TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (162.61 KB, 25 trang )
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
A.Phương pháp đổi biến dạng 1.
I.Tích phân các hàm vô tỷ
∫
−=
9
1
3
1
1 dxxxI
∫
−=
1
0
23
2
1 dxxxI
∫
+
=
33
0
2
3
9xx
dx
I
∫
+
=
32
5
2
4
4xx
dx
I
∫
+
=
7
0
3
2
3
5
1
dx
x
x
I
( )
∫
+
=
4
1
6
1 xx
dx
I
∫
++
+
=
4
0
7
121
12
dx
x
x
I
∫
+
+
=
2
0
8
14
1
dx
x
x
I
dx
x
x
I
∫
+
+
=
3
7
0
3
9
13
1
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
∫
−+
=
2
1
10
11
dx
x
x
I
∫
++
−
=
4
0
11
122
14
dx
x
x
I
∫
−−
=
10
5
12
12 xx
dx
I
∫
+
+
=
5
1
13
13
1
dx
xx
x
I
∫
+
=
6
3
1
6
14
1
dx
x
x
I
∫
−
+
++
=
0
1
3
15
1
12
dx
x
x
I
( )
∫
+++
=
7
0
3
2
3
16
111 xx
dx
I
( )
∫
++
+
=
4
0
2
17
211
1
dx
x
x
I
∫
+−
+
=
2
3
2
3
18
34
5
dx
x
xx
I
∫
+
−
=
8
3
19
1
2
dx
xx
x
I
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
∫
−+
=
1
3
1
2
20
193
dx
xx
x
I
( )
∫
+++
=
1
0
3
22
21
11
dx
xx
x
I
∫
+++
−
=
3
0
22
313
3
dx
xx
x
I
∫
+
+
=
5
1
2
23
13
1
dx
xx
x
I
∫
+
−+
=
3
0
2
24
1
12
dx
x
xx
I
( )
∫
++
=
1
0
2
25
11
dx
xx
x
I
∫
+
−
=
22
3
2
26
1
1
dx
x
x
I
∫
+−
+−
=
2
0
2
23
27
1
32
dx
xx
xxx
I
∫
+
=
2
0
2
3
28
4
dx
x
x
I
( )
dx
x
x
I
∫
−+
−
=
21
1
4
3
29
343
34
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
∫
+−
=
1
3
1
4
3 3
30
2012
dx
x
xxx
I
∫
−−
=
2
1
5
3
3
31
3
22
dx
x
x
I
∫
−−
=
2
1
4
2
32
3
42
dx
x
x
I
( )
∫
++
++−
=
5
3
2
33
11
13
dx
xx
xx
I
∫
+
−
=
22
3
2
4
34
1
1
dx
x
x
x
x
I
∫
−+−
=
5
1
22
35
1312
dx
xx
x
I
( )
∫
−−=
1
0
2
3
36
21 dxxxxI
∫
−
+++
−
=
3
1
37
313
3
dx
xx
x
I
∫
−+
=
2
1
3
2
3
38
11
2
dx
x
x
I
∫
++++
−+
=
3
0
2
39
112
21
dx
xxx
x
I
II.Tích phân các hàm lượng giác
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
∫
+
=
2
4
2
1
sin
1cot3
π
π
dx
x
x
I
∫
+
−
=
4
0
2
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
I
∫
+
=
2
0
3
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
I
∫
+
+
=
2
0
4
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
I
∫
−
+
=
3
0
5
2cos6
sin32sin2
π
dx
x
xx
I
∫
−
++
=
4
4
6
2cossin
2cos
π
π
dx
xx
x
I
∫
+
+
=
4
0
7
2sin3
cossin
π
dx
x
xx
I
∫
−
−
=
4
8
8
4
2cos2sin
tancot
π
π
π
dx
xx
xx
I
∫
+
=
3
4
2
9
cos1cos
tan
π
π
dx
xx
x
I
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
∫
−−
=
8
12
10
4sin
2tan2tancot
π
π
dx
x
xxx
I
∫
−
−−
=
6
0
2
11
cossin
32sincos8
π
dx
xx
xx
I
∫
=
6
0
4
12
2cos
tan
π
dx
x
x
I
∫
+
=
2
0
22
13
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
I
∫
+
=
2
0
3
14
cos1
sin4
π
dx
x
x
I
∫
−
=
2
3
3
3 3
15
cot.
sin
sinsin
π
π
xdx
x
xx
I
( )
∫
+
−
=
4
0
4
2
16
cossin
sin21
π
dx
xx
x
I
( )
∫
−
+++
=
3
0
6
24
17
1sin
1sinsinsincossin
π
dx
x
xxxxx
I
∫
+
=
4
6
3
2
18
4
sinsin
cos
π
π
π
dx
xx
x
I
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
∫
+
=
2
0
22
19
2
coscos2sin
sin
π
dx
x
xx
x
I
∫
+
=
3
0
23
20
cossincos3
sin
π
dx
xxx
x
I
∫
+
=
2
6
2
21
cos3sin
cos
π
π
dx
xx
x
I
∫
+
=
3
0
2
22
sin41cos
sin
π
dx
xx
x
I
∫
+
+
=
4
0
43
23
coscossin2
2s in1
π
dx
xxx
x
I
∫
+
=
4
6
24
2cottan
4sin3sin
π
π
dx
xx
xx
I
( )
∫
+
++
=
2
0
2
3
25
cos1
4cos2sinsin
π
dx
x
xxx
I
∫
+
−
=
4
0
2
3
26
cos32sin
3tan2
π
dx
xx
x
I
∫
−−
=
6
0
3
27
2sin36sin4sin3
sin
π
dx
xxx
x
I
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
∫
−+
−
=
3
2
2
28
3
sin33sin
cos3sin
π
π
π
dx
xx
xx
I
∫
+
+
=
2
0
66
29
cossin
2cos4sin
π
dx
xx
xx
I
∫
+
−
=
6
0
3
30
3cos1
3sin3sin
π
dx
x
xx
I
( )
∫
−
+−
=
4
4
24
2
31
5tan2tancos
sin
π
π
dx
xxx
x
I
( )
∫
+++
−
=
4
0
32
cossin122sin
4
sin
π
π
dx
xxx
x
I
∫
+
++
=
2
0
33
1sin32
1
cos
π
dxx
x
xI
∫
−=
2
0
56 3
34
cossin.cos1
π
xdxxxI
( )
∫
+=
4
0
35
cossinln2cos
π
dxxxxI
∫
+=
6
0
36
4
tantan
π
π
dxxxI
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
( )
∫
+
+
=
2
6
37
sin1sin
sincos
π
π
dx
xxe
xx
I
x
∫
+
−
=
3
4
22
38
1cos
tan1
π
π
dx
xe
x
I
x
( )
dxe
x
xxx
I
x
x
∫
+
++
=
2
4
cot
s in
1
3
2
39
2
sin
1cot3cot2cos
π
π
( )
∫
+
+
=
3
4
40
1tan2sin
22sin
π
π
dx
xex
x
I
x
∫
++
=
2
0
3
41
.
21sin3
cos
π
dx
x
x
I
∫
−
=
2
4
5
2013 20112013
42
cot.
sin
sinsin
π
π
xdx
x
xx
I
∫
−
+−
=
4
4
4322
2
43
cos5cossin2cossin
sin
π
π
dx
xxxxx
x
I
( )
∫
−
+
=
8
0
44
44
sincos
4cos4sin1
π
dx
xx
xx
I
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
( )
∫
+
=
3
0
22
45
cos1
tan
π
dx
xe
x
I
x
∫
+
+
=
π
0
33
46
2sin3
cossin
dx
x
xx
I
( )( )
∫
++
+
=
4
0
47
2sin12sin21
3cos3sin
π
dx
xx
xx
I
∫
+
++
=
2
6
48
cossin
2
cos
42
sin221
π
π
π
dx
xx
xx
I
∫
+
=
6
0
49
2
tantan1
2sin5cos4
π
dx
x
x
xx
I
dx
x
x
I
∫
−
=
6
0
50
2cos
4
tan
π
π
∫
=
8
6
2
51
3sin
sin
π
π
dx
x
x
I
dx
xx
x
I
∫
++
+
=
22cos2sin
8
cos
2
52
π
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
∫
+
=
4
0
42
53
tan1co s
4sin
π
dx
xx
x
I
∫
=
3
4
5
3
54
cos
2sin
π
π
dx
x
x
I
∫
=
6
0
2
55
cos
3sin
π
dx
x
x
I
( )
∫
−
+
=
3
0
3
56
cos
sin1sin
42
tan
π
π
x
dxxx
x
I
( )
∫
+
+
=
4
0
22
57
cos2sincos
2sin1
π
dx
xxx
x
I
∫
−+
+
=
2
4
58
4
tan2cos4
cossin
π
π
π
dx
xx
xx
I
∫
++
−
=
3
4
59
4
3cos
4
cos3
cotcos
π
π
ππ
dx
xx
xx
I
∫
−=
2
3
3
2
60
cot
sin
1
1
π
π
xdx
x
I
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
( )
∫
+
−
=
3
0
2
61
cos43cos
1cos4sin
π
dx
xx
xx
I
∫
−
+
+
=
0
12
62
2sin2
2sin
4
cot
π
π
dx
x
xx
I
∫
−
+
−=
3
4
3
63
3
cos
3
coscos
π
π
ππ
dxxxxI
∫
+
−
=
2
0
22
64
cos3sin4
cos3cos
π
dx
xx
xx
I
( )
( )
∫
−
+
=
4
0
3
65
cossin
2sincossin
π
dx
xx
xxx
I
∫
+
+
=
8
0
44
66
cossin
4sin58sin3
π
dx
xx
xx
I
( )
∫
+
=
3
4
4
67
sin43sin
cos
π
π
dx
xx
x
I
III.Tích phân các hàm mũ và logarit
∫
+
=
e
dx
x
x
I
1
1
ln1
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
∫
−
=
2ln2
2l n
2
1
x
e
dx
I
∫
−
=
3
1
3
1
x
e
dx
I
( )
∫
−+
=
5l n
3ln
4
13
dx
ee
e
I
xx
x
∫
+
=
e
dx
x
xx
I
1
5
ln.ln31
( )
∫
+
+
=
e
x
dx
xex
x
I
1
6
1
1
( )
∫
−−
=
2ln
0
7
239
dx
ee
e
I
xx
x
∫
−+−
=
3l n
2ln
2
8
21
dx
ee
e
I
xx
x
∫
+−
−
=
3ln
0
23
9
134
2
dx
ee
ee
I
xx
xx
( )
∫
−
−
++++
++
=
3ln
2
1
3ln
2
1
3
2
10
212
1
dx
eeeee
ee
I
xxxxx
xx
∫
++
+
=
−
2ln
0
11
32
32
dx
ee
e
I
xx
x
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
dx
x
xx
I
e
∫
+
=
1
3
12
ln2ln
∫
+
=
e
dx
xx
x
I
1
2
3
2
13
ln31
log
( )
∫
+
=
2ln3
0
2
3
14
2
x
e
dx
I
∫
+++
=
6ln
0
15
7233
dx
ee
e
I
xx
x
∫
−+−++
−
=
15ln
2ln3
2
16
151351
24
dx
eeee
ee
I
xxxx
xx
( )
∫
−
+
+
=
1
0
2
22
17
2
1
1ln
e
dx
x
xx
I
∫
+
++
=
1
0
22
18
21
2
dx
e
exex
I
x
xx
∫
+
+
=
e
dxx
xx
x
I
1
2
19
ln
ln1
ln
( )
[ ]
dxxx
x
xI
∫
−+
−=
2
1
2
4
20
ln1ln
1
1
( )
∫
+
+
=
e
dx
xx
xexx
I
1
2
21
1ln
lnln
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
( )
∫
−
+
+
=
1
0
2
22
dx
ex
exx
I
x
x
( )
∫
−
++
++
=
1
0
2
23
20132
65
dx
ex
exx
I
x
x
( )
∫
+
=
e
dx
xx
x
I
1
2
24
ln2
ln
∫
+−+
−+
=
2ln
0
23
23
25
1
12
dx
eee
ee
I
xxx
xx
( )
( )
∫
+
++
=
+
dx
eex
xx
I
x
x
1
2
2
26
2
ln
20131ln
∫
−
−
=
e
dx
xx
x
I
1
22
27
ln
1ln
∫
++
=
2
33
32
28
ln
1lnln
e
e
dx
xx
xxx
I
∫
+
= dx
x
e
I
x
2
1
29
1
( )
∫
−
−
=
e
dx
xxx
x
I
1
30
ln
ln1
( )
[ ]
∫
−+
−−
=
2
1
3
5
36
31
ln21ln
2
dxxx
x
xx
I
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
( )
∫
+
−
−
+−
=
1
2
2
2
23
32
1ln
1
12
e
dxx
x
xx
I
B.Phương pháp đổi biến số dạng 2
∫
−=
2
0
2
1
4 dxxI
( )
∫
−−
=
1
0
22
2
44 xx
dx
I
∫
−=
1
0
22
3
1 dxxxI
( )
∫
−
=
2
1
0
3
2
2
4
1
dx
x
x
I
∫
+
=
1
0
2
5
1x
dx
I
∫
+
=
3
0
2
6
3x
dx
I
( )
∫
+
=
1
0
3
2
7
1x
dx
I
∫
−
=
2
1
4
1
2
8
xx
dx
I
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
∫
−+=
1
0
2
9
23 dxxxI
∫
−=
2
0
2
10
2 dxxxxI
∫
−=
1
0
22
11
34 dxxxI
C.Tích phân từng phần
∫
=
1
0
3
1
2
dxexI
x
( )
∫
−=
3
2
2
2
ln dxxxI
∫
+
=
e
xdx
x
x
I
1
2
3
ln
1
∫
=
2
0
4
sin
π
dxxxI
( )
∫
+=
2
0
s in
5
coscos
π
xdxxeI
x
∫
=
e
xdxxI
1
23
6
ln
( )
∫
−=
1
0
2
7
2 dxexI
x
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
( )
∫
+=
2
0
8
2sin1
π
xdxxI
( )
∫
−=
2
1
9
ln2 xdxxI
∫
=
2
1
3
10
ln
dx
x
x
I
( )
∫
+
+
=
3
1
2
11
1
ln3
dx
x
x
I
∫
−=
e
xdx
x
xI
1
12
ln
3
2
∫
+
=
3
0
2
13
cos
sin1
π
dx
x
xx
I
( )
∫
++
=
3
1
2
14
1ln1
dx
x
x
I
( )
∫
+=
4
0
15
2sin1
π
dxxxI
∫
=
6
0
2
16
cossin
π
xdxxxI
( )
∫
++=
1
0
2
17
1ln dxxxI
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
(
)
∫
+
++
=
1
0
2
2
18
1
1ln
dx
x
xxx
I
( )
∫
=
1
0
2
19
sin dxxeI
x
π
∫
=
2
0
3s in
20
cossin
2
π
xdxxeI
x
∫
−
−
−
+=
2
1
1
1
2
21
1
1 dxe
x
I
x
x
∫
=
4
0
3
t an
22
cos
sin
π
dx
x
xe
I
x
∫
=
4
0
3
23
cos
sin
π
dx
x
xx
I
( )
∫
+
=
2
1
2
24
1ln
dx
x
x
I
( )
∫
+
+
=
2
1
2
25
1
ln
dx
x
xx
I
∫
+
=
1
0
13
26
dxeI
x
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
∫
++
=
e
x
dxe
x
xxx
I
1
2
27
1ln
( )
dxxxI
e
∫
+=
1
28
ln12
( ) ( )
∫
+−=
1
0
29
2ln12 dxxxI
∫
=
2
0
cos3
30
2
cossin
π
dxxexI
x
( )
∫
−
+=
1
0
3
31
2
dxexxI
x
( )
∫
+=
1
0
32
1ln dxxI
( )
∫
+=
2
0
33
cos2ln2sin
π
dxxxI
( )
∫
+=
4
0
3
34
tan1ln
cos
sin
π
dxx
x
x
I
∫
+=
2
1
2
35
1
1ln dx
x
xI
( )
( )
∫
+
+
=
2
1
2
36
12
12ln
dx
x
x
I
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
( )
∫
+=
2ln
0
2
37
1ln dxeeI
xx
( )
∫
+−
+
=
2
1
2
38
144
2ln
dx
xx
x
I
∫
+
+
=
4
0
39
tan1
2sin1
.
π
dx
x
x
xI
( )
∫
+
++
=
1
0
2
2
40
1
1ln
dx
x
xxx
I
( )
∫
+
=
e
dx
x
x
I
1
2
41
ln1ln
∫
+
=
2ln
0
2
42
dxeI
x
ex
D.Bài tập tổng hợp
( )
∫
+
++
=
4
0
1
cossin
cos1sin
π
dx
xxx
xxxx
I
( )
dxxexI
x
∫
−
++=
0
1
3
2
2
1
∫
++
=
e
x
dxe
x
xxx
I
1
2
3
1ln
dx
x
exe
xeI
x
x
∫
+=
−
2
1
4
ln
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
( )
( )
∫
+
+++
=
1
0
2
5
1
11
dx
x
xex
I
x
( )
∫
+
++−
=
1
0
6
1
11
dx
e
xex
I
x
x
( )
∫
+
++
=
4
0
2
222
7
tan1
1tan
π
dx
x
xxx
I
( )
( )
∫
−
+++
=
e
dx
xxx
xxxx
I
1
2
2
22
8
ln
lnln212
( ) ( )
∫
+−
−−++
=
2ln
0
2
222
9
1
12
dx
ee
eexex
I
xx
xxx
dx
ex
ex
x
I
x
x
∫
+
+=
4
1
2
10
4
1
( )
∫
+
+++
=
e
dx
xx
xxx
I
1
23
11
ln2
12ln1
( )
∫
+
++
=
e
dx
xx
x
x
I
1
12
ln
1ln
1
2
( )
∫
+
−
=
e
x
dx
xex
xx
I
1
2
13
ln
1ln
( )
∫
+
++
=
1
0
2
14
1
21
dx
xe
xex
I
x
x
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
( )
∫
+
+++
=
2
1
15
1
ln1ln
dx
xe
xxexxe
I
x
xx
( )
∫
+
++
=
2
3
16
sin1
lncoslnsin
π
π
dx
xe
xxeexxe
I
x
xx
( )
( )
∫
+
−−
=
e
x
x
dx
xxex
ex
I
1
17
ln1
11
( )
( )
∫
−+−
−+−
=
5
2
18
11
123
dx
xxe
xxe
I
x
x
( )
∫
+
+++
=
e
dx
xx
xxxx
I
1
223
19
10ln
1ln101ln
( )
( )
( )
∫
+
+++
=
2
1
20
1
1212
dx
xex
xex
I
x
x
( )
( )
∫
++−
++−−
=
6
12
2
21
cossincossin
1cossincossin
π
π
dx
xxxxxx
xxxxx
I
( )
∫
−
−+
=
2
0
22
2cos27
4sincos141sin
π
dx
x
xxxx
I
( )
( )
∫
+
−+−
= dx
x
xxxxxxx
I
14cos2
sincossincos2cot3
22
23
( )
( )
∫
+
++
=
2
1
2
2
2
24
2
12
dx
xex
exxe
I
x
xx
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
( )
∫
+
+
=
e
x
x
dx
xex
xe
I
1
25
ln
1
E.Ứng dụng của tích phân
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
xxy 2
2
−=
và
xy
=
2.Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường:
34
2
+−= xxy
và
3+= xy
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
4
4
2
x
y −=
và
24
2
x
y =
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
( )
( )
xeyxey
x
1,1 +=+=
5. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường
xxy ln
=
,
0
=
y
,
ex
=
.Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox
6. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường
2
4 xy =
,
xy
=
.Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox
7.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
xxyP 4:
2
+−=
và đường thẳng
xyd
=
:
8.Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường:
a,
44
2
+−= xxy
,
0
=
y
,
0=x
và
3=x
b,
1+
=
x
x
e
xe
y
,
0
=
y
,
1
=
x
c,
xxx
xx
y
2
cos2sincos
cossin
+
+
=
,
0
=
y
,
0=x
,
4
π
=
x
Tháng 4 năm 2013
PHẠM VĂN HOAN – K61A – TOÁN – ĐHSP HÀ NỘI
d,
( )
2
cos
sin1
x
ex
y
x
+
=
,
0
=
y
,
0=x
,
2
π
=
x
Tháng 4 năm 2013
