Chuyên đề hàm số luyện thi đại học

TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH – 36/ ki
ệt 73 NGUYỄN HOÀNG
TRUNG TÂM GS Đ
ỈNH CAO VÀ CHẤT L
ƯỢNG
SĐT: 01234332133 – 0978421673. TP HU
Ế
CHUYÊN Đ
Ề HÀM SỐ
LUY
ỆN
THI
T
ỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Hueá, thaùng 7/2012
* Tính đơn đi
ệu của hàm số
* Ứng dụng tính
đơn điệu hàm số chứng minh bất
đ
ẳng thức
*
Ứng dụng hàm số vào giải và biện luận ph
ương
trình, b
ất phương t
rình, h
ệ phương trình
* C
ực trị hàm số
* M

ặt nón
- Kh
ối nón (Diện tích, thể tích)
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
1
BÀI 1. S
Ự ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A. KI
ẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. TÍNH ĐƠN ĐI
ỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Nh
ắc lại định nghĩa:
Ta kí hiêu K là kho
ản
g ho
ặc nửa khoảng. Giả sử hàm
s
ố
 ( )y f x
xác đ
ịnh trên K.
Hàm s
ố f đồng biến (tăng) trên K

 
x
1
, x
2

K, x
1
< x
2

f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm s
ố f nghịch biến (giảm) trên
K
 
x
1
, x
2

K, x
1
< x
2


f(x
1
) > f(x
2
)
Hàm s
ố đồng biến hoặc nghịc
h bi
ến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu
trên K
2. Đi
ều kiện cần
để hàm số đơn điệu
Gi
ả sử f có đạo hàm trên khoảng K.
a) N
ếu f đồng biến trên khoảng K thì
f

(x)

0,

x

K
b) N
ếu f nghịch biến trên khoảng K thì
f


(x)

0,

x

K
3. Đi
ều kiện đủ
đ
ể hàm số đơn điệu
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K.
a) N
ếu
f

(x)

0,

x

K (f

(x) = 0 t
ại một số hữu hạn
điểm) thì f đồng biến
trên K.
b) N
ếu

f

(x)

0,

x

K (f

(x) = 0 t
ại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến
trên K.
c) N
ếu
f

(x) = 0,

x

K thì f không đ
ổi trên K.
Chú ý:
 N
ếu khoảng K được thay bởi
đo
ạn
ho
ặc

n
ửa khoảng
thì f ph
ải
liên t
ục
trên đó.
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
2
 N
ếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a;b)
thì hàm s
ố f(x)
đồng biến trên [a;b]
 N
ếu hàm f liên tục trên đoạn [a
;b] và có đ
ạo hàm f’(x)<0 trên khoảng (a;b)
thì hàm s
ố f(x) nghịch biến trên [a;b]
II. QUY T
ẮC XÉT TÍNH
ĐƠN ĐI

ỆU CỦA HÀM SỐ
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y

. Tìm các điểm
( 1,2, , )
i
x i n
mà tại đó y

= 0 hoặc y

không tồn tại
(g
ọi là các điểm tới hạn của hàm sô)
– S
ắp xếp các điểm
i
x
theo th
ứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
– Nêu k
ết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến cuả hàm số.
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so

ạn: Trần Đình Cư
3
B. PHƯƠNG PHÁP GI
ẢI BÀI TẬP:
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
           
3 2 3 2 3 2
) 3 24 26; ) 3 2; ) 3 3 2a y x x x b y x x c y x x x
Hư
ớng dẫn:
a) Hàm đ
ồng biến trên (
-4;2) và ngh
ịch biến trên các khoảng
   
  ; 4 và 2;
b) Hàm nghịch biến trên (0;2) và nghịch biến trên các khoảng
   
 ;0 và 2;
 
 
2
)y'=3 1 , y'=0 x=-1 và y'>0 với mọi x -1
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 1 1; nên hàm
số đồng biến trên
c x
và
  

 
   
 

Ho
ặc ta có thể trình bày:
T
ừ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đồng biến trên

Bài 2. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
          
4 2 4 2 4 2
1
) 2 1; ) 2 3; ) 6 8 1
4
a y x x b y x x c y x x x
Hướng dẫn:
a) Hàm đ
ồng biến trên
 
 ; 2
và (0;2), Hàm ngh
ịch biến trên (
-2;0) và
(2; )
D
ẠNG TỐN 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Phương pháp:
D

ự
a vào quy t
ắc xét tính đơn điệu của hàm số
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
4
b) Hàm đ
ồng biến trên
 
0;
và ngh
ịch biến trên
 
;0
c) Hàm đ
ồng biến trên khoảng
 
 2;
và ngh
ịch biến trên
 
;2
Nh
ận xét:

Đ
ối với hàm số bậc 4 luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và
m
ột khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm số không thể đơn điệu trên R.
Bài 3. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
 
 
 
    
 
 
2 2
2 1 2
) ; )
1 1
2 1 4 3
) ; )
2 2
x x
a y b y
x x
x x x x
c y d y
x x
Hư
ớng dẫn:
a) Hàm đ
ồng biến trên
   

   ; 1 vaø 1;
b) Hàm ngh
ịch biến trên
   
 ;1 vaø 1;
c) Hàm đ
ồng biến trên
   
  5; 2 vaø 2;1
,
Hàm ngh
ịch biến trên
   
  ; 5 vaø 1;
d) Hàm đ
ồng biến trên
   
   ; 2 vaø 2;
,
Nh
ận xét:
 Đ
ối với hàm số
 

 

ax
. 0
b

y a c
cx d
luôn đ
ồng biến hoặc nghịch biến trên
kho
ảng xác định của chúng
 Đ
ối với hàm số
 


2
ax bx c
y
dx e
luôn có ít nh
ất hai khoảng đơn điệu .
 C
ả hai hàm số trên không thể luôn đơn đ
i
ệu trên

Bài 4. Xét tính đơn đi
ệu của hàm số sau:
    
2 2 3
) 2 3 ; ) 3a y x x b y x x
Hư
ớng dẫn:
a) Ta có:

LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
5

     



     



    
     

    

 
2
2
2 3 khi 1 3
2 3 khi 1 3
2 2 khi 1 3
' ' 0 1
2 2 khi 1 3

Hàm không có đạo hàm tại -1 3
Bảng biến thiên:
x x x x
y
x x x
x x x
y y x
x x
x và x
   
   
 
 
Hàm đồng biến trên mỗi khoảng 1;1 và 3; , nghich biến trên
; 1 và 1;3

 




  

     
3
2 3
) Hàm đã cho xác đònh trên nưả khoảng ;3
3 2
Ta có: y'= , 3, 0
2 3

3, 0: ' 0 2. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 và x=3
b
x x
x x
x x
x x y x
 
   

Dựa vào bảng biến thiên: Hàm đồng biến trên khoảng 0;2 , nghòch biến
trên ;0 và 2;3
Bài 5. Tìm các kho
ảng đơn điệu của hàm số
 siny x
trên kho
ảng
 

0;2
Hư
ớng dẫn:
Ta có:
 
 

    
3
' 0, 0;2 ,
2 2
y x x x

www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
6
B
ảng biến thiên:
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:

    

2
3 2
1 2
) 3 8 2; )
3 1
x x
a y x x x b y
x
Bài 2. Xét chi
ều biến thiên của hàm số
       
    

3 3 2
4 2 2
4 2
) 2 3 1; ) 6 9
3 3
) 2 5; ) 2
a y x x b y x x x
c y x x d y x x
Hư
ớng dẫn:
)Trình bày tương tự bài mẫu 1c); d)Trình bày tương tự bài mẫu 2b)c
Bài 3. Ch
ứng minh rằng
 
 
 
   
  


2
3
) 4 nghòch biến trên đoạn 0;2
) cos 4 đồng biến trên
c) cos2 2 3 nghòch biến trên
a y x
b y x x x
y x x
Hướng dẫn:
 


 
 
 

 

 
    
2
2
) Hàm số liên tục trên đoạn 0;2 và có đạo hàm '( ) 0
4
với mọi 0;2 . Do đó hàm số nghòch biến trên đoạn 0;2
) Hàm số xác đònh trên . Ta thấy '( ) 3 1 sin 0,
x
a f x
x
x
b f x x x
 
 


 
 

           
 
     

 
 

 


) '( ) 2 sin2 1 0, và '( ) 0 ,
4
Hàm số nghòch biến trên mỗi đoạn ; 1 ,
4 4
Do đó hàm số nghòch biến trên
x
c f x x x f x x k k
k k k
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
7
Bài 4.
a) Cho hàm s
ố
 
2
sin cosy x x
. Ch
ứng minh rằng hàm

s
ố đồng biến trên
đo
ạn
 

   
   
   
0; và nghòch biến trên đoạn ;
3 3
b) Ch
ứng minh rằng với mọi
 
 1;1m
, phương tr
ình
 
2
sin cosx x m
có
nghi
ệm duy nhất thuộc đoạn

 
 
0;
Hư
ớng dẫn:
   

   
 

 
 
 
   
 
       
   
  
 
 
   
) Hàm số liên tục trên đoạn 0; và có '( ) sin 2cos 1 , 0;
1
Vì 0; sin 0 nên trong khoảng 0; : '( ) 0 cos
2 3
* ' 0, 0; nên hàm số đồng biến trên 0;
3 3
* '
a f x x x x
x x f x x x
y x
y
 
 
   
  
 

 
   
0, ; nên hàm số nghòch biến trên ;
3 3
x
b)
 
Ta có:
* 0; ta có: y(0) y y 1 5 nên phương trình không có
3 3
nghiệm thuộc 1;1
5
* ; ta có: y( ) y y 1 . Theo đònh lí giá trò trung
3 3 4
gian củahàm số liên
x y
x y
 
 
 
   
      
 
 
   

   
       
 
 

   
 
5
tục m 1;1 1; , nên tồn tại số thực c ;
4 3
sao cho y(c)=0.


   
     
   
   



 
 
 
 
2
Số c là nghiệm của phương trình sin cos và vì hàm số nghòch
biến trên ; ,nên trên đoạn này phương trình có nghiệm duy nhất.
3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất trên 0;
x x m
 
 
BTTT: Cho hàm s
ố
 

2 2
( ) sin cosf x x x
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
8
a) Ch
ứng minh rằng hàm số đồng biến trên

 
 
 
0;
3
và ngh
ịch biến trên
đo
ạn


 
 
 
;
3

b) Ch
ứng minh rằng với mọi
 
 1;1m
phương tr
ình
 
2 2
sin cosx x m
BÀI T
ẬP TỰ GIẢI:
Bài 1. Xét s
ự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
    
      
3 2 3 2
2
4 2 5 4 3
. y = 2 3 2 b. y = x 3 3 1
1 1
c. y = x 2 1 . y = 2 1
5 4 2
a x x x x
x
x d x x x x
Bài 2. Xét s
ự biến thiên của các hàm số sau:
  
 
2

2
2 1 3 3
. y = b. y =
3 3 1
1 4x+5
. y = 2x-3- d. y =
x + 2
4x -4
x x x
a
x x
c
Bài 3. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:

     

2 2
2 1
) 2 6 ) 2 )
3 2
x
a y x x b y x x c y
x
Bài 4. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
   

 
 

  
 
 
) sin6 treân 0; ) cot treân ;0 0;
6 2
x
a y x b y vaø
Bài 5 Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
a)
 

 
2
2
1
1
x x
y
x x
; b)
   3 2 2y x x
; c)
   2 1 3y x x
d)
 
2
2y x x
e)
 

2
2y x x
f)
 
 
   
 
 
sin2
2 2
y x x
g)
 
 
    
 
 
sin2
2 2
y x x x
Bài 6. Ch
ứng minh hàm số
 
2
2y x x
ngh
ịch biến trên đoạn [1; 2]
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
9
Bài 7.
a) Ch
ứng minh hàm số
2
y= x -9
đ
ồng biến trên nửa khoảng [3; +

).
b) Hàm số
 
4
y x
x
nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Bài 8. Ch
ứng minh rằng
a) Hàm s
ố



3
2 1
x

y
x
ngh
ịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Hàm s
ố



2
2 3
2 1
x x
y
x
đ
ồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
c) Hàm s
ố
   
2
8y x x
ngh
ịch biến trên R.
Bài 9. Ch
ứng minh hàm số
 
2
( ) cosf x x x
đ

ồng biến trên R
Bài 10. Cho hàm s
ố
 
2
( ) 2 2f x x x
a) Ch
ứng minh rằng hàm số
f đ
ồng biến trên nửa khoảng




2;
b) Ch
ứng minh rằng phương trình
 
2
2 2 11x x
có m
ột nghiệm duy
nh
ất
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH

Biên so
ạn: Trần Đình Cư
10
BÀI T
ẬP MẪU:
Bài 1. Tìm m
để hàm
s
ố ln giảm (nghịch biến) trên

 
      
3 2
1
2 2 1 3 2
3
y x x m x m
Hư
ớng dẫn:
       


2
Hàm số xác đònh trên . Ta có: ' 4 2 1, ' 2 5
Bảng xét dấu '.
y x x m m
D
ẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN

Phương pháp: Cho hàm s

ố
 ( , )y f x m
, m là tham s
ố, có tập xác định

 Hàm s
ố f đồng biến trên


f

(x)

0,

x


. D
ấu “=” xảy ra tại hữu
h
ạn điểm
 Hàm s
ố f nghịch biến trên


f
 
0,


x


. D
ấu “=” xảy ra tại hữu
h
ạn
đi
ểm
T
ừ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) N
ếu
  
2
'y ax bx c
thì:



 





   






 



0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a



 





   






 



0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a
2) Đ
ịnh lí về dấu của tam thức bậc hai
  
2
( )g x ax bx c
:

N
ếu

< 0 thì g(x) ln cùng d
ấu với a.

N
ếu


= 0 thì g(x) ln cùng d
ấu với a
(tr
ừ x =

2
b
a
)

N
ếu

> 0 thì g(x) có hai nghi
ệm x
1
, x
2
và trong kho
ảng hai nghiệm thì g(x)
khác d
ấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
3) So sánh các nghi
ệm x
1
, x
2
c
ủa tam thức bậc hai
  

2
( )g x ax bx c
v
ới số 0:


 

   




1 2
0
0 0
0
x x P
S


 

   




1 2
0

0 0
0
x x P
S

   
1 2
0 0x x P
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
11
 
    
 


 
2
5
*m=- thì y'=- 2 0, , ' 0 chỉ tại điểm x=2. Do đó hàm số nghòch
2
biến trên
5
*m<- thì y'< 0, . Do đó hàm số nghòch biến trên
2

x x y
x
 
 

1 2 1 2
1 2
5
*m>- thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt , . Hàm số đồng biến trên
2
khoảng ; .Trườnghợp này không thỏa mãn
x x x x
x x
Cách gi
ải sau đây khơng “phù hợp” ở điểm nào?

  
           

 





2
'
Hàm số nghòch biến trên khi và chỉ khi
1 0
5

' 4 2 1 0,
2
0
5
Vậy hàm số nghòch biến trên khi và chỉ khi m -
2
a
y x x m x m
Nh
ận xét:
L
ời giải trên xem ra có vẻ đúng và hợp lý. Tuy nhiên về mặt lý
lu
ận thì trình bày như trên chưa thỏa đáng, hơi tự nhiên. Do đó mất đi
tính trong sáng và ch
ặt chẻ trong tốn học
Bài 2.Tìm a
để hàm số
   
3 2
1
4 3
3
y x ax x
ln tăng (đ
ồng
bi
ến) trên

Hư

ớng dẫn:
     


2 2
Hàm số xác đònh trên . Ta có: ' 2 4, ' 4
Bảng xét dấu '.
y x ax a
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
12
 
 
2
*-2<a<2 thì y'>0, . Do đó hàm số đồng biến trên
*a=2 thì y'= 2 ,y'=0 x=-2,y'>0, 2. Do đó hàm số đồng biến trên
mỗi nửa khoảng ; 2 và 2; nên hàm số y đồng biến trên
x
x x
 
  
 
  
 

 

 
     
1 2 1 2
1 2 1 2
* 2hoặc 2 thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt , . Hàm số nghòch
biến trên khoảng ; , đồng biến trên mỗi khoảng ; và ; .
Trườnghợp này không thỏa mãn vậy hàm số
a a x x x x
x x x x
   
 
đồng biến trên khi và chỉ khi
-2 a 2 

Bài 3. Tìm m
để hàm số
  cosy x m x
ln tăng (đ
ồng biến) trên

Hư
ớng dẫn:
Cách 1:
 
       
        
         


  


Hàm số xác đònh trên . Ta có: ' 1 sin
Hàm số đồng biến trên y' 0, x msinx 1, x (1)
*m=0 thì (1) luôn đúng
1 1
*m>0 thì (1) sin , 1 0 1.
1 1
* m<0 thì (1) sin , 1 1
y m x
x x m
m m
x x
m m

 
0.
Vậy -1 m 1 là những giá trò cần tìm
m
Cách 2:
 
   

 
        

 

 Hàm đồng biến trên y' 0, x

1 0
miny'=min 1 ;1 0 1 1
1 0
m
m m m
m
Chú ý:
Phương pháp:
 Hàm s
ố f(x,m) tăng trên

        
'
' 0, min 0,y x y x
 Hàm số f(x,m) giảm trên

        
'
' 0, ax 0,y x m y x
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Tìm m
đ
ể hàm số
     
       
3
2 2
2 2 8 1
3

x
y m m x m x m
ln ngh
ịch
bi
ến (giảm) trên

LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
13
Hư
ớng dẫn:
Ta có:
   
     
2
' 2 2 8y m x m x m
     
 
         

2
*Khi : 2: hàm nghòch biến trên
*Khi 2 : tam thức bậc hai ' 2 2 8 có =10 2
m

m y m x m x m m
B
ảng xét dấu của
'
:
 
 
   
   

  

1 2 1 2
1 2
m<-2: ' 0, hàm nghòch biến trên
2 : ' 0 có hai nghiệm x ,x trường hợp này hàm đồng biến
trên khoảng ; nên trường hợp này không thỏa mãn
Vậy m -2 là những gia
y x
m y x x
x x
ù trò cần tìm
Bài 2. Tìm m đ
ể hàm số ln nghịch biến (giảm) trên tập xác định
 
 
 
     
  



2 3 2
2
1
) 1 1 3 5
3
1 2 1
)
1
a y m x m x x
m x x
b y
x
Hư
ớng dẫn:
 
 
    
   
 

 
 
2 2
2
2
a) ' 1 2 1 3
Hàm đồng biến trên y' 0, x
Trường hợp 1: m 1 0
* 1: trường hợp này không thỏa mãn

* m=-1:trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trường hợp 1: m 1 0, lu
y m x m x
m
 
   
2
ùc đó: '=- 2m m
B
ảng xét dấu
'
:
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
14
 


 
 

 
 


 
   



0
* 1hoặc m> 2 : hàm số y đồng biến trên
' 0
* =2:hàm số y đồng biến trên
* 1 2, 1: trường hợp này không thỏa mãn
Vậy hàm đồng biến trên khi và chỉ khi m<-1
a
m do
m
m m
hoặc m 2
   
   
   
   
 
 

        

  
2
2 2
1 2 1 1
( )

) '
1 1
Dấu của y' là dấu của g(x),x -1
Hàm y đồng biến trên ; 1 và 1; '( ) 0, 1
* 1: trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán
* m 1: 1 2 thỏa mãn
m x m x
g x
b y
x x
g x x
m
m
  
yêu cầu bài toán
Vậy khi 1 m 2 thì hàm đồng biến trên
Bài 3. Tìm m
đ
ể hàm số
  


2
3 2
( )
2 1
x mx
f x
x
ngh

ịch biến trên khoảng từng
kho
ảng xác định.
Hư
ớng dẫn:
Hàm s
ố xác
định trên
 
 
 

1
\
2
 
   


2
2
6 6 4
'
2 1
x x m
y
x
. Hàm s
ố nghịch biến trên từng khoảng xác định
           

2
1 1
' 0, 6 6 4 0,
2 2
y x x x m x
  ' 33 6m
B
ảng x
ét d
ấu
'
:
m

11
2

'
+ 0 -
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
15
* N
ếu


11
2
m
t
ức
 ' 0
thì
  
1
' 0,
2
y x
hay hàm đ
ồng biến trên các
khoảng xác định
* N
ếu

11
2
m
thì
' 0y
có hai nghi
ệm phân biệt
 

  







  




1
2 1
2
3 33 6
6
3 33 6
6
m
x
x x
m
x
và rõ ràng
 
1 2
1
2
x x
B
ảng biến thiên:
x


1
x
1
2
2
x

'y
- 0 + + 0 -
y
D
ựa vào bảng biến
thiên thì ta th
ấy hàm đồng biến trên
 
 
 
1
1
;
2
x
và
 
 
 
2
1
;

2
x
nên ta lo
ại trường hợp này
K
ết luận:

11
2
m
BÀI T
ẬP TỰ GIẢI:
Bài 1. Ch
ứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác địn
h
(ho
ặc tập xác định) của nó:
a)
  
3
5 13y x x
b)
   
3
2
3 9 1
3
x
y x x
c)




2 1
2
x
y
x
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
16
d)
 


2
2 3
1
x x
y
x
e)
  3 sin(3 1)y x x
f)

 


2
2 1x mx
y
x m
Bài 2. Ch
ứng minh rằng các h
àm s
ố sau ln nghịch biến trên từng khoảng xác định
(ho
ặc tập xác định) của nó:
a)
   5 cot( 1)y x x
b)
 cosy x x
c)
  sin cos 2 2y x x x
Bài 3. Tìm m
để các hàm số sau ln đồng biến trên tập xác định (hoặc từng kh
o
ảng
xác đ
ịnh) của nó:
a)
    
3 2
3 ( 2)y x mx m x m
b)

   
3 2
2 1
3 2
x mx
y x
c)



x m
y
x m
d)



4mx
y
x m
e)
 


2
2 1x mx
y
x m
f)
 



2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
Bài 4. Tìm giá tr
ị của tham số
m đ
ể hàm
s
ố
  
3 2
( ) -3x 1f x x mx
đ
ồng
bi
ến trên R.
Bài 5. V
ới giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
 
    
   
 
2
2 2 3 1
) 2 )

1 1
x m x m
m
a y x b y
x x
Hư
ớng dẫn:
   
   
  
    
 
)
* 0 : hàm đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;
* 0 : ' 0 1 . Lập bảng biến thiên ta thấy, hàm số nghòch
biến trên mỗi khoảng 1 ;1 1;1 do đó không thỏa mãn yêu cầu
Vậy
a
m
m y x m
m và m
hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác đònh khi và chỉ khi m 0
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
17

 
   

  

      
  
2
1 2
2 1
) ' 1
1
1
* ' 0, 1, Hàm số nghòch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;
2
1
* : phương trình y'=0 có hai nghiệm x 1
2
m
b y
x
m y x
m x
Bài tốn này đư
ợc mở rộng như
sau:
 
 
 


1
2
3
4
) tìm giá trò m để hàm số đồng biến trên ; 1
)tìm giá trò m để hàm số đồng biến trên 2;
)tìm giá trò m để hàm số nghòch biến trên khoảng có độ dài bằng 2
)tìm giá tr
a
a
a
a
   
 
  
     
     
2
5 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
ò m để hàm số nghòch biến trên mỗi khoảng 0;1 1;2
)gọi x , là hai nghiệm của phương trình 1 0. Tìm m để
2 ; 3 5
3 ; 5 12
và
a x x m
x x x x m
x x x x m
Bài 6. V

ới giá trị nào của m, hàm số:
 
    
3 2
3 2 3y mx x m x
ngh
ịch
bi
ến trên R.
Bài 7. Tìm
đi
ều kiện của tham số a để hàm số
 sin -cos
2 2
x x
y ax
đ
ồng
bi
ến trên R
Hư
ớng dẫn:
Hàm s
ố đã cho xác định trên

Ta có:

   
    
   

   
1 2
' os sin sin
2 2 2 2 2 4
x x x
y c a
Hàm số đồng biến trên

khi và chỉ khi

 
        
 
 
 
2
' 0, sin ,
2 2 2
x
y x a x
     
2 2
2 2
a a
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH

Biên so
ạn: Trần Đình Cư
18
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Tìm giá tr
ị của m
để hàm số
 
   

 

     
3 2
4
1) luôn nghòch biến trên khoảng ;1
2) 3 1 4 nghòch biến trên khoảng 1;1
mx
y
x m
y x x m x m
Hư
ớng dẫn:
1. Sai l
ầm th
ường gặp:
 
 
 


          

      
2
2
2
4
'( ) 0, ;1 ' 0, ;1
4 0 2 2
m
ycbt f x x y x
x m
m m
Ngun nhân sai l
ầm:
Khi giải và biện luận bất phương trình có mẫu thức chứa tham số
 

2
x m
phải đặt
đi
ều kiện
 x m
,
 
  ;1x
L
ời
gi

ải đúng
 
 
 
 

 


   

 

  
 
       
  
  
 
  






2
2
2
Hàm số đã cho xác đònh trên \{-m}

4
y'= , .
' 0, ;1
4 0
2 2
2 1
;1
1
;1
m
x m
x m
y x
m
m
ycbt m
m
m
m
BTTT: Tìm m
đ
ể hàm số
 


3 5
( )
2
x
f x

x m
đ
ồng biến trên
 
2;
2. Cách 1:
Hàm s
ố xác định trên

Ta có:
   
2
' 3 6 1y x x m
D
ẠNG 3: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN TẬP CON CỦA

Phương pháp:
 Hàm s
ố
          ( , ) tăng x I y' 0, x I miny' 0, x Iy f x m
 Hàm s
ố
          ( , ) giảm x I y' 0, x I max y' 0, x Iy f x m
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư

19
Hàm s
ố nghịch biến trên (
-1;1)
 
    ' 0, 1;1y x
, d
ấu “=” xảy ra tại hữu hạn
đi
ểm
Ta có :
 
     
'
9 3 1 6 3
y
m m
 TH 1: N
ếu
   
'
' 0 2
y
m
thì
   ' 0,y x
hàm đ
ồng biến trên

.

Trư
ờng hợp này
lo
ại
vì yêu c
ầu bài toán nghịc
h bi
ến trên (
-1;1)
 TH 2: N
ếu
   
'
' 0 2
y
m
thì y’=0 có hai nghi
ệm phân biệt
1 2
,x x
(gi
ả sử
là

1 2
)x x
.
x

1

x
2
x

'y
+ 0 - 0 +
D
ựa vào bảng xét dấu y
’ ta th
ấy hàm số nghịch biến trên (
-1;1)
1 2
1 1 (*)x x    
Hư
ớng 1:
 
   
   
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 . 1 0
1 1 0 1
* ( )
1 1 0 1
1 . 1 0
x x
x x x x
I

x x x x
x x

  
 
      
  
  
  
     
  
 

 

Áp d
ụng định lí Vi
-et đ
ể giải hệ (I) ta được
10m  
Hư
ớng 2:
Phương tr
ình y’=0 có hai nghiệm là
 
1
1 2
2
3 6 3
3

,
3 6 3
3
m
x
x x
m
x

  





  



 
1
2
1
2
* 10
1 10
x
m
m
x m


 



    
 
  



Cách 2:
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
20
   
 
 
 
 
 
2
2
2

1;1
1
Hàm số đã cho xác đònh trên
y'=3x 6 1
Hàmsố nghòch biến trên 1;1 ' 0, 1;1
3 6 1 , 1;1
min ( ), với ( ) 3 6 1
Hàm số ( ) nghòch biến trên 1;1 và lim (
x
x m
y x
m x x x
m g x g x x x
g x g x



  
     
       
     


1
) 2;lim ( ) 10.
Bảng biến thiên
x
g x



   
m -10 
@ Bài tốn trên ta có th
ể mở rộng như sau:
Tìm m
để hàm số
 Đ
ồng biến trên [2;

)
 Đ
ồng biến trên
 
;0
Bài 2. Tìm m
để c
ác hàm s
ố sau:
 
 
     
3 2
3 2
3 2
) 2 2 1 đồng biến trên khoảng 1;
) 3 2 đồng biến trên khoảng 3;0
1
) 2 1 1 đồng biến trên khoảng 2;
3
a y x x mx

b y mx x x m
c y mx m x m x m
    
     
      
Hư
ớng dẫn:
a) Cách 1:
Hàm s
ố xác định trên

Ta có:
  
2
' 6 4y x x m
Hàm s
ố đồng biến trên (1;

)
 
    ' 0, 1;y x
, d
ấu “=” xảy ra tại hữu hạn
đi
ểm
Ta có :
  
'
4 6
y

m
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
21
 TH 1: N
ếu
   
'
2
' 0
3
y
m
thì
   ' 0,y x
hàm đ
ồng biến trên


hàm đ
ồng biến trên
 
1;
. Trư
ờng hợp này ta nhận

 TH 2: N
ếu
   
'
2
' 0
3
y
m
(*)thì y’=0 có hai nghi
ệm phân biệt
1 2
,x x
(gi
ả sử là

1 2
)x x
.
x

1
x
2
x

'y
+ 0 - 0 +
D
ựa vào bảng xét dấu

y’ ta th
ấy hàm số
đ
ồng biến trên (1;

) thì
điều kiện là
2
1x 
 
 
2 4 6
1
6
m
  2m
k
ết hợp điều kiện (*) thì
2
2
3
m  
H
ợp hai trường hợp
2
3
m 
và
2
2

3
m  
ta đư
ợc kết quả cuối cùng là
2m  
Cách 2:
 
 
 
2
2
1
' 0, 1; ( ) 6 4 , 1
Hàm số g(x) 6 4 liên tục trên 1; . Ta có: g'(x)>0, 1
g(x) đồng biến trên khoảng 1; và lim ( ) 2, lim ( )
Bảng biến thiên.
x
x
ycbt y x g x x x m x
x x x
g x g x



           
    
    
  Dựa vào bảng biến thiên suy ra: 2 -m m -2
www.VNMATH.com
LUY

ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
22
   
 
   
 
2
2
2
3 0
) ' 0, 3;0 3 2 3 0, 3;0
2 3
, 3;0
3
2 3
Hàm số g(x) liên tục trên 3;0 . Ta có: g'(x)<0, 3;0
3
1
g(x) nghòch biếntrên khoảng 3;0 và lim ( ) ,lim ( )
9
Bả
x x
b ycbt y x mx x x
x
m x

x
x
x
x
g x g x
 
 
           

    

    
     
ng biến thiên.

1
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: m -
9
     
 
   
   
 
2
2
2
2
) ' 0, 2; 4 1 1 0, 2;
4 1
4 1 4 1, 2; , 2;

4 1
4 1
Hàm số g(x) liên tục trên 2; . Ta có: g'(x)<0, 2;
4 1
g(x) nghòch biến trên khoảng 2; và
c ycbt y x mx m x m x
x
x x m x x m x
x x
x
x
x x
             

            
 

    
 
 
2
9
lim ( ) , lim ( ) 0
13
Bảng biến thiên.
x
x
g x g x




 

9
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: m
13
Cách 2:
Cách 2: Phương pháp tam th
ức bậc hai
Ta có:
 
2
' 4 1 1y mx m x m    
+ TH1: m=0: Hàm ngh
ịch biến trên R nên loại
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
23
+TH2:
0m 
,
2
' 3 7 4m m   
ta d
ễ dàng lập luân để suy ra được m không thể < 0.

Do đó m > 0
* Nêu
4
' 0 1
3
m    
(*)thì hàm
đ
ồng biến trên R nên
đồng biến trên
 
2;
* N
ếu
0 
1
4
3
m
m








(I) thì y'=0 có hai nghi
ệm phân biệt

1 2
;x x
gi
ả sử
1 2
x x
D
ựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đồng biến trên
 
2;
thì
điều kiện là
 
2
2
2 1 3 7 4
9
2 2
13
m m m
x m
m
    
    
k
ết hợp điều kiện (I) thì trường
h
ợp này hàm
đ
ồng biến trên

 
2;
9 4
;1 ;
13 3
m
   
   
  

   
(**)
Kết hợp (*) và (**) ta được
9
m
13

Cách 3:
Các trư
ờng hợp khác tương tự trên. Bây giờ ta xét trường hợp
0 
Xét phương tr
ình:
' 0y 
có hai nghi
ệm phân biệt
1 2
x x
, khi đó đ
ể hàm số

đ
ồng
bi
ến trên khoảng
(2; )
thì
điều kiện là
1 2 1 2
2 2 2 0x x x x      
Đ
ặt:
2x t 
, d
ẫn tới ta có ph
ương tr
ình sau:
 
2
4 2 1 13 9 0mt m t m    
, v
ới
đi
ều kiện
1 2
0t t 
0
0
0
S
P


 

 




. Gi
ải 3 điều kiện trên và kết hợp với kết quả
4
1
3
m 
ta có đư
ợc kết quả cuối cùng:
9
13
m 
Bài 3. Tìm m
để hàm số
   
     
3 2
( ) 3 2 1 12 5 2f x x m x m x
đ
ồng biến trên
kho
ảng
 

 
   
 
; 1 2;
Sai l
ầm th
ư
ờng gặp:
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
24


  
  
  
  

2
2
2
2
2
'( ) 0, 2; 3 6 2 1 12 5 0, 2;

'( ) 0, ; 1 3 6 2 1 12 5 0, ; 1
3 6 5 12 1 , 2;
3 6 5 12 1 , ; 1
3 6 5
( ) 12 , 2;
1
( )
f x x x m x m x
ycbt
f x x x m x m x
x x m x x
x x m x x
x x
g x m x
x
g x
 
 
           
 
 
 
 
 
             
 
 
 



      





       



 

    




2
1
2
2
2
3 6 5
12 , ; 1
1
6
1 1
min ( ) 12
3
. o:g'(x)=0

max ( ) 12
6
1 2
3
x
x
x x
m x
x
x
g x m
Ta c
g x m
x






 


     





   






 





  


Do đó: g’(x)>0 trên kho
ảng
 
 
   
 
; 1 2;
Khi đó:










2
2
min ( ) 12
max ( ) 12
x
x
g x m
g x m

 
    

   

(2) 5 12
7 5
12 12
( 1) 7 12
g m
m
g m
Nguyên nhân sai l
ầm:
Cách gi
ải trên chỉ phù hợp với f(x) đồng biến trên


 


; 1
và




2;
. Còn v
ới
yêu c
ầu f(x) đồng biến trên
 
 
   
 
; 1 2;
thì c
ần kiểm tra thêm điều kiện
f(-1)<f(2)
L
ời giải đúng: