Bổ sung tích phân đường loại 2

Điều kiện để tích phân đường loại 2 trong không gian không phụ thuôc
vào đường đi.
Định lý: Cho P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục
trong một miền mở đơn liên D. Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
1) Trong D ta có:

Q P R Q R P
, , .
x y y z x z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2) Tích phân
Pdx + Qdy + Rdz
AB
∫

chỉ phụ thuộc vào hai nút A, B mà không phụ thuộc
đường cong trơn từng khúc nối A với B nằm trong D.
3) Tồn tại U(x,y,z) sao cho
Pdx + Qdy + Rdz
là vi phân toàn phần của U, tức là:
dU = Pdx +Qdy + Rdz
4)
0
Pdx + Qdy + Rdz
C
=
∫
với mọi chu tuyến kín C, trơn từng khúc trong D.
Chú ý: Khi khẳng định được tích phân không phụ thuộc vào đường đi, nếu:

a) Chưa biết hàm U thì tích phân đường có thể tính theo các đường gấp khúc song
song với các trục tọa độ. Giả sử, có điểm
0 0 0 1 1 1
A(x , y ,z ), B(x ,y ,z )
thì lấy thêm 2 điểm
1 0 0 1 1 0
C(x , y ,z ), D(x , y ,z ),
khi đó

1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
(x ,y ,z ) x y z
0 0 1 0 1 1
(x ,y ,z ) x y z
,z ) ,z ) , z) (*)Pdx + Qdy + Rdz P(x, y dx Q(x , y dy + P(x ,y dz.= +
∫ ∫ ∫ ∫
b) Tìm được U trong mệnh đề 3), thì khi đó ta có:
AB
U(B) - U(A). (**)
Pdx + Qdy + Rdz
=
∫
Ví dụ 1: Tính
π
( 1, ,2)
2
x x
(0,0,0)
I cos y yz) siny) .(e dx +(xz -e dy + (xy + z)dz
−

= +
∫
Ta có:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Q P R Q R P
, ,
x y y z x z
( tự kiểm tra). Vậy tích phân không phụ
thuộc vào đường đi.
Áp dụng công thức (*), ta có:
π
1 2
2
x 1
0 0 0
π
I e e siny ( + z) 2π.
2
dx dy + dz
−
−
= + − − = −
∫ ∫ ∫
Ví dụ 2: Tính
( 1,2,1)
(1,0,2)
I x .

ydx + dy + 4dz
−
=
∫
Ta có P = y, Q = x, R = 4 thỏa điều kiện:
1 0 0
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Q P R Q R P
, , .
x y y z x z
Suy ra
U :
dU = Pdx + Qdy + Rdz
∃
'
x
'
y
'
z
U y (1)
U x (2).
U 4 (3)

=

⇒ =



=

Từ (1)
U(x, y,z) ydx + f (y,z) yx + f (y,z).⇒ = = +
∫

Do
(2)
' ' '
y y y
U(x, y,z) yx + f (y,z) U x f x f 0 f g(z)= + ⇒ = + = ⇒ = ⇒ =
(f không là hàm
không phụ vào y).
(3)
'
z
U(x, y,z) yx + g(z) U h '(z) 4 h(z) 4z C.= ⇒ = = ⇒ = +
Vậy:
U(x, y,z) yx + 4z C.
= +
Theo công thức (* *), ta có:

I U( 1,2,1) U(1,0,2) 2 8 6.
= − − = − = −