bài giảng đại số 9 chương 4 bài 6 hệ thức vi-ét và ứng dụng

1. Định lí Vi-ét
2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
3.Luyện tập
GV:PhamThị Nhài
THCS An Khánh
HS1: Giải phương trình: x
2
– 6 x + 5 = 0
HS2: Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx +c = 0 ( ) có
nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta
đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:
a
b
x,
a
b
x
22
21
∆−−
=
∆+−
=
Hãy tính : x
1
+x
2
=
x

1
. x
2
=
0a ≠
1 2
2 2
x
b b
a a
x
− + ∆ − − ∆
= ++
( )
2
2
2
b b
a
b
a
− + ∆ + − − ∆
=
−
= =
1 2
2 2
.x
b b
a a

x
   
− + ∆ − − ∆
= ×
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
2 2 2
2 2
2
( 4 )
4 4
4
4
b b b ac
a a
ac
a
− ∆ − −
= =
= =
HS2: Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx +c = 0( )
có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay
nghiệm kép ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:
a
b
x,
a

b
x
22
21
∆−−
=
∆+−
=
Hãy tính : x
1
+x
2
=
x
1
. x
2
=
Ta có:
0a
≠
b
a
−
c
a
1. HỆ THỨC VI- ÉT
Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học-
một luật sư và là một nhà chính trị gia
nổi tiếng người Pháp (1540 - 1603).

Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa
các nghiệm và các hệ số của phương
trình bậc hai và ngày nay nó được
phát biểu thành một định lí mang tên
ông .
- Ông là người nổi tiếng trong giải
mật mã.
- Ông còn là một luật sư, một chính trị
gia nổi tiếng.
F.Viète
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của
phương trình ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0)
thì
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a


+ =−




=


a)Định lí Vi-ét:
Nửa lớp làm bài tập ? 2
Cho phương trình 2x
2
- 5x+3 = 0 .
a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a + b + c.
b) Chứng tỏ x
1
= 1 là một nghiệm của phương trình.
c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x
2.
.
Nửa lớp làm bài tập ? 3
Cho phương trình 3x
2
+7x+4=0.
a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của phương trình và
tính a – b + c
b) Chứng tỏ x
1
= – 1 là một nghiệm của phương trình.
c) Tìm nghiệm x

2.
Phương trình 2x
2
-5x + 3 = 0
a/ a =2 ; b = - 5 ; c = 3
a+b+c =2+(-5)+3=0
b/ Với x=1 ta được:
VT = 2+(-5)+3=0 =VP
Vậy x=1 là một nghiệm của phương
trình
c/ Ta có x
1
.x
2
=
Phương trình 3x
2
+7x + 4= 0
a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4
a-b+c =3 + (- 7) + 4 = 0
b/ Với x= -1 ta được:

VT = 3+(-7)+4 = 0 = VP
Vậy x= -1 là một nghiệm của
phương trình
c/ Ta có x
1
.x
2
=

2
4 4
3 3
c
x
a
−
= ⇒ =
2
3 3
2 2
c
x
a
= ⇒ =
Tổng quát 1 : Nếu phương trình
ax
2
+bx+c= 0 (a≠ 0 ) có a+b+c=0
thì phương trình có môt nghiệm
x
1
=1, còn nghiệm kia là
2
c
x
a
=
Tổng quát 2: Nếu phương trình
ax

2
+bx+c=0 (a≠0 ) có a-b+c = 0
thì phương trình có một nghiệm
x
1
= – 1,còn nghiệm kia là
2
c
x
a
−
=
1. HỆ THỨC VI ÉT
a)Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của phương
trình ax
2
+ bx + c= 0(a≠0) thì
1 2
1 2
.
b
x x
a
c

x x
a

+ = −




=


Tính nhẩm nghiệm của phương
trình
a) - 5x
2
+3x +2 =0;
b) 2004x
2
+ 2005x+1=0
a) -5x
2
+3x+2=0 ; a=-5, b=3, c=2
Ta có: a+b+c= -5+3+2= 0.
Vậy x
1
=1,
2
2 2
5 5
x

−
= =
−
Giải
b)Áp dụng
b) 2004x
2
+2005x +1=0
có a=2004 ,b=2005 ,c=1
=>a-b+c=2004-2005+1=0
Vậy x
1
= -1,
2
1
2004
x
−
=
Tổng quát 1 : Nếu phương trình
ax
2
+bx+c= 0 (a≠ 0 ) có a+b+c=0
thì phương trình có môt nghiệm
x
1
=1, còn nghiệm kia là
2
c
x

a
=
Tổng quát 2: Nếu phương trình
ax
2
+bx+c=0 (a≠0 ) có a-b+c = 0
thì phương trình có một nghiệm
x
1
= – 1,còn nghiệm kia là
2
c
x
a
−
=
2. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG :
a) Tổng quát:
NÕu hai sè cã tæng b»ng S vµ tÝch b»ng P th× hai sè ®ã lµ
hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x
2
Sx + P = 0–
§iÒu kiÖn ®Ó cã hai sè ®ã lµ S
2
–

4P ≥0
*Giả sử hai số cần tìm cã tæng là S vµ tÝch b»ng P
x(S – x) = P
Nếu Δ= S

2
– 4P ≥0 thì phương trình (1) có nghiệm.
S -x
x
2
– Sx + P= 0 (1)
Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.
Vì tích của hai số bằng P nên ta có phương trình
Gọi một số là x thì số kia là
2. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG :
a)Tổng quát :
Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm của
phương trình x
2
– Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P ≥ 0
Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
Giải :
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình.
X
2
– 27x +180 = 0
Δ = 27
2
– 4.1.180 = 729 – 720 = 9 > 0
12
2
327

15
2
327
21
=
−
==
+
=
x,x
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12
⇒ ∆
9
=
= 3
b)Áp dụng
0∆ >
phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 1:
2. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG :
ÁP DỤNG
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng
bằng 5.
Giải Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình
x
2
– x + 5 = 0
Δ= (-1)
2
– 4.1.5 = – 19 < 0.

Phương trình vô nghiệm
Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1 tích bằng 5
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình x
2
-5x+6 = 0.
Giải:  = 25 – 24 = 1 > 0 phương
trình có hai nghiệm
Vì: 2+3 =5 ; 2.3 = 6
Nên x
1
= 2, x
2
= 3 là hai nghiệm của
phương trình đã cho
Chú ý:
Nên áp dụng trong trường
hợp tổng và tích của hai
nghiệm ( S và P) là những
số nguyên có giá trị tuyệt
đối không quá lớn
B
B
A
A
C
C
D
D
x
2

- 2x + 5 = 0
x
2
+ 2x – 5 = 0
x
2
- 7x + 10 = 0
x
2
+ 7x + 10 = 0
sai
Đ
ú
n
g

v
ì
:
2
+
5

=
7
2
.
5
=
1

0
Sai
Chọn câu trả lời đúng
Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào sau đây?
Bài 1: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
2x
2
- 17x+1= 0, Δ = x
1
+x
2
= x
1
.x
2
=
281
17
2
1
2
5x

2
- x- 35 = 0, Δ = x
1
+x
2
= x
1
.x
2
=
701
1
5
-7
8x
2
- x+1=0, Δ = x
1
+x
2
= x
1
.x
2
=
-31
Không có Không có
25x
2
+ 10x+1= 0, Δ = x

1
+x
2
= x
1
.x
2
=
0
2
5
−
1
25
Đối với mỗi phương trình sau kí hiệu và là hai nghiệm
(nếu có)của phương trình. Không giải phương trình hãy điền
vào chỗ (….)
1
x
2
x
Bài 2: Bài tập 25 (SGK):
* Học thuộc nắm vững
- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết
tổng và tích của chúng.
-
Nắm vững cách nhẩm nghiệm trong các trường
hợp đặc biệt: a + b + c = 0 và a – b + c = 0.
-
Trường hợp tổng và tích của hai nghiệm ( S và P)

là những số nguyên có giá trị tuyệt đối không quá
lớn.
- Bài tập về nhà:26,27,28 (SGK)
Bài tập 38,41 trang 43,44 SBT
Bài sắp học:
Tiết 58 : luyện tập (các em sử dụng hệ thức Vi-ét chuẩn bị
trước các bài tập 30 đến 33 (SGK/ tr 54) )