Đề cương ôn tập học kỳ 2 Toán 9

Đề cương ơn tập Tốn 9 học kỳ II

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II
-------------- o0o --------------

PHẦN ĐẠI SỐ
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
* Phương trình bậc nhất hai ẩn: Là phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là
các số đã biết, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn.
- Phương trình bậc nhất hai ẩn ln có vơ số nghiệm.
* Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Là những hệ phương trình có dạng:
ax + by = c

a ' x + b ' y = c '

(I)

Phương pháp giải: Phương pháp cộng, thế, đặt ẩn phụ.
* Biện luận hệ phương trình bậc nhất một ẩn
- Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi
- Hệ (I) vô nghiệm khi

a b
≠
a' b'

a b c
= ≠
a' b' c'

- Hệ có vơ số nghiệm khi

a b c
= =
a' b' c'

II. Hàm số y = ax2 ( a ≠ 0 )
1. Hàm số y = f(x) = ax2 ( a ≠ 0 ) Có tập xác đinh D = R.
- Nếu a > 0, hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0. Giá trị nhỏ nhất của
f(x) bằng 0 khi x = 0.
- Nếu a < 0, hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0. Giá trị lớn nhất của
f(x) bằng 0 khi x = 0.
- Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh là O(0;0), nhận trục tung làm trục đối xứng,
quay bề lõm lên trên nếu a > 0, quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0.
2. Tương giao của đường thẳng y = mx + n và Parabol y = ax2
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là: ax2 = mx + n ⇔ ax2 - mx – n = 0 (*)
* Điều kiện để (d) và (P)
a) Tiếp xúc nhau khi pt (*) có nghiệm kép ⇔ Δ = 0
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi pt (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0
Biên soạn: GV Bùi Công Luân –

1


Đề cương ơn tập Tốn 9 học kỳ II
c) Có điểm chung khi pt (*) có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0
d) Khơng có điểm chung khi pt (*) vơ nghiệm ⇔ Δ < 0

III. Phương trình bậc hai một ẩn
1. Phương trình bậc hai một ẩn là những phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )

2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT

CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

∆ = b2 − 4ac

∆ ' = b'2 − ac

∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt

∆ ' > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 =

−b + ∆
;
2a

x2 =

−b − ∆
2a

x1 =

∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép
x1 = x 2 =

−b'+ ∆ '
;
a

x2 =

−b'− ∆ '
a

∆ ' = 0 : phương trình có nghiệm kép

−b
2a

x1 = x 2 =

∆ < 0 : phương trình vơ nghiệm

−b'
a

∆ ' < 0 : phương trình vơ nghiệm

3. Hệ thức Vi-et là ứng dụng
* Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
b

S = x1 + x 2 = − a



P = x x = c
1 2


a

- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:

ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 =

c
.
a
c
a

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = − .

u + v = S 2
(S ≥ 4P ) thì u, v là hai nghiệm của
uv = P

- Nếu có hai số u và v sao cho 
phương trình x2 – Sx + P = 0.

4. Điều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) (*)
- (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0
Biên soạn: GV Bùi Công Luân –

2


Đề cương ơn tập Tốn 9 học kỳ II
- (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0

∆ ≥ 0
P > 0

- (*) có 2 nghiệm cùng dấu ⇔ 

∆ ≥ 0

- (*) có 2 nghiệm dương ⇔ P > 0
S > 0

∆ ≥ 0

- (*) có 2 nghiệm âm ⇔ P > 0
S < 0

- (*) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 hoặc P < 0.
5. Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.

a) αx1 + β x 2 = γ;

b) x12 + x 2 2 = m;

d) x12 + x 2 2 ≥ h;

1
1
+
=n
x1 x 2

e) x13 + x 23 = t; ...

c)

Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ
phương trình.
6. Một số phương trình đưa được về dạng phương trình bậc hai
* Phương trình trùng phương có dạng: ax4 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
* Cách giải: Đặt t = x2 với t ≥ 0, ta đưa về phương trình bậc hai theo ẩn t: at2 + bt + c = 0.
Giải phương trình tìm t ≥ 0 => x
* Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Bước 2: Quy đồng và khử mẫu.
- Bước 3: Giải PT vừa nhận được.
- Bước 4: Kiểm tra, đối chiếu ĐKXĐ và kết luận nghiệm.
* Phương trình tích có dạng: f(x).g(x).h(x) = 0.
 f ( x) = 0

* Cách giải: f ( x ) .g ( x ) .h ( x ) = 0 ⇔  g ( x ) = 0

h ( x ) = 0

Ngồi ra cịn một số phương trình dạng khác, chúng ta có thể tìm cách đặt ẩn phụ,

tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, ... để đưa về một trong các dạng trên.

IV. Giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Biên soạn: GV Bùi Cơng Ln –

3


Đề cương ơn tập Tốn 9 học kỳ II
* Phương pháp giải
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn: Gọi một (hai) trong số những điều chưa biết
làm ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
Bước 3: Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng đã biết và chưa biết để lập phương
trình (hệ phương trình).
Bước 4: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập ở trên.
Bước 5: Kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện rồi kết luận.
* Chú ý việc tóm tắt bài tốn trước khi làm.

B – BÀI TẬP
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
1)

3x − 2y = 4

 2x + y = 5

3x − 4y + 2 = 0
4) 

5x + 2y = 14

4x − 2y = 3
2) 
6x − 3y = 5
2x + 5y = 3
5) 
3x − 2y = 14

2x + 3y = 5
3) 
4x + 6y = 10
4x − 6y = 9
6) 
10x − 15y = 18

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1
 2
 x + 2y + y + 2x = 3

1) 
 4 − 3 =1
 x + 2y y + 2x


2
 3x
 x +1 − y + 4 = 4


2) 
 2x − 5 = 9
 x +1 y + 4


2 ( x 2 − 2x ) + y + 1 = 0

3) 
2
3 ( x − 2x ) − 2 y + 1 + 7 = 0


x + my = 2
Bài 3: Cho hệ phương trình: 
mx − 2y = 1
a) Giải hệ phương trình trên khi m = 2.
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
II. Hàm số y = ax2 ( a ≠ 0 )

Bài 1: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = –3x + 4
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bài 2: Cho parabol (P): y = −

x2
1
và đường thẳng (d): y = − x + n
4
2

a) Tìm giá trị của n để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P).
b) Tìm giá trị của n để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm.
c) Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với (P) nếu n = 1.
Bài 3: Cho (P): y = x2 và (d): y = 2x + m. Tìm m để (P) và (d):
a) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Tiếp xúc nhau.
c) Không giao nhau.
Bài 4: Cho hai hàm số y = x2 (P); y = x + 2m – 1 (d).
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ khi (d) đi qua điểm A(1; 1).

Biên soạn: GV Bùi Công Luân –

4


Đề cương ơn tập Tốn 9 học kỳ II
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm.
c) Tìm m để (d1): y = 2x – 1 cắt (d) và (P) tại cùng một điểm.
d) Chứng minh rằng (d2): y = - x + m2 luôn cắt (P) tại hai điểm với mọi m.

III. Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1: Giải các phương trình sau

a) 3x 2 + 12x = 0

b) 5x 2 − 10x = 0

c) 3x 2 − 12 = 0

d) 3x 2 − 1 = 0

e) x 2 + 5x + 4 = 0

f ) 3x 2 − 7x + 3 = 0

g) 5x 2 + 31x + 26 = 0

h) x 2 − 15x − 16 = 0

i) 19x 2 − 23x + 4 = 0

k) 2x 2 + 5 3x + 11 = 0
Bài 2: Cho phương trình x2 + 5x + 4 = 0. Khơng giải phương trình hãy tính:

x1 x 2
+
x 2 x1

a) x12 x 2 + x1x 2 2

b)

c) ( x1 + 2x 2 )( 2x1 + x 2 )



1  1
d)  x1 +  + x 2 
x 2  x1




Bài 3: Cho phương trình x2 + mx + m + 3 = 0.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m.
d) Xác định giá trị của m để x12 + x22 = 10.
e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm cịn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương.
Bài 4: Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm cịn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm.
Bài 5: Cho phương trình : 3x2 – ( 3k – 2) x – ( 3k + 1) = 0 với x là ẩn số, k là tham số.
a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của k.
b) Giải phương trình với k = 1.
c) Tìm k để phương trình có nghiệm kép.
d) Tìm k để phương trình có 2 nghiệm dương.
e) Tìm k để nghiệm x1 ; x2 của phương trình thoả mãn : 3x1 – 5x2 = 6.
Bài 6: Cho phương trình x2 + (m + 2)x + 2m = 0.
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
b) Phương trình có một nghiệm x = 3. Tìm m và nghiệm cịn lại.

x1 x 2
+
= 2.

x 2 x1
d) Tìm m để ( 2x1 + x 2 )( x1 + 2x 2 ) ≥ 0 .

c) Tìm m để

e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
Bài 7: Giải các phương trình sau:

Biên soạn: GV Bùi Cơng Ln –

5


Đề cương ơn tập Tốn 9 học kỳ II
a) x − 6 x + 5 = 0

b) − 2 x + 5 x + 7 = 0

c) −

x + 8x − 9 = 0

20
20
+
=9
e) (2 x + 1)( x − 1) = −2 x f) x 4 − 13 x 2 + 36 = 0
x −1 x
h) 2 x 4 − 5 x 2 + 3 = 0

i) − x 4 + 5 x 2 + 6 = 0
g) 9 x 4 + 6 x 2 + 1 = 0
100
100
2x
x+2
x + 1 x − 1 2x + 1
+
k)
+
l)
+
=
j)
= 15
=2
x +5 x −5
x+2
2x
x + 2 x − 2 x +1
IV. Giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
d)

Bài 1: Một người đi xe đạp xuất phát từ A. Sau 4 giờ, một người đi xe máy cũng đi từ A và
đuổi theo trên cùng một con đường và gặp người đi xe đạp cách A là 60 km. Tính vận tốc
của mỗi người biết vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 20
km/h.
Bài 2: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20km trong một thời gian đã định. Sau
khi đi được một giờ với vận tốc dự định, người đó giảm vận tốc đi 2 km/h trên quãng đường
còn lại, nên đã đến B chậm 15 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của người đi xe

đạp.
Bài 3: Một công nhân được giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Sau khi làm được một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên
mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó, mức khốn được giao đã được
người cơng nhân hồn thành sớm 1 giờ. Tính năng suất và thời gian dự định của người cơng
nhân đó.
Bài 4: Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng
mức đề ra. Những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành
kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm.
Bài 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa khơng có nước thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy.
Nếu chảy riêng thì vịi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vịi chảy
một mình đầy bể trong bao lâu ?
Bài 6: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa khơng có nước sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu
mở riêng vòi thứ nhất trong 2 giờ, vòi thứ hai trong 3 giờ thì được

2
bể. Hỏi mỗi vịi chảy
5

một mình sau bao lâu thì đầy bể ?
Bài 7: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp
dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian
quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ
theo kế hoạch ?
Bài 8: Một ô tô khách đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 200km. Sau đó 30 phút một ô tô
con khởi hành từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng con đường ấy, đi được 2 giờ thì gặp ơ tơ
khách. Tính vận tốc của mỗi ơ tô, biết rằng vận tốc của ô tô con lớn hơn vận tốc của ô tô
khách là 10km/h.
Bài 9: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40
phút ở B, rồi quay trở về bến A. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến A là 6 giờ. Tính

vận tốc của ca nơ khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h.
Bài 10: Một ca nô chạy trên khúc sông dài 95 km. Thời gian đi xi ít hơn thời gian đi
ngược là 1giờ 12 phút. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng
nước là 3km/h.
Bài 11: Hai người cùng làm chung một cơng việc thì sẽ hồn thành trong 4 ngày. Nếu người
thứ nhất làm một nửa cơng việc, sau đó người thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại thì sẽ hồn

Biên soạn: GV Bùi Cơng Ln –

6


Đề cương ơn tập Tốn 9 học kỳ II
thành tồn bộ công việc trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hồn thành cơng
việc trong mấy ngày.
Bài 12: Cho một số có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình
phương các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó
cộng thêm 5.
Bài 13: Một ca nơ xi dịng 45km rồi ngược dịng 18km. Biết vận tốc xi dịng lớn hơn
vận tốc ngược dịng là 6km/h và thời gian xi dịng nhiều hơn thời gian ngược dịng là 1
giờ. Tính vận tốc xi dịng và vận tốc ngược dịng của ca nơ.

Biên soạn: GV Bùi Cơng Ln –

7


Đề cương ơn tập Tốn 9 học kỳ II

PHẦN HÌNH HỌC

A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Đường tròn và các vấn đề liên quan
1. Cộng số đo cung:
- Nếu điểm M nằm trên cung AB và chia cung AB thành hai cung AM và cung MB
thì sđAB = sđAM + sđMB .
2. So sánh cung: Trong một đường trịn hoặc hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
3. Định lý liên hệ giữa cung và dây: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường
tròn bằng nhau:
- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại.
- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại.
- Trong 1 đường tròn, hai cung bị chắn giữa 2 dây song song thì bằng nhau.
4. Định lý liên hệ giữa đường kính, cung và dây:
- Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua
trung điểm của dây căng cung ấy.
- Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (khơng
phải là đường kính) thì đi qua điểm chính giữa của cung ấy.
- Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vng
góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
5. Định lý góc ở tâm: Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn.
6. Định lý góc nội tiếp, hệ quả góc nội tiếp: Trong một đường trịn:
- Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng
chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng.
7. Tiếp tuyến của đường trịn:
* Định nghĩa: Đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của đường trịn (O) nếu a có một điểm

chung với đường trịn (O). Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.
* Tính chất: Tiếp tuyến của đường trịn thì vng góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
* Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: Đường thẳng a là tiếp tuyến của
đường trịn nếu:
- a có một điểm chung với đường tròn.
- Khoảng cách từ a đến tâm O bằng bán kính R.
Biên soạn: GV Bùi Cơng Ln –

8


Đề cương ơn tập Tốn 9 học kỳ II
- a đi qua một điểm của đường trịn và vng góc với bán kính đi qua điểm đó.
* Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua
các tiếp điểm.
8. Tính chất và hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
- Trong một đường trịn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng
chắn một cung thì bằng nhau.
9. Định lý góc có đỉnh ở bên trong đường trịn, góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn:
- Góc có đỉnh ở bên trong đường trịn có số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị
chắn.
- Góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn có số đo bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị
chắn.
10. Định lý tứ giác nội tiếp:
- (Thuận): Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800.
- (Đảo): Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp

được đường tròn.
11. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường trịn:
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.
+ Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. Điểm đó gọi là tâm của đường trịn ngoại
tiếp tứ giác.
+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc α.
12. Độ dài đường trịn, diện tích hình trịn
- Độ dài đường trịn bán kính R là: C = 2πR
- Độ dài của cung trịn có số đo n độ, bán kính R là: l =
- Diện tích hình trịn bán kính R là: S = π R

π Rn
180

2

- Diện tích hình quạt trịn cung n độ, bán kính R là : Sq =

π R 2 n lR
360

=

2

* Hình viên phân: Là hình giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy.
Diện tích của hình viên phân giới hạn bởi cung AB và dây AB bằng hiệu giữa diện
tích hình quạt OAB và diện tích tam giác OAB.
Svp AB = S qOAB − S ∆OAB

* Hình vành khăn: Là phần hình trịn nằm giữa hai đường trịn đồng tâm bán kính R
và r (R > r).
Svkh = π ( R 2 − r 2 )

Biên soạn: GV Bùi Công Luân –

9


Đề cương ơn tập Tốn 9 học kỳ II

II. Hình trụ, hình nón, hình cầu

B – BÀI TẬP
1. Cho tam giác MNP có ba góc nhọn (MN < MP) nội tiếp đường tròn (O); Các đường cao
ML và PK của tam giác MNP cắt nhau tại L. (L ∈ NP, K ∈ MN).
a) Chứng minh tứ giác NKHL nội tiếp được đường trịn.

Biên soạn: GV Bùi Cơng Ln –

10


Đề cương ơn tập Tốn 9 học kỳ II
b) Kẻ đường kính MQ của đường trịn (O). Chứng minh: Hai tam giác MNQ và
MLP đồng dạng.
c) Kẻ LT song song với NQ. (T ∈ MQ). Chứng minh PT vng góc với MQ.
2. Cho đường trịn (O), đường kính AB, trên cung AB lấy một điểm C (C không trùng A, C
không trùng B), Tiếp tuyến tại B và tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt nhau tại K. Tia

AC cắt tia BK tại D.
a) Chứng minh tứ giác BKCO nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh BCK = BAC
c) Chứng minh K là trung điểm của BD.
d) Chứng minh BC2 = AC.CD.
3. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AM và AN (M, N là hai
tiếp điểm) và cát tuyến ABC. Gọi I là trung điểm của dây BC.
a) Chứng minh 5 điểm A, M, I, O, N cùng nằm trên một đường trịn.
b) Nếu AM = OM thì tứ giác AMON là hình gì? Vì sao?
c) Cho AM = R. Tính diện tích hình trịn và độ dài đường trịn ngoại tiếp tứ giác
AMON theo R.
4: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngồi đường trịn đó. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC
và cát tuyến ADE tới đường tròn (B và C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của DE.
a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đường trịn. Xác định tâm của đường trịn đó.
b) CMR: HA là tia phân giác của góc BHC.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. CMR: AB2 = AI.AH
d) BH cắt (O) ở K. Chứng minh rằng: AE song song CK
5. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AG, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh AFHE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AH.AG = AE.AC
c) Chứng minh GE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHE.
6. Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vng góc với
DE, nó cắt DE và DC theo thứ tự ở H và K.
a) Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh KC.KD = KH.KB
c) Khi điểm E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào?
7. Cho đường trịn tâm O đường kính BC, A là một điểm thuộc cung BC sao cho AB < AC .
Tia phân giác của BAC cắt (O) tại M, cắt BC tại I.
a) Chứng minh AB. IC = AI. MB
b) Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ Dx vng góc với DA cắt tia AM

tại E. Tứ giác ADEC là hình gì ? Chứng minh.
c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia DE tại G. Chứng minh rằng tứ giác BDGC nội
tiếp.

Biên soạn: GV Bùi Công Luân –

11