DE VA DAP AN TOAN KHOI D 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: TOÁN – Khối D
Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2
2 3 ( 1) 1y x mx m x= − + − +
(1), với m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để đường thẳng y = - x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
sin 3 cos2 sinx 0x x
+ − =
.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình
2 1
2
2
1
2log log (1 ) log ( 2 2)
2
x x x x
+ − = − +
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
1
2
2
0
( 1)

.
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, canh bên SA vuông góc với
đáy,
¼
D 120BA =
o
, M là trung điểm của canh BC và
¼
45SMA =
o
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
1xy y
≤ −
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
2 2
2
6( )
3
x y x y

P
x y
x xy y
+ −
= −
+
− +
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm
9 3
;
2 2
M
 
−
 ÷
 
là trung
điểm của cạnh AB, điểm H(-2; 4) và điểm I(-1; 1) lần lượt là chân đường cao kể từ B và tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1; -1; 2), điểm B(0; 1; 1) và mặt
phẳng (P): x + y + z – 1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng đi
qua A, B và vuông góc với (P).
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z – i) + 2z = 2i. Tính môđun của số phức
2
2 1z z
w
z

− +
=
.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):
2 2
( 1) ( 1) 4x y− + − =
và đường
thẳng Δ: y – 3 = 0. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), các đỉnh N và P thuộc đường thẳng Δ, đỉnh
M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ đỉnh P.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 3; -2) và mặt phẳng (P): x – 2y
– 2z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song
với (P).
Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2 3 3
( )
1
x x
f x
x
− +
=
+
trên đoạn [0; 2]
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: SBD:
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (2,0 điểm):

a)Khi m = 1, hàm số : y = 2x
3
– 3x
2
+ 1.
Tập xác định là: D = R.
y’ = 6x
2
– 6x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 1;
Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (0; 1)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y(0) = 1; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y(1) = 0
Giới hạn:
lim
x
y
→−∞
= −∞
và
lim
x
y
→+∞
= +∞
Bảng biến thiên:
x
−∞ 0 1 +∞
y’
+ 0 − 0 +
y

1 +∞
−∞ CĐ 0
CT
y" = 12x – 6; y” = 0 ⇔ x = 1/2. Điểm uốn I (1/2; 1/2)
Đồ thị :
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
3 2
2
0
2 3 0
( ) 2 3 0 (1)
=

− + = ⇔

= − + =

x
x mx mx
g x x mx m
(d) cắt (C) tại 3 điểm
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

2
9 8 0
8
0
9
(0) 0

m m
m hay m
g m

∆ = − >
⇔ ⇔ < >

= ≠

Câu 2 (1,0 điểm):

sin 3 cos 2 sin 0
+ − =
x x x
( )
2cos 2 sin cos 2 0 cos2 2sin 1 0
⇔ + = ⇔ + =
x x x x x
cos2 0
,
4 2
1
7
sin
2 2 ,
2
6 6
x
x k k Z
x

x k hay x k k Z
π π
π π
π π

=
= + ∈



⇔ ⇔


= −

= − + = + ∈



Câu 3 (1,0 điểm):
Giải phương trình
2 1
2
2
1
2log log (1 ) log ( 2 2)
2
+ − = − +
x x x x
Đk : 0 < x < 1

1
y
x
0
1
1
PT
( ) ( )
2
2
1 1 1 (1)x x x
 
⇔ = − − +
 
 
Đặt
1
= −
t x
; ĐK: (0 < t < 1)
PT(1) trở thành
( )
( )
4
2 4 3 2
1 1 5 6 5 1 0
− = + ⇔ − + − + =
t t t t t t t
2
2

1 1
5 6 0 (2)t t
t t
   
⇔ + − + + =
 ÷  ÷
   
Đặt
( )
1
2
= + >
u t u
t

PT (2) trở thành:
2
5 4 0 4
− + = ⇔ =
u u u
(vì u>2)
Vậy
2
1
4 4 1 0 2 3
+ = ⇔ − + = ⇔ = −
t t t t
t
vì (0 < t < 1)
Nghĩa là

1 2 3 3 1 4 2 3x x x− = − ⇔ = − ⇔ = −

Câu 4 (1,0 điểm):
1 1
2
2 2
0 0
1 2 2
1
1 1
+ +
 
= = +
 ÷
+ +
 
∫ ∫
x x x
I dx dx
x x
( )
1 1
1
2
2
0
0 0
2
1 ln 1 1 ln 2
1

 
= + = + + = +
 
+
∫ ∫
xdx
dx x
x

Câu 5 (1,0 điểm):
Tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SMA vuông cân tại A
Ta có:
3
2
a
SA AM
= =
Thể tích khối chóp: V=
3
1 3 3
. .
3 2 2 4
 
=
 
 
a a
a a
Vì AD// BC nên
d(D, (SBC))= d(A, (SBC)) = AH =

1 1 3 6
2
2 2 2 4
= =
a a
SM
Câu 6 (1,0 điểm):
Từ giả thiết ta có:
2
2
1 1 1 1 1 1
1
2 4 4
 
≤ − ⇔ ≤ − = − − + ≤
 ÷
 
x
xy y
y y y y
2 2 2
1 2
2
6( )
3
6 1
3
+ −
+ −
= − = −

+
 
− +
 
+
 ÷
− +
 ÷
 
 
x x
x y x y
y y
P
x y
x
x xy y
x x
y
y y
Đặt
=
x
t
y
, điều kiện
1
0
4
< ≤

t
2
1 2
6( 1)
3
+ −
= −
+
− +
t t
P
t
t t
Xét
( )
2
1 2
6( 1)
3
+ −
= −
+
− +
t t
f t
t
t t
với
1
0

4
< ≤
t
( )
( )
2
3
2
3 7 1
( )
2 1
2 3
− +
′
= −
+
− +
t
f t
t
t t
H
B
S
A
D
M
C
I
( )

( )
2
3
2
1 3 7 8 5 1 1
0; : ,
4 27 2
2 1
2 3
t
t
t
t t
− +
 
∀ ∈ ≥ <


 
+
− +
1
'( ) 0 0;
4
 
⇒ > ∀ ∈


 
f t t

⇒
f
đồng biến trên
1
0;
4
 


 

1 7 10 5
( )
4 30
+
 
⇒ ≤ =
 ÷
 
f t f
Vậy
max
7 10 5
30
+
=P
khi
1
2

=
x
,
2
=
y
Câu 7a (1,0 điểm):
Đường thẳng AB đi qua M có vectơ pháp tuyến
1
(7; 1)
2
IM
= − −
uuur

nên có phương trình AB:
7 33 0
− + =
x y
.
Gọi B(b; 7b + 33). M là trung điểm AB ⇒
( )
9 ; 7 30A b b
− − − −
(7 ;34 7 ) ( 2 ; 29 7 )
= + + ⊥ = − − − −
AH b b BH b b
uuur uuur
2
9 20 0 5 4b b b hay b⇒ + + = ⇒ = − = −

TH1 : b = -5: B(-5; -2) và A (-4; 5)
Phương trình AH là:
2 6 0
+ − =
x y
. Gọi C (6 - 2c;c)
∈
AH.
Do
2 2 2
1
5 30 25 0
5 ( )
c
IB IC c c
c l
=

= ⇔ − + = ⇔

=

. Vậy C(4; 1)
TH2 : b = -4 : B(-4; 5) và A (-5; -2)
Phương trình AH là: 2x – y + 8 = 0. Gọi C (c; 2c + 8)
∈
AH.
Do
2 2 2
1

5 30 25 0
5 ( )
c
IA IC c c
c l
= −

= ⇔ + + = ⇔

= −

. Vậy C(-1; 6)
Do đó có hai điểm thỏa mãn bài toán: C (4; 1) hay C (-1; 6).
Câu 8a (1,0 điểm):
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P)
1 1 2
:
1 1 1
+ + +
⇒ = =
x y z
d
Gọi H là hình chiếu của A trên (P)
2 2 1
( ) ; ;
3 3 3
 
⇒ = ∩ ⇒ −
 ÷
 

H d P H
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm thì (Q) đi qua A và có một vectơ pháp tuyến là
( )
, ( 1;2; 1)
 
= = − −
 
P
n AB n
r uuur uuur
Vậy
( ) : 2 1 0
− + + =
Q x y z

Câu 9a (1,0 điểm):
Từ giả thiết ta có: (1 + i)(z – i) + 2z = 2i
⇔
(3 + i)z = -1 + 3i
1 3
3
i
z i
i
− +
⇔ = =
+
.
Ta có:
2 2

2 1 2 1
1 3
z z i i
w i
z i
− + − − +
= = = − +

10⇒ =w
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1,0 điểm):
(C) có tâm I(1;1), R=2.
Do
( , )
∆ = ⇒ ∆
d I R
tiếp xúc (C) tại T
Do I là trực tâm tam giác PMN nên MI vuông góc
∆
1
⇒ = =
M I
x x
I
NP
M
O
J
T
x

y
C
H
I
B
M
A
Mà M thuộc (C) nên M(1; -1)
Gọi J là trung điểm MN suy ra IJ là đường trung bình của tam giác MTN
1⇒ = =
I J
y y
Mà J thuộc (C) nên J(3; 1) hay J(-1; 1)
Nếu J(3;1) thì N(5;3)
Gọi P(t;3) thuộc
∆
. Ta có
1 ( 1;3)
⊥ ⇒ = − ⇒ −
NI MP t P
uur uuur

Nếu J(-1;1) thì N(-3;3)
Gọi P(t;3) thuộc
∆
. Ta có
3 (3;3)
⊥ ⇒ = ⇒
NI MP t P
uur uuur

Câu 8b (1,0 điểm):
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P):
( )
( )
1 6 4 5
2
,
3
1 4 4
− − + +
= =
+ +
d A P
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm
⇒
(Q) đi qua A và có một vectơ pháp tuyến là
( )
1; 2; 2
= − −
n
r
⇒
(Q): x – 2y – 2z +3 = 0.
Câu 9b (1,0 điểm):
Xét hàm số
2
2 3 3
( )
1

x x
f x
x
− +
=
+
trên đoạn [0; 2]
Tacó:
2
2
2 4 6
( )
( 1)
+ −
′
=
+
x x
f x
x
( ) 0 1
′
= ⇔ =
f x x
hay x = -3 (loại)
f(0) = 3, f(2) = 5/3, f(1) = 1
Vì f liên tục trên [0; 2] nên
[0;2]
max ( ) 3
=

f x
và
[0;2]
min ( ) 1
=
f x
Hết