ON TAP HK2 LOP 11

A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
1. Chứng minh dãy số (u
n
) có giới hạn 0.
Phương pháp:
- Vận dụng định lí: Nếu |u
n
| ≤ v
n
, ∀n và lim v
n
= 0 thì limu
n
= 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0:
lim 0
1
n
=
,
lim 0
1
n
=
,
3
lim 0
1
n

=
,
lim 0
n
q =
với |
q| < 1
2. Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
Phương pháp:
- Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limu
n
= +∞ thì
lim 0
1
n
u
=
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
+)Nếu
( )
0
lim
x x
f x
→
= +∞
thì
( )

0
lim 0
1
x x
f x
→
=
- Chú ý khi gặp các dạng vô định:
0
; ; ;0.
0
∞
∞ −∞ ∞
∞
ta phải khử các dạng vô định đó bằng
cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn
giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;…
3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho CSN (u
n
) lùi vô hạn (với
1<q
), ta có :

1
1 1 1
1
n
u
S u u q u q

q
+
= + + + =
−
L L
limu
n
limv
n
=
L
lim(u
n
v
n)
+∞
L >0
+∞
+∞
L < 0
−∞
−∞
L >0
−∞
−∞
L < 0
+∞
limun=L limvn
Dấu
của

v
n
lim
n
n
u
v
L >0 0 +
+∞
L > 0 -
−∞
L < 0 +
−∞
L < 0 -
+∞
4. Xét tính liên tục của hàm số
Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x
0
:
+) Tính f(x
0
)
+) Tìm
( )
0
lim
x x
f x
→
(nếu có)

- Nếu
( )
0
lim
x x
f x
→
không tồn tại
⇒
f(x) gián đoạn tại x
0
.
- Nếu
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x L f x
→
= ≠
⇒
f(x) gián đoạn tại x
0
- Nếu
( ) ( )
0
0
lim
x x

f x L f x
→
= =
⇒
f(x) liên tục tại x
0.

( )
( )
( )
2
2
sin ' cos
cos ' sin
1
tan '
cos
1
(cot )'
sin
x x
x x
x
x
x
x
=
= −
=
= −

Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình
Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên
tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ;
b).
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1. Tìm đạo hàm của hàm số
Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm
+) Các quy tắc tính đạo hàm:
'
2
'
2
( )' ' '
( . )' '. '.
( . )' . '
'. '.
1 '
u v u v
u v u v v u
k u k u
u u v v u
v v
v
v v
± = ±
= +
=
−
 
=

 ÷
 
 
= −
 ÷
 

( )
( )
( )
1
'
2
' 0 ; ' 1; ' .
1 1 1
; '
2
n n
c x x n x
x
x x
x
−
= = =
 
= − =
 ÷
 

( )
( )
1
'
2
' . . '
1 '
'
'
2
n n
u nu u
u
u u
u
u
u
−
=
 
= −
 ÷
 
=

+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu
( ) [ ( )]g x f u x
=
thì
' ' '

.
x u x
g f u
=
+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác:
( )
( )
( )
2
2
sin ' cos
cos ' sin
1
tan '
cos
1
(cot )'
sin
x x
x x
x
x
x
x
=
= −
=
= −
( )
( )

( )
2
2
sin ' '.cos
cos ' '.sin
'
tan '
cos
'
(cot )'
sin
u u u
u u u
u
u
u
u
u
u
=
= −
=
= −
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp: Pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M
0
có hoành độ x
0
có dạng:
y = f’(x

0
) (x – x
0
) + f(x
0
)
3. Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm:
0 0
( ) '( ).df x f x x= ∆
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng:
0 0 0
( ) ( ) '( )f x x f x f x x+ ∆ ≈ + ∆
- Vi phân của hàm số:
( ) '( )df x f x dx=
hay
'dy y dx=
4. Đạo hàm cấp cao
- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’.
- Đạo hàm cấp n của hàm số: f
(n)
= [f
(n-1)
]’.
B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
 Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
• Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng
0
90

.
• Phương pháp 2:
. 0a b u v⊥ ⇔ =
r r
(
, u v
r r
lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
• Phương pháp 3: Chứng minh
( )a b
α
⊥ ⊃
hoặc
( )b a
β
⊥ ⊃
• Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc (
'a b a b⊥ ⇔ ⊥
với b’ là hình
chiếu của đt b lên mp chứa đt a).
 Dạng 2 : Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
• Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P)
• Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P)
• Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q).
• Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P).
 Dạng 3 : Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
• Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q).
• Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q).
• Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q).
 Dạng 4 : Tính góc giữa 2 đt a và b.

• Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
 Dạng 5 : Tính góc giữa đt d và mp(P).
• Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 90
0
.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: ϕ = (d,d’)
 Dạng 6 : Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q).
• Phương pháp 1:
- Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q).
- Tính góc ϕ = (a,b)
• Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d
- Tìm (R) ⊥ d
- Xác định a = (R) ∩ (P)
- Xác định b = (R) ∩ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b).
 Dạng 7 : Tính khoảng cách.
• Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp:
( , )d M a MH=
(với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
• Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d
(M, (P))
= AH
• Tính khoảng giữa đt
∆

và mp (P) song song với nó : d
(
∆
, (P))
= d
(M, (P))
(M là điểm thuộc ∆).
• Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b :
- Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b
- Xác định A = (P) ∩ b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) ⊃ a và (P) // b.
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ ∩ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 2:
- Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
- Kẻ IK ⊥ b’ tại K.
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ 1
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 – TOÁN 11
Thời gian: 90 phút
Năm học: 2012 – 2013

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH (8,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm)
1) (2.0 điểm) Tính giới hạn của hàm số và dãy số
a)
n n
n n
3
3 2
2 3 1
lim
2 1
+ +
+ +
b)
3
2
53
lim
3
2
−
+
−






→

x
x
x
2) (1.0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1:
x x
khi x
f x
x
a khi x
2
2
1
( )
1
1 1

− −

≠ −
=

+

+ = −

Câu II (3,0 điểm)
1) (2.0 điểm) Tính đạo hàm của hàm số
= + + − + = +
2 4
2 3 1 cos

) 3 1 )
sin
x x
a y x b y
x x xx x
2) (1.0 điểm) Cho hàm số
y x x
2
( 1)
= +
. Giải bất phương trình
y 0
′
≤
.
Câu III (2,0 điểm)
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO =
a 3

với O
là tâm của hình vuông ABCD.
a) CMR: BD vuông (SAC);
b) Tìm tan của góc hợp bởi SC và (ABCD);
c) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (2,0 điểm)
A. PHẦN 1 (THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)
Câu IVa ( 2,0 điểm)
1) (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
07102
5

=−+ xx
có ít nhất một nghiệm
dương.
2) (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) :
73
2
+−= xxy
tại điểm có
hoành độ bằng 1.
B. PHẦN 2 (THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO)
Câu IVb (2,0 điểm)
1) (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
07102
5
=−+ xx
có ít nhất một nghiệm dương.
2) (1,0 điểm) Cho hàm số
42
4 xxy −=
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
ĐỀ 2
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8.0 điểm)
Câu I (3,0 điểm):
1. Tìm các giới hạn sau:

→
− +
−
x

x x
a
x
2
1
3 2
/ lim
1

4 2
4
2 5
/ lim
2 4
n n
b
n n
− +
+
2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm tại
=x
0
1
:

−
<

=


− −

− ≥

x
neáu x
f x
x
x neáu x
1
, 1
( )
2 1
2 , 1
Câu II (2,0 điểm)
1. Cho hàm số
=
y x xcos
. Tính
y
2
π
 
′
′
 ÷
 
2. Cho hàm số
= = − − + +y f x x x x
3 2

3
( ) 2 9 2013
2
.
Giải bất phương trình:
′
>f x( ) 0
.
Câu III (3,0 điểm): Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy là hình thang
ABCD
vuông tại
A

và
D
,
AB AD a= =
,
2CD a=
. Cạnh bên
SD
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
,
6SD a=
a) Chứng minh:
SBC

∆
là tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi
SB
và
( )
ABCD
.
c) Tính khoảng cách từ
D
đến mặt phẳng
( )
SBC
.
II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3.0 điểm)
Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu IV.a (1,0 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
+ − − =x x x
6 2
3 2 1 0
Câu V.a (1,0 điểm): Cho hàm số
= = − − + +y f x x x x
3 2
3
( ) 2 9 2013
2
có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
Phần 2: Theo chương trình nâng cao

Câu IV.b (1,0 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m.
+ + − =m x x
2 3 2
(1 ) 1 0
Câu V.b (2,0 điểm): Cho hàm số
+ +
=
+
x x
y
x
2
1
1
có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Hết.
ĐỀ 3
I/ PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH: (8 điểm)
CÂU I: (3 điểm)
1/ Tìm các giới hạn sau:
3 2
3 2 3
2
2 3 1 4
/ lim / lim
8
x
n n x
a b
n n x

→−
− + −
+ +
2/ Xét tính liên tục của hàm số sau tại
0
1x =
1
, 1
( )
2 1
2 , 1
x
x
f x
x
x x
−

≠

=
− −


− =

CÂU II: (2 điểm)
1/ Cho hàm số:
cos
sinx 1

x
y =
+
. Tính
'
2
y
π
 
 ÷
 
2/ Cho hàm số:
( ) 3cos 4sin 5f x x x x= + +
.
Giải phương trình:
'( ) 0f x =
CÂU III: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABC) lấy điểm S sao cho SA=a.
a/ Chứng minh rằng:
( ) ( )
SAB SBC⊥
.
b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
c/ Tính góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
II/ PHẦN RIÊNG-PHẦN TỰ CHỌN: (2 điểm)
A/ PHẦN 1: (Theo chương trình chuẩn)
CÂU IVa: (2 điểm)
1/ Chứng minh rằng phương trình:
5

3 7 0x x− − =
luôn có nghiệm
2/ Cho hàm số:
2
4 4y x x= − +
có đồ thị
( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có tung độ bằng 1
B/ PHẦN 2: (theo chương trình nâng cao)
CÂU IVb: (2 điểm)
1/ Chứng minh rằng phương trình:
os2 2sin 2c x x= −
có ít nhất 2 nghiệm thuộc
khoảng
,
6
π
π
 
−
 ÷
 
2/ Cho hàm số:
2 1y x= +
có đồ thị
( )

C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
,
biết hệ số góc tiếp tuyến là
1
3
. (Hết)
ĐỀ 4
I/ PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH: (8 điểm)
CÂU I: (3 điểm)
1/ Tìm các giới hạn sau:
3 2
3 2 3
2
2 3 1 4
/ lim / lim
8
x
n n x
a b
n n x
→−
− + −
+ +
2/ Xét tính liên tục của hàm số sau tại
0
1x =
1

, 1
( )
2 1
2 , 1
x
x
f x
x
x x
−

≠

=
− −


− =

CÂU II: (2 điểm)
1/ Cho hàm số:
cos
sinx 1
x
y =
+
. Tính
'
2
y

π
 
 ÷
 
2/ Cho hàm số:
( ) 3cos 4sin 5f x x x x= + +
.
Giải phương trình:
'( ) 0f x =
CÂU III: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABC) lấy điểm S sao cho SA=a.
a/ Chứng minh rằng:
( ) ( )
SAB SBC⊥
.
b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
c/ Tính góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
II/ PHẦN RIÊNG-PHẦN TỰ CHỌN: (2 điểm)
A/ PHẦN 1: (Theo chương trình chuẩn)
CÂU IVa: (2 điểm)
1/ Chứng minh rằng phương trình:
5
3 7 0x x− − =
luôn có nghiệm
2/ Cho hàm số:
2
4 4y x x= − +
có đồ thị
( )

C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có tung độ bằng 1
B/ PHẦN 2: (theo chương trình nâng cao)
CÂU IVb: (2 điểm)
1/ Chứng minh rằng phương trình:
os2 2sin 2c x x= −
có ít nhất 2 nghiệm thuộc
khoảng
,
6
π
π
 
−
 ÷
 
2/ Cho hàm số:
2 1y x= +
có đồ thị
( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
,
biết hệ số góc tiếp tuyến là
1

3
. (Hết)