So phuc luye thi bang file Word cuc hay!

Chuyên đề: số phức
Chủ đề1: dạng đại số của số phức
Cộng, trừ, nhân, chia số phức
A. củng cố kiến thức
1. Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa
mãn i
2
= -1 được gọi là một số phức.
a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo
i được gọi là đơn vị ảo.
Tập các số phức được kí hiệu là 
Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R
⊂
.
Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo.
0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
2. Hai số phức bằng nhau
z a+bi (a,b )
z' a'+b' i (a',b' )
'
z z'
'
a a
b b



= ∈
= ∈
=
= ⇔

=
¡
¡
3. Cộng, trừ hai số phức
z a+bi (a,b )
z' a'+b' i (a',b' )
z + z' (a + a' ) + (b + b') i
z z' (a - a') + (b - b' )i
= ∈
= ∈
=
− =
¡
¡
Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = 0.
4. Nhân hai số phức
z a+bi (a,b )
z' a'+b' i (a',b' )
zz' ' ' ( ' ' )aa bb ab a b i
= ∈
= ∈
= − + +
¡
¡
5. Môđun của số phức, số phức liên hợp
z = a +bi (a, b
∈¡
) thì môđun của z là
2 2
z = a +b

z = a +bi (a, b
∈¡
) thì số phức liên hợp của z là
z
= a - bi.
Ta có:

2
2 2
zz' = z z' , zz a b z
z + z' = z + z', zz'=z z', z = z
= + =
z là số thực khi và chỉ khi z =
z
6. Chia cho số phức khác 0
Nếu z = a + bi (a, b
∈¡
) khác không thì số phức nghịch đảo của z là
1
-1
z = z
2
z
.
Thương của z' cho z khác không là:

z' z'z
-1
z'z
z

zz
= =
. Ta có:
'
' ' '
,
z
z z z
z z z z
 
= =
 ÷
 
.
7. Biểu diễn hình học của số phức
Số phức z = a + bi (a, b
∈¡
) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
hay còn gọi là mặt phẳng phức.
Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo
Số phức z = a + bi (a, b
∈¡
) cũng được biểu diễn bởi vectơ
( ; )u a b=
r
, do đó M(a; b)
là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b
∈¡
) cũng có nghĩa là
OM

uuuur
biểu diễn số
phức đó.
Ta có:Nếu
,u v
r r
theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì
u v+
r r
biểu diễn số phức z + z',
u v−
r r
biểu diễn số phức z - z',
k
( )u k ∈
r
¡
biểu diễn số phức kz,
OM u z= =
uuuur r
, với M là điểm biểu diễn của z.
B. Các dạng bài tập
1. Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức
a) Phương pháp giải
- áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán,
kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.
b) Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau
a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b)
3 3

( 1 ) (2 )i i− + −
Bài giải
a) Ta có: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i)
= (2 - 3) + (-3 + 2)i
= -1 - i.
Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1.
b) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có
3 3 2 2 3
( 1 ) ( 1) 3( 1) 3( 1) 2 2
3 3 3
( 2 ) ( 2) ( ) 8
i i i i i
i i i
− + = − + − + − + = +
− = − =
Do đó nhận được kết quả của bài toán là 2 + 10i
Ví dụ 2: Tính
1
1 3
2 2
i+
Bài giải
Ta có :
1 3 1 3
1 3
2 2 2 2
1 2 2
1 3 1 3
2 2 2 2
i i

i
i i
− −
= = −
  
+ −
 ÷ ÷
  
Ví dụ 3: Tính
2 3 2009
1 i i i i+ + + + +
Bài giải
Ta có:
2010 2 3 2009
1 (1 )(1 )i i i i i i− = − + + + + +
Mà
2010
1 2i− =
. Nên
2
2 3 2009
1
1
i i i i
i
+ + + + + =
−
, hay là
2 3 2009
1 1i i i i i+ + + + + = +

.
Ví dụ 4: Tính
100
(1 )i−
Bài giải
Nhận thấy
2
(1 ) (1 )(1 ) 2i i i i− = − − = −
.
Suy ra
100 2 50 50 50 50 50
(1 ) ((1 ) ) ( 2 ) ( 2) ( ) 2i i i i− = − = − = − = −
.

Ví dụ 5: Cho số phức
1 3
2 2
z i= − +
.
Hãy chứng minh rằng:
;
1
2 2 3
1 0; 1.z z z z z
z
+ + = = = =
.
Bài giải
Do
1 3

2
2 2
z i= − −
. Nên
1 3 1 3
2
1 ( ) ( ) 1 0
2 2 2 2
z z i i+ + = − − + − + + =
;
Lại có
1 3
1 1 1 3
2 2
1 2 2
1 3
2 2
i
i
z
i
− −
= = = − −
− +
. Suy ra
1
2
z z
z
= =

.
Hơn nữa ta có
3
1z =
.
Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu
2
0zz + =
.
Bài giải
Đặt z = x + yi, khi đó
(
)
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
0 ( ) 0
2 0
0
0
0

0
2 0
0
0
0
0

(1 ) 0
1

0
(1 ) 0
z x yi x y
x y x y xyi
x
y y
x y x y
y
xy
x x
x
x
y
y y
y
y
x x
z + = ⇔ + + + =
⇔ − + + + =

=




− + =




− + + =
 
⇔ ⇔


=

=






+ =



=
 =


=



− =




=
⇔ ⇔

=





+ =



0 (do 1 0)
0
0, 0
0, 1

0, 1
0, 0
x x
y
x y
x y
x y
y x














 = + >



=




 = =



= =


⇔



= = −


= =


Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện là z = 0; z = i; z = - i.
2. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ
a) Phương pháp giải
Để biểu diễn một số phức cần dựa vào định nghĩa và các tính chất sau:
Nếu số phức z được biểu diễn bởi vectơ
u
r
, số phức z' được biểu diễn bởi vectơ
'u
ur
, thì
z + z' được biểu diễn bởi
'u u+
r ur
;
z - z' được biểu diễn bởi
'u u−
r ur
;
- z được biểu diễn bởi
u−
r
.
b) Các ví dụ.

Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp
những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau
a)
1 2z i− + =
; b)
2 z i z+ = −
.
Bài giải
a) Đặt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nên hệ thức
1 2z i− + =
trở thành
2 2
2 2
( 1) ( 1) 2
( 1) ( 1) 4.
x y
x y
− + + =
⇔ − + + =
Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
giả thiết là đường tròn tâm I(1; - 1) bán kính R = 2.
b) Gọi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó
2 z i z+ = −

( 2)z z i⇔ − − = −
hay là
M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng
AB.
Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải như đã làm ở phần a. Tuy
nhiên để thể thực hiện cách giải như vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau:

Nếu véctơ
u
r
của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ
u
r
là
u z=
r
, và từ đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì
'AB z z= −
uuur
.
Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện
3
2 3
2
z i− + =
. Tìm số phức z có
modul nhỏ nhất.
Bài giải
Xét biểu thức
3
2 3
2
z i− + =
(1). Đặt z = x + yi. Khi đó (1) trở thành

3
( 2) ( 3)

2
9
2 2
( 2) ( 3) .
4
x y i
x y
− + + =
⇔ − + + =
Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn (C) tâm
I(2; -3) và bán kính R =
3
2
.
Ta có
z
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
điểm M nằm trên đường tròn (C) và gần O nhất. Do đó M là giao điểm của (C) và đường
thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn.
Ta có OI =
4 9 13+ =
. Kẻ MH
⊥
Ox. Theo định lí ta lét có

3
13
9 6 13 9
2
13 3 13

3 2 2
13
MH OM
MH
OI
−
−
= = ⇒ = − =
6 13 9 78 9 13
26
2 13
MH
− −
⇒ = =
.
Lại có
3
13
2 13 3 26 3 13
2
2 13
13 13
OH
OH
−
− −
= ⇒ = =
.
Vậy số phức cần tìm là
O

H
2
M
I
- 3
x
y
26 3 13 78 9 13
13 26
z i
− −
= +
.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có
z w z w+ ≤ +
. Đẳng thức xảy
ra khi nào?
Bài giải
Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w.
Ta có
, ,z OA w OB z w OC= = + =
. Từ OC
≤
OA + AC suy ra
z w z w+ ≤ +
.
Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng
OC. Khi O
≠
A (hay z

≠
0) điều đó có nghĩa là có số k
≥
0 để
AC kOA=
uuur uuur
tức là w = kz.
(Còn khi z = 0, rõ ràng
z w z w+ = +
).
Vậy
z w z w+ = +
khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z
≠
0 thì tồn tại
k R
+
∈
để
w = kz.
c. câu hỏi và bài tập
1. Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta đều có
z w z w− ≤ −
. Dấu bằng xảy ra khi
nào?
2. Trong mặt phẳng phức, bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn các số
phức z, w, u, v thoả mãn các tính chất:
a)
1z w u v= = = =
;

b) z + w + u + v = 0.
3. Cho số phức z = m + (m - 3)i, m
R∈
a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = - x;
b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol
2
y
x
= −
;
c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất.
4. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ
thức
3
z
z i
=
−
.
5. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
4 2 6
; (1 )(1 2 );
1 3
i i
i i
i i
+
− +
− −
.

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân;
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Chủ đề 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa căn bậc hai của số phức
Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z
2
=
w được gọi là một căn bậc hai của số phức w.
a) Nếu w là số thực
+ w < 0 thì có hai căn bậc hai:
&wi wi− − −
+ w
≥
0 thì có hai căn bậc hai:
&w w−
.
b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước:
+ Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là:
2
z w=
khi đó ta có
hệ:
2 2
(1)
2 (2)
x y a
xy b

− =


=

Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được
2 2 2 2
x y a b+ = +
Do vậy ta được hệ:
2 2
2 2 2 2
(1)
(2')
x y a
x y a b

− =


+ = +


Giải hệ tìm được
2
x
và
2
y
suy ra x và y để tìm z.
Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu.
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức
Cho PT:

2
0; (1) ( , , , 0)ax bx c a b c a+ + = ∈ ≠£
và có
2
4b ac∆ = −
+ Nếu
0∆ ≠
pt có hai nghiệm là
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
δ δ
− + − −
= =
Trong đó
δ
là một căn bậc hai của
∆
.
+ Nếu
∆
= 0 thì pt có nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a

= = −
.
B. Các dạng bài tập
1. Giải phương trình bậc nhất
a) Phương pháp giải
Biến đổi phương trình về dạng Az + B = 0, A, B
, 0A∈ ≠£
. Viết nghiệm
B
z
A
= −
b) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình 2iz + 1 - i = 0
Bài giải
Nghiệm của phương trình là
(1 ) 1 1 1 1
2 2 2 2 2
i
z i
i i
− − −
= = + = +
.
2. Tính căn bậc hai và giảiphương trình bậc hai
a) Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai.
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình
với chú ý phải đưa về đúng dạng của phương trình.
b) Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
) 5 12 ) 8 6
) 33 56 ) 3 4
a i b i
c i d i
− + +
− − +
Bài giải
a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là

( )
2
2 2
5 12 2 5 12x iy i x y ixy i+ = − + ⇔ − + = − +
2 2 2
2 2
2 2 2
5 4
5
2 12
13 9
x y x
x y
xy
x y y
 
− = − =

− = −
 

⇒ ⇒ ⇔
  
=
+ = =
 

 
2
3
x
y
= ±

⇔

= ±

Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có
2
3
x
y
=


=

hoặc
2
3

x
y
= −


= −


Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z
1
=2+3i và z
2
= -2-3i.
b) Tương tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là

( )
2
2 2
8 6 2 8 6x iy i x y ixy i+ = + ⇔ − + = +
2 2 2
2 2
2 2 2
8 9
8
2 6
10 1
x y x
x y
xy
x y y

 
− = =

− =
 
⇒ ⇒ ⇔
  
=
+ = =
 

 
3
1
x
y
= ±

⇔

= ±

Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có
3
1
x
y
=



=

hoặc
3
1
x
y
= −


= −


Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là

3+i và -3-i.
c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là

( )
2
2 2
33 56 2 33 56x iy i x y ixy i+ = − ⇔ − + = −
2 2 2
2 2
2 2 2
33 49
33
2 56
65 16
x y x

x y
xy
x y y
 
− = =

− =
 
⇒ ⇒ ⇔
  
= −
+ = =
 

 
7
4
x
y
= ±

⇔

= ±

Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có
7
4
x
y

=


= −

hoặc
7
4
x
y
= −


=


Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là

7- 4i và -7+i4.
d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là

( )
2
2 2
3 4 2 3 4x iy i x y ixy i+ = − + ⇔ − + = − +
2 2 2
2 2
2 2 2
3 1
3

2 4
5 4
x y x
x y
xy
x y y
 
− = − =

− = −
 
⇒ ⇒ ⇔
  
=
+ = =
 

 
1
2
x
y
= ±

⇔

= ±

Do b = 4 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có
1

2
x
y
=


=

hoặc
1
2
x
y
= −


= −


Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là

1 + 2i và -1-2i.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

( )
( )
2
2
) 3 4 5 1 0; (1)
) 1 2 0; (2)

a x i x i
b x i x i
− + + − =
+ + − − =
Bài giải
a) Ta có
( ) ( )
2
3 4 4 5 1 3 4i i i∆ = + − − = − +
Theo kết quả ví dụ 1d) thì
∆
có hai căn bậc hai là 1+ 2i và -1 - 2i. Do đó pt (1) có hai
nghiệm là:
1 2
3 4 1 2 3 4 1 2
2 3 ; 1
2 2
i i i i
x i x i
+ + + + − −
= = + = = +
b) Tương tự ta có
( ) ( )
2
1 4 2 8 6i i i∆ = + − − − = +
Theo kết quả ví dụ 1b) thì
∆
có hai căn bậc hai là 3 + i và -3 - i. Do đó pt (2) có hai
nghiệm là:

1 2
1 3 1 3
1; 2
2 2
i i i i
x x i
− − + + − − − −
= = = = − −
Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

2
2
3
) 3 2 0; (1)
) 1 0; (2)
) 1 0 (3)
a x x
b x x
c x
+ + =
+ + =
− =
Bài giải
a) Ta có
∆
= 1
2
- 4.3.2 =-23<0 nên ta có hai căn bậc hai của
∆

là:
23 & 23i i−
. Từ
đó nghiệm của pt (1) là:

1 2
1 23 1 23
;
6 6
i i
x x
− + − −
= =
b) Tương tự ta có
∆
= -3 < 0 có hai căn bậc hai là:
3 & 3i i−
nên (2) có các
nghiệm là:

1 2
1 3 1 3
;
2 2
i i
x x
− + − −
= =
c) Ta có

( )
( )
2
2
(3) 1 1 0
1 0
1 0; (*)
x x x
x
x x
⇔ − + + =
− =

⇔

+ + =

Theo b) ta có (*) có hai nghiệm là
1 2
1 3 1 3
;
2 2
i i
x x
− + − −
= =
. Từ đó ta có các
nghiệm của pt (3) là:

1 2 3

1 3 1 3
1; ;
2 2
i i
x x x
− + − −
= = =
( Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1).
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu một phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm
phức
α
∉¡
thì cũng nhận
α
là nghiệm.
Bài giải
Giả sử PT bậc hai:
( )
2
0; , , , 0ax bx c a b c a+ + = ∈ ≠¡
nhận số phức
α
∉¡
là
nghiệm tức là ta có:
2
0a b c
α α
+ + =
. (1)

Lấy liên hợp hai vế của (1) và sử dụng tính chất liên hợp của số thực bằng chính nó thì ta
được:
( )
2
2
0 0a b c a b c
α α α α
+ + = ⇒ + + =
. Điều này chứng tỏ
α
là nghiệm của pt.
áp dụng: Chứng tỏ 1+i là một nghiệm của phương trình
2
3 3 5 0x x i+ − − =
. Tìm
nghiệm còn lại của pt đó.
Ví dụ 5: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phương
tình bậc hai với hệ số phức.
Thuận: Nếu hai số
1 2
&x x
là hai nghiệm của phương trình
( )
2
0; , , , 0ax bx c a b c a+ + = ∈ ≠£
thì
1 2 1 2
&
b c
x x x x

a a
+ = − =
.
Chứng minh
Theo công thức nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức ta có:

1 2
2 2
1 2
2
2 2
.
2 2 4
b b b
x x
a a a
b b b c
x x
a a a a
δ δ
δ δ δ
− + − −
 
+ = + = −
 ÷
 
− + − − −
   
= = =
 ÷ ÷

   
Đảo : Nếu hai số
;
α β
thoả mãn:
& .S P
α β α β
+ = =
thì
;
α β
là nghiệm của pt:
2
0x Sx P− + =
.(1)
Chứng minh
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
(1) 0 0
x
x x x x
x
α
α β αβ α β
β
=

⇔ − + + = ⇔ − − = ⇔


=

Điều này chứng tỏ
;
α β
là nghiệm của (1).
áp dụng: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm
4 3 ; 2 5i i
α β
= + = − +
Bài giải
Theo bài ra ta có:
2 8i
α β
+ = +
và
( ) ( )
. 4 3 2 5 23 14i i i
α β
= + − + = − +
Theo kết
quả VD5 ta được pt bậc hai cần lập là:
( )
2
2 8 14 23 0x i x i− + + − =
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình:
2
3 0x mx i+ + =
có tổng bình phương 2 nghiệm
bằng 8.

Bài giải
Theo bài ra ta có:
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2
8 2 8x x x x x x+ = ⇔ + − =
(1). Theo Vi-et ta có

1 2
1 2
3
x x m
x x i
+ = −


=

Thay vào (1) ta được
2 2
6 8 8 6m i m i− = ⇔ = +
. Tức m là một căn bậc
hai của 8+6i. Theo kết quả VD1b/ ta có 2 giá trị của m là: 3 + i và -3 - i.
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình
2 2
1 2
1 2
5 2 (1)
4 (2)

z z i
z z i

+ = +

+ = −

Bài giải
Từ (2) ta có
2 2
1 2 1 2
2 15 8 .z z z z i+ + = −
Kết hợp với (1) ta có
1 2
5 5z z i= −
vậy ta có hệ
phương trình:
1 2
1 2
4
5 5
z z i
z z i
+ = −


= −

Do đó
1 2

,z z
là nghiệm của phương trình
( )
2
4 5 5 0z i z i− − + − =
. Ta có
5 12i∆ = − +
theo VD1a/ ta biết
∆
có hai căn bậc hai
là: 2 + 3i và -2 - 3i.
Vậy ta có
1
2
4 2 3
3
2
4 2 3
1 2
2
i i
z i
i i
z i
− + +

= = +




− − −

= = −


Hoặc
1
2
1 2
3
z i
z i
= −


= +

.
Ví dụ 8: Cho
1 2
,z z
là hai nghiệm của phương trình
( )
( )
2
1 2 3 2 1 0i z i z i+ − + + − =
.
Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
2 2 2 2
1 2

1 2 1 2 1 2
2 1
) ) )
z z
a A z z b B z z z z c C
z z
= + = + = +

Bài giải
Theo Vi-et ta có:
1 2
1 2
3 2 3 2 2 2 3 2
3 3
1 2
1 1 2 1 2
3 3
1 2
i
z z i
i
i
z z i
i

+ + −
+ = = +

+


− − +

= = +

+

a) Ta có
( )
2
2
1 2 1 2
3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 11 30 2 6 4 2
2 2
3 3 3 3 9 9
A z z z z i i i
   
+ − − + − + +
= + − = + − + = −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
b)
( )
1 2 1 2
3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 1 10 2
3 3 3 3 9 9
B z z z z i i i
  
+ − − + − − −
= + = + + = +

 ÷ ÷
  
c) Ta có
2 2
1 2
1 2
6 26 2
18
1 2 1 2
3 3
z z A i
C
z z
i
+ − +
= = =
− +
+
.
Ví dụ 9: Giải pt:
4 2
6 25 0z z− + =
(1)
Bài giải
Đặt
2
.z t=
Khi đó (1) có dạng:
2
6 25 0t t− + =

(2).
Ta có:
' 16∆ = −
có hai căn bậc hai là 4i và - 4i nên pt (2) có hai nghiệm là
1
3 4t i= +
và
2
3 4t i= −
.
Mặt khác 3 + 4i có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2 - i còn 3 - 4i có hai căn bậc hai là:
2 - i và -2 + i nên pt (1) có 4 nghiệm là:
1 2 3 4
2 ; 2 ; 2 ; 2z i z i z i z i= + = − − = − = − +
C. câu hỏi và bài tập
Bài 1: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a) 8+6i b) 3+4i c)
3
1 3
i
i
−
+
d)
1 1
1 1i i
+
+ −
e)
2

1
1
i
i
+
 
 ÷
−
 
f)
2
1 3
3
i
i
 
−
 ÷
−
 
Bài 2: Gọi
1 2
;u u
là hai căn bậc hai của
1
3 4z i= +
và
1 2
;v v
là hai căn bậc hai của

2
3 4z i= −
. Tính
1 2
u u+
1 2
v v+ +
?
Bài 3: Giải các phương trình sau:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
) 2 2 1 0
) 5 14 2 12 5 0
) 80 4099 100 0
) 3 6 3 13 0
) cos sin cos sin 0.
a z iz i
b z i z i
c z z i
d z i z i
e z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + − =
− − − + =

− + − =
+ − − + − + =
− + + =
Bài 4: Tìm các căn bậc ba của 8 và -8.
Bài 5: Giải các phương trình trùng phương:
( )
( )
4 2
4 2
) 8 1 63 16 0
) 24 1 308 144 0
a z i z i
b z i z i
− − + − =
− − + − =
Bài 6: Cho
1 2
,z z
là hai nghiệm của phương trình:
( )
2
1 2 2 3 0z i z i− + + − =
.
Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 1
3 3 3 3
1 2 2 1 1 2 1 2

2 1 1 2
) ) )
1 2 1 2
) ) )
z z
a A z z b B z z z z c C
z z
d D z z e E z z z z f F z z
z z z z
= + = + = +
   
= + = + = + + +
 ÷  ÷
   
Bài 7: Giải các hệ pt
2 2
2
4 0
) )
2
1
z i z
u v uv
a b
u v i
z i z
 − =

+ + =


 
+ =
− = −





Chủ đề 3 : Dạng lượng giác của số phức
A. Kiến thức cần nhớ
I. Số phức dưới dạng lượng giác.
1. Acgumen của số phức z
≠
0 y
Cho số phức z
≠
0. Gọi M là điểm
trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z.
Khi đó số đo (radian) của mỗi góc lượng b
giác tia đầu Ox, tia cuối OM được M
gọi là một Acgumen của z.
O a x

Chú ý: + Nếu
ϕ
là Acgumen của z thì mọi Acgumen của z đều có dạng:
ϕ
+ k2
π
, k

∈
Z.
+ Acgumen của z
≠
0 xác định sai khác k2
π
, k
∈
Z.
2. Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức Z = a+bi, (a, b
∈
R), với r =
22
ba +
là modun của số phức z và
ϕ
là
Acgumen của số phức z.
Dạng z = r (cos
ϕ
+isin
ϕ
) được gọi là dạng lượng giác của số phức z
≠
0, còn dạng
z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z.
II. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Nếu z = r(cos
ϕ

+isin
ϕ
), z' = r' (cos
ϕ
'+isin
ϕ
') (r
0≥
và r'
0≥
) thì
zz' = rr ( cos (
'sin()'
ϕϕϕϕ
+++ i
))

[ ]
cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + −
(khi r' > 0).
III. Công thức Moa-Vrơ và ứng dụng
1. Công thức Moa- Vrơ
[ ]
(cos sin ) (cos sin )

n
n
r i r n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
[ ]
.*,sincossincos Nnnini
n
∈∀+=+
ϕϕϕϕ
2. Căn bậc n của một số phức
Với z = r(cos
ϕ
+isin
ϕ
), r > 0, có hai căm bậc hai của z là

(cos sin )
2 2
r i
ϕ ϕ
+
;

(cos sin ) (cos( ) sin( ))
2 2 2 2
r i r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + = + Π + + Π
.

B. các dạng Bài tập
1. Viết số phức dưới dạng lượng giác
a) Phương pháp
Với mỗi số phức z = a + bi:
Tính r =
22
ba +
Tính cos
ϕ
=
,sin
a b
r r
ϕ
=
từ đó suy ra acgumen của z
Sử dụng công thức lượng giác của số phức cho ta z = r (cos
)sin
ϕϕ
i+
.
b) Các ví dụ
Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
1 3
)(1 3)(1 ) )
1
) sin cos
i
a i i b

i
c z i
ϕ ϕ
−
− +
+
= +
Bài giải
a) Ta có
1 3 2 cos( ) sin( )
3 3
i i
Π Π
 
− = − + −
 
 
; còn
1 2 cos sin
4 4
i i
Π Π
 
+ = +
 
 
. Do đó
(1 3)(1 ) 2 2 cos( ) sin( )
12 12
i i i

Π Π
 
− + = − + −
 
 
.
b) Từ phần trên ta có ngay kết quả
1 3 7 7
2 cos sin
1 12 12
i
i
i
−  Π Π 
   
= − + −
 ÷  ÷
 
+
   
 
.
c) Ta có
sin cos cos( ) sin( )
2 2
z i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
Π Π
= + = − + −
. Vậy

cos( ) sin( )
2 2
z i
ϕ ϕ
Π Π
= − + −
.
Ví dụ 2: Tuỳ theo góc
ϕ
, hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác
(1 cos sin )(1 cos sin ).i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− − + +
Bài giải
Xét số phức z =
(1 cos sin )(1 cos sin )i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− − + +
, ta có

[ ]
2 2
2 2
(2sin .2sin cos )(2cos .2sin cos )
2 2 2 2 2 2
4sin cos (sin cos )(cos sin )
2 2 2 2 2 2
2sin (sin cos sin cos (cos sin ))
2 2 2 2 2 2
2sin sin cos .

z i i
i i
i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
= − +
= − +
= + − −
= −
Hay z = 2sin
ϕ
(sin
ϕ
- icos
ϕ
) (*)
+ Nếu
sin 0
ϕ
>
, thì từ (*) có z = 2sin
ϕ
cos( ) .sin( )
2 2
i
ϕ ϕ

Π Π
 
− + −
 
 
là dạng số phức cần
tìm.
+ Nếu sinh
ϕ
< 0, thì từ (*) ta có

2sin ( sin cos ) 2sin cos( ) .sin( )
2 2
z i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
Π Π
 
= − − + = − + + +
 
 
là dang lượng giác cần
tìm.
+ Nếu sinh
ϕ
= 0, thì z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định.
2. Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác của số phức
a) Phương pháp giải
Đưa số phức về dạng lượng giác rồi sử dụng các công thức Moivre để tính toán các
đại lượng theo yêu cầu của bài tập.
b) Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau

10
9
5 7
(1 )
)
( 3 )
b) cos sin (1 3 )
3 3
i
a
i
i i i
+
+
Π Π
 
− +
 ÷
 

2009
2009
1
)c z
z
+
, nếu
1

1z
z
+ =
.
Bài giải
a) Xét số phức
10
10
9
9
5
9
4
2(cos sin )
(1 )
4 4
( 3 )
2(cos sin
6 6
5 5
2 (cos sin )
2 2

3 3
2 (cos sin )
2 2
1 1
(cos sin )
2 16
i

i
i
i
i
i
i
Π Π
 
+
 
+
 
=
+
Π Π
 
+
 
 
Π Π
+
=
Π Π
+
= Π + Π = −
Vậy phần thực bằng
1
16
−
, phần ảo bằng 0.

b) Xét số phức

[ ]
5 7
7
7
7 7
cos sin (1 3 )
3 3
cos( ) sin( ) 2(cos sin )
3 3 3 3
7 7
2 cos( ) sin( ) (cos sin )
3 3 3 3
2 cos2 sin 2 2 .
i i i
i i i
i i i
i i i
Π Π
 
− +
 ÷
 
Π Π Π Π
   
= − + − +
   
   
Π Π Π Π

 
= − + − +
 
 
= Π + Π =
Vậy phần thực của số phức bằng 0, phần ảo bằng
7
2 128=
.
c) Từ

2
1
1 1 0
1 3
cos sin
2 3 3
1 3
cos( ) sin( ).
2 3 3
z z z
z
i
z i
i
z i
+ = ⇒ − + =

+ Π Π
= = +



⇒

− Π Π
= = − + −


Với
cos sin
3 3
z i
Π Π
= +
, ta có

2009 2009 2009
2009
2009 2009
1 1
(cos sin ) ( )
3 3
cos sin
3 3
(cos sin ) (cos( ) sin( ))
3 3 3 3
2009 2009 2009 2009
(cos sin )(cos sin )
3 3 3 3
2cos

z i
z
i
i i
i i
Π Π
+ = + +
Π Π
+
Π Π Π Π
= + + − + −
Π Π Π − Π
= + +
=
2 2
(669 ) 2cos 1.
3 3
Π Π
Π + = − =
Vậy phần thực cảu số phức bằng 1, phần ảo bằng 0.
Ví dụ 2: Tính tổng sau
2008 2008
(1 ) (1 )S i i= + + −
Bài giải
Ta có

2008 1004
2008 1004
1 2(cos sin ) (1 ) 2 (cos502 sin 502 )
4 4

1 2(cos sin ) 2(cos( ) sin( ))
4 4 4 4
(1 ) 2 (cos( 502 ) sin( 502 )).
i i i i
i i i
i i
Π Π
+ = + ⇒ + = Π + Π
Π Π Π Π
− = − = − + −
⇒ − = − Π + − Π
Do đó
1005 1005
2 cos(502 ) 2S = Π =
.
Ví dụ 3: Cm rằng các điểm biểu diễn các căn bậc ba của 1 lập thành một tam giác đều.
Bài giải
Xét phương trình
3
1z =
trên
£
, có nghiệm dạng
(cos sin )z r i
ϕ ϕ
= +
. Khi đó

3 3
1 (cos3 sin 3 ) 1

1

3 2 , .
z r i
r
k k
ϕ ϕ
ϕ
= ⇔ + =
=

⇔

= Π ∈

¢
Do đó phương trình trên có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị của k là
Với k = 0 ta có z
0
= cos0 + isin0 = 1;
Với k = 1 ta có z
1
=
2 2 1 3
cos sin ;
3 3 2 2
i i
Π Π
+ = − +
Với k = 2 ta có z

2
=
4 4 1 3
cos sin
3 3 2 2
i i
Π Π
+ = − −
.
Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức được xác định như trên. Trong mặt phẳng
phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z
0
, z
1
, z
2
. Khi đó
·
·
1;
2
;
3
2
3
OA OB OC
AOB
BOC
= = =
Π

=
Π
=
uuur uuur uuur
Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều.
C. Câu hỏi và bài tập
Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 1 - i
3
b. ( 1 - i
)1)(3 i+
c.
i
i
+
−
1
31
d. 1 - itan
5
π
e. tan
i+
8
5
π
f. 1-cos
ϕϕ
sini−
(

ZkkR ∈≠∈ ,2,
πϕϕ
)
Bài 2: Cho 2 số phức: 4 – 4i và 1+ i
3
. Tìm Modun và Acgumen của các số phức là đối
liên hợp của 2 số phức trên và viết chúng dưới dạng lượng giác.
Bài 4: Tìm dạng lượng giác của các số phức sau:
z
;
z
1
, biết:
a, z = r ( cos
)sin
ϕϕ
i+
, r >0.
b, z = 1 +
3
i
Bài 5: Tìm các căn bậc 5 của 1? CMR tổng của chúng bằng 0?
Bài 6: Rút gọn hết dấu căn ở mỗi biểu thức sau
a,
4
1−
b,
8
1
c,

i−1
d,
i
3
2
3
2
1
−
−
Bài 7: Cho số phức z = a + bi . Một hình vuông tâm là gốc toạ độ 0, các cạnh song song
với các trục toạ độ và có độ dài bằng 4. Xác định a,b để tìm điểm biểu diễn của số thực z.
a, Nằm trong hình vuông
b, Nằm trên đường chéo củahình vuông
Bài 8: Chứng minh rằng
a.
2
21
1+zz
+
1 2
z z−
2
= (1+
1
z
2
)(1+
2
z

)
2
b.
21
zz +

2
2
1
1
21
)(
2
1
z
z
z
z
zz ++≥
.
Bài 9: Tính
a. cos a + cos (a+b) + cos (a+2b) +…+ cos(a+nb)
b. sin a + sin (a+b) + sin (a+2b) +…+ sin (a+nb).