Đề HSG Toán 6 2012-2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆT YÊN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN 6
Thời gian làm bài:120 phút
Câu 1: (4 điểm). Thực hiện phép tính
a) A =
2 2 9 2 6 2 14 4
28 18 29 18
5.(2 .3 ) .(2 ) 2.(2 .3) .3
5.2 .3 7.2 .3
−
−
b) B = 81.
12 12 12 5 5 5
12 5
158158158
7 289 85 13 169 91
: .
4 4 4 6 6 6
711711711
4 6
7 289 85 13 169 91
 
− − − + + +
 
 
 
− − − + + +
 

Câu 2: (4 điểm)
a) So sánh P và Q
Biết P =
2010 2011 2012
2011 2012 2013
+ +
và Q =
2010 2011 2012
2011 2012 2013
+ +
+ +
b) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b) = 420; ƯCLN(a,b)=21 và a +21 = b.
Câu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y
M
37 thì 13x +18y
M
37
b) Cho A =
2 3 4 2012
1 3 3 3 3 3
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
+ + + + + +
và B =
2013
3
( ) : 2
2
Tính B – A

Câu 4. (6 điểm).
Cho
·
xAy
, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy
điểm D sao cho AD = 4 cm.
a) Tính BD.
b) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết
·
BCD
= 80
0
,
·
BCA
= 45
0
. Tính
·
ACD
.
c) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK
Câu 5: (2 điểm)
Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x
2
– 2x + 1 = 6y
2
-2x + 2

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………………………. Số báo danh :………
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ
ĐÀO TẠO
VIỆT YÊN
HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN LỚP 6
Thời gian làm bài:120 phút

Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(4đ)
a) Ta có:
2 2 9 2 6 2 14 4
28 18 29 18
5.(2 .3 ) .(2 ) 2.(2 .3) .3
A
5.2 .3 7.2 .3
−
=
−

18 18 12 28 14 4
28 18 29 18
5.2 .3 .2 2.2 .3 .3
5.2 .3 7.2 .3
−
=
−

30 18 29 18
28 18
5.2 .3 2 .3
2 .3 (5 7.2)
−
=
−

29 18
28 18
2 .3 (5.2 1) 2.9
2
2 .3 (5 14) 9
−
= = = −
− −
KL:…
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
b) Ta có: .
12 12 12 5 5 5
12 5
158158158
7 289 85 13 169 91
81. : .
4 4 4 6 6 6

711711711
4 6
7 289 85 13 169 91
B
 
− − − + + +
 
=
 
 
− − − + + +
 

1 1 1 1 1 1
12 1 5 1
158.1001001
7 289 85 13 169 91
81. : .
1 1 1 1 1 1
711.1001001
4 1 6 1
7 289 85 13 169 91
 
   
− − − + + +
 ÷  ÷
 
   
 
=

   
 
− − − + + +
 ÷  ÷
 
   
 

12 5 158
81. : .
4 6 711
 
=
 ÷
 
18 2 324
81. . 64,8
5 9 5
= = =
KL:…………
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 2
(4đ)
a) Ta có:
Q =
2010 2011 2012
2011 2012 2013

+ +
+ +
=
2010
2011 2012 2013+ +
+
2011
2011 2012 2013+ +
+
+
2012
2011 2012 2013+ +
Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2010; 2011; 2012
thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q
Kết luận: P > Q
1 đ
0,75 đ
0,25 đ
b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :
+ Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
a = 21m; b = 21n (1)
và ƯCLN(m, n) = 1 (2)
+ Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra :
( )
( )
BCNN 21m; 21n 420 21.20
BCNN m; n 20 (3)
⇒ = =
⇒ =
+ Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra :

21m 21 21n⇒ + =

( )
21. m 1 21n m 1 n (4)⇒ + = ⇒ + =
0.5đ
0.5đ
Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có Trường hợp :
m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện (4).
Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là : a = 21 . 4 =
84; b = 21 . 5 = 105
0.5đ
0.5đ
Câu 3
(4đ)
a) Ta có:
5(13 18 ) 4(7 4 ) 65 90 28 16x y x y x y x y+ − + = + − −

37 74 37( 2 ) 37x y x y= + = + M
Hay
5(13 18 ) 4(7 4 ) 37x y x y+ − + M
(*)
Vì
7 4 37x y+ M
, mà (4;37) = 1 nên
4(7 4 ) 37x y+ M
Do đó, từ (*) suy ra:
5(13 18 ) 37x y+ M
, mà (5; 37) = 1 nên
13 18 37x y+ M

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
b)Ta có:

2 3 4 2012
2 3 4 2013
1 3 3 3 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) (1)
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) (2)
2 4 2 2 2 2
A
A
= + + + + + +
=> = + + + + +
Lấy (2) – (1), ta được:

2013
3 3 3 1 3
( )
2 2 4 2 2
A A− = + − −

2013
2013
2012
1 3 1 3 1

( )
2 2 4 2 2
A A= + => = +
Vậy
2013 2013
2014 2012
3 3 5
2 2 2
B A− = − +
.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 4
(6đ)
Hình vẽ:
.

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax
⇒
A nằm giữa D và B
⇒
BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm)
KL:…
b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

·
·
·

·
·
·
0 0 0
80 45 35
ACD ACB BCD
ACD BCD ACB
⇒ + =
⇒ = − = − =
KL:….
c) * Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax
- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
y
C
A BD x
- Suy ra: AK + KB = AB
⇒
KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm)
A
x
D
B

K
* Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax
- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B
- Suy ra: KB = KA + AB
⇒
KB = 6 + 2 = 8 (cm)

A
D
B
x
K
* Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 8 cm
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu 5
(2đ)
Ta có: x
2
– 2x + 1 = 6y
2
-2x + 2
=> x
2

– 1 = 6y
2

⇒
6y
2
= (x-1).(x+1)
M
2 , do 6y
2

M
2
Mặt khác x-1 + x +1 = 2x
M
2
⇒
(x-1) và (x+1) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Vậy (x-1) và (x+1) cùng chẵn
⇒
(x-1) và (x+1) là hai số chẵn liên tiếp
⇒
(x-1).(x+1)
M
8
⇒
6y
2

M

8
⇒
3y
2

M
4
⇒
y
2

M
4
⇒
y
M
2

⇒
y = 2 ( y là số nguyên tố) , tìm được x = 5.
Kết luận:…….
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm.
- Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
- Bài hình không có hình vẽ thì không chấm.

- Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ).