Phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI
Vấn đề 1: Phương pháp chia khoảng.
 Dùng định nghĩa:
( )
( ) ( )
( ) ( )
; 0
; 0
f x f x
f x
f x f x
≥

=

− <


 Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên cùng một bảng.
Chia ra một số khoảng trên trục số mà mỗi khoảng này ta đã biết dấu của các biểu thức
trong trị tuyệt đối.
Giải phương trình, bất phương trình trong khoảng đang xét.
Thí dụ: Giải phương trình:
( )
2
2 1 1 1x x x− + − =
Giải:
Bảng xét dấu:
x
−∞

0
1\ 2
1
+∞
2
x x−
+ 0 - - 0 +
2 1x
−
- - 0 + +
i/
0x
≤
:
( )
2 2
1 1 2 1 3 0x x x x x⇔ − + − = ⇔ − =

( )
0
0
3
x
x
x L
=

⇔ ⇔ =

=


.
ii/
1
0
2
x< ≤
:
( )
2 2
1 1 2 1 0x x x x x⇔ − + − = ⇔ − − =

( )
0
1
x
L
x
=

⇔

= −

.
iii/
1
1
2
x< ≤

:
( )
2 2
1 1 2 1 3 2 0x x x x x⇔ − − + = ⇔ − + =
.
iv/
1x
>
:
( )
2 2
1 1 2 1 2 0x x x x x⇔ − − + = ⇔ + − =
( )
1

2
x
L
x
=

⇔

= −

Vậy:
{ }
0;1S =
Bài tập tương tự:
1. Giải các phương trình:

a.
7 2 5 3 2x x x− = − + +
b.
( )
2
1 1
1
2
x x
x x
− + +
=
−
c.
2
1 1x x− + =
2. Giải các bất phương trình.
a.
2
2
4 3
1
5
x x
x x
− +
≥
+ −
.
b.

2 3
1
1
x
x
−
≤
+
c.
2 1 1x− − ≤
d.
9
3
5 3
x
x
≥ −
− −
3. Giải phương trình.

2 2
5 4 9 5 4 10 0x x x x x x− + − − + + =
4. Giải và biện luận.

( ) ( )
2 2 2 2
1 1m x m m x m x m m x+ + + = + − +
5. Giải hệ

1 2 2

2 2 3
x y
x y
 + − + = −


− + =


6. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của hệ.

2
1 0
2 1 1 0
y x x
y x

− − − ≥


− + + − ≤


Vấn đề 2: Phương pháp biến đổi tương đương.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
f x g x f x g x f x g x= ⇔ = ⇔ = ±
.


( ) ( )
( )
( ) ( )
0g x
f x g x
f x g x
≥

= ⇔

= ±



( ) ( ) ( ) ( )
2 2
f x g x f x g x< ⇔ <

( ) ( ) ( ) ( )
0f x g x f x g x⇔ − + <   
   

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x g x f x g x< ⇔ − < <

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x

f x g x
< −
> ⇔

>


Thí dụ: Giải và biện luận phương trình:
2 2
2x x m x x+ + = − + +
.
Giải:
Để phương trình có nghiệm ta phải có điều kiện:
2
2 0 1 2x x x− + + ≥ ⇔ − ≤ ≤
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
2 2
2 2
2x x m x x+ + = − + +

( )
( )
2
2 2 2 2 0x m x m⇔ + − + + =

( )
( )
2
2

2
1
2 2 0
2
2
2 2 0
2
2
m
x
x m
m
x m
x
−

=


+ − =
⇔ ⇔


+
+ + =


= −



( )
1
có nghiệm
( )
2 0 *m− ≥
khi đó nghiệm của nó là:

1 2
2 2
;
2 2
m m
x x
− −
= = −
Kiểm tra điều kiện:

1
2
1 2 2 6
2
m
x m
−
− ≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ −
. Kết hợp với
( )
*
ta có
6 2m− ≤ ≤


2
2
1 2 1 0 2
2
m
x m
−
− ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ⇔ ≤ ≤

2
1 2 6 0
2
m
x m
+
− ≤ = − ≤ ⇔ − ≤ ≤
. Gọi
3
3
2
m
x
+
= −
.
Kết luận:

6 2 :m m S< − ∨ > = ∅


{ }
6: 2m S= − =

2 3
6 0 : ;
2 2
m m
m S
 
− +
 
− < < = −
 
 
 

{ }
0 : 1;1m S= = −

2 2
0 2 : ;
2 2
m m
m S
 
− −
 
< < = −
 
 

 

{ }
2 : 0m S= =
Bài tập tương tự:
1. Giải các phương trình và bất phương trình.
a.
2 2
2 2 1x x x− = −
b.
2
5 4 1x x x− + > −
c.
2 2
3 2 1x x x x− − ≤ −
2. Giải và biện luận các phương trình:
a.
2 2
2 1 1 2x mx m x mx m− + − = + + +
b.
2
1 1mx x x+ = − +
c.
2
2 1 1x mx x+ + = +
3. Giải và biện luận các bất phương trình.
a.
2
5 4x x a− + <
b.

2 2
2 3x x a x x a− + ≤ + +
4. Định
a
để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
( )
2
1 2x x a− = −
Vấn đề 3: Phương pháp đặt ẩn phụ
Thí dụ: Định
m
để phương trình có nghiệm:
2 2
2 1 0x x m x m− − − + =
Giải:
Đặt
1 ; 0t x t= − ≥
Phương trình đã cho được viết:
( )
2 2
1 0 1t mt m− + − =
.
Phương trình đã cho có nghiệm
⇔

( )
1
có ít nhất 1 nghiệm
0t ≥
.

i/
( )
1
có nghiệm
0t =

2
1 0 1m m⇔ − = ⇔ = ±
.
ii/
( )
1
có hai nghiệm trái dấu
2
1 0 1 1m m⇔ − < ⇔ − < <
.
iii/
( )
1
có các nghiệm đều dương
2
2
3 4 0
0
0 1 0
0 0
m
P m
S m


− + ≥
∆ ≥



⇔ > ⇔ − >
 
 
> >


2 3 2 3
3 3
1 1
0
m
m m
m

− ≤ ≤



⇔ < − ∨ >


>




2 3
1
3
m⇔ < ≤
.
Kết hợp các kết quả đã được, ta đi đến:
2 3
1
3
m− ≤ ≤
.
Vậy:
2 3
1
3
m− ≤ ≤
.
Bài tập tương tự:
1. Giải và biện luận bất phương trình:

2
2 2 2x m mx x− < − −
2. Định
m
để bất phương trình sau có nghiệm:

2 2
2 1 0x x m m m+ − + + − ≤
3. Định
m

để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

( )
2
2 1 2 2mx m x mx− − + = −
4. Định
m
để
2
2 2 2 0x mx x m− + − + >
với mọi
x
.
Vấn đề 4: Phương pháp đồ thị.
Thí dụ: Tìm
m
để phương trình
2 2
2 4x x x x m− − + + =
có nghiệm.
Giải:
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10
-5

5
10
y=f(x)
y=m
O
-1
-3
Ta có
( )
2
2 2
2 3 2; 1 2
2 4
5 2; 1 2
x x x x
f x x x x x
x x

+ − ≤ − ∨ ≥
= − − + + =

+ − < <

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng
y m=
Dựa vào đồ thị ta suy ra: phương trình có nghiệm
3m⇔ ≥ −

.
Vậy:
3m
≥ −
.
Bài tập tương tự:
1. Định
a
để phương trình
2
0x x a− + =
có nghiệm.
2. Định
m
để phương trình
2 2
2 3 2 5 8 2x x m x x− − = − −
có nghiệm.