Bài toán vận dụng cao chủ đề 4 số PHỨC có lời giải file word

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 4. SỐ PHỨC
z1 , z2

Câu 1:

(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho các số phức

khác nhau thỏa mãn:

z1 = z2 .
Chọn phương án đúng:
z1 + z2
z1 + z2
=0
z1 − z2
z1 − z2
A.
.
B.
là số phức với phần thực và phần ảo đều khác
0

.

C.

z1 + z2
z1 − z 2

là số thực. D.

z1 + z2
z1 − z 2

là số thuần ảo.
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Phương pháp tự luận:
z1 = z2
Vì

z1 ≠ z2
và

nên cả hai số phức đều khác

0

w=

. Đặt

z1 + z2
z1 − z2

và

z1 = z2 = a
, ta có

a2 a2
+
 z1 + z2  z1 + z 2 z1 z2 z1 + z 2
w=
= 2
=
= −w
÷=
2
z 2 − z1
 z1 − z 2  z1 − z2 a − a
z1 z2
w
Từ đó suy ra
là số thuần ảo. Chọn D.
Phương pháp trắc nghiệm:

z1 = z2

z1 , z2
Số phức
z1 + z2 1 + i
=
=i
z1 − z2 1 − i

Câu 2:

khác nhau thỏa mãn

z1 = 1; z2 = i
nên chọn

, suy ra

là số thuần ảo. Chọn D.
z

z − 3 + 4i ≤ 2.

(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho số phức
thỏa mãn điều kiện
Oxy
w = 2z +1 − i
Trong mặt phẳng
tập hợp điểm biểu diễn số phức
là hình tròn có
diện tích
S = 9π
S = 12π
S = 16π
S = 25π
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải
Chọn C.

w = 2z + 1− i ⇒ z =
z − 3 + 4i ≤ 2 ⇔

w −1 + i
2

w −1+ i
− 3 + 4i ≤ 2 ⇔ w − 1 + i − 6 + 8i ≤ 4 ⇔ w − 7 + 9i ≤ 4 ( 1)
2

w = x + yi

( x, y ∈ ¡ )

Giả sử

( 1) ⇔ ( x − 7 )

2

+ ( y + 9 ) ≤ 16
2

, khi đó

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức

w

I ( 7; − 9 )
là hình tròn tâm

, bán kính

r = 4.

Vậy diện tích cần tìm là

Câu 3:

S = π .42 = 16π .

(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện

z + 3i = z + 2 − i .
Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
1 2
1 2
z=− + i
z= − i
z = 1 − 2i
5 5
5 5
A.

.
B.
.
C.
.

D.

z = −1 + 2i

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương pháp tự luận
z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )
Giả sử
z + 3i = z + 2 − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + 2 ) + ( y − 1) i ⇔ x 2 + ( y + 3) = ( x + 2 ) + ( y − 1)
2

⇔ 6 y + 9 = 4x + 4 − 2 y + 1 ⇔ 4x − 8 y − 4 = 0 ⇔ x − 2 y −1 = 0 ⇔ x = 2 y + 1
2

z = x2 + y2 =

z min =

Suy ra

1 2
z = − i.
5 5

2
1
5
2
( 2 y + 1) + y 2 = 5 y 2 + 4 y + 1 = 5  y + ÷ + ≥
5 5
5

5
5

khi

2
1
y=− ⇒x=
5
5

Vậy
Phương pháp trắc nghiệm
z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )
Giả sử

2

2

.

z + 3i = z + 2 − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + 2 ) + ( y − 1) i ⇔ x 2 + ( y + 3) = ( x + 2 ) + ( y − 1)
2

2

2

⇔ 6 y + 9 = 4x + 4 − 2 y + 1 ⇔ 4 x − 8 y − 4 = 0 ⇔ x − 2 y −1 = 0

z + 3i = z + 2 − i

z

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức
thỏa điều kiện
d : x − 2 y −1 = 0
đường thẳng
.
( 1; − 2 ) ∉ d
z = 1 − 2i
Phương án A:
có điểm biểu diễn
nên loại A.
 1 2
1 2
z=− + i
 − ; ÷∉ d
 5 5

5 5
Phương án B:
có điểm biểu diễn
nên loại B.
( −1; 2 ) ∉ d
z = −1 + 2i
Phương án D:
có điểm biểu diễn
nên loại B.
1 2
1 2
z= − i
 ; − ÷∈ d
5 5
5 5
Phương án C:
có điểm biểu diễn

Câu 4:

z

(LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức
z.

lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
A.

4 − 7.

B.

Khi đó

4 + 7.

z −3 + z +3 = 8
thỏa mãn

M +m

. Gọi

là

M

m

,

bằng

C.

7.

D.

4 + 5.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
z = x + yi

Gọi

x; y ∈ ¡

với

.

8 = z − 3 + z + 3 ≥ z − 3 + z + 3 = 2z ⇔ z ≤ 4
Ta có

.
M = max z = 4

Do đó

.

z − 3 + z + 3 = 8 ⇔ x − 3 + yi + x + 3 + yi = 8 ⇔

( x − 3)

2

+ y2 +

( x + 3)

2

Mà

+ y2 = 8

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8 = 1.

( x − 3)

2

+ y 2 + 1.

( x + 3)

2

+ y2 ≤

(1

2

+ 12 ) ( x − 3 ) + y 2 + ( x + 3 ) + y 2 


2

2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

lần


⇔ 8 ≤ 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 + 18 ) ⇔ 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 + 18 ) ≥ 64

⇔ x2 + y 2 ≥ 7 ⇔ x2 + y2 ≥ 7 ⇔ z ≥ 7
.
M = min z = 7

Do đó
Vậy

Câu 5:

.

M +m = 4+ 7

.

(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức

z − 2 − 3i = 1

z

thỏa mãn

. Giá trị lớn

z +1 + i

nhất của
A.

là

13 + 2

4

.

6

B. .

C. .

D.

13 + 1

.

Hướng dẫn giải
Chọn D
z − 2 − 3i = x + yi − 2 − 3i = x − 2 + ( y − 3 ) i
z = x + yi
Gọi
ta có
.
2
2
( x − 2 ) + ( y − 3) = 1
M
z
Theo giả thiết
nên điểm
biểu diễn cho số phức nằm
I ( 2;3)
R =1
trên đường tròn tâm
bán kính
.
z + 1 + i = x − yi + 1 + i = x + 1 + ( 1 − y ) i =

( x + 1)

2

+ ( y − 1)

Ta có

.

M ( x; y )
Gọi
Do
HI

H ( −1;1)
và

M

2

HM =

( x + 1)

2

+ ( y − 1)

thì

chạy trên đường tròn,

H

cố định nên

2

.
MH

lớn nhất khi

M

là giao của

với đường tròn.
 x = 2 + 3t
HI : 
 y = 3 + 2t
t
HI
Phương trình
, giao của
và đường tròn ứng với thỏa mãn:
3
2 
3
2 



1
M 2+
;3 +
;3 −
9t 2 + 4t 2 = 1 ⇔ t = ±
÷, M  2 −
÷
13
13 
13
13 
13


nên
.
HM = 13 + 1
MH
Tính độ dài
ta lấy kết quả
.


Câu 6:

z1 + z2 + z3 = 0

z1 , z2 , z3
(THTT – 477) Cho

là các số phức thỏa mãn

và

z1 = z2 = z3 = 1.
Khẳng định nào dưới đây là sai ?
z + z23 + z33 = z13 + z23 + z33 .

z13 + z23 + z33 ≤ z13 + z23 + z33 .

3
1

A.

B.
z +z +z ≥ z + z + z .
3
1

3
2

3
3

3
1

3

2

z13 + z23 + z33 ≠ z13 + z23 + z33 .

3
3

C.

D.
Hướng dẫn giải

Chọn D.

z1 + z2 + z3 = 0 ⇔ z2 + z3 = − z1
Cách 1: Ta có:

( z1 + z2 + z3 )

3

= z13 + z23 + z33 + 3 ( z1 z2 + z1 z3 ) ( z1 + z 2 + z3 ) + 3z 2 z3 ( z2 + z3 )

= z13 + z23 + z33 − 3 z1 z2 z3 ⇒ z13 + z23 + z33 = 3z1 z2 z3

.
⇒ z13 + z23 + z33 = 3z1 z2 z3 = 3 z1 z2 z3 = 3
3

z1 = z 2 = z3 = 1

Mặt khác

3

3

z1 + z2 + z3 = 3

nên
z1 = z2 = z3 = 1

Cách 2: thay thử

. Vậy phương án D sai.
vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai
z1 = z2 = z3 = 1.

z1 , z2 , z3

Câu 7:

(THTT – 477) Cho
là các số phức thỏa
Khẳng định nào
dưới đây là đúng?
z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 .
z1 + z2 + z3 > z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 .
A.
B.
z1 + z2 + z3 < z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 .

z1 + z2 + z3 ≠ z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 .
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1: Kí hiệu

Re

: là phần thực của số phức.

z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 + 2 Re ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) = 3 + 2 Re ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 )
2

2

2

2

Ta có

(1).

z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 + 2 Re ( z1 z2 z2 z3 + z2 z3 z3 z1 + z3 z1 z1 z2 )
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(

2

2

2

= z1 . z2 + z2 . z3 + z3 . z1 + 2 Re z1 z2 z3 + z2 z3 z1 + z3 z1 z2

)

= 3 + 2 Re ( z1 z3 + z2 z1 + z3 z2 ) == 3 + 2 Re ( z1 z2 + z3 z3 + z3 z1 )
(2).
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

( 1)

( 2)

z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1

Từ
và
suy ra
.
Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C.
z1 = z2 = z3
Chọn
⇒ A đúng và D sai
z1 = z2 = z3 = 1
Cách 2: thay thử
vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai

Câu 8:

P( z)
(THTT – 477) Cho

là một đa thức với hệ số thực.Nếu số phức

z

thỏa

P( z) = 0
mãn

thì
P ( z ) = 0.
A.

B.

1
P  ÷ = 0.
z

C.

1
P  ÷ = 0.
z

P ( z ) = 0.
D.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
P( z)
P ( z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n ( a0 ; a1 ; a2 ;...; an ∈ ¡ ; an ≠ 0 )
Giả sử
có dạng
P ( z ) = 0 ⇔ a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n = 0 ⇒ a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n = 0

⇒ a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n = 0 ⇒ P ( z ) = 0

Câu 9:

(BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức
nào sau đây đúng?
A ≤1
A ≥1
A.
.
B.
.

z

A=

z ≤1
thỏa mãn

. Đặt

A <1
C.

2z − i
2 + iz

A >1
.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
a = a + bi, ( a, b∈ ¡ ) ⇒ a2 + b2 ≤ 1
z ≤1
Đặt Có
(do
)

4a2 + ( 2b + 1)
2z − i 2a + ( 2b − 1) i
A=
=
=
2
2 + iz
2 − b + ai
( 2− b) + a2
4a2 + ( 2b + 1)
Ta chứng minh

( 2− b)

2

Thật vậy ta có

2

≤1

+ a2

.

4a2 + ( 2b + 1)

( 2− b)

2

2

+a

2

2

≤ 1⇔ 4a2 + ( 2b + 1) ≤ ( 2− b) + a2 ⇔ a2 + b2 ≤ 1
2

2

. Mệnh đề

a2 + b2 = 1
Dấu “=” xảy ra khi
.

A ≤1
Vậy

.
y

Q

M

A
x

O
N

z =

2
2

z
(CHUYÊN ĐH VINH) Cho số phức thỏa mãn
và điểm
z

A
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu

Câu 10:

P

w=
diễn của số phức
w
của số phức
là
Q
A. điểm .
N
C. điểm
.

1
iz

là một trong bốn điểm

M

,

N

,

B. điểm
D.điểm

P

Q

,

M
P

. Khi đó điểm biểu diễn

.

.

Hướng dẫn giải
Đáp án: D.
z
A
Do điểm
là điểm biểu diễn của
nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt
Oxy
z = a + bi ( a, b > 0)
phẳng
nên gọi

.
z =

Do

2
2

w=
Lại có

a 2 + b2 =

nên

2
2

.

1
−b
a
= 2 2− 2 2i
iz a + b
a +b

nên điểm biểu diễn

w

nằm trong góc phần tư

Oxy

thứ ba của mặt phẳng

w=

.

1
1
=
= 2 = 2 z = 2OA
iz i . z
.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vậy điểm biểu diễn của số phức

Câu 11:

Cho số phức
A.

z

w

là điểm

P

.

z =1
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

5.

B.

4.

C.

6.

D.

A = 1+

5i
.
z

8.

Hướng dẫn giải

5i
5i
5
≤ 1+
= 1+ = 6.
z
z
z

A = 1+

Ta có:
⇒
Chọn đáp án C.

Câu 12:

Gọi

M

ϖ=
là điểm biểu diễn số phức

( 2 + i ) ( z + i ) = 3− i + z
mãn

uuu
r uuuur
ϕ = Ox,OM

trong đó
Điểm

(

Khi

z = i ⇒ A = 6.

. Gọi

)

N

z + 2z − 3i
z2 + 2

, trong đó

z

là số phức thỏa
uuu
r uuuu

r
Ox,ON = 2ϕ

là điểm trong mặt phẳng sao cho

là góc lượng giác tạo thành khi quay tia

Ox

(

)

tới vị trí tia

,
OM

.

N

nằm trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư thứ (I).
C. Góc phần tư thứ (III).

B. Góc phần tư thứ (II).
D. Góc phần tư thứ (IV).
Hướng dẫn giải

( 2+ i ) ( z + i ) = 3− i + z ⇒ z = 1− i ⇒ w = 45 + 41 i ⇒ M  45 ; 41 ÷⇒ tanϕ = 51.


Ta có:



2tanϕ
5
1− tan2 ϕ 12
sin2ϕ =
=
> 0; cos2ϕ =
=
>0
1+ tan2 ϕ 13
1+ tan2 ϕ 13
Lúc đó:
⇒
Chọn đáp án A.

Câu 13:
M min

Cho số phức

z

.

z =1
M max
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất

M = z2 + z + 1 + z3 + 1.

của biểu thức
M max = 5; M min = 1.
A.
M max = 4; M min = 1.
C.

B.
D.

M max = 5; M min = 2.
M max = 4; M min = 2.


Hướng dẫn giải
2

3

M ≤ z + z + 1+ z + 1 = 5

Ta có:

, khi
1− z

z = 1⇒ M = 5 ⇒ M max = 5.

3

M=
Mặt

+ 1+ z ≥
3

1− z

1− z3
2

+

1+ z3
2

≥

1− z3 + 1+ z3
2

= 1,

khác:

khi

z = −1⇒ M = 1⇒ M min = 1.

⇒

Câu 14:

Chọn đáp án A.

Cho số phức

z

z ≥  2
thỏa

. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

z+ i
z

P=
thức

.

A.

3
.
4

B.

1.

2
C. .

D.

2
.
3

Hướng dẫn giải

P = 1+

i
1 3
≤ 1+
≤ .
z
| z| 2

1+

i
1 1
≥ 1−
≥ .
z
| z| 2

Ta có

Mặt khác:
1
z = −2i; 
P  2
P
Vậy, giá trị nhỏ nhất của là , xảy ra khi
giá trị lớn nhất của
bằng
3
2
⇒

xảy ra khi

z = 2i.

Chọn đáp án A.
4

Câu 15:

Gọi

(

z1 , z2 , z3 , z4

)(

là các nghiệm của phương trình

)(

)(

 z−1 

÷ = 1.
 2z − i 

Tính giá trị biểu

)

P = z12 + 1 z22 + 1 z32 + 1 z42 + 1

thức

A.

P = 2.

B.

.
17
P= .
9

P=
C.

16
.
9

P=
D.

15
.
9

Hướng dẫn giải
⇔ f ( z) = ( 2z − i ) − ( z − 1) = 0.
4

4

Ta có phương trình

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


f ( z) = 15( z − z1 ) ( z − z2 ) ( z − z3 ) ( z − z4 )
Suy

ra:

.
fi( ) . fi( −

z12 + 1 = ( z1 − i ) ( z1 + i ) ⇒ P =
fi(

)

)

( 1) .

225

= i 4 − ( i − 1) = 5; fi( − ) = ( −3i ) − ( i + 1) = 85.
4

4

4

Mà

⇒
Chọn đáp án B.

Câu 16:

Cho số phức

z

Vậy từ

.
( 1) ⇒ P = 17
9

z − 1+ 2i = 3
z − 2i.
thỏa mãn
. Tìm môđun lớn nhất của số phức

26 + 6 17.

A.

Vì

26 − 6 17.

B.

C.

26 + 8 17.

D.

26 − 4 17.

Hướng dẫn giải
z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2i = x + ( y − 2) i
Gọi

.

Ta

có:

z − 1+ 2i = 9 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 9
2

2

.
Đặt

x = 1+ 3sin t; y = −2 + 3cost; t ∈ 0;2π  .

⇒ z − 2i = ( 1+ 3sin t ) + ( −4+ 3cost ) = 26 + 6( sin t − 4cost ) = 26+ 6 17 sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡ ) .
2

2

2

⇒ 26 − 6 17 ≤ z − 2i ≤ 26 + 6 17 ⇒ z − 2i max = 26+ 6 17.

⇒

Câu 17:

Chọn đáp án A.

Cho số phức

z

z =1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

thỏa mãn

P = 1+ z + 3 1− z .

A.

3 15

B.

6 5

C.

20

D.

2 20.

Hướng dẫn giải
z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡
Gọi

. Ta có:
P = 1+ z + 3 1− z =

Ta có:

)
( 1+ x)

2

z = 1⇒ x2 + y2 = 1⇒ y2 = 1− x2 ⇒ x∈ −
 1;1 .

+ y2 + 3 ( 1− x) + y2 = 2( 1+ x) + 3 2( 1− x)
2

.


Xét hàm số

f ( x) = 2( 1+ x) + 3 2( 1− x) ; x ∈ −
 1;1 .

x∈ ( −1;1)
và với

2( 1+ x)

−

3

4
= 0 ⇔ x = − ∈ ( −1;1) .
5
2( 1− x)

ta có:

( −1) = 6; f  − 45 ÷ = 2

ff( 1) = 2;



Ta có:
⇒
Chọn đáp án D.

Câu 18:

1

f ′ ( x) =

Hàm số liên tục trên

Cho số phức

z



20 ⇒ Pmax = 2 20.

z = 1.
thỏa mãn

Gọi

M

và

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

P = z + 1 + z2 − z + 1.

trị nhỏ nhất của biểu thức

A.

−
 1;1

13 3
.
4

Tính giá trị của

B.

39
.
4

C.

M .m

3 3.

.

D.

13
.
4

Hướng dẫn giải
z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡
Gọi

)

z = 1 ⇔ z.z = 1
. Ta có:

t = z+ 1
Đặt

, ta có

0 = z − 1≤ z + 1 ≤ z + 1 = 2 ⇒ t ∈ 0;2 .

t2 = ( 1+ z) ( 1+ z ) = 1+ z.z + z + z = 2+ 2x ⇒ x =
Ta có
z2 − z + 1 = z2 − z + z.z = z z − 1+ z =

t2 − 2
.
2

( 2x − 1)

2

= 2x − 1 = t2 − 3

Suy ra

.
f ( t ) = t + t2 − 3 ,t ∈  0;2 .

Xét hàm số
max f ( t ) =
⇒

Câu 19:

Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra

13
13 3
; min f ( t ) = 3 ⇒ M .n =
.
4
4

Chọn đáp án A.
A, B

z

Gọi điểm

z′ =

1+ i
z; ( z ≠ 0)
2

lần lượt biểu diễn các số phức
và
trên mặt
A , B, C
A ′, B′, C′
O
phẳng tọa độ (
và
đều không thẳng hàng). Với
là gốc tọa độ,
khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác

OAB

đều.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

B. Tam giác
C. Tam giác
D. Tam giác

OAB
OAB
OAB

vuông cân tại
vuông cân tại
vuông cân tại

O.
B.
A.

Hướng dẫn giải

OA = z ; OB = z′ =

1+ i
1+ i
2
.z =
.z =
z.
2
2
2

Ta có:

uuur uuur uuur
1+ i
1− i
2
BA = OA − OB ⇒ BA = z − z′ = z −
z=
.z =
z.
2
2
2
Ta có:
OA 2 = OB2 + AB2

Suy ra:
⇒
Chọn đáp án C.

Câu 20:

Cho số phức

z

và

AB = OB ⇒ OAB

là tam giác vuông cân tại

B.

z2 + 4 = 2 z .

thỏa mãn điều kiện

Khẳng định nào sau đây là

đúng?

A.

3−1
3+1
≤ z≤
.
6
6

5 − 1≤ z ≤ 5 + 1.
B.

6 − 1≤ z ≤ 6 + 1.
C.

D.

2−1

2+1
≤ z≤
.
3
3

Hướng dẫn giải
u + v ≥ u + v , 
Áp dụng bất đẳng thức
ta được
2

2

2 z + −4 = z2 + 4 + −4 ≥ z ⇒ z − 2 z − 4 ≤ 0 ⇒ z ≤ 5 + 1.
2

2

2 z + z = z2 + 4 + − z2 ≥ 4 ⇒ z + 2 z − 4 ≥ 0 ⇒ z ≥ 5 − 1.
z
Vậy,
nhỏ nhất là
⇒
Chọn đáp án B.

Câu 21:

Cho số phức

z

z
5 − 1, 
z = −i + i 5
khi
và
lớn nhất là

z − 1+ 2i = 2
thỏa mãn

9 + 4 5.
A.

5 + 1, 
z = i + i 5.
khi

. Tìm môđun lớn nhất của số phức

11+ 4 5
B.

6+ 4 5
C.

5+ 6 5
D.

z.


Hướng dẫn giải
z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡

)

Gọi
Đặt
Lúc

z − 1+ 2i = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 4.
2

2

. Ta có:
x = 1+ 2sin t; y = −2+ 2cost; t ∈ 0;2π 

.
đó:

z = ( 1+ 2sin t ) + ( −2 + 2cost ) = 9 + ( 4sin t − 8cost ) = 9 + 42 + 82 sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡
2

2

2

)

2
⇒ z = 9 + 4 5sin ( t + α ) ⇒ z ∈  − 9 + 4 5; 9 + 4 5 



z=

⇒ zmax = 9 + 4 5

⇒

Câu 22:

đạt được khi

5+ 2 5 −10 + 4 5
+
i.
5
5

Chọn đáp án A.
A , B, C , D

Cho

các số phức

là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn
1+ 2i ; 1+ 3 + i; 1+ 3 − i; 1− 2i

. Biết

ABCD

là tứ giác nội tiếp tâm

I.

Tâm

I

biểu diễn số phức nào sau đây?
A.

z = 3.

B.

z = 1− 3i.

C.

z = 1.

D.

z = −1.

Hướng dẫn giải
Ta có
3 + 3i
3− i

uuur
AB

biểu diễn số phức

= 3i

uuur uuur
DC.AC = 0

nên

. Từ đó suy ra

biểu diễn số phức

. Mặt khác

. Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua

AD

Ox

),

là một đường kính của đường tròn đi qua

Vậy
Chọn đáp án C.
Oxy,

Câu 23:

3 + 3i

I ( 1;0) ⇒ z = 1.

A , B, C , D.
⇒

uuur uuur
AB.DB = 0

uuur
3 − i ; DB

Trên mặt phẳng tọa độ

lấy điểm

M

là điểm biểu diễn số phức
2
uuuur
z = ( 2+ i ) ( 4 − i )
ϕ
OM .
và gọi
là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ
Tính
cos2ϕ .
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


−
A.

425
.
87

B.

475
.
87

−
C.

475

.
87

D.

425
.
87

Hướng dẫn giải
z = ( 2+ i )
Ta có:

cos2ϕ =

2

13
.
( 4− i ) = 16+ 13i ⇒ M ( 16;13) ⇒ tanϕ = 16

1+ tan2 ϕ 425
=
.
1− tan2 ϕ 87

Ta có:
⇒
Chọn đáp án D.

Câu 24:

z1 , z2

Cho

z1
∈¡
z22

là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn

z1 − z2 = 2 3.

z1.

Tính môđun của số phức

z1 = 5.

z1 = 3.

A.

và

z1 =

z1 = 2.

B.

C.

D.

5
.
2

Hướng dẫn giải
z1 = a+ bi ⇒ z2 = a− bi ; ( a∈ ¡ ; b∈ ¡

)

Gọi

. Không mất tính tổng quát ta gọi

b≥ 0.

z1 − z2 = 2 3 ⇒ 2bi = 2 3 ⇒ b = 3.
Do
Do

z1 , z2

là

hai

số

phức

liên

hợp

của

nhau

nên

z1.z2 ∈ ¡

,

mà

z1
z13
=
∈ ¡ ⇒ z13 ∈ ¡ .
z22 ( z z ) 2
1 2
b = 0
3
z13 = ( a+ bi ) = a3 − 3ab2 + 3a2b− b3 i ∈ ¡ ⇔ 3a2b− b3 = 0 ⇔  2

⇒ a2 = 1.
2
 3a = b

(

Ta có:

) (

)

z1 = a2 + b2 = 2.

Vậy
⇒
Chọn đáp án C.
m

Câu 25:
để

z

Cho số phức
là số thuần ảo?

 2 + 6i 
z=
÷ ,

 3− i 
m

nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị

m∈ 1;50


A.24.

B.26.

C.25.

D.50.

Hướng dẫn giải
m

 2 + 6i 
m
m m
z=
÷ = (2i ) = 2 .i
3
−
i



Ta có:
m= 2k + 1, k∈ ¥
z ≠ 0; ∀m∈ ¥ *
z
là số thuần ảo khi và chỉ khi
(do
).
m
Vậy có 25 giá trị
thỏa yêu cầu đề bài.
⇒
Chọn đáp án C.
z =1

Câu 26:

z2 − 1
z

Nếu
thì
A. lấy mọi giá trị phức.
C. bằng 0.

B. là số thuần ảo.
D. lấy mọi giá trị thực.
Hướng dẫn giải

z2 − 1
1

z
z
= z− = z−
= z− 2 = z− z
z
z
z.z
z

Ta có:
⇒
Chọn đáp án B.

Câu 27:
phức

Cho số phức

z

là số thuần ảo.

( 1− i ) z − 6− 2i =

10

thỏa mãn

. Tìm môđun lớn nhất của số

z.

A.

4 5

B.

3 5.

C.

3.

D.

3+ 5

Hướng dẫn giải
z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡
Gọi
Ta

)
.
có:

( 1− i ) z − 6− 2i =

10 ⇔ ( 1− i ) . z +

2
2
−6 − 2i
= 10 ⇔ z − 2 − 4i = 5 ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = 5.
1− i

x = 2 + 5sin t; y = 4 + 5cost; t ∈ 0;2π 

Đặt
Lúc đó:

.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


(

2

) (
2

z = 2+ 5sin t + 4 + 5cost

)

2

(

)

= 25+ 4 5sin t + 8 5cost = 25+

( 4 5) + ( 8 5)
2

2

sin ( t + α ) ;

2
⇒ z = 25+ 20sin ( t + α ) ⇒ z ∈  5;3 5



⇒ zmax = 3 5

⇒

3
2

z = 3+ 6i.

Chọn đáp án B.
z = x + yi  ( x, y ∈ R )

Câu 28:
z−

đạt được khi

Gọi
−

3
2

2

2

z − 2 + z + 2 = 26

là số phức thỏa mãn hai điều kiện

i

và

xy.

đạt giá trị lớn nhất. Tính tích
9
13
xy = .
xy = .

4
2
A.
B.

xy =
C.

16
.
9

D.

9
xy = .
2

Hướng dẫn giải
z = x + iy ( x, y ∈ R ) .

x2 + y2 = 36.

Đặt

Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được
x = 3cost, y = 3sin t.
Đặt
Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

P =  z −

3
2

−

 π
i = 18 − 18sin  t + ÷ ≤ 6.
2
 4

3

Dấu bằng xảy ra khi
⇒
Chọn đáp án D.

Câu 29:

 π
3π
3 2 3 2
sin  t + ÷ = −1⇒ t = −
⇒ z= −
−
i.
4
4
2

2


z
Có bao nhiêu số phức thỏa
A.1.
B.2.

z+ 1
=1
i−z

z− i
= 1?
2+ z
và
C.3.

D.4.

Hướng dẫn giải

Ta có :

 z+ 1

3
=1

x= −



z
+
1
=
i
−
z

x
=
−
y
i
−
z



2 ⇒ z = − 3 + 3 i.
⇔
⇔
⇔

2 2
4x + 2y = −3  y = 3
 z − i = 1  z − i = 2+ z
 2 + z


2


⇒

Câu 30:

Chọn đáp án A.
A, B

Gọi điểm

lần lượt biểu diễn các số phức

A , B, C

z1

z2 ; ( z1.z2 ≠ 0)
;

trên mặt

A ′, B′, C′

phẳng tọa độ (
và
đều không thẳng hàng) và
gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác

B. Tam giác
C. Tam giác

OAB
OAB
OAB

đều.

O

là

B.

vuông cân tại
OAB

. Với

O.

vuông cân tại

D. Diện tích tam giác

z12 + z22 = z1.z2

không đổi.
Hướng dẫn giải

z1 ≠ 0 ⇒ z2 − z1 =

z12 + z22 = z1.z2 ⇒ z12 = z1 ( z2 − z1 ) ; z1 = z1 . z2 − z1
2

Ta có:
(1)

z1

;

. Do

z12 = z2 ( z1 − z2 ) ⇒ z1 = z2 . z1 − z2 ⇔ z1 − z2 =
2

z1

2

z2

Mặt khác:

(do

z2

2

z1
Từ

2

z2

(1)

và

(2)

suy

=

z1

z2 ≠ 0

) (2)

2

z2

⇔ z1 = z2

ra:

.

Vậy

ta

có:

z1 = z2 = z2 − z1 ⇒ OA = OB = AB
⇒

.
Chọn đáp án A.
z − 2 − 4i = z − 2i

Câu 31:

Trong các số phức thỏa mãn điều kiện

của số phức
A.

5

. Tìm môđun nhỏ nhất

z + 2i.

B.

3 5.

C.

3 2

D.

3+ 2

Hướng dẫn giải
z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡
Gọi

)
.

z − 2− 4i = z − 2i ⇔

( x − 2) + ( y − 4)
2

2

= x2 + ( y − 2) ⇔ x + y − 4 = 0 ⇔ y = 4− x.
2

Ta có:
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


z + 2i = x2 + ( y + 2) = x2 + ( 6 − x) = 2x2 − 12x + 36 = 2( x − 3) + 18 ≥ 18
2

2

2

2

Ta có:
⇒ z + 2i min = 18 = 3 2
⇒

khi

z = 3 + i.

Chọn đáp án C.
m, n

Câu 32:

Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực
không có nghiệm thực.

m2 − 4n > 0.

A.

B.

m2 − 4n ≥ 0

.
m> 0
n > 0


C.

để phương trình

D.

m2 − 4n < 0

m2 − 4n > 0

 m< 0
n > 0


hoặc

m2 − 4n < 0

z4 + mz2 + n = 0

hoặc

.

m2 − 4n ≥ 0

m> 0
n > 0


.

Hướng dẫn giải
Phương trình

z4 + mz2 + n = 0

không có nghiệm thực trong các trường hợp:

TH 1: Phương trình vô nghiệm, tức là

m2 − 4n < 0.

(

t4 + mt2 + n = 0; t = z2

TH

2:

Phương

trình

)
có

hai

∆ ≥ 0 m2 − 4n ≥ 0


⇔ S < 0 ⇔ m > 0
.
 P > 0 n > 0


⇒

Câu 33:

Chọn đáp án D.
z = a; ( a > 0)

z2 − a
z

Nếu
thì
A. lấy mọi giá trị phức.
C. bằng 0.

B. là số thuần ảo.
D. lấy mọi giá trị thực.
Hướng dẫn giải

z 2 − a2
a
a2z
a2z
= z− = z−
= z− 2 = z−z
z
z
z.z
z

Ta có:
⇒
Chọn đáp án B.

là số thuần ảo.

nghiệm

âm

Câu 34:

Cho số phức

z

z − 1+ 2i = 3
thỏa mãn

. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức

z − 1+ i.

A.

4.

B.

2 2.

C.

2.

2.

D.

Hướng dẫn giải
z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 1+ i = ( x − 1) + ( y + 1) i
Gọi

.

Ta

có:

z − 1+ 2i = 9 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 9
2

2

.
Đặt

x = 1+ 3sin t; y = −2 + 3cost; t ∈ 0;2π  .

⇒ z − 1+ i = ( 3sin t ) + ( −1+ 3cost ) = 10 − 6cost ⇒ 2 ≤ z − 2i ≤ 4 ⇒ z − 1+ i min = 2
2

2

2

,

khi

z = 1+ i.

⇒

Câu 35:

Chọn đáp án C.

Gọi

M

ϖ=
là điểm biểu diễn số phức

( 1− i ) ( z − i ) = 2− i + z
mãn

uuu
r uuuur
ϕ = Ox,OM

(

. Gọi

N

2z + z + 1− i

z2 + i

, trong đó

là điểm trong mặt phẳng sao cho

)

(

z

là số phức thỏa
uuu
r uuuu
r
Ox,ON = 2ϕ

)

Ox

đó
là góc lượng giác tạo thành khi quay tia
tới vị trí tia
nằm trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư thứ (I).
B. Góc phần tư thứ (II).
C. Góc phần tư thứ (III).
D. Góc phần tư thứ (IV).

OM

, trong

. Điểm

Hướng dẫn giải

7 19
 7 19 
19
− i ⇒ M  − ; − ÷⇒ tan ϕ = .
( 1− i ) ( z − i ) = 2− i + z ⇒ z = 3i ⇒ w = − 82
82
82 82
7


Ta có:



2tanϕ
133
1− tan2 ϕ
156
sin2ϕ =
=
> 0; cos2ϕ =

=−
<0
2
2
205
1+ tan ϕ 205
1+ tan ϕ
Lúc đó:
⇒
Chọn đáp án C.

.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

N


Câu 36:

Biết số phức
2

M = z+ 2 − z− i

z − 3− 4i = 5

z

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

và biểu thức

2

đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức

z + i = 2 41

z + i.

z + i = 3 5.

A.

B.

z+ i = 5 2

z + i = 41.

C.

D.
Hướng dẫn giải
z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡

Gọi

)

z − 3− 4i = 5 ⇔ ( C ) : ( x − 3) + ( y − 4) = 5
2

2

. Ta có:

I ( 3;4)
và

: tâm

R = 5.

Mặt

khác:

( )

2
2
2
2
M = z + 2 − z − i = ( x + 2) + y2 −  x2 + ( y − 1)  = 4x + 2y + 3 ⇔ d :4x + 2y + 3− M = 0.



Do số phức

z

⇔ d( I ; d) ≤ R ⇔

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên

23− M
2 5

d

( C)
và

có điểm chung

≤ 5 ⇔ 23− M ≤ 10 ⇔ 13 ≤ M ≤ 33

4x + 2y − 30 = 0
x = 5
⇒ M max = 33 ⇔ 
⇔
⇒ z + i = 5− 4i ⇒ z + i = 41.
2
2
( x − 3) + ( y − 4) = 5  y = −5
⇒

Chọn đáp án D.

A ′, B′, C′

A , B, C

Câu 37:

Các điểm

z1′ , z′2 , z′3

và

lần lượt biểu diễn các số phức

z1 + z2 + z3 = z1′ + z′2 + z′3

và

đều không thẳng hàng). Biết

, khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hai tam giác
B. Hai tam giác
C. Hai tam giác
D. Hai tam giác

ABC
ABC
ABC

ABC

và
và
và
và

A ′B′C′
A ′B′C′
A ′B′C′
A ′B′C′

và

A ′, B′, C′

A , B, C

trên mặt phẳng tọa độ (

z1 , z2 , z3

bằng nhau.
có cùng trực tâm.
có cùng trọng tâm.
có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp.
Hướng dẫn giải


(

)

z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i ; z3 = x3 + y3i ; x′k ; y′k ∈ ¡ ; k = 1;3

Gọi

A ( x1; y1 ) ; B( x2 ; y2 ) ; C ( x3; y3 )

Khi

đó:

,

gọi

.

G

là

trọng

tâm

x +x +x y +y +y 
∆ABC ⇒ G  1 2 3 ; 1 2 3 ÷.
3

3



(

)

z1′ = x1′ + y1′ i ; z′2 = x′2 + y′2i ; z′3 = x′3 + y′3i ; x′k ; y′k ∈ ¡ ; k = 1;3

Tương tự, gọi

A ′ ( x1′ ; y1′ ) ; B′ ( x′2 ; y′2 ) ; C′ ( x′3; y′3 )

Khi đó:

gọi

G′

.

,

là trọng tâm

 x′ + x′ + x′ y′ + y′ + y′ 
∆A ′B′C′ ⇒ G′  1 2 3 ; 1 2 3 ÷.
3
3




z1 + z2 + z3 = z1′ + z′2 + z′3 ⇔ ( x1 + x2 + x3 ) + ( y1 + y2 + y3 ) i = ( x1′ + x′2 + x′3 ) + ( y1′ + y′2 + y′3 ) i

Do

 x + x + x = x1′ + x′2 + x′3
⇔ 1 2 3
⇒ G ≡ G′.
 y1 + y2 + y3 = y1′ + y′2 + y′3
⇒

Chọn đáp án C.
Oxy,

Câu 38:

Trên mặt phẳng tọa độ

z = ( 2 − 3i ) ( 1+ i )

lấy điểm

M

là điểm biểu diễn số phức
uuuur
ϕ
OM .

và gọi
là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ
Tính

sin2ϕ .

−
A.

5
.
12

B.

5
.
12

C.

12
.
5

−
D.

12
.

5

Hướng dẫn giải

Ta có:

1
z = ( 2 − 3i ) ( 1+ i ) = 5 − i ⇒ M ( 5; −1) ⇒ tanϕ = − .
5
sin2ϕ =

2tan ϕ
5
=− .
2
12
1− tan ϕ

Ta có:
⇒
Chọn đáp án A.
z=

Câu 39:

Cho số phức

−m+ i
, m∈ ¡
1− m( m− 2i )

. Tìm môđun lớn nhất của

z.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. 1.

1
2

B. 0.

C. .

D.2.

Hướng dẫn giải
z=

− m+ i
m
i
1
= 2
+ 2
⇒ z=
≤ 1⇒ z max = 1 ⇔ z = i ; m= 0.

2
1− m( m− 2i ) m + 1 m + 1
m +1

Ta có:
⇒
Chọn đáp án A.

Câu 40:

Cho số phức

z

z = m; ( m > 0)
có

m.

A.

. Với

B.

z ≠ m;

tìm phần thực của số phức
1
1

.
.
4m
2m
C.
D.

1
.
m

1
.
m− z

Hướng dẫn giải
Re( z)
Gọi

là phần thực của số phức

Ta xét:

=

1
 1 
1
1
m− z + m− z

2m− z − z
+
=
+
=
= 2
÷
m− z  m− z  m− z m− z ( m− z) ( m− z ) m + z.z − mz − mz

2m− z − z
2m− z − z
1
 1  1
=
= ⇒ Re
.
÷=
2
2m − mz − mz m( 2m− z − z ) m
 m− z  2m

⇒

Chọn đáp án D.

z1 = 3

z1, z2

Câu 41:

z.

Cho số phức

z2 = 2

thỏa mãn

,
được biểu diễn trong mặt
uuur uuur
p
Ð OM ,ON =
M ,N
6
phẳng phức lần lượt là các điểm
. Biết
, tính giá trị của biểu thức

(

)

z1 + z2
z1 - z2
.

A.

13

B.

1

C.

7 3
2

Hướng dẫn giải

1
D.

13


Dựng hình bình hành
ìï
ï
í
ïï
ïî

OMPN

trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của :

ìï
2
2
ïï z + z = z + z + 2 z z cos 1500 = 1
1
2
1
2
1
2
ïí
z1 + z2
z1 + z2 = OP
z1 + z2
2
2
Þ ïï
Þ
=
=1
0
z1 - z2 = MN
z1 - z2
z1 - z2
ïïî z1 - z2 = z1 + z2 - 2 z1 z2 cos 30 = 1

( )
( )

.

Chọn B.

Câu 42:

( 2 + i)

( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho thỏa mãn
z =

10
+ 1 − 2i
z

z ∈£

thỏa mãn

w = ( 3 − 4i ) z − 1 + 2i

. Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
I
R
đường tròn , bán kính . Khi đó.
I ( −1; −2 ) , R = 5.

A.

là

I ( −1; 2 ) , R = 5.

I ( 1; 2 ) , R = 5.

B.

C.

I ( 1; −2 ) , R = 5.
D.

Hướng dẫn giải
ChọnC.(đã sửa đề bài)
z =c>0
a; b; c ∈ ¡
z = a + bi
Đặt
và
, với
.
w + 1 − 2i
w = ( 3 − 4i ) z − 1 + 2i ⇔ z =
3 − 4i
Lại có
.
w = x + yi
x; y ∈ ¡
Gọi
với
.

w + 1 − 2i
w + 1 − 2i
z =c⇒
=c⇔
= c ⇔ x + yi + 1 − 2i = 5c
3 − 4i
3 − 4i
Khi đó
⇔

( x + 1)

2

+ ( y − 2 ) = 5c ⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 25c 2
2

2

2

.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

w

I ( −1; 2 )
là đường tròn

Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó

.

R = 5 ⇒ 5c = 5 ⇒ c = 1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

.


Thử

c =1

vào phương trình (1) thì thỏa mãn.

Câu 43:

( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Số phức
phẳng tọa độ như hình vẽ:
y

z

được biểu diễn trên mặt

1
z
1

O

ϖ=
Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức
y
1

ω

O

1

x

1

x

y
1

O

ω

A.

B.

i
z

?

x


y
1

O

x

1

ω

y

ω

1

O

1

x

B.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
z = a + bi; a, b ∈ ¡ .
Gọi

z

Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức nằm ở góc phần tư thứ nhất nên
a, b > 0
.
i ( a + bi )
i
i
b
a
ϖ= =
= 2
=− 2
+ 2
i
2
2
a + b a + b2
z a − bi a + b
Ta có

a, b > 0
Do
nên
thứ hai.
Vậy chọn C.

Câu 44:

b

− a 2 + b2 < 0
⇒

a

>0
 a 2 + b2

điểm biểu diễn số phức

z

(CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong các số phức thỏa
phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó
z0 = 2
z0
A. Không tồn tại số phức .
B.
.

ω

nằm ở góc phần tư

z + 3 + 4i = 2

z0
, gọi

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

là số