Chuyên đề sử dụng định lí mê nê la us để giải một số bài toán tính tỉ số và diện tích tam giác

GV: §µo v¨n TiÕn


LỜI MỞ ĐẦU
Trong quá trình giải các bài toán hình học như bài toán về
diện tích hay bài toán về tỷ số giữa các đoạn thẳng hay tỷ số
giữa diện tích các hình đôi khi ta gặp các bài toán rất phức
tạp mà nếu giải bằng phương pháp thông thường thì ta gần
như bế tắc song nếu giải bằng cách sử dụng định lý
Mênêlaus thì bài toán đó trở nên đơn giản vô cùng.
Vậy định lý Mênêlaus là gì? Cách sử dụng nó ra sao? Đó
là vấn đề mà hôm nay tôi muốn đưa ra để trao đổi với các
bạn.

PHẦN 1: ĐỊNH LÝ MÊNÊLAUS
Trên các đường thẳng BC, CA, AB của ΔABC lấy tương ứng các điểm
A
1
, B
1
, và C
1
(Không trùng với đỉnh nào của tam giác).
Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A
1
, B
1
,C
1
thẳng

hàng là:
A
1
B B
1
C C
1
A
A
1
C B
1
A C
1
B
. .
= 1
C
B
A
1
C
1
B
1
A

CHỨNG MINH ĐIỀU KIỆN CẦN
K
H

I
A
1
C
1
B
1
Qua các đỉnh A, B, C của ΔABC kẻ các đường vuông góc AH, BI, và CK
với đường thẳng A
1
B
1
C
1
.
Rõ ràng ta có AH // BI // CK.
Khi đó ta có:
gt
kl
ΔABC.
A
1
∈BC; B
1
∈AC; C
1
∈AB
A
1
B B

1
C C
1
A
A
1
C B
1
A C
1
B
. .
= 1
A
1
, B
1
,C
1
thẳng hàng thì
Chứng minh
A
1
B B
1
C C
1
A
A
1

C B
1
A C
1
B
. .
=
BI CK AH
CK AH BI
. .
= 1
C
A
B

CHỨNG MINH ĐIỀU KIỆN ĐỦ
A
1
B B
1
C C
1
A
A
1
C B
1
A C
1
B

. .
= 1
K
H
I
C
B
A
1
C
1
B”
1
A
gt
kl
Trong 3 điểm A
1
, B
1
, C
1
có ít
nhất 1điểm nằm ngoài ΔABC
Chứng minh
A
1
, B
1
,C

1
thẳng hàng
Giả sử A
1
C
1
cắt AC tại B’
1
.
Thế thì theo định lý Mênêlaus ta có:
A
1
B B’
1
C C
1
A
A
1
C B’
1
A C
1
B
. .
= 1.Mà
A
1
B B
1

C C
1
A
A
1
C B
1
A C
1
B
. .
= 1. Do đó:
B’
1
C
B’
1
A
=
B
1
C
B
1
A
Thế mà trên đoạn thẳng AC chỉ có duy nhất 1 điểm chia trong nó theo
một tỷ số cho trước nên B’
1
≡ B
1

.
Hay A
1
, B
1
,C
1
thẳng hàng

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1: Trong ΔABC đường phân giác AD chia cạnh BC theo tỷ số 1: 2.
Hỏi đường trung tuyến CE chia đường phân giác đó theo tỷ số nào?
A
B
C
D
E
K
Giải:
Gọi {K} = AD∩CE theo đầu bài ta có:
Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔADB
với cát tuyến CKE ta có:
.
CD
BD
=
2
1
Ta cần tính
AK

KD
= ?
CD EB KA
BD EA KD
. .
= 1 (1)
Vì
DC
DB
=
2
1
=
⇒
DC
DC + DB
=
2
2 + 1
2
3
hay
CD
CB
=
2
3
(vì EA = EB)
2

3
= 1
. .
1
KA
KD
Vậy trung tuyến CE chia phân giác AD theo tỷ số
3

2
AK
KD
3

2
⇒ =Thay vào (1) ta có:

Bài 2: Trên trung tuyến AD của tam giác ABC lấy điểm K sao cho
AK=3.KD. Gọi {P} = BK∩AC. Tính tỷ số diện tích của ΔABP và ΔBCP.
Giải:
Vì ΔABP và ΔCBP có chung đường cao nên:
Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔADC với cát tuyến BKP ta có:
AK BD PC
KD BC PA
. .
= 1
3

1
= 1

. .
PC
PA
⇒
1

2
=
PC
PA
⇒
2

3
S
ABP

S
CBP
=
3
2
⇒
PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
A
B
CD
P
K
=

PA
PC
⇒
3

2
S
ABP

S
CBP
=
AP
CP
(2 tam giác chung đường cao)

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Giải:
B
A
C
I
K
Q
Vì ΔABC và ΔQBC có chung cạnh đáy BC do đó
S
ABC

S
QBC

=
AH
QG
Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔAIB với cát tuyến CQK ta có:
AQ CI KB
QI CB KA
. .
= 1
⇔
AQ 2 2
QI 3 1
. .
= 1
=
AQ
QI
3

4
Vì ⇒ =
AQ + QI
QI
3 + 4
4
⇒ =
AI
QI
7
4
⇒

S
ABC

S
QBC
=
7
4
. Vậy S
ABC
=
7
4
(đvdt)
Bài 3: Cho ΔABC. Trên AB lấy K sao cho , trên BC lấy điểm I sao
cho . Gọi {Q} = AI∩CK. Tính S
ABC
biết S
ΔQBC
= 1 (đvdt)
=
AK
KB
1

2
=
CI
IB
2

1
AI
QI
=
7
4
= ⇒ S
ABC
=
7
4
S
QBC
7
4
= . 1
H
G

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 4: CMR: Trong tam giác cân: trung điểm cạnh đáy, giao điểm của
đường phân giác một góc kề với cạnh đáy và cạnh đối diện, giao điểm của
đường phân giác ngoài của góc còn lại kề cạnh đáy với đường thẳng chứa
cạnh đối diện là 3 điểm thẳng hàng.
A
B C
B’
C’
A’

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 4:
Giải:
Gọi A’ là trung điểm cạnh BC, BB’ là phân giác ABC,
CC’ là phân giác ngoài đỉnh C của ΔABC cân tại A.
Ta phải chứng minh: C’, A’, B’ thẳng hàng.
+ Vì CC’ là phân giác ngoài đỉnh C nên theo tính chất
đường phân giác ta có:
=
C’B

C’A
CB
CA
+ BB’ là phân giác của ABC nên
=
AB’

B’C
AB
BC
Do A’ là trung điểm của BC nên = 1
A’B

A’C
Từ đó ta có:
C’B AB’ A’C
C’A B’C A’B
. .

=
CB AB A’C
CA BC A’B
. .
= 1 (Vì AB = CA)
Do đó theo định lý đảo của định lý Mênêlaus thì C’, A’, B’ thẳng hàng.
A
B C
B’
C’
A’

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 5: Cho ΔABC. Trên cạnh AB lấy C’ sao cho AC’ = C’B; Trên cạnh
BC lấy A’ sao cho , trên cạnh AC lấy B’ sao cho .
AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại M, N, P. Biết diện tích ΔABC là S. Tính diện tích
ΔMNP theo S.
=
BA’
A’C
1
2
=
CB’
B’A
1
3
A
B C
B’

C’
A’
N
M
P

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 5:
Giải:
Ta có S
MNP
= S
ABC
– (S
AMB
+ S
BNC
+ S
CPA
) (1)
Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔAA’C với cát tuyến BMB’ ta có:
Mà
và
S
AMB

S
AA’B
=
AM

AA’
S
AA’B
=
1
3
S
3
S
ABC
=
AM BA’ B’C
MA’ BC B’A
. .
= 1 ⇒
AM 1 1
MA’ 3 3
. .
= 1 ⇒
AM
MA’
= 9 ⇒
AM
AA’
=
9
10
Do đó:
S
AMB

S
AA’B
=
9
10
hay S
AMB
=
9
10
S
3
S
AA’B
=
9
10
.
=
3S

10
(2)
Lập luận tương tự ta có: ΔBB’A với cát tuyến CNC’ ta có
BN CB’ C’A
NB’ CA C’B
. .
= 1
⇒

BN 1
NB’ 4
. .
1 = 1 ⇒
BN
NB’
= 4
A
B C
B’
C’
A’
N
M
P

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 5:
Do đó:
BN
BB’
=
4
5
⇒
S
BNC
S
BB’C
=

4
5
⇒ S
BNC
=
4
5
S
BB’C
=
4
5
S
4
S
5
.
=
(3)
Áp dụng Mênêlaus vào ΔCC’B với
cát tuyến APA’ ta có:
CP AC’ A’B
PC’ AB A’C
. .
= 1 ⇒
CP
PC’
= 4
CP 1
PC’ 2

⇒
. .
= 1
1
2

⇒
CP
CC’
=
4
5

⇒ S
CPA
=
4
5
S
CC’A
=
4
5
S
2
2S
5
.
=
(4)

⇒
S
CPA
S
CC’A
=
4
5
Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được:
S
MNP
= S – ( ) = S -
3S
10

S
5
2S
5
+ +
9S
10
=
S
10
Vậy S
MNP
=
S
10

A
B C
B’
C’
A’
N
M
P

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Trên BC lấy E sao cho
BE=EC, trên AC lấy D sao cho AD = . Lấy điểm F nằm giữa D và C.
Gọi {M} = BF∩DE. Biết S
ABMD
= S
ABC
. Tính MF theo a.
23
72
a
8
Bài 2: Cho ΔABC. Lấy E, F trên cạnh BC, , .
Trên A, B lấy D sao cho . Hỏi AE chia DF theo tỷ số nào?
BF
FC
4
1
=
BE
EC

1
3
=
AD
DB
3
2
=
Bài 3: Cho tam giác đều ABC trên AB, BC, và AC lấy thứ tự các điểm M, N,
P sao cho
1
2
BM;AM =
1
2
CN;BN =
1
2
APCP =
AM∩CM = {A
1
}; CM∩BP = {C
1
}; AN∩BP = {B
1
}
a, Chứng minh: ΔA
1
B
1

C
1
là tam giác đều?
b, Biết diện tích ΔABC bằng S. Tính diện tích ΔA
1
B
1
C
1
?

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
AM BN CP 1
MB NC PA 4
. .
=
Bài 4:
Trên các cạnh của ΔABC lấy các điểm MNP sao cho
Tính tỷ số diện tích giữa tam giác giới hạn bởi các đường thẳng AN, BP và
CM với diện tích ΔABC.
Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng song song với các đường chéo
AC cắt BA, BC tại G và H, cắt DA và DC tại E và F.
CMR: GE, BH, HF đồng quy.
Bài 6: Cho ΔABC. Gọi E là trung điểm của AC. Lấy D ∈ BC sao cho
1
2
BC.BD =
Lấy G ∈ AE sao cho Tính S
MNEG
theo S

ABC
.
1
2
AE.AG =