PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN cấp 2

II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
1.Định nghĩa
•
Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng:
0)",',,( =yyyxF
hay
)',,(" yyxfy =
Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và
)("),(' xyxy
là các đạo hàm của nó.
•
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2
là hàm
),,(
21
ccxy
ϕ
=
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của
phương trình vi phân cấp 2
2. Bài toán Cauchy
)',,(" yyxfy =



=
=
bxy
axy
)('
)(

0
0
bax ,,;
0
là các số cho trước.
•
Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng
cách cho các hằng số c
1
, c
2

những giá trị cụ thể
được gọi là nghiệm riêng.
mãn điều kiện đầu:
thỏa
0)",',( =yyxF
b- Cách giải:
')( yxz =
VD1: Giải phương trình vi phân
)1('
1
1
" −=
−
− xxy
x
y
Nhận xét: Phương trình này không chứa
y

3. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được
3.1 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa
y
a- Dạng:
')( yxz =
đặt
Hạ bậc bằng cách đặt
nên ta
Phương trình đầu
)1(
1
1
' −=⋅
−
−⇒ xxz
x
z
Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần
tìm là
)(xz
∫
+−=⇒
∫∫
−
−
−
]).1([)(
1
1
1

1
1
cdxexxexz
dx
x
dx
x
∫
+
−
−−=⇒ ]
1
1
).1()[1()(
1
cdx
x
xxxxz
)
2
)(1()(
1
2
c
x
xxz +−=⇒
11
23
22
' cxc

xx
y −+−=⇒
11
2
1
34
268
cxc
x
c
xx
y +−+−=⇒
là nghiệm tổng quát của phương trình.
VD2: Giải phương trình vi phân:
xyy cotg).1'(2" −=
Nhận xét: Phương trình này không chứa y nên ta đặt
')( yxz =
Phương trình đầu
xzz cotg).1(2' −=⇒
)01:ÐK(cotg.2
1
≠−=
−
⇒ Zxdx
z
dz
dxx
z
dz
∫ ∫

=
−
⇒ cotg2
1
1
sinln21ln cxz +=−⇒
xcz
2
1
sin1 =−⇒
21
)2sin
4
1
2
( cx
x
cxy +−+=⇒
tổng quát của phương trình.
là nghiệm
xcy
2
1
sin1' +=⇒
3.2 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa x
0)",',( =yyyF
b- Cách giải:
')( yyz =
dy
dz

z
dx
dy
dy
dz
dx
dz
y ⋅=⋅==⇒ "
a- Dạng:
VD1: Giải phương trình vi phân:
0'".
2
=−yyy
thoả điều kiện



=
=
2)0('
1)0(
y
y
Hạ bậc bằng cách đặt
Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta
đặt
')( yyz =
z
dy
dz

y ⋅=⇒ "
Từ phương trình đầu ta có:
0
2
=−⋅ zz
dy
dz
y
)0,0:(; ≠≠=⇒ zyĐK
z
dz
y
dy
zcy lnln
1
=+⇒
ycz
1
=⇒
dxc
y
dy
1
=⇒
21
ln cxcy +=⇒
xc
ecy
1
2

=⇒
Từ điều kiện đầu ta tính được
1,2
21
== cc
Vậy nghiệm của bài toán thoả điều kiện đầu là
x
ey
2
=
ycy
1
'=⇒
là nghiệm tổng quát của phương trình.
Trường hợp:



=
=
0'
0
y
y
VD2: Giải phương trình vi phân
)1'('" += yyyy
Nhận xét: Phương trình này không chứa
x
nên ta đặt
')( yyz =

z
dy
dz
y ⋅=⇒ "
Từ phương trình đầu ta có:
)1( +=⋅⋅ zzz
dy
dz
y
loại vì không thoả mãn
điều kiện đầu
y
dy
z
dz
=
+
⇒
1
1
ln1ln cyz +=+⇒
ycz
1
1=+⇒
1
1
−=⇒ ycz
1'
1
−=⇒ ycy

dx
yc
dy
=
−
⇒
1
1
)0;01,0:( ≠≠+≠ yzzĐK
21
1
1ln
1
cxyc
c
+=−⇒
x
c
ecyc
2
1
1
1
)1( =−⇒
là nghiệm tổng quát của phương trình.
Trường hợp:






−=
=
=
1'
0'
0
y
y
y





+−=
=
=
cxy
cy
y 0
4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
thoả mãn phương trình đầu nên ta nhận các nghiệm
Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng có dạng
tổng quát là:
)('"
21
xfyayay =++
với
i

a
là các hằng số thực.
∗
Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực
phân biệt
0'"
21
=++ yayay
0
21
2
=++ akak
21
, kk
a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ
số hằng số:
Phương trình
phương trình đặc trưng của phương trình (*).
(*)
được gọi là
Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*)
là:
xkxk
ececy
21
21
+=
Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*)
là:
Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*)

là:
∗
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép
21
kk =
xk
exccy
1
)(
21
+=
∗
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức



−=
+=
βα
βα
ik
ik
2
1
)sincos(
21
xcxcey
x
ββ
α

+=
VD1: Giải phương trình vi phân:
03'4" =++ yyy
Ta có: Phương trình đặc trưng:
034
2
=++ kk
có nghiệm
3,1
21
−=−= kk
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:
xx
ececy
3
21
−−
+=
VD2: Giải phương trình vi phân:
025'10" =+− yyy
Ta có: Phương trình đặc trưng:
0510
2
=+− kk
có nghiệm kép
5
21
== kk
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:
x

exccy
5
21
)( +=
VD3: Giải phương trình vi phân:
04'2" =++ yyy
Ta có: Phương trình đặc trưng:
042
2
=++ kk
có nghiệm phức:
ik
ik



−−=
+−=
31
31
2
1
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:
).3sin.3cos(
21
xcxcey
x
+=
−
b)Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất

với hệ số hằng số:
)('"
21
xfyayay =++
là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất:
là nghiệm riêng của phương trình
không thuần nhất:
Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
∗
+= yyy
Với





*
y
y
0'"
21
=++ yayay
)('"
21
xfyayay =++
Cách tìm nghiệm riêng y
*

Trường hợp

)()( xPexf
n
x
α
=

Nếu α không phải là nghiệm của phương trình
đặc trưng:
0
21
2
=++ akak
Lúc này:
)(.
*
xHey
n
x
α
=

Nếu α là nghiệm bội h của phương trình đặc
trưng:
0
21
2
=++ akak
Lúc này:
)(
*

xHexy
n
xh
α
=
VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
)()(2'3"
23
∗+=+− xxeyyy
x
Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
∗
+= yyy
Bước 1: Tìm
y
Phương trình đặc trưng
023
2
=+− kk
xx
ececykk
2
2121
2,1 +=⇒==
có
nghiệm
)()(
23
xxexf
x

+=
α = 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc
trưng nên
).(
23*
CBxAxey
x
++=
Lấy y
*
thế vào phương trình đầu (*) ta tính được:
A= ½ , B=-1, C=1
Vậy
)1
2
1
()(
232
21
+−++= xxeececy
xxx
riêng của phương trình đầu.
là nghiệm
Tìm y
*

Bước 2:
Ta có:
VD2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
x

xeyyy
2
4'4" =+−
Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
∗
+= yyy
Bước 1: Tìm
y
Phương trình đặc trưng
044
2
=+− kk
có
x
exccykk
2
2121
)(2 +=⇒==
nghiệm kép
Bước 2:
xexf
x2
)( =
0,
6
1
== BA
Vậy
xx
exxexccy

222
21
).
6
1
()( ++=
Ta có:
Tìm nghiệm y
*

Lấy y
*
thế vào phương trình đầu ta tính được
α=2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng
nên y* = x
2
e
2x
.(Ax + B) là nghiệm riêng của
phương trình đầu.
•
Trường hợp
]sin).(cos)([)( xxQxxPexf
mn
x
ββ
α
+=
xxKxxHey
ll

x
]sin)(cos)([
*
ββ
α
+=
]sin)(cos)([.
*
xxKxxHexy
ll
xh
ββ
α
+=

Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương
trình đặc trưng thì
},max{ nml =

Nếu α ± iβ là nghiệm bội h của phương trình
đặc trưng thì
},max{ nml =