tài liệu phương pháp phần tử hữu hạn

Môn học
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

TS. Lê Đình Hồng
(Tel. 0903 994436)
BM. Kỹ thuật Tài nguyên nước
Khoa Kỹ thuật Xây dựng
Đại học Bách khoa Tp. HCM
Nội dung môn học

1. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn
2. Phương pháp số dư gia trọng
3. Lý thuyết ñàn hồi (tự ôn tập)
4. Phần tử thanh (tự ôn tập)
5. Hàm nội suy
6. Bài toán phẳng và khối
7. Bài toán bản, vỏ
8. Bài toán thấm (phương pháp số dư gia trọng)
9. Kỹ thuật mô hình hóa trong phần tử hữu hạn
10. Sơ lược về bài toán ñộng lực học và phương pháp phần tử
hữu hạn
Tài liệu tham khảo

• Fundamentals of Finite Element Analysis, David V. Hutton,
McGraw Hill, 2004.
• The Finite Element Method in Engineering, Singiresu S. Rao,
Elsevier Science & Technology Books, 2004.
• Một số sách khác sẵn có trong Thư viện ĐH Bách khoa Tp.

Hồ Chí Minh, chẳng hạn:
 A First Course in the Finite Element Method, Dary L.
Logan, Brooks/Cole, 2002.
 Finite Element Analysis – Theory and Application with
Ansys, Saeed Moaveni, Pearson Education, 2003.
 …

Trong quá trình học:

 Thực hiện một số tính toán minh họa sử dụng phần
mềm Sap2000, Geoslope Studio, …
 Khuyến khích Học viên ñặt vấn ñề (lý thuyết, thực tế,
…) ñể tất cả cùng tham gia giải quyết.


Đánh giá môn học:

Tiểu luận trong quá trình học: tỷ lệ 40 %
Thi cuối học kỳ: tỷ lệ 60 %

Cộng: 100 %
TS. Leâ Ñình Hoàng 1/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN

1.1 MỞ ĐẦU
Hiện tượng vật lý → phương trình đạo hàm riêng → lời giải
• Đơn giản (phương trình, miền tính toán và điều kiện
biên) → lời giải chính xác (lời giải giải tích)

• Phức tạp → lời giải xấp xỉ (hay lời giải số):
9 Phương pháp sai phân hữu hạn: đạo hàm riêng
trong phương trình vi phân chủ đạo được thay thế
TS. Leâ Ñình Hoàng 2/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
bằng biểu thức sai phân → hệ phương trình đại số
tuyến tính → lời giải tại một số điểm rời rạc.
9 Phương pháp biến phân (Rayleigh-Ritz, Galerkin,
bình phương tối thiểu): phương trình vi phân chủ
đạo → dạng biến phân → giả thiết lời giải dạng
(
)
j
j
c
φ
∑
trên toàn miền tính toán với
j
φ
là hàm số
chọn sẵn, c
j
là hệ số chưa xác định → xác định c
j
để
phương trình nguyên thủy và phương trình dạng
biến phân tương đương nhau. Lưu ý: không phải
mọi bài toán đều có thể được viết dưới dạng biến
phân.
9 Phương pháp phần tử hữu hạn: có thể áp dụng cho

mọi loại bài toán khoa học và kỹ thuật
TS. Leâ Ñình Hoàng 3/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
 Miền tính toán được chia thành các miền con gọi
là phần tử hữu hạn.
 Chọn hàm xấp xỉ cho ẩn số dạng đa thức trong
từng phần tử.
 Bằng cách thỏa mãn phương trình vi phân chủ
đạo theo ý nghĩa tích phân – gia trọng → hệ
phương trình để xác định giá trị ẩn số tại các nút
của các phần tử hữu hạn.

1.2 MỘT SỐ
ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN
TỬ HỮU HẠN
Bài toán thấm ngang qua đập đất:
TS. Leâ Ñình Hoàng 4/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH



TS. Leâ Ñình Hoàng 5/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
Bài toán tỏa nhiệt theo thời gian trong đập bê tông


TS. Leâ Ñình Hoàng 6/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH



TS. Leâ Ñình Hoàng 7/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
Bài toán ứng suất – biến dạng

TS. Leâ Ñình Hoàng 8/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
Mô phỏng một máy bay chiến đấu


TS. Leâ Ñình Hoàng 9/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
Bài toán dao động do động đất, tải thay đổi theo thời gian,



TS. Leâ Ñình Hoàng 10/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
1.3 CÁC BƯỚC CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN
Bước 1
: Rời rạc hóa miền tính toán thành các phần tử hữu
hạn với hình dạng được chọn trước và các phần tử liên kết
với nhau tại các nút.


Phần tử thanh Phần tử phẳng tam giác, tứ giác
TS. Leâ Ñình Hoàng 11/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH

Phần tử vỏ mỏng Phần tử khối

Bước 2
: Chọn hàm chuyển vị (thường là đa thức bậc 1, 2, 3)
được xác định bên trong từng phần tử để nội suy chuyển vị
tại vị trí bất kỳ (bên trong phần tử) theo chuyển vị nút của
các phần tử (ẩn số).

TS. Leâ Ñình Hoàng 12/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH

{
}
()
()
()
[]
()
{}
,,
,,
,,
e
uxyz
uvxyz Nu
wxyz
⎧⎫
⎪⎪
==
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
(1.1)
[N] = ma trận hàm hình dạng / nội suy; và
(
)
{
}
e

u = vectơ
chuyển vị nút của phần tử (e).

Bước 3
: Xác định quan hệ biến dạng - ứng suất và biến
dạng – chuyển vị theo lý thuyết đàn hồi (tùy thuộc loại bài
toán đang giải). Ví dụ đối với bài toán một chiều

xxx
du
E
dx
ε
σε
== (1.2)

TS. Leâ Ñình Hoàng 13/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
Bước 4: Thiết lập ma trận độ cứng của phần tử và phương
trình cân bằng phần tử theo một trong các phương pháp:
cân bằng trực tiếp, năng lượng / công hay số dư gia trọng
và được hệ phương trình có dạng

()
{
}
(
)
(
)
{

}
eee
f
ku
⎡⎤
=
⎣
⎦
(1.3)
()
{
}
e
f
= vec tơ lực nút;
(
)
e
k
⎡
⎤
⎣
⎦
= ma trận độ cứng; và
(
)
{
}
e
u

=
vec tơ chuyển vị nút của phần tử (e) bất kỳ.

Bước 5
: Hệ phương trình cân bằng của từng phần tử được
cộng với nhau theo nguyên lý xếp chồng → hệ phương trình
cân bằng tổng thể có dạng

{
}
[
]
{
}
F
KU
=
(1.4)
TS. Leâ Ñình Hoàng 14/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
{
}
F
= vec tơ lực tác dụng tại các nút;
[
]
K
= ma trận độ
cứng (đối xứng đối với bài toán kết cấu); và
{
}

U = vec tơ
chuyển vị nút của toàn hệ kết cấu.
[]
K
là ma trận kỳ dị (định thức bằng không) → bổ sung
điều kiện biên (kết cấu không chuyển động như vật thể
tuyệt đối cứng) (1.4) trở thành

{
}
[
]
{
}
F
KU
=


(1.5)
Ma trận
[]
K

mất tính chất kỳ dị.

Bước 6
: Giải phương trình (1.5) → chuyển vị tại tất cả các
nút trong miền tính toán.

TS. Leâ Ñình Hoàng 15/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
Bước 7: Tính chuyển vị tại vị trí bất kỳ theo (1.1) và biến
dạng, ứng suất trong phần tử bất kỳ theo các biểu thức
tương tự (1.2).

Bước 8
: Phân tích, giải thích kết quả để dùng trong quá
trình thiết kế. Các sai lầm thường gặp:
• Nhập sai dữ liệu đầu vào (tính chất vật lý, kích thước,
…).
• Chọn loại phần tử không thích hợp → cần nắm vũng
phạm vi áp dụng và ưu nhược điểm của từng loại phần
tử.
• Chọn loại bài toán không phù hợp → cần phân biệt
các loại bài toán (lý thuy
ết đàn hồi).
TS. Leâ Ñình Hoàng 16/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
• Hình dạng phần tử và lưới phần tử không hợp lý → có
ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả tính toán.
• Gán tải và điều kiện biên không đúng.

Các phương pháp để thiết lập ma trận phần tử:
• Trực tiếp
• Cực tiểu thế năng
• Số dư gia trọng

1.4 ƯU ĐIỂM CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦ
N TỬ HỮU
HẠN
• Dễ dàng mô phỏng kết cấu có hình dạng bất kỳ hoặc

cấu tạo gồm nhiều loại vật liệu khác nhau;
TS. Leâ Ñình Hoàng 17/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
• Xử lý được tất cả các loại tải trọng và điều kiện biên;
• Có thể thay đổi kích thước phần tử → nơi tập trung
ứng suất dùng phần tử có kích thước nhỏ, các nơi khác
dùng phần tử kích thước lớn hơn;
• Dễ dàng mô phỏng bài toán động và phi tuyến hình
học lẫn phi tuyến vật liệu.

TS. Leâ Ñình Hoàng 1/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP SỐ DƯ GIA TRỌNG

2.1 CÁC LOẠI BÀI TOÁN
• Bài toán cân bằng (giá trị biên): → lời giải trong một
miền kín thoả điều kiện biên cho sẵn → bài toán tĩnh
học công trình. Phương trình phần tử hữu hạn chủ
đạo có dạng:
[
]
AX b
=
G
G
(2.1)
với điều kiện biên là
[
]
BX g
=

G
G
(2.2)

TS. Leâ Ñình Hoàng 2/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
• Bài toán giá trị riêng (eigenvalue): → tần số tự nhiên
và hình dạng mode, chẳng hạn đối với bài toán động
trong kết cấu. Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo
có dạng:
[]
[
]
AX BX
λ
=
G
G
(2.3)
với điều kiện biên là
[]
CX g
=
G
G
(2.4)

• Bài toán lan truyền (propagation - giá trị ban đầu và
giá trị biên): → lời giải trong một miền hở thỏa mãn
các điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho sẵn, chẳng
hạn đối với bài toán động trong kết cấu, bài toán tỏa

nhiệt. Lời giải phải được tính toán xuất phát từ giá trị
TS. Leâ Ñình Hoàng 3/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
ban đầu cho sẵn trong khi phải thỏa các điều kiện
biên. Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo có dạng:
[] [] []
()
2
2
,, 0
dX dX
ABCXFXtt
dt dt
+
+= >
GG
G
GG
(2.5)
với điều kiện biên là
[]
,0DX g t
=
≥
G
G
(2.6)
và điều kiện ban đầu là
0
0
,0

,0
XX t
dX
Yt
dt
==
=
=
GG
G
G
(2.7)
trong đó [A], [B], [C] và [D] là các ma trận vuông mà hệ số
của chúng đã biết;
X
G
là vectơ ẩn số chưa biết;
00
,, ,bgX Y
G
G
G
G
là
TS. Leâ Ñình Hoàng 4/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
các vectơ hằng số đã biết, λ là giá trị riêng, t là biến thời
gian và
F
G
là vectơ hàm số của

X
G
và t.

2.2 PHƯƠNG PHÁP SỐ DƯ GIA TRỌNG
Kỹ thuật xấp xỉ để giải bài toán giá trị biên bằng cách
• sử dụng hàm thử thỏa điều kiện biên và
• thiết lập bài toán dạng tích phân để cực tiểu sai số,
theo ý nghĩa trung bình trên toàn miền tính toán.
Ví dụ phương trình vi phân có dạng
(
)
,0Dyx x a x b
=
≤≤
⎡⎤
⎣⎦
(2.8)
Điều kiện biên
()
(
)
0ya yb
=
= (2.9)
TS. Leâ Ñình Hoàng 5/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
Lời giải theo phương pháp số dư gia trọng có dạng:
() ()
1
*

n
ii
i
yx cNx
=
=
∑
(2.10)
N
i
(x) = hàm thử được chọn sẵn, phải liên tục trên toàn miền
và thỏa tất cả các điều kiện biên.
Thay (2.10) vào (2.8) → số dư
()
(
)
*, 0Rx Dy x x
=
≠
⎡
⎤
⎣
⎦
(2.11)
Phương pháp số dư gia trọng yêu cầu c
i
được tính từ hệ n
phương trình n ẩn số sau
() ()
0 1,2, ,

b
i
a
wxRxdx i n==
∫
(2.12)
w
i
= n hàm gia trọng bất kỳ, chọn sẵn.
TS. Leâ Ñình Hoàng 6/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
Lời giải là chính xác tại biên (từ yêu cầu đối với hàm thử)
nhưng có sai số tại các vị trí bên trong miền tính toán.

Phương trình mô tả thanh có bề dày t và bề rộng w thay đổi
chịu kéo dọc trục và điều kiện biên là
() ()
000
du
AyE P u
dy
−
== (2.13)

TS. Leâ Ñình Hoàng 7/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
Lời giải giả thiết thỏa điều kiện biên
()
23
12 3
uy cy cy cy
=

++ (2.14)
Thay (2.14) vào (2.13) → hàm sai số
()
()
2
21
1123
23
du
Ay
dy
ww
wytEccycyPR
L
−
⎡⎤
⎛⎞
+
++ −=
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
   
   
(2.15)
Cho w
1
= 2; w
2

= 1; t = 0,125; L = 10; E = 10,4×10
6
; P =
1000 →
()
(
)
26
12 3
/ 0,25 0,0125 2 3 96,154 10RE y c cy cy
−
=− ++ − ×
(2.16)

Phương pháp chọn điểm (collocation)
TS. Leâ Ñình Hoàng 8/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
Hàm sai số bị cưỡng bức bằng zero tại n (= 3) điểm, chẳng
hạn tại y = L/3; = 2L/3 và L. Thay vào (2.16) → hệ 3
phương trình 3 ẩn số
(
)
(
)
(
)
/3 0 2 /3 0 0RL R L RL=== (2.17)
→ giải hệ phương trình →
6152 63
423,0776 10 21,65 10 1,153848 10uyyy
−

−−
=
×+× + ×
(2.18)

Phương pháp miền con (subdomain)
Tích phân của hàm sai số bị cưỡng bức bằng zero tại n (= 3)
miền con, chẳng hạn: miền 1 từ y = 0 đến y = L/3; miền 2 từ
y = L/3 đến y = 2L/3 và miền 3 từ y = 2L/3 đến y = L. Từ
(2.16) → hệ 3 phương trình 3 ẩn số
TS. Leâ Ñình Hoàng 9/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
/3 2 /3
0/32/3
000
LLL
L
L
Rdy Rdy Rdy===
∫
∫∫
(2.19)
→ giải →
662 93
391,35088 10 6,075 10 809,61092 10uyy y
−
−−
= ×+× + ×
(2.20)

Phương pháp bình phương cực tiểu

Yêu cầu
(
)
2
0
min 0
L
Rdy
=
∫
(2.21)
→
0
01,2,3
L
i
R
Rdy i
c
∂
==
∂
∫
(2.22)
TS. Leâ Ñình Hoàng 10/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
→
000
1231
00 0
LLL

RR R
Rdy Rdy R dy
ccc
∂∂ ∂
=
==
∂∂∂
∫∫∫
(2.23)
→ hệ 3 phương trình 3 ẩn số → giải →
66263
389,733 10 6,442 10 0,789 10uyyy
−
−−
=×+×+× (2.24)

Phương pháp Galerkin
Yêu cầu sai số trực giao với hàm gia trọng φ
i
ứng với tích
phân
0
01,2,3
L
i
Rdy i
φ
==
∫
(2.25)

Hàm gia trọng là các thành phần của lới giải xấp xỉ (2.14)
nghĩa là
23
12 3
yy y
φ
φφ
== =
(2.26)
TS. Leâ Ñình Hoàng 11/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
→
123
000
000
LLL
Rdy Rdy Rdy
φφφ
===
∫
∫∫
(2.27)
→ hệ 3 phương trình 3 ẩn số → giải →
66263
400,642 10 4,006 10 0,935 10uyyy
−
−−
=×+×+× (2.28)

Lời giải chính xác: tích phân phương trình (2.13)
→

()
()
21
11
21
ln ln
PL w w
uy w y w
Et w w L
−
⎡
⎤
⎛⎞
=+−
⎜⎟
⎢
⎥
−
⎝⎠
⎣
⎦
(2.29)

TS. Leâ Ñình Hoàng 12/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
So sánh kết quả tính toán chuyển vị (10
-2
)
y Chính
xác
Chọn

điểm
Miền con Galerkin Bình
phương
cực tiểu
0 0 0 0 0 0
2,5 0,1027 0,1076 0,1029 0,1041 0,1027
5 0,2213 0,2259 0,2209 0,2220 0,2208
7,5 0,3615 0,3660 0,3618 0,3624 0,3618
10 0,5333 0,5384 0,5330 0,5342 0,5331

Các phương pháp số dư gia trọng yêu cầu hàm thử
• được xác định trên toàn miền tính toán và
TS. Leâ Ñình Hoàng 13/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
• phải thỏa tất cả các điều kiện biên
→ không áp dụng được khi miền tính toán có dạng phức
tạp và điều kiện biên phức tạp.

→ Phương pháp phần tử hữu hạn chỉ yêu cầu
• hàm thử xác định trong từng phần tử;
• không yêu cầu hàm thử thỏa điều kiện biên.

2.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN
Bài toán cần giải
TS. Leâ Ñình Hoàng 14/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
() ( )
401 2
120
ddu
xx x
dx dx

uu
⎛⎞
−
=≤≤
⎜⎟
⎝⎠
==
(2.30)
Lời giải chính xác
()
2
ln
31
ln2
x
ux x
=
−− (2.31)
Miền tính toán chia thành 2 phần tử (kích thước bằng
nhau) với 3 nút
→ lời giải xấp xỉ →
() () () () ()
3
11 22 33
1
*
ii
i
ux u x u xu xu x
φφφφ

=
==++
∑
(2.32)
φ
i
(x) = hàm thử và u
i
= giá trị ẩn số tại các nút.

TS. Leâ Ñình Hoàng 15/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
• Các hằng số c
i
của phương pháp số dư gia trọng trở
thành u
i
trong phương pháp phần tử hữu hạn
Galerkin;
• Hàm thử φ
i
được xác định cho từng nút như hình →
hàm thử chỉ khác không trong một phần nhỏ của miền
tính toán.



TS. Leâ Ñình Hoàng 16/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
φ
2
(x)

→ trong phần tử 1
()
()
()
()
()
11
21
11 22 1 2
21 21
*
x
xxx
ux u xu x u u
x
xxx
φφ
−
−
=+= +
−
−

(2.33)
trong phần tử 2
()
()
()

()
()
22
3
2
22 33 2 3
32 32
*
x
x
x
x
ux u xu x u u
x
xxx
φφ
−
−
=+=+
−
−
(2.34)
TS. Leâ Ñình Hoàng 17/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
Chỉ số trên ( ) để chỉ phần tử.
Thay (2.32) vào (2.30)
→ số dư R
*
4
ddu
Rx x

dx dx
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
(2.35)
Hệ phương trình phần tử hữu hạn
33
11
*
40
xx
ii
xx
ddu
Rdx x x dx
dx dx
φφ
⎡⎤
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣
⎦
∫∫
(2.36)
Thực hiện tích phân từng phần
→

3
33
11
1
**
40
x
xx
i
ii
xx
x
d
du du
x
dx x x dx
dx dx dx
φ
φφ
=
−=
∫∫
(2.37)

Với i = 1
→ chỉ φ
1
≠ 0 trong miền (x
1
, x

2
) → (2.37) →
TS. Leâ Ñình Hoàng 18/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
()
()
22
11
1
2
12 1
2
21
21
1*
4
xx
xx
x
du x x
x
u u dx x x dx
dx x x
xx
−
−=− −
−
−
∫∫
(2.38)

Với i = 2
→ φ
2
≠ 0 trong miền (x
1
, x
3
) → (2.37) →
(
)
(
)
() () () ( )
23
12
32
23
13
21
12
22
21 12
22 22
**
**
44
xx
xx
xx
xx

xx
xx
ddu ddu
xdxxdx
dx dx dx dx
du du
x
xxdxxdx
dx dx
φφ
φφ φφ
+
=+−−
∫∫
∫∫
(2.39)
TS. Leâ Ñình Hoàng 19/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
()
()
()
()
23
12
23
12
22
12 23
22
21
32

3
1
22
21 32
11
**
44
xx
xx
xx
xx
xx
x
uudx xuudx
xx
xx
x
x
du du x x
x
xxdxxdx
dx dx x x x x
−
++ −=
−
−
−
−
=−− −
−−

∫∫
∫∫
(2.40)
Với i = 3
→ chỉ φ
3
≠ 0 trong miền (x
2
, x
3
) → (2.37) →
()
()
33
22
3
2
23 3
2
32
32
1*
4
xx
xx
x
du x x
x
u u dx x x dx
dx x x

xx
−
−+ = −
−
−
∫∫
(2.41)
Thực hiện phép tích phân
→
TS. Leâ Ñình Hoàng 20/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
()
()
()
()
1
22
3
12
1
12 23
1,5 1,5
23
2
2,5 1,1667
2,5 3,5 1,5 1,5
1,3333 1,6667
3,5 1,8333 2
x
xx
x

du
uu
dx
du du
uu uu
dx dx
du
uu
dx
=
=
=
=
−=− −
−+ + − = −
−−
−+ = +
(2.42)

TS. Leâ Ñình Hoàng 21/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
1
3
1
1
2
3
2
*
1,1667
2,5 2,5 0

2,5 6 3,5 3
03,53,5
*
1,8333 2
x
x
du
dx
u
u
u
du
dx
=
=
⎧
⎫
−−
⎪
⎪
−
⎧⎫
⎡⎤
⎪
⎪
⎪
⎪⎪ ⎪
⎢⎥
−−=−
⎨

⎬⎨ ⎬
⎢⎥
⎪
⎪⎪ ⎪
−
⎢⎥
⎣⎦
⎩⎭
⎪
⎪
−+
⎪
⎪
⎩⎭
(2.43)
Điều kiện biên u
1
= u
3
= 0
→
2
12
0,5; / 2,4167; / 1,7917
xx
u dudx dudx
=
=
=
−=− =

Lời giải chính xác
2
12
0,5049; / 2,3281; / 1,8360
xx
u dudx dudx
=
=
=
−=−=

Phần tử hữu hạn cho phần tử
TS. Leâ Ñình Hoàng 22/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
Xét miền tính toán chỉ là một phần tử e (nút j và j+1) →
1
40
jj
ddu
xx xab
dx dx
xx
+
⎛⎞
−= ≤ ≤
⎜
≤≤
⎟
⎝⎠
(2.44)

Điều kiện biên là
()
(
)
11
jj j j
ux u ux u
+
+
== (2.45)
Lời giải xấp xỉ trong phần tử j
()
()
()
()
()
1
11 1
11
*
ee
jj
jj j j j j
jj jj
x
xxx
ux u xu xu u
x
xxx
φφ

+
++ +
++
−
−
=+ = +
−
−
(2.46)
Thực hiện tích phân trên phần tử (e)
TS. Leâ Ñình Hoàng 23/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
() ()
() ()
11
11
11
*
40
*
40
jj
jj
jj
jj
xx
ee
jj
xx
xx
ee

jj
xx
ddu
Rdx x x dx
dx dx
ddu
Rdx x x dx
dx dx
φφ
φφ
++
++
++
⎡⎤
⎛⎞
=
−=
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
=
−=
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣
⎦

∫∫
∫∫
(2.47)
→
(
) ()
(
)
()
()
() ()
()
1 1
1 1
1
1
1
11
11
*
4
*
4
j j
j j
j
j j
j j
j
ee e

x x
e
jj j
jj j
x x
x
ee e
x x
e
jj j
jj j
x x
x
dd d
du
x
uudxx xdx
dx dx dx dx
dd d
du
x
u u dx x x dx
dx dx dx dx
φφ φ
φ
φφ φ
φ
+ +
+ +
+

+
+
++
++
⎡⎤
+=−−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
+=−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
∫∫
(2.48)
Vế trái
→ ma trận đặc trưng / độ cứng phần tử
TS. Leâ Ñình Hoàng 24/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
()
(
)
(
)
()
22
1
2
1

11
11
2
jj
e
jj
xx
k
xx
+
+
−
−
⎡
⎤
⎡⎤
=
⎢
⎥
⎣⎦
−
⎣
⎦
−
(2.49)
Vế phải
→ các số hạng gradient tự triệt tiêu trong ma trận
hệ thống ngoại trừ tại biên của hệ thống, số hạng tích phân
được cộng dồn
→

TS. Leâ Ñình Hoàng 25/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
1
2
2
3
1
2
2
3
*
1,1667
2,5 2,5
2,5 2,5
*
1,3333 1,5
*
1,6667 1,5
3,5 3,5
3,5 3,5
*
1,8333 2
x
x
x
x
du
dx
u
u
du

dx
du
dx
u
u
du
dx
⎧
⎫
−−
⎪
⎪
−
⎧⎫
⎡⎤
⎪
⎪
=
⎨
⎬⎨ ⎬
⎢⎥
−
⎣⎦
⎩⎭
⎪
⎪
−+
⎪
⎪
⎩⎭

⎧
⎫
−−
⎪
⎪
−
⎧⎫
⎡⎤
⎪
⎪
=
⎨
⎬⎨ ⎬
⎢⎥
−
⎣⎦
⎩⎭
⎪
⎪
−+
⎪
⎪
⎩⎭
(2.50)
Tổng hợp hệ (2.50)
→ hệ (2.43).

TS. Leâ Ñình Hoàng 26/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
Lưu ý: Bậc đạo hàm cao nhất trong phương trình chủ đạo
giảm một bậc

→ yêu cầu về bậc liên tục đối với hàm nội suy
giảm một bậc.

2.4 ĐỊNH LÝ GREEN – GAUSS (TÍCH PHÂN TỪNG
PHẦN HAI, BA CHIỀU)
Thiết lập các phương trình phần tử hữu hạn
→ cần tính
tích phân dạng
A
dxdy
x
φ
ψ
∂
∂
∫∫
(2.51)
A = diện tích miền tích phân;
C = đường biên bao của miền tích phân.

TS. Leâ Ñình Hoàng 27/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
Thực hiện tích phân từng phần cho (2.51) đối với x bằng
cách sử dụng quan hệ cơ bản
RR
R
L
L
L
xx
x

x
xx
udv vdu uv=− +
∫∫
(2.52)
→
()()
R
T
B
L
x
y
AAy
x
dxdy dxdy dy
xx
φ
ψ
ψφψφ
∂
∂
⎛⎞
=− +
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫ ∫∫ ∫
(2.53)
(x

R
, x
L
) và (y
B
, y
T
) chỉ các giới hạn tích phân đối với x và y;
viết dy thành
.
x
dy dC l
=
± (2.54)
dC = một phần tử của đường cong biên,
TS. Leâ Ñình Hoàng 28/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
l
x
= cosine của góc hợp bởi pháp tuyến n và phương x, và
dấu cộng và trừ được áp dụng cho đường cong biên phía
phải và phía trái.

TS. Leâ Ñình Hoàng 29/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
→ số hạng cuối cùng của (2.53) →
() ()
R
T
B
L
x

y
x
yC
x
dy dCl
ψφ ψ φ
=
∫∫
v
(2.55)
→ tích phân của (2.51) →
x
AAC
dxdy dxdy l dC
x
x
φ
ψ
ψφψφ
∂∂
=− +
∂∂
∫∫ ∫∫ ∫
v
(2.56)
Tương tự
y
AAC
dxdy dxdy l dC
yy

φ
ψ
ψφψφ
∂∂
=− +
∂∂
∫∫ ∫∫ ∫
v
(2.57)
với l
y
là cosin của góc hợp bởi pháp tuyến n và phương y.