ĐÈ VÀ ĐÁP ÁN TOÁN 11 HSG THPT CON CUÔNG

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THPT-DTNT CON CUÔNG Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013
(Thời gian làm bài 150 phút).
Câu I. Cho phương trình: cosx +(1-cosx ) =m
a. Giải phương trình với m =
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
CâuII.
a. Tim giới hạn:
213
1212
lim
2012
2013
2
1
−+
−−−
→
x
xx
x
b. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = sinx.cosx
( Với 0< x< . n, m là các số tự nhiên lớn hơn 1)
Câu III.
a. Cho dãy số xác định bởi công thức sau:







++=
=
+
nnn
uuu
u
5241
0
2
1
1
( )
1, ≥∈ nNn

Chứng minh dãy số có các số hạng đều là số nguyên.
b. Xác định công thức số phần được chia ra của mặt phẳng từ n đường thẳng
nằm trong mặt phẳng, đôi một cắt nhau và không có ba đường thẳng nào
đồng quy.

Câu IV. Cho hình chóp S.ABC. Các mặt phẳng (SAB), (SAC), (SBC) đều tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc bằng nhau và bằng 60. Biết tam giác ABC có các cạnh
là AB = 7, AC = 8, BC = 9. Tìm tổng diện tích các mặt của hình chóp.
Câu V. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Lấy điểm M trên đường thẳng AC,
lấy N trên đường thẳng DC’. Biết MN// BD’. Tính tỉ số :

(Hết)
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11

Câu I: ( 4 điểm)
a.
Đặt cosx = - t ⇒ 1- cosx = + t
0,5
Phương trình có dạng: ( -t) + ( +t) = ⇔ 2t +3t =0
0,5

2
2
0
3
(loai)
2
t
t

=

⇔

= −


0,5

0
=⇔
t

Z)(k

2
3
2
3
2
1
cos ∈






+−=
+=
⇔=⇔
π
π
π
π
kx
kx
x

0,5
b.
Đặt cosx = - t ⇒ 1- cosx = + t
Phương trình có dạng: ( -t) + ( +t) = m ⇔ 2t + 3t + - m=0
0,5
Đặt y = t =( -cosx) (

)
4
9
0 ≤≤ y
0,25
phương trình có dạng:
0
8
1
32
2
=−++ myy
(1) phương trình đã cho có nghiệm
khi phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong






4
9
;0
0,5
phương trình (1) có nghiệm khi
10880 −≥⇔≥+⇔≥∆ mm
0,25
các nghiệm là:







∆+−
=
∆−−
=
4
3
4
3
2
1
y
y
để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong






4
9
;0
0,25
Bài toán thỏa mãn khi :
17
8

1
123
4
9
4
3
0 ≤≤⇔≤∆≤⇔≤
∆+−
≤ m
Vậy phương đã cho có nghiệm khi
17
8
1
≤≤ m
0,25
Câu II ( 4 điểm)
a.
Tim giới hạn:
213
1212
lim
2012
2013
2
1
−+
−−−
→
x
xx

x

−
−+
−−
=
→
213
112
lim
2013
2
1
x
x
x
213
112
lim
2012
1
−+
−−
→
x
x
x
= A - B
0,5

(
)
2013
20112
2013
20122
1
2013
2
1
1 )12()12()1(3
)213)(1)(1(2
lim
213
112
lim
++−+−−
+++−
=
−+
−−
=
→→
xxx
xxx
x
x
A
xx
0,25

(
)
2013.3
16
)1 111(3
16
1 )12()12(3
)213)(1(2
lim
2013
20112
2013
20122
1
=
++++
=
++−+−
+++
=
→
xx
xx
x
0,25

(
)
2012
2010

2012
2011
1
2012
1
1 )12()12()1(3
)213)(1(2
lim
213
112
lim
++−+−−
++−
=
−+
−−
=
→→
xxx
xx
x
x
B
xx
0,25

( )
2012.3
8
1 )12()12(3

)213(2
lim
2012
2010
2012
2011
1
=
++−+−
++
=
→
xx
x
x
0,25
Vậy
2013.2012.3
2012.8
2012
1
2013
2
3
8
213
1212
lim
2012
2013

2
1
=






−=
−+
−−−
→
x
xx
x
0,5
b.
Ta có sin x > 0, cosx > 0 ⇒ y > 0
0,25
y = sinx.cosx = (1-cosx).cos x 0,25
Đặt a = cosx ( 0 < a < 1) Vậy y = (1-a) a 0,25
y = (1-a) a =n .m. . . .
( có n thừa số , và m thừa số )

mn
mn
mn
mn
mn

mn
nm
m
a
m
a
m
a
n
a
n
a
n
a
mn
+
+
+
=










+

++++
−
+++
−
+
−
≤
)(
.

1

11



mn
mn
m
mn
n






+







+
=
.
0,5
Vậy Maxy=
22
.
mn
nm
m
nm
n






+






+

0,5
dấu bằng xảy ra khi cosx = ⇔ cosx =
0,25
Câu III ( 4 điểm)
a.
Từ giải thiết ta có
12410251245
2
1
22
1
2
1
+=−+⇒+=−
+++
nnnnn
n
nn
uuuuuuuu
0,25

0110
2
1
2
1
=−+−⇔
++
nnnn
uuuu

(1)
0,25
Trong (1) thay n bằng n-1 ta có
0110
2
1
2
1
=−+−
−−
nnnn
uuuu
(2)
Vậy từ (1) và (2) u và u là hai nghiệm của phương trình

0110
22
=−+−
nn
uxux

0,5
Theo định lí Viet suy ra u + u = 10u
Ta có (*)
0,5
Mà u= 0, u = 5u + = 1
Từ (*) ta có các số hạng của dãy số đều là số nguyên
0,5
b.
Ta gọi P(n) là số phần mặt phẳng do n đường thỏa mãn bài ra tạo thành. Ta xét

n+1 đường thẳng bất kỳ thỏa mãn bài ra theo giả thiết n đường thẳng đầu chia
mặt phẳng thành P(n) phần.
0,25
Còn đường thẳng dthứ n+1 bị cắt tại n điểm khác nhau với n đường thẳng đầu.
Như vậy d được chia ra n+1 phần hay d đi qua n+ 1 phần và mỗi phần được chia
làm đôi do đó d tạo thêm n+1 phần mới,
0,25
nghĩa là: P(n+1) = P(n) + n + 1 (∗)
0,5
Trong (∗) thay n +1 bởi n, n-1,n-2, n-3, ,2,1.
0,5
Ta có P(n) = P(n-1) + n
P(n-1) = P(n-2) + n-1
P(n-2) = P(n-3) + n-2
P(n-3)= P(n-4) + n-3



P(3) = P(2) + 3
P(2) = P(1) +2
P(1) = 2
Cộng các vế tương ứng ⇒ P(n) = 1+(1+2+3+ + n-1+n =1+
Vậy P(n) =
0,5
CâuIV ( 4 điểm)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
(ABC).
0,5
Từ H Hạ vuông góc với AB, BC, AC lần lượt tại
M, N, P. 0,5

các tam giác SHM. SHN, SHP là các tam
giác bằng nhau ⇒ HM = HN = HP ⇒ H là tâm đường
0,5
⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC
0,5
S = =12
0,5
⇒ r = ⇒ SH = =
0,5
Ta có SM, SN, SP là đường cao các mặt bên, SM = SN = SP = = 2 0,5
S =12 + 2 .12 =36 0,5
Câu V ( 4 điểm)
Chọn hệ véc tơ cơ sở:

0,5
S
C
A
B
P
N
M
H
A’
D
’
B’
A
D
B

C’
C
M
N
Ta có
cbaBD



++=
'

0,5
MN//BD’ Nên
(1) '. ckbkakBDkMN



++==

0,5
M nằm trên AC
ACmMC =⇒

N nằm trên DC’
DCnNC '' =⇒

0,5
= + + 0,5
=m + +n =m(-)++n( -)=(n-m)+m+(1-n) (2)

0,5
Từ (1) và (2) ta có
0,5
⇒ = ⇒ | | = | Hay =
0,5