
e2
vv
C
y
0x0x
(2.8)
Có vị trí được xác định bởi (2.6), ta có









2
C
00

t
d
U
m2
e
y
tU
m
e2
tvx
(2.9)
Quỹ đạo của êlectrôn nằm trong mặt phẳng (xOy)
2
0
C
0
2
C
x
dU4
U
U
m
e2
x
d
U
m2
e
y  (2.10)

Ta có kết luận:
 Quỹ đạo của êlectrôn trong điện trường là một đường parapol.
 Quỹ đạo của êlectrôn không phụ thuộc vào các đặc trưng của êlectrôn






m
e
; điều đó có nghĩa là điện
trường tĩnh không có khả năng phân tách các hạt điện cùng dấu theo các đặc trưng của chúng.
 Nếu ta thay đổi
0
U và
C
U nhưng không làm thay đổi tỉ số
0
C
U
U
thì quỹ đạo của êlectrôn không đổi.
Sau khi ra khỏi điện trường, êlectrôn chuyển động thẳng và đập lên màn huỳnh quang M của ống tia điện
tử tại một điểm cách vị trí ban đầu theo phương y một khoảng D.
Như hình 4, ta có:
21
DDD 
2
C

1
t
d
U
m
2
e
D

Thời gian êlectrôn chuyển động trong điện trường, dọc theo chiều dài l của bản tụ điện lái tia:
0
x
U
m
e2
v
t
ll

Do đó:
d4U
U
D
2
0
C
1
l

d2U

U
L
v
v
LLtgD
0
C
x
y
2
l

 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 6 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.







L
2U
U
D
0
C
l
2d
l

(2.11)
Từ (2.11) ta nhận thấy:
 Độ lệch của chùm êlectrôn càng lớn khi điện áp tăng tốc U
0
càng nhỏ, khoảng cách L càng lớn.
 Độ lệch của chùm tia êlectrôn sau khi qua tụ lái tia tỉ lệ thuận với hiệu điện thế U
C
của hai bản tụ điện.
Để đặc trưng cho sự phụ thuộc này trong ống tia điện tử, người ta đưa vào đại lượng độ nhạy S của ống tia
điện tử về độ lớn, độ nhạy S bằng độ lệch của chùm tia êlectrôn gây bởi sự thay đổi điện áp giữa hai bản lái tia
là 1V.







L
2U
1
U
D
S
0C
l
2d
l
(2.12)
Độ nhạy trung bình của ống tia điện tử thường có giá trị S = 0,25 mm/V.

Hình 5: Ống tia điện tử
Bài 3: CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT ĐIỆN TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
Trong các dụng cụ điện tử việc điều khiển chùm êlectrôn hoặc ion không chỉ thực hiện được bằng điện
trường mà còn có thể được thực hiện bằng từ trường. Ta có thể khảo sát ảnh hưởng của từ trường lên chuyển
động của hạt điện dựa vào quy luật tương tác giữa từ trường và dòng điện.
Xét chuyển động của hạt điện có điện tích q, khối lượng m trong từ trường đều có vectơ cảm ứng từ
B

.
Lực từ trường tác dụng lên hạt điện chuyển động với vận tốc v

bằng


Bvq
dt
vd
mF




 (3.1)
F

vuông góc với
B

và v


, tức là vuông góc với mặt phẳng chứa vectơ v

và vectơ
B

, do đó
F

không làm
thay đổi độ lớn vận tốc v

của hạt điện mà chỉ làm thay đổi hướng chuyển động.
Sau đây ta hãy xét các trường hợp đơn giản.
1. Vận tốc ban đầu của hạt điện vuông góc với từ trường
Lực từ tác dụng lên hạt điện
F

vuông góc với v

và có độ lớn
constqvBF


Vì vF


 và constv 

nên lực từ
F


là lực hướng tâm đối với chuyển động của hạt điện
qvB
R
mv
FF
2
ht

Bán kính quỹ đạo của hạt điện
qB
mv
R  (3.2)
 Chu kỳ chuyển động của hạt điện
const
qB
m2
v
R2
T 



 (3.3)
Chuyển động của hạt điện là chuyển động tròn đều.
 Tần số quay f và vận tốc góc

của chuyển động này là
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 7 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.













m
qB
T
2
m2
qB
T
1
f
(3.4)
Có thể biểu diễn vận tốc v qua hiệu điện thế tăng tốc U
0
ta có:
0
U
m
q2
v 

Do đó
B
U
.
q
m2
R
0

(3.5)
Từ các kết quả trên ta thấy các đặc trưng của chuyển động của hạt điện phụ thuộc vào tỉ số
m
q
, tức là phụ
thuộc vào loại hạt điện cụ thể. Nếu các hạt khác loại (như êlectrôn, prôtôn,…) cùng được tăng tốc dưới điện áp
U
0
và đi qua một từ trường B như nhau thì bán kính quỹ đạo, chu kỳ và tần số của chuyển động tròn sẽ khác
nhau. Vì vậy người ta có thể dễ dàng phân chia các loại hạt với điện tích riêng
m
q
khác nhau. Khi tỉ số
B
U
0
không đổi thì quỹ đạo của hạt điện cũng không đổi. Hạt điện chỉ chuyển động tròn trong vùng từ trường đủ rộng
và đủ lớn.
Nếu vùng từ trường hẹp và từ trường B nhỏ thì quỹ đạo của hạt điện theo phương vuông góc với từ trường
là một cung tròn, khi ra khỏi vùng từ trường thì hạt điện chuyển động thẳng. Có thể sử dụng từ trường để lái
chùm tia điện tử. Hình 6.

Hình 6: Sơ đồ ống tia điện tử dùng cuộn lái tia
Vì độ lệch trong từ trường của chùm êlectrôn không lớn nên có thể tính một cách gần đúng độ lệch theo
phương y của chùm êlectrôn trong vùng tác dụng của từ trường:
2
0
x
2
B
mU2
e
R2
x
xy  (3.6)
Giống như trong ống tia điện tử dùng tụ lái tia, trong ống tia điện tử dùng cuộn từ trường lái tia (cuộn lái
tia) ta tính được độ lệch D của chùm tia trên màn huỳnh quang M
21
DDD 
Trong đó D
1
= y khi x = l, theo (3.6) ta có
2
l
2
B
mU2
e
D
0
1


 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 8 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
l
R
l
BL
mU2
e
LLtgD
0
2

Do đó







LB
mU2
e
D
0
2
l
l
(3.7)
Cũng tương tự như độ nhạy S của ống tia điện tử khi sử dụng tụ lái tia, có thể đưa vào khái niệm độ nhạy

S của ống tia điện tử dùng cuộn lái tia.
Nếu từ trường B gây bởi cuộn lái tia tỉ lệ thuận với dòng điện I qua cuộn lái tia, độ nhạy S của ống tia điện
tử có độ lớn bằng độ lệch của chùm tia gây bởi dòng điện 1A chạy qua cuộn lái tia







L
B
mU2
e
I
D
S
0
2
l
l
I
(3.8)
2. Vận tốc ban đầu của hạt điện hợp với từ trường một góc bất kỳ
Xét hạt điện có điện tích q, khối lượng m, chuyển động trong từ trường
B

. Chọn trục tọa độ Oxyz sao cho
z
BB



 , vận tốc
0
v

hợp với từ trường một góc

và nằm trong mặt phẳng Oxy (hình 7).
0
v

có hai thành phần:
z0
v

song song với
B

và
y0
v

vuông góc với
B

. Thành phần
y0
v


tạo lực Lorentz
trong mặt phẳng Oxy gây nên chuyển động tròn như vừa xét ở trên. Thành phần
z0
v

gây nên chuyển động thẳng
đều theo phương Oz và vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo của chuyển động tròn. Kết quả là quỹ đạo của chuyển
động tổng hợp của hạt điện có dạng một đường xoắn ốc dọc theo đường sức từ trường. Khoảng cách ngắn nhất
của điểm đầu và điểm cuối trong chuyển động của hạt điện trong một chu kì T gọi là bước xoắn

.


 cosv
qB
m2
Tv
0z0
(3.9)
Bước xoắn

phụ thuộc B,
m
q
và

- khi

rất nhỏ, 1cos



, ta có:
0
v
qB
m2

 (3.10)
Từ trường đều có tính chất đặc biệt, nó có khả năng hội tụ chùm hạt điện phân kỳ yếu.
Giả sử có một chùm êlectrôn phát xạ từ catôt K và được tăng tốc bởi anôt A, sau đó đi qua khe của anôt
dưới dạng một chùm tia phân kì yếu và có độ lớn của vận tốc
0
v

không đồng đều. Khi không có từ trường,
chùm tia êlectrôn cho trên màn M một vòng tròn sáng. Nếu ta thiết lập một từ trường
B

song song với trục của
chùm tia thì sau những khoảng thời gian bằng chu kì T các êlectrôn sẽ cắt trục chùm tia tại những điểm cách
nhau một khoảng

, tính theo (3.10). Vì vậy nếu ta đặt màn M tại những vị trí mà chùm tia êlectrôn cắt trục của
chùm tia ta sẽ được điểm hội tụ của chùm tia. Như vậy từ trường đóng vai trò như một thấu kính hội tụ (hình 8)
y
z

x
z
v

0

y
v
0

0
v

B

Hình 7: quĩ đạo của hạt điện trong từ trường khi
0
v

có phương bất kì
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 9 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Hình 8: Quỹ đạo của êlectrôn trong từ trường song song với trục OO’
của chùm êlectrôn phân kỳ yếu
Cần chú ý là nếu từ trường dọc theo trục của chùm tia không đều thì bước xoắn

sẽ thay đổi. Vectơ cảm
ứng từ
B

càng lớn thì bước xoắn

càng nhỏ và bán kính R càng nhỏ, quỹ đạo xoắn của hạt điện sẽ phức tạp,
thậm chí bị phản xạ trở lại. Đó là nguyên tắc của các bẫy từ dùng để “nhốt plasma.

Bài 4: CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT ĐIỆN TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG ĐỀU
Khi có tác dụng đồng thời của cả điện trường và từ trường hạt điện sẽ chuyển động theo những quỹ đạo
khác nhau tùy thuộc vào sự phân bố tương hỗ giữa điện trường và từ trường.
1. Điện trường song song với từ trường
Xét chuyển động của hạt điện có khối lượng m, điện tích q, vận tốc đầu
0
v

trong không gian có điện
trường
E

và từ trường
B

có cùng hướng theo trục Oz. Tại thời điểm t = 0 điện tích ở vị trí gốc tọa độ O và có
vận tốc
0
v

hợp với trục Oz một góc

(hình 9).
Điện trường
E

gia tốc cho hạt điện dọc theo trục Oz. Từ trường
B

làm cho hạt mang điện chuyển động

theo đường xoắn ốc theo một trục tròn có bán kính
qB
mv
R
y0
 (như hình vẽ), với chu kỳ
qB
m2
T

 . Do đó
chuyển động tổng hợp của hạt điện sẽ là một đường xoắn có bước xoắn tăng dần.
2. Điện trường vuông góc với từ trường
Xét chuyển động của hạt điện khối lượng m, điện tích q, tại thời điểm t = 0 có vận tốc 0v
0


tại gốc tọa
độ O. Điện trường
E

có hướng Ox, từ trường
B

có hướng Oz (hình 10)
Điện trường
E

gây nên chuyển động có gia tốc của hạt điện, do đó tạo nên vận tốc v
x

theo phương Ox.
Hạt điện chuyển động với vận tốc v
x
trong từ trường
B

, từ trường tác dụng lực Lorentz lên hạt điện làm
hạt điện chuyển động tròn trong mặt phẳng Oxy (mặt phẳng Oxy
B


).
Trên đoạn quỹ đạo OI chuyển động nhanh cong nhanh dần, do đó thành phần vận tốc v
y
của hạt điện tăng.
Trên đoạn quỹ đạo IK chuyển động của hạt ngược hướng điện trường, chuyển động cong chậm dần, các thành
phần vận tốc v
x
và v
y
đều giảm và bằng không tại K.
y
z
2

x
z
v
0


y
v
0

0
v

B

1

E

Hình 9: Quĩ đạo của hạt điện trong điện trường và từ trường song song
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 10 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Hình 10: Quỹ đạo của hạt điện trong điện trường và từ trường vuông góc
Từ phương trình chuyển động của hạt điện trong điện từ trường (1.3)


BvqEq)vm(
dt
d
F





 , viết dưới dạng các thành phần x, y, z trong hệ tọa độ Oxyz:








yzx
2
2
B
dt
dz
B
dt
dy
qqE
dt
xd
m







zxy
2
2

B
dt
dx
B
dt
dz
qqE
dt
yd
m







xyz
2
2
B
dt
dy
B
dt
dx
qqE
dt
zd
m

Trong trường hợp này, ta có 0BB
yx
 ; BB
z

0EE
zy
 ; EE
x

Các phương trình chuyển động thành phần có dạng:









B
dt
dx
q
dt
yd
m
B
dt
dy

qqE
dt
xd
m
2
2
2
(4.1)
Lấy tích phân phương trình thứ hai của (1.4) theo t
y0y0
vxvx
m
qB
dt
dy
 (4.2)
Với
m
qB
 và v
y0
là vận tốc thành phần v
y
tại lúc t = 0.
Thay (4.2) vào phương trình thứ nhất của (4.1), ta có:
y0
2
2
2
v

m
qE
x
dt
xd
 (4.3)
Nghiệm tổng quát của phương trình (4.3) có dạng:




y0
2
21
v
m
qE
tcosCtsinCx (4.4)
C
1
và C
2
là các hằng số tích phân. Từ (4.4) ta có đạo hàm
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 11 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
tsinCtcosC
dt
dx
21


Từ điều kiện khi t = 0 thì x = 0; y = 0 và v
0x
= v
0y
= 0
Ta có C
1
= 0;
2
2
qB
mE
C 
Đặt C
1
và C
2
vào (4.4) và đưa kết quả của x vào (4.2), ta có:

















tsinRt
B
E
t
m
qB
sin
qB
mE
t
B
E
y
)tcos1(Rt
m
qB
cos1
qB
mE
x
0
2
0
2
(4.5)
Với

2
0
qB
mE
R  (4.6)
Các phương trình (4.5) là phương trình của đường cong cycloit như thấy trên hình 10. Đường cong cycloit
chính là quỹ đạo của một điểm trên đường tròn có bán kính R
0
nằm trong mặt phẳng Oxy và lăn trên trục Oy
với vận tốc góc

.
Phương trình (4.5) cũng cho thấy vận tốc trung bình của hạt điện theo trục y là u
B
E
 . Chuyển động của
hạt điện có thể xem gần như gồm chuyển động tịnh tiến theo trục y với vận tốc trung bình u và chuyển động
quay với tần số góc

. Độ cao cực đại của đường cycloit đạt được ứng với x
max
, khi 1tcos



hay





)1k2(t .
Ta có:
x
max
= 2R
0
Quỹ đạo của hạt điện cắt trục y tại những điểm cách đều nhau ứng với x
min
= 0 khi 1tcos


và



kt ,
hay
qB
k2k2
t





Vị trí các điểm cắt trục y của quỹ đạo hạt điện phụ thuộc k:
qB
mk2
B
E

)t(y
0x



Khi k = 1,
2
1
qB
mE2
y



2
k

,
12
y2y  …
 Khoảng cách giữa hai điểm cắt liên tiếp trên trục y:
2
qB
mE2
y


Các kết quả khảo sát trên đây được áp dụng để xét nguyên lý làm việc của đèn siêu cao tần manhêtron.
Điện trường trong đèn manhêtron được tạo bởi hai tấm kim loại đặt song song và cách nhau một khoảng d
(manhêtron phẳng) giữa chúng có một hiệu điện thế U. Một tấm phát ra êlectrôn có vận tốc đầu v

0
= 0. Các
êlectrôn này chuyển động và được tăng tốc nhờ điện trường
E

. Dưới tác dụng của từ trường
B

các êlectrôn này
chuyển động theo quỹ đạo cycloit, có bán kính
22
0
qdB
mU
qB
mE
R 
Nếu U nhỏ, bán kính R
0
nhỏ, chiều cao của cycloit nhỏ hơn khoảng cách d và các êlectrôn có thể tới anôt,
do đó dòng điện I = 0 giữa hai tấm kim loại.
Khi tăng dần hiệu điện thế U có thể đạt tới giá trị R
0
= d, các êlectrôn vừa vặn đạt tới anôt và gây nên
dòng anôt, 0I

.
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 12 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
N

-
-
-
+
+ +
10( )
l cm

E

F

0
v

x
y
M
O
Ngược lại, nếu U = const thì anôt có thể xuất hiện khi từ trường tương đối nhỏ. Từ trường B tăng, dòng
anôt giảm dần. Khi từ trường B đạt giá trị lớn nhất, bán kính cycloit có thể nhỏ đến mức các êlectrôn không thể
bay tới anôt được (hình 11).
Hình 11: Sơ đồ nguyên lý của Manhêtron phẳng
 Bài tập
Bài 1: Một tụ điện phẳng có hai bản cách nhau d = 5cm, chiều dài mỗi bản là l = 10cm. Hiệu điện thế giữa hai
bản tụ là U = 5000V. Một điện tử bay vào tụ điện với động năng ban đầu
4
0
10
d

W eV

theo phương song song
với các bản tụ như hình vẽ.
a. Viết phương trình quỹ đạo của điện tử, từ đó xác định độ lệch giữa điểm vào và điểm ra của điện tử theo
phương đường sức điện.
b. Xác định động năng của điện tử nhay khi bay ra khỏi tụ điện.
Bỏ qua tác dụng của trọng lực.
Bài giải:
NX: Với bài tập này thì phương pháp tọa độ là thích hợp nhất
a. - Áp dụng định luật II Niutơn cho điện tử, ta được:

 
.
F m a
- Chiếu phương trình lên hệ trục Oxy, ta được:




  


0
. .
.
x
y
a
e E e U

F
a
m m m d
- Phương trình chuyển động của điện tử:




 


0
2 2
. (1)
.
1 1
. . . . (2)
2 2 .
y
x v t
e U
y a t t
m d
- Từ (1), (2), ta được phương trình quỹ đạo của điện tử:

2
2
0
.
. (3)

2. . .
e U
y x
m d v
- Vận tốc ban đầu cuả điện tử được xác định bởi:
  
2 2
0
0 0 0
2.
1
. . (4)
2
d
d
W
W m v v
m
- Thay (4) vào (3), ta được:

  
2 2
4 2
0
.
5000
. 2,5. (5)
4. . 4.10 .5.10
d
e U

y x x
W d
- Phương trình (5) chính là phương trình quỹ đạo của điện tử, nó cho ta thấy quỹ đạo của điện tử là một
nhánh Parabol có đỉnh ở gốc tọa độ.
- Khi điện tử bay ra khỏi tụ điện, ta có:
 
0,1
x l m
- Thay vào (5), ta được độ lệch của điện tử :   
2
2,5.(0,1) 0,025( )
y MN m
b. Động năng của điện tử khi bay ra khỏi tụ điện tại điểm N.
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 13 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
-
-
-
+
+ +
+
-
0
v

-
-
-
+
+ +

+
-
0
v

O
x
y
E

F


NX: Ta có thể giải theo hai cách:
+ Cách 1: Sử dụng phương pháp tọa độ.
+ Cách 2: Sử dụng định lý động năng.
Dưới đây tôi trình bày theo hai cách để từ đó rút ra nhận xét.
Cách 1:
- Phương trình vận tốc của điện tử:





0
.
.
x
y y
v v t

v a t
- Khi điện tử bay ra khỏi tụ điện, ta có
0,1
x l m
 
- Từ (1), ta được:
   
0 0 0
.
.
y
e U
x l l
t v
v v m d v
- Vậy vận tốc của điện tử tại N ngay khi ra khỏi tụ là:
 
   
 
 
2
2 2 2
0
0
.
.
x y
e U
l
v v v v

m d v
- Vậy động năng của điện tử ngay khi ra khỏi tụ điện là:
 
 
 
  
 
 
 
 
2
2 2
0
0
.
1 1
. . . .
2 2 .
d
e U
l
W m v m v
m d v
=2.10
-15
(J)
Cách 2:
- Áp dụng định lý động năng, ta có:

 

    
 

0
0 0
0
15
.
. .
2.10 ( )
d d
d d d MN
d
W W A
W W A W e U
U
W e MN
d
J
Bài 2: Một êlêctrôn có vận tốc ban đầu v
0
bay vào khoảng không gian giữa hai tấm kim loại phẳng, rộng vô
hạn tích điện trái dấu qua một lỗ nhỏ O ở tấm tích điện dương. Vận tốc
0
v

hợp với tấm kim loại một góc

như hình vẽ. Khoảng cách giữa hai tấm là d, và hiệu điện thế giữa hai tấm kim loại là U. Bỏ qua tác dụng của
trọng lực.

a. Xác định phương trình quỹ đạo của êlêctrôn.
b. Xác định khoảng cách gần nhất từ êlêctrôn đến tấm tích điện âm trong quá trình chuyển động của êlêctrôn.
Coi tấm kim loại đủ dài để êlêctrôn chạm tấm tích điện âm ở trong khoảng không gian giữa hai tấm kim loại
như hình vẽ.
Bài giải:
NX: Điện trường trong khoảng không gian giữa hai tấm kim loại là điện trường đều có cường độ điện trường
U
E
d

- Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
- Trong quá trình điện tích chuyển động thì khoảng cách từ điện tích đến tấm tích điện âm được xác định
theo biểu thức:
 
h d y
Vậy để h nhỏ nhất thì y phải lớn nhất.
- Để xác định y
max
ta đi viết phương trình quỹ đạo của điện tích.
- Áp dụng định luật II Niutơn cho điện tử, ta được:
.
F m a

 
- Chiếu phương trình lên hệ trục Oxy, ta được:
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 14 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.




 


  


0
. .
.
x
y
a
e E e U
F
a
m m m d
- Phương trình chuyển động của điện tử:

 




   


0
2 2
0 0
( . ). (1)

.
1 1
( .sin ). . . ( .sin ). . . (2)
2 2 .
y
x v cos t
e U
y v t a t v t t
m d
- Từ (1), (2), ta được phương trình quỹ đạo của điện tử:


 
2
2 2
0
.
(tan ). . (3)
2. . .
e U
y x x
m d v cos
b. Phương trình vận tốc của điện tử:

 




   



0
0 0
( . ).
.
.sin . .sin .
.
x
y y
v v cos t
e U
v v a t v t
m d
- Khi điện tử đạt độ cao lớn nhất y
max
thì thành phần vận tốc theo phương Oy bằng không, ta được:


   
 
0
0
.
0 .sin . 0
.
. . .sin
.
y
e U

v v t
m d
m d v
t
e U
- Thay vào (3), ta được:


2 2
0
.(sin ). .
2. .
max
v m d
y
e U
- Vậy khoảng cách gần nhất từ êlêctrôn đến tấm tích điện âm là:

   
2 2
0
min
.(sin ). .
2. .
max
v m d
h d y d
e U
- Nếu
min

0
h

thì êlêctrôn chạm tấm tích điện âm.
Chú ý: Có thể xác định y
max
từ phương trình quỹ đạo.
Tọa độ điểm có y
max
là đỉnh của Parabol, ta có:


 
2 2
0
.(sin ). .
4. 2. .
max
v m d
y
a e U
Bài 3: Các hạt khối lượng m, mang điện tích q bay vào tụ điện phẳng dưới góc  so với mặt bản và ra khỏi dưới
góc . Tính động năng ban đầu của hạt, biết điện trường cường độ E, chiều dài bản tụ là l . Bỏ qua hiệu ứng bờ
của tụ điện.
Bài giải:
Gọi v
1
là vận tốc lúc hạt vào, thì động năng ban đầu của nó bằng
2
11

2
1
mvK  (1)
Gọi v
2
là vận tốc lúc hạt ra khỏi tụ điện, thì :
+ Thành phần vận tốc vuông góc với đường sức có độ lớn không thay đổi :

scovscov
12
 (2)




m, q
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 15 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.

K
V R
2

R
1

+ Thành phần vận tốc song song với đường sức thay đổi với gia tốc
m
Eq
a  và bằng t

m
Eq
vatvv 

sinsinsin
112
(3)
Trong đó:

scov
t
1
1
 (4)
Thay v
2
theo (2) và t theo (4) vào (3) được :


scovm
qE
vtgscov
1
11
1
.sin 
Suy ra:
2
1
2

mv
qEl
scotgsco 

sin
Do đó
 

tgtgsco
qEl
mvK


2
2
1
2
1
Bài 4: Một electron đang bay với vận tốc v
1
thì chuyển từ miền điện trường có điện thế

1
sang miền có điện thế 
2
. Hỏi nó sẽ chuyển động dưới góc  bằng bao nhiêu so với
mặt phân cách, nếu nó tới mặt đó dưới góc 
Bài giải:
Các miền có các điện thế


1
và

2
là các miền đẳng thế. Chuyển động của hạt tích
điện trong các miền đó là đều. Kí hiệu vận tốc chuyển động trong miền sau là v
2
, và áp
dụng định luật bảo toàn năng lượng
2
2
221
2
1
2
1
2
1

evmemv  suy ra


 
21
2
1
2
2
2
1


 evvm (1)
Trong đó

22
1
22
1
2
1
sinvscovv  và

22
2
22
2
2
2
sinvscovv  (2)
Để tìm mối liên hệ giữa các góc bay, ta chú ý thêm rằng hình mẫu thực tế của hai miền đẳng thế phân cách
nhau bằng một mặt phẳng có thể thực hiện được bằng một cặp lưới kim loại phẳng song song nằm rất sát nhau,
tích điện bằng nhau và trái dấu. Khi ấy điện trường ở khoảng không gian ngoài hai lưới bằng không, ở giữa hai
lưới là đều, có đường sức vuông góc với mặt các lưới. Nhờ thế khi bay qua “tụ điện phẳng” này thành phần
vuông góc của vận tốc bị thay đổi, còn thành phần tiếp tuyến của vận tốc (dọc theo mặt đẳng thế) không thay
đổi :

scovscov
12
 (3)
Thay (2) vào (1) và chú ý đến điều kiện (3) ta được




22
1
22
221
2
1
sinsin)( vvme 
Sử dụng hệ thức (3) một lần nữa ta được
 



2222
121
2
1
sin tgscomve
Suy ra


1
2
22
1
21







sinmv
e
tgtg
Bài 5:
.
Một chùm electron được phun ra từ một sợi dây đốt nóng K và được gia tốc nhờ một điện áp V cho đến
khi chui lọt qua một lỗ nhỏ trên một màn chắn nối đất. Hiệu điện thế gia tốc V phải bằng bao nhiêu để sau khi
v
1

(

1
) (
2
)


 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 16 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
2
1 3
N 4
N -1 5
N -2
được gia tốc các electron đi theo đường tròn cách đều hai bản của một tụ điện trụ. Bán kính các bản tụ điện trụ

là R
1
và R
2
, hiệu điện thế giữa chúng là V
0
.
Bài giải:
Gọi v là vận tốc sau khi gia tốc thì :
2
2
1
mveV 
(1)
Để các electron chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính r, lực điện trường phải đóng vai trò lực hướng tâm
21
22
2
RR
mv
r
mv
Ee

 (2)
trong đó E là cường độ điện trường tại nơi có bán kính
2
21
RR
r



. Thay mv
2
theo (1) được
21
4
RR
eV
Ee


(3)
Mặt khác, cường độ điện trường E trong tụ điện trụ và hiệu điện thế V
0
giữa hai bản tụ điện liên hệ với mật độ
điện tích dài q
0
trên ống trụ trong theo các hệ thức:
 
210
0
0
0
2 RR
q
r
q
E




và
1
2
0
0
0
2 R
R
q
V
ln


Nên
 
1
2
21
0
2
R
R
RR
V
E
ln
 (4)
Thay vào (3) ta được

1
2
0
2
R
R
V
V
ln

Bài 6: Tại các đỉnh của một đa giác đều gồm 2004 cạnh, có gắn các viên bi giống nhau, mang điện tích giống
nhau. Mỗi cạnh đa giác bằng a. Vào một thời điểm nào đó người ta thả một viên bi ra, và sau một khoảng thời
gian đủ lâu, người ta thả tiếp viên nằm cạnh viên đã thả lúc trước. Nhận thấy rằng khi đã cách đa giác một
khoảng đủ lớn thì động năng của hai viên bi đã thả chênh nhau một lượng bằng K. Hãy tìm điện tích q của mỗi
viên bi.
Bài giải:
Giả sử viên bi thứ nhất được thả từ đỉnh thứ N. Khi đã ở vô cùng (sau một khoảng thời gian đủ lớn), nó đạt
được động năng bằng thế năng tương tác ban đầu của nó với 1

N
điện tích còn lại










 12210
22
1
1111
42
NN
aaaa
qmv
K


Trong đó a
i
là khoảng cách từ các điện tích ở các đỉnh 1, 2 , đến q đặt tại đỉnh N. Riêng a
1
và a
N-1
là các
khoảng cách từ đỉnh cạnh nó và bằng a. Động năng của hạt thứ hai khi tới vô cùng được tính tương tự, nhưng
thiếu đi một số hạng của một điện tích cạnh nó, tựa như nó cũng được thả ra từ đỉnh N, nhưng đã thiếu mất điện
tích ở đỉnh N - 1 :










2210
22
1
111
42
N
aaa
qmv
K


 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 17 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
M A B N
Vậy :
a
q
KKK
0
2
21
4


suy ra : Kaq
0
4


Bài 7: Có hai điện tích điểm gắn cố định tại M và N. Người ta buông ra tại A một hạt mang điện tích q, thì nó

vượt quãng đường AB trong khoảng thời gian t. Hỏi nếu buông ra tại A hạt mang điện tích bằng 3q, thì nó vượt
quãng đường đó trong khoảng thời gian bao lâu ? Khối lượng các hạt như nhau.
Bài giải:
Giả sử hạt mất một khoảng thời gian dt để đi thêm đoạn ds khi nó đang có vận tốc v thì,
v
ds
dt  . Do đó
khoảng thời gian càn thiết để vật đi từ A tới B là
 

t B
A
v
ds
dtt
0
(1)
Tương tự, gọi v
2
là vận tốc tương ứng của hạt thứ hai, ta có
 

2
0
2
2
t B
A
V
ds

dtt
(2)
Ta tìm mối tương quan v
2
với v theo định lý về động năng


C
A
mVFdsA
2
2
1
(3) và


C
A
mVdsFA
2
222
2
1
(4)
Nhưng do qq 3
2
 nên FF 3
2
 . Thay vào (4) ta được



C
A
AFdsA 33
2
Hay là
2
1
2
2
2
1
3
2
1
vmv 

3
12
vv 
Thay vào (2) ta được


B
A
t
V
ds
t
33

1
1
2
Bài 8: Cho một tụ điện cầu không khí, bán kính hai bản là R
1
=1cm, và R
2
=3cm, hiệu điện thế giữa hai bản
U
0
=450V, bản trong tích điện dương.
a. Tính cường độ điện trường tại điểm cách tâm O của hai bản là 1,5cm.
b. Một electron chuyển động với vận tốc ban đầu bằng không dọc theo đường sức điện trường từ vị trí cách tâm
O một khoảng r
1
=2,5m. Tìm vận tốc của electron khi nó cách O một khoảng r
2
=1,5cm.
Bài giải:
a. Kí hiệu q là điện tích tụ điện. Cường độ điện trường tại điểm M trong khoảng giữa hai bản chỉ do bản trong
gây ra:

2
r
kq
E
 , với r=OM.
Biết điện dung của tụ điện :
 
1)(ε,

RRk
RR
C
12
21



Và áp dụng công thức q=CU
0
, suy ra:

 
12
021
RRk
URR
q


 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 18 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
v
a
M
T

H
R


O
●
●
φ
O
v

B

)t(v

l
Và từ đó
 
.V/m3.10
RRr
URR
E
4
12
2
021



b. Công của lực điện trường chuyển thành động năng của electron:
2
mv
A
2


Ta có dr
r
keq
eEdredVdA
2






2
1
r
r
21
21
2
rr
rrkeq
dr
r
keq
A



 
1221

21210
RRrr
rrRReU
A





 
m/s79,6.10
RRrmr
rrRR2eU
v
6
1221
21210




Bài 9: Một êlectrôn chuyển động trong một từ trường đều có cảm ứng từ là

B
. Tại thời điểm ban đầu êlectrôn ở
điểm O và có vận tốc

v
vuông góc với cảm ứng từ


B
. Tính khoảng cách l từ vị trí của êlectrôn ở thời điểm t
đến O. Cho độ lớn điện tích của êlectrôn là e và khối lượng của nó là m.
Giải: Giả sử tại thời điểm ban đầu vật ở vị trí O, có vận tốc

v vuông góc với

B
.
Chọn φ
o
= 0, ta có:φ = ωt trong đó
R
v
 với R là bán kính quỹ đạo của êlectrôn.
R được xác định theo công thức
eB
mv
R
 do đó: t
m
eB

Khoảng cách l từ vị trí electron ở vị trí O đến thời điểm t là:
t
m
eB
eB
mv
Rl

2
sin2
2
sin2 

Bài 10: Hai hạt mang điện nhỏ giống nhau có cùng khối lượng m và điện tích q, chuyển động đồng thời từ một
điểm theo phương vuông góc với vectơ cảm ứng từ
B

trong một từ trường đều. Hãy biểu diễn khoảng cách
giữa hai điện tích điểm theo thời gian, nếu vận tốc đầu của chúng cùng chiều và bằng
21
,vv


. Bỏ qua tương tác
tĩnh điện giữa hai điện tích.
Đáp số:
 
t
m
qB
vv
qB
m
l
2
sin
2
12


Bài 11: (Olympic 30/4-2011) Các electron sau khi gia tốc bởi một
điện áp U (không đổi) có vận tốc v

được bắn vào từ trường đều
B

(từ một ống phóng T) theo phương đường thẳng a (hình vẽ 3). Ở
một khoảng cách nào đó đối với ống phóng người ta đặt một máy
thu tại điểm M sao cho khoảng cách TM = d tạo với đường thẳng a
một góc

. Tìm độ lớn cảm ứng từ của từ trường đều để các
electron đi tới máy thu trong hai trường hợp sau:
a) Từ trường đều có đường sức vuông góc với mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và điểm M.
b) Từ trường đều có đường sức song song với đường thẳng TM.
Giải:
a/. Đường sức vuông góc với mp( a; M ):
- Lực Lorentz đóng vai trò là lực hướng tâm.
- Quỹ đạo của electron là đường tròn có bán kính R:
R =
m.v
B.e
(1)
- Để cho electron rơi vào bộ thu M, trên hình vẽ:
R =
TH TM
sin 2.sin
 
 (2)

 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 19 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
A
.
+
R
2
R
1
B

O
1 2
v

- Từ (1) & (2):
m.v
B.e
=
TM
2.sin

=> v =
TM.Be
2.m.sin

=
d.B.e
2.m.sin


(3)
- Mặt khác, electron đạt vận tốc v khi nó được tăng tốc bởi hiệu điện thế U, nên:

1
2
m.v
2
= e.U

v =
2.e.U
m
(4)
- Từ (3) & (4): B =
2.sin
d

2.m.U
e
b/. Đường sức song song với đường thẳng TM: hay

),( vB
- Phân tích
v

thành 2 thành phần vuông góc nhau:
Thành phần vuông góc với
B
: v
n

= v.sin

Thành phần song song với
B
: v
s
= v.cos

Quỹ đạo của hạt là đường đinh ốc, nếu nhìn theo phương của
B
thì nó là đường tròn có
bán kính r:
- Thời gian quay một vòng: T =
n
2
π.r 2π.m
=
v B.e
- Còn
s
v làm electron chuyển động thẳng đều với vận tốc v
s
= v.cos

dọc theo phương của
B
.
- Trong thời gian đó electron đã đi được một đoạn dài là h và gọi là bước ốc:
h = v
s

.T =
2
π.m.v.cosα
B.e
(5)
- Mà: d = N.h , với N là số bước ốc. Suy ra: h =
d
N
(6)
- Từ (5) & (6): B =
2
π.N.m.v.cosα
d.e
(7)
- Mặt khác, electron đạt vận tốc v khi nó được tăng tốc bởi hiệu điện thế U, nên:
1
2
m.v
2
= e.U

v =
2.e.U
m
(8)
- Thay (8) vào (7). Ta được: B =
2
π.N.cosα
d
2.m.U

e
Bài 12: Cho hai ống kim loại mỏng hình trụ (1) và (2), có bán kính lần lượt là R
1
= 5cm, R
2
= 6cm. Hai trụ trên
được lồng vào nhau và đồng trục, giữa chúng là không khí. Tích điện trái dấu cho hai trụ sao cho mật độ điện
tích dọc theo trục hình trụ có dạng :
0
2
1
2
ln
U
R
R



 
 
 
, trong đó U là hiệu điện thế giữa hai trụ. Người ta tạo ra trong
khoảng không gian giữa hai trụ một từ trường đều B = 0,2T, các đường sức từ song song với trục hình trụ và có
chiều như hình 2. Khoét một lỗ ở trụ ngoài rồi bắn một hạt  có năng lượng W = 100eV bay vào chính
giữa hai trụ theo phương vuông góc bán kính và nằm trong mặt phẳng hình vẽ. Hiệu điện thế giữa trụ (1) và trụ
(2) là bao nhiêu để hạt  luôn chuyển động cách đều hai trụ. Bỏ qua tác dụng của trọng lực. Cho biết: m

=
6,64.10

-27
kg; q

= 2|e| = 3,2.10
-19
C; 1eV = 1,6.10
-19
J.
r =
n
m.v m.v.sin
α
=
q .B q .B

 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 20 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Giải:
- Khi bay vào trong không gian có điện trường và từ trường, hạt

chịu lực điện từ:


BvqEqF




 (1)
- Để hạt không bị lệch về các bản mặt trụ thì

F

phải đúng bằng lực hướng tâm, là lực cần thiết để giữ hạt bay
trên quỹ đạo tròn có bán kính:
cm
RR
R 5,5
2
65
2
21




 (2)
- Nhận thấy lực điện Eq

. và lực từ


Bvq


. có cùng phương, lực từ hướng vào trục hìnhtrụ.
- Giả sử trụ trong tích điện dương, trụ ngoài tích điện âm, khi đó lực điện sẽ hướng raxa trục và U = V1 – V2 >
0.
- Áp dụng định luật II Niu tơn cho hạt

:

R
mv
qEBvq
2

(3)
- Từ công thức
m
W
v
mv
W
2
2
2
 (4)
- Cường độ điện trường giữa hai trụ:
1
2
0
ln
2
R
R
R
U
R
E
R




(5)
- Thay (4) và (5) vào (3) ta có:
R
W
R
R
R
qU
m
W
qB
2
ln
2
1
2
 (6)
1
2
ln
22
R
R
R
W
m
W
qB

q
R
U









(7)
-Thay số vào (7), ta tính được: U 121V
-Do U > 0 nên điều giả sử trên là đúng. Vậy hiệu điện thế giữa trụ trong so với trụ ngoài là 121V.
Bài 13: Hai quả cầu nhỏ có điện tích và khối lượng lần lượt là q
1
, m
1
; q
2
, m
2
. Ban đầu chúng có vận tốc giống
nhau (cả hướng và độ lớn). Chúng bắt đầu chuyển động vào một điện trường đều. Sau một khoảng thời gian
người ta thấy hướng chuyển động của quả cầu 1 quay đi một góc 60
o
và độ lớn vận tốc giảm đi hai lần, còn
hướng chuyển động của quả cầu 2 thì quay đi một góc 90
o

.
a) Hỏi vận tốc quả cầu 2 thay đổi bao nhiêu lần?
b) Xác định tỷ số
2
2
2
m
q
k
 theo
1
1
1
m
q
k
 .
Giải :
a) Gọi v
o
là vận tốc đầu của mỗi quả cầu. v
1
là vận tốc của quả cầu 1 khi quay góc 60
o
. v
2
là vận tốc của quả cầu
2 khi quay góc 90
o
.

- Theo đề bài cho
2
1
o
v
v
 .
- Gia tốc của mỗi quả cầu là không đổi trong quá trình chuyển động.
- Chọn hệ trục Oxy như hình (với Oy  v
o
).
- Xét quả cầu 1:
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 21 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
v
1
v
o
q
1
60
o
v
o
q
2
v
2
x
E

y
E
x
y
O
F


1
F

2
F

V

 
 




















)2(
60sin
2
60sin
)1(
60cos
2
60cos
1
1
1
1
1
1
1
1
t
v
t
v
m
Eq
a

t
v
v
t
vv
m
Eq
a
o
o
o
y
y
o
o
o
o
o
x
x
.
Xét quả cầu 2:

















)4(
)3(
0
2
2
2
2
2
2
2
t
v
m
Eq
a
t
v
t
v
m
Eq
a

y
y
oox
x
.
Lập tỷ số:
3
60sin
2
60cos
2
)4(
)3(
;
)2(
)1(
2
2
oo
o
o
o
o
o
y
x
v
v
v
v

v
v
v
E
E


 .
b) Lập tỷ số:
12
2
1
2
2
1
1
3
4
4
3
60cos
2
.
)3(
)1(
kk
k
k
v
v

v
q
m
m
q
o
o
o
o



.
Bài 14: Một hạt có điện tích q bay vào vùng không gian có hai trường đều vuông góc với nhau: điện trường
E

và từ trường
B

. Giả sử trong vùng này hạt còn chịu tác dụng của lực ma sát
F

= -h
V

(h là hằng số dương
còn
V

là vận tốc của hạt). Hãy tìm vận tốc đã ổn định của hạt.

Giải
Khi vận tốc của hạt đã ổn định, hợp lực của các lực tác dụng lên hạt cân bằng nhau và hạt chuyển động
thẳng đều với vận tốc không đổi bằng
v

. Các lực tác dụng lên hạt gồm lực ma sát
F

= -h
V

có hướng ngược
với hướng chuyển động; lực từ
F

= - q
V



B

có phương vuông góc với phương chuyển động và lực điện
F

= -q
E

. Hệ lực này là hệ lực cân bằng, có hợp lực bằng 0:
F


+
1
F

+
F

2
= 0 (1)
- Chiếu (1) lên hướng chuyển động và lên hướng của lực từ, ta có:
-hV +
q Ecos 0
 
(2)

q VB q Esin 0
  
(3)
- Trong đó  là góc giữa hướng chuyển động và hướng lực điện.
- Giải hệ (2) và (3) tìm được độ lớn vận tốc V và góc :
V =
2 2 2
q E
h q B

(4)
cos =
2 2 2
h

x
h q B
(5)
Bài 15: (HSG QG 2008) Xiclôtrôn là máy gia tốc hạt tích điện đầu tiên của vật lý hạt nhân (1931). Nó gồm có
hai hộp rỗng có dạng trụ nửa hình tròn gọi là các D, đặt cách nhau một khoảng rất nhỏ (khe) trong một buồng
được rút hết không khí (hình vẽ). Các D được nối với hai cực của một nguồn điện sao cho giữa hai D có một
hiệu điện thế với độ lớn U xác định, nhưng dấu lại thay đổi một cách tuần hoàn theo thời gian với tần số f nào
đó. Một nam châm điện mạnh tạo ra một từ trường đều, có vectơ cảm ứng từ
B

vuông góc với mặt các D (mặt
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 22 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
phẳng hình vẽ). Giữa hai thành khe của xiclôtrôn có một nguồn phát ra hạt

(khối lượng

m
) với vận tốc ban
đầu là v
0
= 10
7
m/ s vuông góc với khe, lúc ấy người ta điều chỉnh nguồn điện để cho D bên phải tích điện âm,
D bên trái tích điện dương. Sau đó hạt

chuyển động với vận tốc tăng dần cho đến khi đủ lớn thì nó được lái ra
ngoài cho đập vào các bia để thực hiện các phản ứng hạt nhân.
Cho


m = 6,64.10
-27
kg, điện tích nguyên tố e =1,6.10
-19
C, B = 1T, U = 2.10
5
V.
1. Chứng minh rằng trong lòng các D quỹ đạo của hạt

là nửa đường tròn. Tìm mối liên hệ của bán kính
quỹ đạo vào khối luọng, vận tốc, điện tích của hạt

và cảm ứng từ B. Với chiều đi của hạt

như trong hình
vẽ thì
B

hướng ra trước hay sau mặt phẳng hình vẽ?
2. Nếu lần nào đi qua khe hạt

cũng chuyển động cùng chiều với điện trường do U sinh ra thì lần nào nó
cũng được tăng tốc. Để có sự đồng bộ này, f phải thoả mãn điều kiện gì và lấy giá trị bằng bao nhiêu? Tính vận
tốc v
n
của hạt

khi đi trên nửa đường tròn thứ n và bán kính R
n
của nửa đường tròn đó. Nếu bán kính của nửa

đường tròn cuối là 0,5m thì hạt

đã chuyển động được khoảng bao nhiêu vòng? Tính vận tốc trước khi ra
ngoài của nó?
3. Nếu tần số f lấy giá trị như đã tính ở ý 2 (của câu này) và giữ không đổi, đồng thời tiếp tục cho hạt

chuyển động tăng tốc đến vận tốc ngưỡng v
ng
= 10
5
km/s thì không điều chỉnh đồng bộ được nữa.
a. Giải thích nguyên nhân.
b. Nêu mối liên hệ tốc độ góc của hạt

với f.
c. Để sự tăng tốc của hạt

đồng bộ với sự đảo chiều của hiệu điện thế thì bán kính tối đa của các D bằng bao
nhiêu?
Giải
1. Trong lòng D chỉ có từ trường tác dụng, lực Lorenxơ lên hạt
F 2ev B
 
 

,
e 0

là điện tích nguyên tố.
Lực Lorenxơ

F v



nên là lực hướng tâm
2
m v
2evB
R


Suy ra quỹ đạo của hạt  là nửa vòng tròn, bán kính
m v
R
2eB

 (1)
B

hướng từ phía trước ra phía sau (đi vào) mặt phẳng hình vẽ.
2. Hạt  đi được một vòng thì
U
phải đổi chiều 2 lần, tức là chu kì chuyển động của hạt  và chu kì đổi chiều
của U phải bằng nhau

m
2 R 1 eB 2eB
T f , 2 f
v eB T m m



 
 


        
 

 
(2)
19
27
eB 1, 6.10 .1
f 7,67MHz
m 3,14.6,64.10



  

Cứ mỗi một lần đi qua khe, hạt  lại thu thêm được một động năng bằng
2eU
. Như vậy nếu hạt  qua khe
lần thứ n và đi trên nửa vòng tròn n, động năng của hạt  tăng thêm một lượng
2neU
. Động năng ban đầu của
hạt là
2
0 0
1

K m v
2

 . Như vậy động năng của hạt  khi đi trên nửa vòng tròn n là
2 2
0 0 n
1 1
K K 2neU m v 2neU m v
2 2
 
     . Vận tốc của hạt  khi đi trên nửa vòng tròn n là
2
n 0
4neU
v v
m

  (3)
Theo (1) bán kính của nửa vòng tròn n là
2
0
n
n
4neU
m v
m
m v
R
2eB 2eB





 
(4)
Từ (4) suy ra
2
2
27 19
2 14
n
0
19 5 27
m
2eBR
6,64.10 2.1,6.10 .1.0,5
n v 10 24
4eU m 4.1,6.10 .2.10 6,64.10
 

 

 
 
 
 
 
 
    
 

 
 
 
 
 
 
 
lượt
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 23 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Số vòng mà hạt  đã chuyển động là  12.
Từ (3) suy ra sau 12 vòng, vận tốc của hạt  là
7
v 2, 4.10 m / s
 .
3. a. Khi vận tốc của hạt tăng, do hiệu ứng tương đối tính khối lượng của hạt  tăng theo hệ thức Einstein
2
m
m
v
1
c


 

 
 
, nên tốc độ góc của nó theo (2) giảm. Thành thử nếu tần số f của U giữ không đổi thì hạt 
đến khe chậm hơn trước, đáng lẽ vào lúc tăng tốc thì lại đi ngược chiều điện trường và sẽ bị hãm.

b.
2 2
2eB 2eB v v
1 2 f 1
m m c c


   
      
   
   
c.
27 8
max
2 2
8
19
8
m v
mv 6,64.10 .10
R 2,2m
2eB
v
10
2eB 1
2.1, 6.10 .1. 1
c
3.10




   
   


 
 
 
 
.
Bài 16: (HSG QG 2009). Giả sử trong không gian Oxyz có một trường lực. Một vật khi đặt trong đó sẽ chịu tác
dụng của một lực, lực này có cường độ F=kr (k là hằng số) và luôn hướng về 0), với
222
zyxr  là
khoảng cách từ vị trí đặt vật đến tâm O.
Lúc đầu một hạt có khối lượng m, điện tích q>0 chuyển động trong trường lực trên. Đúng vào thời điểm vật có
vận tốc bằng 0 tại điểm có tọa độ (R,0,0) thì người ta đặt một từ trường đều có cảm ứng từ
B

dọc theo Oz. Bỏ
qua tác dụng của trọng lực. xét chuyển động của hạt kể từ thời điểm trên.
1. Tìm các tần số đặc trưng của hạt.
2. Viết phương trình chuyển động của hạt.
Gợi ý: Nghiệm của một số hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể tìm dưới dạng



tsin ,




tcos .
Giải:
Giả sử thời điểm t vật có toạ độ (x, y, 0).
Phương trình động lực học:
L
F F ma
 
  
với
L
F kr, F q(v,B).
  
    
Chiếu xuống hai trục toạ độ, ta thu được
hệ phương trình vi phân tuyến tính sau:
k qB
x '' x y'
mx '' kx qBy'
m m
(1)
my'' ky qBx ' k qB
y'' y x '
m m

  

  




 
  


  


Tìm nghiệm dưới dạng:
x Acos( t ); y Csin( t )
      
. Thay vào (1) thu được hệ phương trình cho A và C:
2
2
k qB
A C 0
m m
(2)
qB k
A C 0
m m
 
 
   
 

 


 


    
 

 

Đặt
B 0
qB k
;
2m m
   
2
2 2
B B 0
qB qB k
2m 2m m
 
          
 
 
, ta chọn 2 nghiệm ứng với (+ +) và (- +)
2 2 2 2
1 B B 0 2 B B 0
;
             
Thay 
1
và 
2

vào (2) ta thu được:
2 2 2 2
1 0 0 2
1 1 2 2
1 B 2 B
2( ) 2( )
C A ; C A
   
  
   
Như vậy nghiệm tổng quát:
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 24 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
// C

O
M
r

M
0
0
0
v

r
0
v



1 1 2 2
2 2 2 2
0 1 0 2
1 1 2 2
1 B 2 B
x(t) A cos( t ) A cos( t )
2( ) 2( )
y(t) A sin( t ) A sin( t )
       


     

       

   

x y
t 0;v 0; v 0; x R; y 0
    
2 2 2 2
0 2 1 0
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
A R; A R
     
  
     
   

2 2 2 2
1 0 2 1 0 1
2 2
1 2
2 2 2 2
1 0 2 0
1 2
2 2
B 1 2 1 2
R
x(t) cos t cos t
2R( )( )
sin t sin t
y(t)
( )

 
        

 
  



 
     
 

 
 


     
 

Bài 15: (HSG QG chọn ĐTQT 2009). Trong vùng không gian xung quanh điểm O tồn tại một từ trường. Cảm
ứng từ tại điểm M bất kì (
OM r



) là
2
k r
B
r r



với k là một hằng số. Ở thời điểm t = 0, tại điểm
0 0 0
M (OM r )

có một hạt điện tích q, khối lượng m chuyển động với vận tốc
0
v

vuông góc với
0
OM .
Bỏ qua trọng lực và lực

cản.
1. Chứng minh rằng độ lớn vận tốc v của hạt không đổi trên cả quỹ đạo của hạt.
2. Bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian của tích vô hướng
r.v


rồi tính tích vô hướng đó để:
a) Tìm sự phụ thuộc vào thời gian của bình phương khoảng cách từ hạt đến điểm O và của cot, với 
là góc lập bởi
v

và
r

ở thời điểm t.
b) Tính  ở thời điểm mà
0
r 2r
 .
3. Bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian của tích hữu hướng
r v



, rồi tính tích hữu hướng đó để suy ra
quỹ đạo của hạt nằm trên một mặt nón đỉnh O. Hãy tính nửa góc ở đỉnh của hình nón đó theo k, m, q,
0
r
và
0

v .
Gợi ý: Cho công thức
2
r (v r) v.r r.(v.r).
   
   
  
Giải:
1. Phương trình chuyển động
dv
F m qv B
dt
  

 

(1)
Điều này có nghĩa là
F

luôn vuông góc với
v

, tức
F.v 0



hay
dv

m .v 0
dt



hay
2
dv
0
dt


2 2
0
v const v
 
tức là
0
v v

.
2. a) Lấy đạo hàm của tích vr


. ta được

2
d dv
(r.v) v r
dt dt

 

 

Theo (1) và theo biểu thức của cảm ứng từ
B

, ta có

3
dv q kq
r r(v B) r(v r)
dt m mr
   


   
 
Vì )( rvr





nên suy ra 0).(  Bvr



.
Theo câu 1,

0
vv  , nên cuối cùng ta có
2
0
d
(r.v) v
dt



. Lấy tích phân này ta được:
2
0 1
r.v v t C
 


với C
1
là một hằng số. Dùng điều kiện ban đầu, tại t = 0,
r.v 0



(vì
00
vr


 ) suy ra C

1
= 0. Kết
quả ta được:
2
0
r.v v t



(2)
* Để xác định r(t), ta viết phương trình (2) dưới dạng:
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 25 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
C
kq
m
0 0
r v


2
0
dr
2r 2v t
dt



hay
2

2
0
dr
2v t
dt

Lấy tích phân ta được:
2 2 2
0 2
r v t C
 
.
Vì tại t = 0,
0
rr  , suy ra
2 2 2 2
0 0
r v t r
 
(3)
Vậy
2
r
là hàm bậc nhất của bình phương thời gian.
* Hệ thức (2) có thể viết lại dưới dạng
2
0 0
rv cos v t
  hay
o

v t
cos
r
  . Suy ra

2
2
2 2 2
0
1 r
tan 1 1
cos v t
    

Theo (3), cuối cùng ta được

2 2 2 2
2
0 0 0
2 2 2 2
0 0
v t r r
tan 1
v t v t

   


0
o

v
cot t
r
  (4)
Như vậy,
cot

là hàm tuyến tính của thời gian, tăng từ 0 đến

trong suốt quá trình chuyển động, tức là
góc

giảm từ 2/

tới 0; do đó, vận tốc ban đầu vuông góc với vectơ bán kính rồi dần dần định hướng theo
hướng của
r

.
b)
0
r 2r
 tại thời điểm t sao cho, theo (3),
0 0
v t r

. Thay vào (4), ta được
cot 1
 
, suy ra

0
45
  .
3. Tính đến (1) và chú ý rằng
dr
v v v 0
dt
   

  
, ta có:

3
d dr dv dv q kq
(r v) v r r r (v B) r (v r)
dt dt dt dt m mr
            

 

     
   
Theo hệ thức gợi ý trong đề bài
2
r (v r) v.r r.(v.r)
   
   
  
, ta có:

2 2
d kq v r r kq 1 dr r dr
(r v) v.
dt m r r r m r dt r dt
 
   
    
 
 
 
   
 
   


 
vì
r dr
v.
r dt



- đây chính là thành phần của vận tốc theo phương bán kính vectơ. Lưu ý rằng
2
1 dr r dr d r
r dt r dt dt r
   
 
 

 
   
  
, suy ra

2
d kq 1 dr r dr kq d r
(r v)
dt m r dt r dt m dt r
   
   
 
 
   
  


Lấy tích phân hai vế, ta được:
kq r
r v C
m r
  




(5)
Trong đó C

là một vectơ không đổi, có độ lớn tính được từ hình bên dùng (5) và điều

kiện ban đầu tại t = 0,
0
r r

và
0
v v

).
Theo định lý Pitago:
2
2
0 0
kq
C (r v )
m
 
 
 
 
(6)
Theo tính chất của tích hữu hướng và (5)

kq kq
r(r v) 0 r C.r r Ccos
m m
 
      
 
 


  

Với

là góc tạo bởi vectơ C

và vectơ
r.

Từ phương trình trên suy ra:

kq
cos const
mC
    (7)