chuyên đề tích phân có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (295.9 KB, 12 trang )
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 1
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
A. BẢNG ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN.
Đạo hàm Mở rộng Nguyên hàm Mở rộng
(
)
' 0
c
=
dx x C
= +
∫
(
)
. '
c x c
=
. .
k dx k x C
= +
∫
(
)
1
' .
n n
x n x
−
=
(
)
'
1
. '.
n n
u n u u
−
=
1
.
1
n
n
x
x dx C
n
+
= +
+
∫
( )
( )
1
1
.
1
n
n
ax b
ax b dx C
a n
+
+
+ = +
+
∫
'
2
1 1
x x
= −
'
2
1 '
u
u u
−
=
1
. ln
dx x C
x
= +
∫
1 1
. .ln
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫
'
2
c c
x x
= −
'
2
. '
c c u
u u
−
=
. .ln
k
dx k x C
x
= +
∫
. .ln
k k
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫
(
)
'
1
2
x
x
=
(
)
'
'
2
u
u
u
=
.
x x
e dx e C
= +
∫
1
. .
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
(
)
'
x x
e e
=
(
)
'
'.
u u
e u e
=
.
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
(
)
'
.ln
x x
a a a
=
(
)
'
. '.ln
u u
a a u a
=
sin . cos
x dx x C
= − +
∫
( ) ( )
1
sin . cos
ax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
( )
'
1
lnx
x
=
( )
'
'
ln
u
u
u
=
cos . sin
x dx x C
= +
∫
( ) ( )
1
cos . sin
ax b dx ax b C
a
+ = + +
∫
( )
'
1
log
.ln
a
x
x a
=
( )
'
'
log
.ln
a
u
u
u a
=
2
1
. tan
cos
dx x C
x
= +
∫
(
)
'
sin cos
x x
=
(
)
'
sin '.cos
u u u
=
2
1
. cot
sin
dx x C
x x
= − +
∫
(
)
'
cos sin
x x
= −
(
)
cos ' '.sin
u u u
= −
tan . ln cos
x dx x C
= − +
∫
( )
'
2
1
tan
cos
x
x
=
( )
'
tan '
cos
u
u
u
=
cot . ln sin
x dx x C
= +
∫
( )
'
2
1
cot
sin
x
x
= −
( )
2
'
cot '
sin
u
u
u
= −
Một số công thức LG thường sử
dụng để tính nguyên hàm.
( ) ( )
1
cos .cos cos cos
2
a b a b a b
= − + +
( ) ( )
1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b
= − − +
( ) ( )
1
sin .cos sin sin
2
a b a b a b
= − + +
2
1 cos2
sin
2
a
a
−
=
;
2
1 cos2
cos
2
a
a
+
=
sin 2 2sin .cos
a a a
=
2 2
2
2
cos sin
cos2 2cos 1
1 2sin
a a
a a
a
−
= −
−
2 2
2 2
cos 1 sin
sin 1 cos
a a
a a
= −
= −
Qui tắc đạo hàm.
1.
(
)
'
. '. . '
u v u v u v
= +
2.
'
2
'. . '
u u v u v
v v
−
=
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 2
B. TÍCH PHÂN.
1.
2. Tính chất.
a)
( ) ( )
. .
a b
b a
f x dx f x dx
− =
∫ ∫
b)
( ) ( )
. . . .
b b
a a
k f x dx k f x dx
=
∫ ∫
c)
( ) ( ) ( ) ( )
.
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
d)
( )
0
a
a
f x dx
=
∫
e)
( ) ( ) ( )
. . .
b b b
a a a
m f x M m dx f x dx M f x dx
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
∫ ∫ ∫
f)
( ) ( ) ( )
. . .
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH TÍCH PHÂN
3.1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.
3.2. Tích phân hàm hữu tỷ:
(
)
( )
b
a
f x
dx
g x
∫
- Nếu bậc
(
)
f x
≥
bậc
(
)
g x
→
Chia đa thức.
- Nếu bậc
(
)
f x
<
bậc
(
)
g x
: Ta sử dụng hệ số bất định.
( )( ) ( ) ( )
1 2 1 2
ax b A B
x x x x x x x x
+
= +
− − − −
( )
( )
( )
2 2
0
0 0
ax b A B
x x
x x x x
+
= +
−
− −
3.3. Phương pháp đổi biến số:
( ) ( )
. '
b
a
A f u x u x dx
=
∫
.
Dạng 1:
Đặt
(
)
(
)
' .
t u x dt u x dx
= ⇒ = ; đổi cận:
Ta được:
( ) ( )
( )
( )
( )
(
)
.
u b
u b
u a
u a
A f t dt F t= =
∫
* Một số thủ thuật đặt
t
.
Dạng
( )
( )
b
a
f u x dx
∫
(
)
( )
b
n
a
u x
dx
v x
∫
( )
sin .
cos
b
a
x dx
f x
∫
( )
( )
.
b
u x
a
e v x dx
∫
(
)
ln
b
a
f x
dx
x
∫
(
)
2
tan
cos
b
a
f x
dx
x
∫
t
(
)
u x
(
)
t v x
=
(
)
cos
t f x
=
(
)
t u x
=
(
)
ln
t f x
=
tan
t x
=
m lẻ
cos
t x
=
m chẳn
m = 0
n chẳn âm
tan
t x
=
D
ạ
ng
sin .cos
b
m n
a
x xdx
∫
n chẳn
sin
t x
=
n chẳn
Hạ bậc
2
1 cos2
sin
2
a
a
−
=
2
1 cos2
cos
2
a
a
+
=
n = 0
m chẳn âm
cot
t x
=
Dạng 2:
D
ạ
ng
2 2
a x
+
2 2
a x
−
2 2
x a
−
Đặ
t
tan , ;
2 2
t a t t
π π
= ∈ −
sin , ;
2 2
x a t t
π π
= ∈ −
{ }
, ; \ 0
sin 2 2
a
x t
t
π π
= ∈ −
( ) ( ) ( ) ( )
.
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
x
a
b
t
(
)
u a
(
)
u b
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 3
3.4. Phương pháp từng phần :
. . .
b b
b
a
a a
B u dv u v v du
= = −
∫ ∫
Cách đặt
u
và
dv
:
Dạng
( )
sin
. .
cos
b
a
x
f x dx
x
∫
( )
.
b
x
a
f x e dx
∫
( )
ln
. .
log
b
a
a
x
f x dx
x
∫
2
2
cos
sin
b
a
x
dx
x
x
∫
u
(
)
f x
(
)
f x
ln
log
a
x
x
x
dv
sin
.
cos
x
dx
x
x
e dx
(
)
.
f x dx
2
2
1
sin
cos
dx
x
x
C. BÀI TẬP
Bài 1 : Tính các tích phân sau :
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ
bản.
1.
( )
2
3 2
1
2 3
x x dx
+ +
∫
2.
4
3 2
1
1 1
.
x x dx
x x
+ +
∫
3.
4
3
2
1
.
.
x x x x
dx
x
+ +
∫
4.
2
3
1
2
x dx
x
+
∫
5.
2
2
1
1
2
x x dx
x
+
∫
6.
( )
2
0
3sin 3cos 2
x x dx
π
− +
∫
7.
2
1
3
2 1
x dx
x
+
−
∫
8.
2
0
cos 2
4
x dx
π
π
−
∫
9.
( )
2
0
2 sin 3
x dx
π
−
∫
10.
( )
1
0
2 1
x
e dx
+
∫
11.
( )
ln 2
2
0
1
x
e dx
+
∫
12.
( )
ln 2
2
0
1
x
e dx
+
∫
13.
( )
1
0
2 1
x x
e e dx
−
∫
14.
ln 3
2
0
x x
x
e e
dx
e
+
∫
15.
2
1
2
x
e dx
x
+
∫
16.
( )
1
2
2
0
3
x x dx
−
∫
17.
( )
2
3
1
2 1
x dx
−
∫
18.
( )
1
0
3 1
x
dx
+
∫
19.
4
2
0
2
1
cos
dx
x
π
−
∫
20.
2
3 2
2
1
2x x x
dx
x
+ +
∫
21.
1
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫
22.
1
3
0
3 2
3 1
x x
dx
x
+ +
+
∫
23.
2
1
2 5 7
x x
dx
x
+ −
∫
24.
1
0
( 1)( 1)
x x x dx
− + +
∫
25.
2
2
4
2
1
sin
dx
x
π
π
−
∫
26.
4
2
0
1
cos
x
x
e
e dx
x
π
−
−
∫
27.
ln 2
0
2
x
x
x
e
e dx
e
−
+
∫
28.
2
1
2
2
x
dx
x
+
∫
29.
( )
1
2
2
0
1
x x dx
−
∫
30.
( )
2
1
1
. 1
dx
x x
+
∫
31.
( )
2
2
1
2 1x
dx
x
−
∫
32.
4
0
cos3 .cos
x xdx
π
∫
33.
4
2
3
1
4
dx
x
−
∫
34.
1
2
2
0
1
3 2
dx
x x
− +
∫
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 4
35.
4
2
1
3
x x x x
dx
x
+ +
∫
36.
( )
ln 2
2
0
1
x x
e e dx
−
∫
37.
4
0
sin 3 .sin
x xdx
π
∫
38.
(
)
2
1
0
1
x
x
e
dx
e
−
∫
39.
4
2 2
6
1
sin .cos
dx
x x
π
π
∫
40.
2
0
1
x dx
−
∫
41.
3
2
0
2
x x dx
−
∫
42.
4
2
2
6 9.
x x dx
− +
∫
43.
4
2
1
3 2
x x dx
−
− +
∫
44.
0
1 cos2
x dx
π
+
∫
45.
3
0
2 4
x
dx
−
∫
46.
2
2
0
x x dx
−
∫
47.
3
2
0
1 cos2
x dx
π
−
∫
48.
2
2
0
sin .
x dx
π
∫
49.
2
2
0
cos .
x dx
π
∫
50.
2
4
0
sin .
x dx
π
∫
51.
2
4
0
cos .
x dx
π
∫
52.
2
0
sin 3 .cos .
x x dx
π
∫
53.
( )
ln 2
0
2
x
e x dx
+
∫
54.
1
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫
55.
8
2
0
cos 2
xdx
π
∫
56.
2
4
2
0
2cos 1
1 sin
x
dx
x
π
+
−
∫
57.
2
4
2
1
x dx
x
+
∫
58.
1
2
0
3 3
1
x x
dx
x
− +
+
∫
59.
2
0
1 sin cos .
2 2
x x
dx
π
+
∫
60.
( )
1
7
0
2 1
x dx
− +
∫
61.
( )
0
3
1
4
3 5
dx
x
−
−
∫
62.
4
0
2 1
x dx
+
∫
63.
7
3
3
0
3 1
x dx
+
∫
64.
3
0
1
1 6
dx
x x+ − +
∫
65.
( )( )
5
3
1
2 1
dx
x x− +
∫
66.
1
2
0
5 13
5 6
x
dx
x x
−
− +
∫
67.
1
4
2
2
0
1
x
dx
x −
∫
68.
1
2
0
3 1
6 9
x
dx
x x
−
+ +
∫
69.
( )
2
2
2
1
3 2
2 1
x x
dx
x x x
− +
+ +
∫
70.
0
2
1
2 1
3 4
x
dx
x x
−
+
+ −
∫
Bài 2: Tích các tích phân sau:
(Đổi biến số)
DẠNG 1:
( ) ( )
. '
b
a
A f u x u x dx
=
∫
71.
( )
1
3
4 3
0
1
x x dx
+
∫
72.
1
2
0
2
4 7
x
dx
x x
+
+ +
∫
73.
1
3
2
0
1
x
dx
x+
∫
74.
( )
1
3
0
1
x
dx
x +
∫
75.
( )
1
3
5 2
0
1
x x dx
+
∫
76.
( )
( )
4
1
6
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫
77.
1
2 3
0
1 .
x x dx
−
∫
78.
4
0
4 1
2 1 2
x
dx
x
−
+ +
∫
79.
6
2
1
2 1 4 1
dx
x x+ + +
∫
80.
2 3
2
5
4
x
dx
x +
∫
81.
64
3
1
1
dx
x x+
∫
82.
ln 3
ln 2
1
1
x
dx
e −
∫
83.
ln 2
0
1
1
x
dx
e
−
+
∫
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 5
84.
ln 5
2
ln 2
1
x
x
e
dx
e −
∫
85.
1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫
86.
( )
ln 5
ln 2
10 1
x
x x
e
dx
e e− −
∫
87.
( )
1
ln
2 ln .
e
x
dx
x x
+
∫
88.
3
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
89.
( )
2
1
1
ln 3ln 2 .
e
dx
x x x
− +
∫
90.
1
1 3ln .ln
e
x x
dx
x
+
∫
91.
2
4
0
sin .cos
x xdx
π
∫
92.
2
5
0
cos .sin
x xdx
π
∫
93.
2
5
0
sin
xdx
π
∫
94.
2
3
0
cos .
x dx
π
∫
95.
2
0
1 3sin .cos
x xdx
π
+
∫
96.
2
3
0
1 7cos .sin
x xdx
π
+
∫
97.
2
0
1 3sin .sin 2 .
x x dx
π
+
∫
98.
( )
2
3
0
sin .
2 cos
x dx
x
π
+
∫
99.
2
0
cos
1 3sin
x
dx
x
π
+
∫
100.
2
0
sin .cos
1 3sin
x x
dx
x
π
+
∫
101.
1
5
2
0
1
x
dx
x+
∫
102.
3
2
0
4sin
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
103.
3
1
1 ln .
e
dx
x x
+
∫
104.
3
2
2
0
sin .cos
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
105.
6
2
0
cos
sin 5sin 6
x
dx
x x
π
− +
∫
106.
( )
4
1
1
dx
x x
+
∫
107.
( )
2
2
2
0
1 sin sin 2
x xdx
π
+
∫
108.
4
1
x
e
dx
x
∫
109.
2
ln 8
ln 3
1
x
x
e dx
e
+
∫
110.
2
2
sin
0
sin 2
x
e xdx
π
∫
111.
3
0
.
1 1
x dx
x
+ +
∫
112.
1
3 2 3
0
(1 )
x x dx
−
∫
113.
3
5 2
0
1
x x dx
+
∫
114.
sin
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
115.
3
7
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
116.
2
1
0
x
e xdx
−
∫
117.
3
5
3
3
0
1
x
dx
x +
∫
118.
3
5
2
3
3
.
1
x dx
x
+
∫
119.
3
4
7
2
9
x dx
x
+
∫
120.
4
0
2 1
xdx
x
+
∫
121.
2
2
1
3
I x x dx
= +
∫
122.
2
1 2sin
0
.cos
x
e xdx
π
+
∫
123.
6
0
sin 2 .cos .
x x dx
π
∫
124.
2
4 3
0
sin .cos .
x x dx
π
∫
125.
3 2
0
sin .cos .
I x x dx
π
=
∫
126.
4
4
6
1
.
sin
dx
x
π
π
∫
127.
4
4
0
1
.
cos
dx
x
π
∫
128.
2
2
0
2
.
cos 3
sin x
dx
x
π
+
∫
129.
2
2
0
2
.
3 sin
sin x
dx
x
π
−
∫
130.
2
1
.
1 1
x
dx
x+ −
∫
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 6
131.
2
2
2 sin
0
.sin 2 .
x
e x dx
π
+
∫
132.
ln 3
ln 2
.
2 1
x
x
e
dx
e
−
−
+
∫
133.
(
)
ln 5
ln 2
3
1
x x
x
e e
dx
e
+
−
∫
134.
ln 5
2
ln 2
.
1
x
x
e
dx
e +
∫
135.
ln 4
ln 3
1
.
3
x
dx
e +
∫
136.
2
4
1
.
.ln
e
e
dx
x x
∫
137.
ln 4
ln 3
1
.
5
x
dx
e +
∫
138.
(
)
2
ln 5
0
4
2
x x
x
e e
dx
e
+
+
∫
140.
ln 4
2
ln 3
(1 ) .
.
1
x x
x
e e
dx
e
+
−
∫
141.
2
1
ln . 2 ln
.
e
x x
dx
x
+
∫
142.
2
sin
.
4cos 3
x
dx
x
π
π
−
∫
143.
2
0
sin2
.
cos2 3
x
dx
x
π
+
∫
144.
(
)
ln 5
ln 3
3
1
x x
x
e e
dx
e
+
−
∫
145.
4
2
6
1
.
sin .cotx
dx
x
π
π
∫
146.
3
2
3
6
cos .
sin
x dx
x
π
π
∫
147.
4
2
0
tan .
cos
x dx
x
π
∫
148.
ln 2
0
dx
x x
x x
e e
e e
−
−
−
+
∫
149.
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
dx
x x
π
+
∫
150.
ln 5
ln 3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
151.
2
2
0
sin 2
(2 sin )
x
dx
x
π
+
∫
152.
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
dx
x
π
+
+
∫
153.
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
154.
2
sin
0
( cos )cos
x
e x xdx
π
+
∫
155.
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
π
−
+
∫
156.
ln 2
0
2
x
x
e
dx
e +
∫
157.
( )
1
5 3
2
2
0
1
x x
dx
x
+
+
∫
158.
( )
2
8 5
2
3
0
2
x x
dx
x
+
+
∫
159.
6
2 2
0
sin 2
2sin os
x
dx
x c x
π
+
∫
160.
3
2
2
0
osxsin
1 sin
c x
dx
x
π
+
∫
161.
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
162.
2
2
0
sin 2
(2 sin )
x
dx
x
π
+
∫
163.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
164.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
165.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
166.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
167.
4
2
0
1 sin2
cos
x
dx
x
π
+
∫
168.
2
0
sin
1 3cos
x
dx
x
π
+
∫
169.
1
2
2
1
x
e
dx
x
∫
170.
2
0
sin
8cos 1
x
dx
x
π
+
∫
171.
( )
3
2
1
1 ln
e
e
dx
x x
−
∫
172.
2
3
6
sin .cos
x xdx
π
π
∫
173.
( )
1
7
0
1
x x dx
−
∫
174.
2
2
sin 2
1 cos
x
dx
x
π
π
+
∫
175.
( )
1
3
0
2
x x dx
−
∫
176.
2
2
1
1
2 3
x
dx
x x
−
− −
∫
177.
( )
2
2
6
cos .
1 sin
x dx
x
π
π
−
+
∫
178.
19
3 2
0
3
8
xdx
x
+
∫
179.
3
1
4 ln
e
dx
x x
−
∫
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 7
180.
1
2
0
1
x x dx
+
∫
181.
0
sin 2
4
.cos2
x
e xdx
π
−
∫
182.
( )
1
2
0
4
2 1
x
dx
x +
∫
183.
2
1
1
0
x
xe dx
−
∫
184.
( )
0
2
4
1
1
x
dx
x
−
−
∫
185.
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
186.
( )
1
ln .
ln 3
e
e
x dx
x x
+
∫
187.
7
3
0
1
x x dx
+
∫
188.
0
5
4
x xdx
−
−
∫
189.
ln 3
0
1
x
dx
e
−
+
∫
190.
2
0
4 1
x dx
+
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau:
(Đổi biến số)
Dạng 2:
2 2
a x
+
2 2
a x
−
tan
x a t
=
sin
x a t
=
191.
1
2
0
1
3
dx
x+
∫
192.
1
2
0
2
x dx
−
∫
193.
2
2
2
2
0
1
x
dx
x−
∫
194.
1
2
0
1
1
dx
x x+ +
∫
195.
1
2
0
2
x x dx
−
∫
196.
1
2
0
1
4
dx
x−
∫
197.
1
2
0
1
1
dx
x x− +
∫
198.
2
2
2
2
0
1
x
dx
x−
∫
199.
2
2 2
1
4
x x dx
−
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau
(Tích phân từng phần)
200.
1
ln
e
x xdx
∫
201.
1
2
0
ln( 1)
x x dx
+
∫
202.
1
1
( )ln
e
x xdx
x
+
∫
203.
2
0
( osx)sinx
x c dx
π
+
∫
204.
2
2
1
ln( )
x x dx
+
∫
205.
2
0
cos
x xdx
π
∫
206.
1
0
x
xe dx
∫
207.
1
3
0
.
x
x e dx
∫
208.
2
0
( 1)cos
x xdx
π
−
∫
209.
6
0
(2 )sin3
x xdx
π
−
∫
210.
2
0
.sin2
x x dx
π
∫
211.
2
1
(1 ).ln .
e
x x dx
−
∫
212.
3
1
4 .ln .
x x dx
∫
213.
1
2
0
.ln(3 ).
x x dx
+
∫
214.
2
5
1
ln
x
dx
x
∫
215.
2
2
0
cos
x xdx
π
∫
216.
3
2
0
sin
cos
x x
dx
x
π
+
∫
217.
4
2
0
(2cos 1)
x x dx
π
−
∫
218.
2
2
1
ln(1 )
x
dx
x
+
∫
219.
1
2
0
ln(1 )
x x dx
+
∫
220.
1
2
0
( 2)
x
x e dx
−
∫
221.
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +
∫
222.
2
0
(2 7)ln( 1)
x x dx
+ +
∫
223.
1
ln
e
x
dx
x
∫
224.
( )
1
3 2 ln
e
x xdx
+
∫
225.
3
1
ln
e
x
dx
x
∫
226.
2
1
ln
e
x xdx
∫
227.
2
1
ln
e
xdx
x
∫
228.
( )
1
2
0
ln 1
x x dx
+
∫
229.
2
2
1
log
x xdx
∫
230.
1
3
(2 )ln
e
x xdx
x
−
∫
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 8
231.
1
2
0
ln( 1)
x x x dx
+ +
∫
232.
(
)
( )
1
3
0
ln 1
2
x
dx
x
+
+
∫
233.
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
234.
( )
3
2
1
3 ln
1
x
dx
x
+
+
∫
235.
1
2
0
( 2)
x
x e dx
−
∫
236.
( )
1
0
1
x
x e dx
+
∫
237.
( )
1
0
2 1
x
x e dx
−
∫
238.
2
0
2 cos
x xdx
π
∫
239.
( )
4
0
2 1 cos
x xdx
π
−
∫
240.
( )
1
2 1 ln
e
x xdx
+
∫
241.
( )
3
2 2
0
1
x
x e dx
+
∫
242.
( )
1
0
2 1
x
x e dx
−
∫
243.
( )
ln 2
0
1
x
x e dx
−
−
∫
244.
2
0
2 .sin
x xdx
π
∫
245.
( )
4
0
1 sin 2
x xdx
π
+
∫
246.
( )
1
2 ln 1
e
x x dx
−
∫
247.
( )
2
1
ln 2
x xdx
−
∫
248.
0
sin
x
I e xdx
π
=
∫
249.
1
2 1
0
x
xe dx
−
∫
250.
( )
2
0
1
x
e xdx
+
∫
251.
4
0
sin 2 .
x x dx
π
∫
252.
( )
0
1 cos
x xdx
π
−
−
∫
253.
1
ln .
e
x dx
∫
254.
( )
3
2
2 ln 1
x x dx
−
∫
255.
4
1
x
e dx
∫
Bài 5: Tính các tích phân sau:
(TỔNG HỢP)
256.
( )
1
0
3. 5
x x
e e x dx
−
−
∫
257.
2
1
ln
x x
dx
x
+
∫
258.
( )
1
ln 1
e
x x dx
+
∫
259.
1
0
1
1
x
x
xe x
dx
e
+ +
+
∫
260.
2
2
1
1
x
x e
dx
x
+
∫
261.
( )
0
cos
x x x dx
π
+
∫
262.
4
1
x
x e
dx
x
+
∫
263.
( )
4
0
cos sin
x x xdx
π
+
∫
264.
2
0
1 sin
1 cos
x
dx
x
π
−
+
∫
265.
2
1
1 ln
e
x x
dx
x
+
∫
266.
( )
2
2
0
x
x x e dx
+
∫
267.
2
1
1 ln
e
x x
dx
x
+
∫
268.
( )
2
1
1 2
x
xe dx
+
∫
269.
3
4
2
0
1 sin
1 sin
x
dx
x
π
−
−
∫
270.
1
0
1
1
x
x
e
xe
−
+
∫
271.
3
3
1
2
.
2 2
x dx
x
−
+
∫
272.
( )
2
0
ln 1 cos .sin 2
x xdx
π
+
∫
273.
2
3 2
2
0
2 3
1
x x x
dx
x x
− +
− +
∫
274.
( )
2
2 3
0
cos 1 sin
x x dx
π
−
∫
275.
1
0
3 2
1
x x
x
xe e
dx
xe
+ +
+
∫
276.
1
2
0
1
x
dx
x x
+ −
∫
277.
(
)
(
)
2 2
1
0
2 1 ln 1
1
x x x x
dx
x
+ + + +
+
∫
278.
( )
2
4
2 cos 2 sin
cos sin
x x x x
dx
x x x
π
π
+ −
−
∫
279.
3
2
1
ln
1 3ln
e
xdx
x x
+
∫
280.
2
2 3
1 ln
.ln
e
e
x x
dx
x x
+
∫
281.
3
2
2
0
2 sin
sin
3cos 1
x
x dx
x
x
π
−
+
∫
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 9
282.
(
)
2
2
1
ln 1x x
dx
x
+ +
∫
283.
2014
4
2
0
1 2 tan
cos
x x
dx
x
π
− +
∫
284.
( )
3
0
tan ln cos
cos
x x
dx
x
π
∫
285.
2
4
0
tan 3tan 2
2 sin2
x x
dx
x
π
+ +
+
∫
286.
2
0
cos2 1
cos sin
x x
dx
x x
π
+
+
∫
287.
(
)
2
1
0
2 1
1
x x
x
x e x e
dx
xe
+ +
+
∫
288.
4
2 1 2
0
x
e dx
+ −
∫
289.
2
2
4
3cot 1
sin
x x
dx
x
π
π
+ +
∫
290.
1
3
4
0
2
1
x x
dx
x
−
+
∫
291.
ln 8
2
ln 3
2
1
x x
x
e e
dx
e
−
+
∫
292.
6
2
0
cos
4 sin
x
dx
x
π
−
∫
293.
2 2
0
sin
x
e xdx
π
∫
294.
8
3
ln 1 ln
e
e
dx
x x x
+
∫
295.
2
2
2
3
1
1
x
x dx
x x
−
+
+
∫
296.
(
)
( )
1
2
0
3 2ln 3 1
1
x x
dx
x
+ +
+
∫
297.
( )
4
1
ln
x x x dx
+
∫
298.
3
2
1
ln
1 3ln
e
xdx
x x
+
∫
299.
1
0
2
1
x
x e sx
x
+
+
∫
300.
2
0
cos2
sin sin
1 3cos
x
x x dx
x
π
+
+
∫
D. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI TỐT NGHIỆP.
NĂM
ĐỀ THI
2014
1.
( )
1
0
1
x
xe dx
−
∫
2013
2.
( )
2
0
1 cos .
x x dx
π
+
∫
2012
3.
( )
ln 2
2
0
1
x x
e e dx
−
∫
2011
4.
1
4 5ln
e
x
dx
x
+
∫
2010
5.
( )
1
2
2
0
1
x x dx
−
∫
2009
6.
( )
0
1 cos
x x dx
π
+
∫
2008
7.
( )
1
0
4 1
x
x e dx
+
∫
E. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG.
Năm ĐỀ THI
Kh
B
2
2
2
1
3 1
x x
dx
x x
+ +
+
∫
2014
D
( )
4
0
1 sin 2 .
x x dx
π
+
∫
A
2
2
2
1
1
ln
x
xdx
x
−
∫
Cđ
5
1
1 2 1
dx
x
+ −
∫
B
1
2
0
2
x x dx
−
∫
2013
D
( )
2
1
2
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
A
(
)
3
2
1
1 ln 1
x
dx
x
+ +
∫
Cđ
3
0
1
x
dx
x
+
∫
B
1
3
4 2
0
3 2
x
dx
x x
+ +
∫
2012
D
( )
4
0
1 sin 2
x x dx
π
+
∫
A
( )
4
0
sin 1 cos
sin cos
x x x x
dx
x x x
π
+ +
+
∫
Cđ
( )
2
1
2 1
1
x
dx
x x
+
+
∫
B
3
2
0
1 sin
cos
x x
dx
x
π
+
∫
2011
D
4
0
4 1
2 1 2
x
dx
x
−
+ +
∫
A
1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫
Cđ
1
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫
B
( )
2
1
ln
2 ln
e
x
dx
x x
+
∫
2010
D
1
3
2 ln
e
x xdx
x
−
∫
A
( )
2
3 2
0
cos 1 cos
x xdx
π
−
∫
B
( )
3
2
1
3 ln
1
x
dx
x
+
+
∫
2009
D
3
1
1
x
dx
e
−
∫
A
4
6
0
tan
cos2
x
dx
x
π
∫
2008
D
2
3
1
ln
x
dx
x
∫
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 10
F. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN.
1. ỨNG DỤNG 1:
Diện tích hình phẳng.
a) Hình
(
)
H
được giới hạn bởi:
(
)
=
=
=
y f x
x a
x b
Truïc Ox
Diện tích hình
(
)
H
( )
( )
b
H
a
S f x dx
=
∫
b) Hình
(
)
H
được giới hạn bởi:
(
)
( )
=
=
=
=
y f x
y g x
x a
x b
Diện tích hình
(
)
H
( )
( ) ( )
b
H
a
S f x g x dx
= −
∫
2. ỨNG DỤNG 2:
Thể tích vật thể tròn xoay.
a) Hình
(
)
H
được giới hạn bởi:
(
)
=
=
=
y f x
x a
x b
Truïc Ox
Thể tích vật thể do hình
(
)
H
xoay quanh trục
Ox
:
( )
2
b
Ox
a
V f x dx
π
=
∫
b) Hình
(
)
H
được giới hạn bởi:
(
)
( )
=
=
=
=
y f x
y g x
x a
x b
Thể tích vật thể do hình
(
)
H
xoay quanh trục
Ox
:
( ) ( )
2 2
b
Ox
a
V f x g x dx
π
= −
∫
BÀI TẬP
Bài 1: Tính diện tích của hình
(
)
H
được giới hạn
bởi:
1.
3
3 2
y x x
= − +
;
1; 3
x x
= − =
và trục
Ox
2.
2
4
y x
= − −
và
2 4
2
y x x
= −
3.
3
2
y x x
= −
và tiếp tuyến của nó tại điểm có
hoành độ bằng
1
−
4.
3
y x x
= −
và
2
y x x
= −
5.
3 2
1 2
; 0; 2
3 3
y x x x x
= − + − = =
và trục
Ox
6.
3 2
2 3
y x x
= −
;
0; 2
x x
= =
và trục
Ox
7.
4 2 2
2 3; 1; 0; 2
y x x y x x x
= − − = + = =
8.
2 1
1
x
y
x
−
=
+
; tiệm cận ngang;
0; 2
x x
= =
9.
3
12 ;
y x x
= −
2
y x
=
10.
3
1
y x
= −
và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành
độ bằng
2
−
11.
3
3 2
y x x
= − +
và trục hoành
12.
1
1
y
x
= +
; tiếp tuyến tại
3
2;
2
A
và
5
x
=
13.
3
3 ;
y x x y x
= − =
14.
2 4
; 1
4 4
x x
y y
x
−
= = − +
−
và tr
ụ
c
Ox
15.
( )
3 2
1
; 1
9
y x x y x
= − = −
16.
1
ln ; ;
y x x e x e
−
= = =
và tr
ụ
c
Ox
17.
ln
; ;
x
y x y x x e
x
= + = =
18.
2 ; 4
y x x y
= + =
và tr
ụ
c hoành.
19.
2
2 ; 1; 2
y x x x x
= − = − =
và tr
ụ
c
Ox
20.
3 2
3
y x x
= − −
và tr
ụ
c hoành.
21.
(
)
(
)
1 ; 1
x
y e x y e x
= + = +
22.
3 1
1
x
y
x
− −
=
−
;
0
x
=
và tr
ụ
c
Ox
23.
2 2
2 ; 4
y x x y x x
= − = − +
24.
2 2
4 ;
4
4 2
x x
y y
= − =
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 11
25.
3
; 2; 2
y x x x
= = − =
và trục
Ox
26.
3 2
;
y x y x
= = −
27.
(
)
2
1
; 0
1
x x
y y
x
−
= =
+
28.
2
6
y x x
= − +
và trục hoành
29.
2 2
4 ; 3 0
y x x y
= − − + =
30.
; 2
y x y x
= = −
và trục
Ox
Bài 2: Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi
hình
(
)
H
khi quay quanh trục
Ox
.
1.
3 2
1
; 0; 3
3
y x x x x
= − = =
và trục
Ox
2.
ln ; ; 0
y x x x e y
= = =
3.
; ; 0
x
y xe x e y
= = =
4.
2 2
4 ; 2
y x y x
= − = +
5.
ln ; 2; 0
y x x y
= = =
6.
2
; ; 0; 2
x x
y e y e x x
−
= = = =
7.
sin ; 0;
2
y x x x
π
= = =
và trục
Ox
8.
(
)
2
3 10; 2; 0
y x y y x x
= − + = = >
9.
3
3 ; 0; 2;
y x x x x Ox
= − = =
10.
tan ; 0; ;
4
y x x x Ox
π
= = =
11.
2
; 0; 1;
2
y x x Ox
x
= = =
−
12.
2
2 ;
y x x y x
= − =
13.
3 2
3 ; 3
y x x y x
= − = −
14.
2 4 4
; ;
4 4
x x
y y Ox
x
− −
= =
−
15.
2 ; 4;
y x x y Oy
= + =
16.
cos ; 0; ;
y x x x Ox
π
= = =
17.
1 ; 1;
x
y e x Ox
= − =
18.
; 1;
x
y e x x Ox
= =
19.
2
2 ; 1
y x y
= − =
20.
; 2;
y x y x Ox
= = −
ĐÁP SỐ www.MATHVN.com
1.
137
12
2.
2179
160
3.
19
ln 4
2
+
4.
15
2ln 2
4
+
5.
9
6.
π
7.
3 3
ln 3
2 2
+
8.
2
2
9.
1
3
π
− +
10.
2 1
e
−
11.
(
)
2ln 2 3
2
+
12.
(
)
2ln 2 7
2
+
13.
(
)
1
e e
−
14.
2 ln 3
+
15.
(
)
2
2ln 2
e e
+ −
16.
17
10
17.
10
18.
2 ln3
ln 3
+
19.
2
4
π
−
20.
5
2ln 2
2
+
21.
2 3ln2
−
22.
11 28
ln 2
8 27
+
23.
11 4 2 5ln2
− + +
24.
3
5
−
25.
2
4
π
−
26.
4
2
e
π
−
27.
5
2
28.
1
2(ln2 )
ln 2
+
29.
1
30
30.
(
)
2ln 2 ln3
−
31.
2 2ln 2
+
32.
1
4
33.
1 5
ln
4 3
34.
3
ln
2
35.
181
6
36.
1
3
37.
1
4
38.
2
2 1
e e
e
− + +
39.
2 3
3
40.
1
41.
8
3
42.
1
43.
17
2
44.
2 2
45.
1 4ln 2
ln 2
+
46.
1
47.
3 2
48.
4
π
49.
4
π
50.
3
16
π
51.
3
16
π
52.
1
2
53.
2
1 ln 2
+
54.
2 3ln2
−
55.
1
8 16
π
+
56.
1
2
π
+
57.
275
12
58.
7
7ln2
2
− +
59.
1
2
2
+
60.
0
61.
11
288
62.
26
3
63.
15
4
64.
68 4
6
15 5
− +
65.
1
ln 2
3
66.
ln18
−
67.
13 1
ln 3
24 2
−
68.
64 5
ln
27 6
−
69.
8
ln 1
3
−
70.
11 7
ln 2 ln 3
5 5
−
71.
15
16
72.
1 3
ln ln 2
2 2
+
73.
1 1
ln 2
2 2
−
74.
1
8
75.
37
4
76.
11
160
77.
2
15
78.
34 3
10ln
3 5
+
79.
3 1
ln
2 12
−
80.
1
81.
2
11 6ln
3
+
82.
4
ln
3
83.
3
ln
2
84.
8 10
2
3 3
− +
85.
1 1 2 1
ln
2 3 3
e+
+
86.
1 5
ln
3 3
87.
4
ln 1
9
+
88.
5
4
89.
3
2
90.
116
135
91.
3
16
π
92.
8
15
93.
8
15
94.
2
3
95.
14
9
96.
45
28
97.
232
135
98.
5
72
99.
2
3
100.
8
27
101.
1 1
ln 2
2 4
−
102.
2
103.
2
104.
1 1
ln 2
2 2
−
105.
10
ln
9
106.
16
ln
9
107.
7
3
108.
2
2 2
e e
−
109.
32
3
110.
1
e
−
111.
5
3
112.
1
40
113.
848
105
114.
1
e
−
115.
141
20
116.
1 1
2 2
e
−
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 12
117.
8
9
118.
32
9
119.
134
3
120.
10
3
121.
8 7
7
3 3
+
122.
3
1 1
2 2
e e
−
123.
2 1
3
3 4
−
124.
2
35
125.
4
15
126.
4
2 3
3
−
127.
4
3
128.
4
ln
3
129.
3
ln
2
130.
11
4ln 2
3
−
131.
3 2
e e
−
132.
1 6
ln
2 5
133.
1 ln16
+
134.
3 ln 2
−
135.
1
ln 2 ln7
3
−
136.
7
24
137.
3
ln 2 ln 3
5
−
138.
3
20 4ln
7
+
140.
13 3
4ln
2 2
+
141.
2
2 3
3
− +
142.
1 3
ln
4 7
143.
1
ln 2
2
144.
2 4ln 2
+
145.
1
ln 3
2
146.
3
9 45
2
8 64
−
147.
2
3
148.
5
ln
4
149.
2
3
150.
3
ln
2
151.
9 2
ln
4 3
−
152.
34
27
153.
1 ln 4
− +
154.
1
4
e
π
+ −
155.
1
ln 2
2
156.
4 2 3
−
157.
1 1
ln 2
2 2
−
158.
44
ln 5
15
−
159.
5
ln
4
160.
1 1
ln 2
2 2
−
161.
4
3
162.
9 2
ln
4 3
−
163.
3
2
e e
−
164.
3
ln 2
2
+
165.
116
135
166.
1 cos1
−
167.
ln 2 1
+
168.
2
ln 2
3
169.
e e
−
170.
1
2
171.
ln 2
−
172.
15
64
173.
1
72
−
1 74.
ln 2
175.
15
4
−
176.
3
ln 2 ln 3
4
− +
177.
1
6
178.
45
4
179.
2
180.
1 2
2
3 3
− +
181.
1 1
2 2
e
−
182.
ln 3
183.
1 1
2 2
e
−
184.
1
24
185.
13
24
186.
2 3ln 2
−
187.
1209
28
188.
506
15
−
189.
ln 2
190.
13
3
191.
3
18
π
192.
1
2 4
π
+
193.
1
8 4
π
−
194.
3
9
π
195.
4
π
196.
6
π
197.
2 3
9
π
198.
1
8 4
π
−
199.
3 2
4 3
π
+
200.
2
1 1
4 4
e
+
201.
1
ln 2
2
− +
202.
2
3 1
4 4
e
+
203.
3
2
204.
2 3ln 3
− +
205.
1
2
π
−
206.
1
207.
3
1 2
9 9
e
+
208.
2
2
π
−
209.
5
9
210.
4
π
211.
3
8 2
9 9
e
−
212.
8 18ln 3
− +
213.
3 1
ln 3 4ln 2
2 2
− − +
214.
15 1
ln 2
256 64
−
215.
2
1
4 16
π
− +
216.
3
1 ln 2
3
π
+ −
217.
1
4 8
π
− +
218.
3
3ln 2 ln 3
2
−
219.
1
ln 2
2
− +
220.
2
5 3
4 4
e
−
221.
0
222.
14 24ln 3
− +
223.
4 2
e
−
224.
2
11 3
4 4
e
+
225.
2
1 3
4
4
e
−
226.
3
4 8
9 9
e
+
227.
4
228.
1
ln 2
2
− +
229.
3 8ln 2
4ln 2
− +
230.
2
1
1
2
e
− +
231.
3 3
ln 3
12 4
π
− +
232.
1 17 1
ln 2 ln 3
12 18 2
− + −
233.
2
1 1
2 2
e
π
− +
234.
4 2 1
ln 3 ln 5
5 5 2
+ −
235 .
2
5 3
4 4
e
−
236.
e
237.
1
238.
2
π
−
239.
3
π
−
240.
2
3 1
2 2
e
+
241.
6
3 15
4 4
e
− +
242.
3
e
−
243.
1
ln 2
2
−
244.
2
245.
3
4
246.
2
3 1
2 2
e
−
247.
15
2ln 2
4
+
248.
1 1
2 2
e
π
+
249.
1 1
4 4
e
e
+
250.
2
3
e
+
251.
1
4
252.
2
−
253.
1
254.
7
8ln 2
2
− +
255.
2
2
e
256.
2
−
257.
2
1
1 ln 2
2
+
258.
2
3 1
4 4
e e
− + +
259.
( )
3
ln 2 ln 1
2
e
− + +
260.
2
ln 2
e
+
261.
3
2
3
π
− +
262.
2
14
2 2
3
e e
− +
263.
1 2 1
2
4 8 2
π
− +
264.
1 ln 2
−
265.
2
5 1
4 4
e
+
266.
2
5
e
+
267.
3 1
2
e
−
268.
2
1 2
e
+
269.
3
3 2
2
−
270.
(
)
1 ln 1
e
− +
271.
12
5
272.
1
2
273.
4
3
274.
2
5 4
π
− +
275.
(
)
2 ln 1
e
+ +
276.
2 2
3
277.
1
2 2
π
−
278.
2
ln 1
2 2 4
π π
+ −
279.
4
27
280.
2 4
1 1
ln 2
2 2
e e
− + +
281.
10
3
282.
3
4ln 2
2ln 3
−
283.
2016
ln 2
2015 2
π
+ −
284.
1 2ln 2
−
285.
1 1
ln 3
2 2
+
286.
( )
2
1 ln 3 2 2
2 2
π
− + + +
287.
(
)
1 ln 1
e
+ +
288.
2
e
289.
4 1 2
2 ln 2
3 4 2 3
π
+ + −
290.
1
ln 2
4 4
π
−
291.
58
3
292.
1 5
ln
4 3
293.
2
1 1
5 5
e
π
− +
294.
3
ln
2
295.
7 4
ln
3 5
+
296.
3
4ln 2
2
− +
297.
173
16ln 2
20
+
298.
4
27
299.
3 2ln 2
−
300.
118
405 4
π
+
