DE THI HSG HUYEN GIA BÌNH BẮC NINH

UBND HUYN GIA BNH
PHNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
Đ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm hc 2012 - 2013
Môn: Toán 8
( Thi gian lm bi: 120 pht )
Bài I. (1.5điểm) Cho A =
2
2
1 1 4x 1 2014
1 1 1 1
x x x x
x x x x
 
+ − − − +
− − ×
 ÷
− + − +
 
(với
0; 1; 1x x x≠ ≠ ≠ −
)
1) Rút gọn A
2) Với giá trị nguyên nào của x thì A có giá trị nguyên?
Bài II. (2.5điểm)
1) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
a.
2
7 6x x
+ +
b.

4 2
2008 2007 2008x x x
+ + +
2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì
A = 4a
2
b
2
– (a
2
+ b
2
- c
2
)
2
luôn luôn dương.
Bài III. (2điểm)
1) Cho x, y thoả mãn
1xy ≥
. Chứng minh rằng:

2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+ ≥
+ + +
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:
2
2

2
4
1
2 4
y
x
x
+ + =
sao cho tích x.y đạt
giá trị lớn nhất.
Bài IV. (3điểm) Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M, Qua điểm M kẻ
các đường thẳng song song với AC và AB thứ tự cắt AB và AC tại E và F.
1)Chứng minh
ME MF
AC AB
+
có giá trị không đổi.
2) Cho biết diện tích của các tam giác MBE và MCF thứ tự là a
2
và b
2
.Tính
diện tích của tam giác ABC theo a và b.
3)Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài V. (1điểm) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:
2
2 3 2 0y xy x+ − − =
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
Bài Đáp án Điểm
I.

1.5
1). Với
0; 1; 1x x x≠ ≠ ≠ −
ta có
( ) ( )
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
1 1 4x 1
1 1 4x 1 2014 2014
1 1 1 1 1 1
4x 4x 1 2014 1 2014 2014
1 1 1 1 1
x x x
x x x x x
A
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ − − + − −
 
+ − − − + +
= − + × = ×
 ÷
− + − + − +
 
+ − − + − + +

= × = × =
− + − + +
2) Ta có
2014 2013
1
1 1
x
A
x x
+
= = +
+ +
Suy ra với x nguyên thì A có giá trị nguyên khi x + 1 là ước của 2013.
Ước của 2013 gồm -2013;-671; -183; -61; -33; -11; -3; -1; 1; 3; 11; 33; 61; 183; 671;
2013
Từ đó tìm và đối chiếu điều kiện ta có với x nhận các giá trị là -2014; -672; -184; -62;
-34; -12; -4; -2; 2; 10; 32; 60; 182; 670; 2012 thì A nhận giá trị nguyên
0.5
0.25
0.5
0.25
II.
2.5
1) a.
( ) ( )
2 2
7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x
+ + = + + + = + + +
( ) ( )
1 6x x

= + +
b.
4 2 4 2 2
2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x
+ + + = + + + + +
( ) ( ) ( )
2
4 2 2 2 2 2
1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + − + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x
= + + − + + + + = + + − +

2) Ta có A = [2ab + (a
2
+ b
2
- c
2
)][2ab – (a
2
+ b
2
- c
2
)] = [(a + b)
2
– c
2

][c
2
– (a – b)
2
]
= (a + b + c)(a + b – c)(c + b – a)(c + a – b).
Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0 và theo bất đẳng thức trong tam
giác ta có a + b – c > 0; c + b – a > 0; c + a – b > 0 từ đó suy ra điều phải chứng minh
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
III.
2.0
1)
2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+ ≥
+ + +
(1)
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1
0 2
1 1 1
x y x y x y
x xy y xy
x xy y xy
y x xy
x y xy
− −
   
⇔ − + − ≥ ⇔ + ≥
 ÷  ÷
+ + + +
+ + + +
   
− −
⇔ ≥

+ + +
Vì
1; 1x y≥ ≥
=>
1xy
≥
=>
1 0xy
− ≥
 BĐT (2) luôn đúng => BĐT (1) luôn đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y)
2)
2 2
2
2
2
1
2 2
4 2
1
2 4
y y
x x xy xy
x
x
x
   
− + − + = ⇒ ≤
 ÷  ÷
   
+ + = ⇔

Dấu bằng xảy ra khi (x;y)
( ) ( )
{ }
1;2 ; 1; 2∈ − −

Kết luận
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
IV.
3.0

M
E
F
C
B
A
Vẽ đúng hình và ghi được ghi GT, KL
0.25
0,75
1.0
0,25
0,5
0,25
1) Vì ME// AC ; MF // AB theo hệ quả định lý Ta-Let ta có
1

ME MF BM MC
AC AB BC BC
+ = + =
2) Chứng minh tam giác MBE đồng dạng với tam giác CBA suy ra
2 2
2 2
( )
( )
dt MBE a BM BM a
dt CBA S BC BC S
= = ⇒ =
; Tương tự
CM b
BC S
=
( S
2
là diện tích tam giác
ABC) suy ra
BM CM b a a b
BC BC S S S
+
+ = + =
hay
( )
2
2
1
a b BC
S a b S a b

S BC
+
= = ⇒ = + ⇒ = +
. Vậy dt(ABC) = (a+b)
2
3) Từ phần 2 suy ra dt(AEMF) = 2ab
Lại có 2ab
( )
2
2
2 2
a b
S
+
≤ =
dấu bằng xảy ra khi a = b khi M là trung điểm của BC
Kết luận
V.
1.0
Ta có:
2 2 2 2
2 3 2 0 2 3 2y xy x x xy y x x+ − − = ⇔ + + = + +
(*)
2
( ) ( 1)( 2)x y x x⇔ + = + +
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên
tiếp nên phải có 1 số bằng 0
1 0 1 1
2 0 2 2
x x y

x x y
+ = = − ⇒ =
 
⇔ ⇔
 
+ = = − ⇒ =
 
0,5
0,25
Vậy có 2 cặp số nguyên
( ; ) ( 1;1)x y = −
hoặc
( ; ) ( 2;2)x y = −
0,25
Chú ý :
Học sinh giải cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng.