phân loại bài tập bất đẳng thức

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG
Hai biến số Ba biến số
1.
( )
2 2
a +b 2 ,ab a b R≥ ∀ ∈
1.
3
3a b c abc+ + ≥
2.
2a b ab+ ≥
( )
0, 0a b≥ ≥
2.
3 3 3
a +b 3c abc+ ≥

3.
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
, 0x y >
3.
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
, , 0z y z >
4.

2
1 4
( , 0)
( )
x y
xy
x y
≥ >
+
4.
( )
( )
2
2 2 2
3 a b c a b c≥+ + + +
5.
3 3 2 2
( , 0a b a b ab a b+ ≥ + ≥
5.
cabcabcba ++≥++
222
6. a, b > 0 ,
2≥+
a
b
b
a
6.
3 3 3
3

a b c
abc
+ +
≤
7.
3
3 3
2 2
a b a b+ +
 
≥
 ÷
 
7.
3
3
a b c
abc
+ +
 
≤
 ÷
 
8.
( )
2 2
,
2
a b
ab a b R

+
≤ ∀ ∈
8.
ab bc ac a b c+ + ≤ + +
9.
( )
2
,
2
a b
ab a b R
+
 
≤ ∀ ∈
 ÷
 
9.
( )
2
3( )ab bc ca a b c+ + ≤ + +
10.
1 1 1 1
( )
4x y x y
≤ +
+
10.
3
2
a b c

b c c a a b
+ + ≥
+ + +
,a,b,c>0
2. Bất đẳng thức CAUCHY.(AM-GM)
Cho
1 2 n
1 2 1 2
a +a + +a
0, 0, , 0 .
n
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥
n
n n
a a a a a a
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
= = =
n
a a a
(Điểm rơi của BĐT)
3. Bất đẳng thức BUNHIACOPXKI (3 dạng)
1.
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 1 2
.
n n n n

a x a x a x a a a x x
+ + + ≤ + + + + + +
dấu “=” xảy ra khi
1 2
1 2

a a
x x
= =
2.
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
.
3.Cho dãy số dương a
1
, a
2
,…a
n
và b
1
, b
2
, b
n
tùy ý
a.
n
bbb
n

aaa
n
b
n
a
b
a
b
a
+++
+++
≥+++

21
2
)
21
(
2

2
2
2
1
2
1

b.
2
1 21 2

1 2 1 1 2 2
( )


n n
n n n
a a a aa a
x x x a x a x a x
+ +
+ + + ≥
+ + +
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
1
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
BÀI 1.
SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG BIẾN ĐỔI VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
ĐÚNG ĐÃ BIẾT, SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÚNG
Bài tập 1.Chứng minh các bất đăng thức sau: (Biến đổi tương đương)
1.
a b c ab bc ca
2 2 2
+ + ≥ + +
6.
a b ab a b
2 2
1+ + ≥ + +
2.
a b c a b c
2 2 2
3 2( )+ + + ≥ + +

7.
a b c ab bc ca
2 2 2
2( )+ + ≥ + −
3.
a b c a ab a c
4 4 2 2
1 2 ( 1)+ + + ≥ − + +
8.
a
b c ab ac bc
2
2 2
2
4
+ + ≥ − +
4.
a b c d e a b c d e
2 2 2 2 2
( )+ + + + ≥ + + +
9.
ab
a b
2 2
1 1 2
1
1 1
+ ≥
+
+ +

; với ab
≥
1.
5.
a b a b ab
4 4 3 3
+ ≥ +
10.
a
a
2
2
3
2
2
+
>
+
Bài tập 2.Cho a, b, c, d
∈
R. Chứng minh rằng
a b ab
2 2
2+ ≥
(1). Áp dụng chứng minh:
1.
a b c d abcd
4 4 4 4
4+ + + ≥
3.

a b c abc
2 2 2
( 1)( 1)( 1) 8+ + + ≥
2.
a b c d abcd
2 2 2 2
( 4)( 4)( 4)( 4) 256+ + + + ≥
Bài tập 3.Cho a, b, c
∈
R. Chứng minh:
a b c ab bc ca
2 2 2
+ + ≥ + +
(1). Áp dụng chứng minh
1.
a b c a b c
2 2 2 2
( ) 3( )+ + ≤ + +
4.
a b c a b c
2
2 2 2
3 3
 
+ + + +
≥
 ÷
 
2.
a b c ab bc ca

2
( ) 3( )+ + ≥ + +
5.
a b c abc a b c
4 4 4
( )+ + ≥ + +
3.
a b c ab bc ca
3 3
+ + + +
≥
với a,b,c>0
6.
a b c abc
4 4 4
+ + ≥
nếu
a b c 1+ + =
Bài tập 4. Cho a, b
≥
0 . Chứng minh :
a b a b b a ab a b
3 3 2 2
( )+ ≥ + = +
(1). Áp dụng chứng minh
1.
abc
a b abc b c abc c a abc
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1

+ + ≤
+ + + + + +
; với a, b, c > 0.
2.
a b b c c a
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1
+ + ≤
+ + + + + +
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
3.
a b b c c a
1 1 1
1
1 1 1
+ + ≤
+ + + + + +
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
4.
+ + + + + ≥ + +
3 3 3 3 3 3
3 3 3
4( ) 4( ) 4( ) 2( )a b b c c a a b c
với a, b, c
≥
0 .
5.
A B C

A B C
3 3
3
3 3 3
sin sin sin cos cos cos
2 2 2
+ + ≤ + +
(A,B,C là ba góc của một tam giác)
6. Cho x, y, z>0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN:
2 2 2
x (y z) y (z x) z (x y)
P
yz zx xz
+ + +
= + +
(ĐH07)
7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
+ + +
+ + ≥ + +
a b b c c a
a b c
ab bc ca
3 3 3 3 3 3
2 2 2
8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
+ + ≥ + +
a b c
ab bc ca
b c a
3 3 3

9. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
− − −
+ + ≤ + +
+ + +
b a c b a c
a b c
ab b bc c ca a
3 3 3 3 3 3
2 2 2
5 5 5
3 3 3
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
2
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
10.Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
− − −
+ + ≤ + +
+ + +
a b b c c a
a b c
ab a bc b ca c
3 3 3 3 3 3
2 2 2
41 41 41
5( )
7 7 7
11.Cho a,b,c>0. Chứng minh:
( )
3 3 3
3 3 3

1 1 1 3
2
b c c a a b
a b c
a b c a b c
+ + +
   
+ + + + ≥ + +
 ÷  ÷
   
12.Cho a, b, c>0 thỏa:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
1
a b c
a ab b b bc c c ca a
+ + =
+ + + + + +
.Tìm Max S = a + b + c
13.Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm GTNN P=
 
 ÷
+ + + + + + + +
 ÷
 
3 3
3 3 3 3 3 3
3
2 2 2
x y z

4(x y ) 4(x z ) 4(z x ) 2
y z x

14.Cho a, b, c >0 CMR:
a b c a b c a b c
3 3 3 2 2 2
3( ) ( )( )+ + ≥ + + + +
15.Cho a, b, c >0 CMR:
a b c a b c
3 3 3 3
9( ) ( )+ + ≥ + +
Bài tập 5. Cho a, b, x, y
∈
R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):
a x b y a b x y
2 2 2 2 2 2
( ) ( )+ + + ≥ + + +
(1)Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. Cho a, b
≥
0 thoả
a b 1+ =
. Chứng minh:
a b
2 2
1 1 5+ + + ≥
.
2. Tìm GTNN của P =
a b
b a

2 2
2 2
1 1
+ + +
.
3. Cho x, y, z > 0 thoả mãn
x y z 1+ + =
. Chứng minh:
x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82+ + + + + ≥
.
4. Cho x, y, z > 0 thoả mãn
x y z 3+ + =
. TìmGTNN : P =
x y z
2 2 2
223 223 223+ + + + +
.
Bài tập 7.Cho a, b > 0. Chứng minh
a b a b
1 1 4
+ ≥
+
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
1.
a b c a b b c c a

1 1 1 1 1 1
2
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
; với a, b, c > 0.
2.
a b b c c a a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 1
2
2 2 2
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + + + + + + + +
 
với a, b, c > 0.
3. Cho a, b, c > 0 thoả
a b c
1 1 1
4+ + =
. Chứng minh:
a b c a b c a b c
1 1 1
1
2 2 2
+ + ≤
+ + + + + +

4.
ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ +
+ + ≤
+ + +
; với a, b, c > 0.
5. Cho x, y, z > 0 thoả
x y z2 4 12+ + =
. Chứng minh:
xy yz xz
x y y z z x
2 8 4
6
2 2 4 4
+ + ≤
+ + +
.
6. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác, p là nửa chu vi. CM:
p a p b p c a b c
1 1 1 1 1 1
2
 
+ + ≥ + +
 ÷
− − −
 
7. Cho x, y, z >0 và
1 1 1
2009

x y z
+ + =
Tìm GTLN:
1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
ĐH07
Bài tập 8.Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a b c a b c
1 1 1 9
+ + ≥
+ +
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
1.
a b c a b c
a b b c c a
2 2 2
1 1 1 3
( ) ( )
2
 
+ + + + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
Với a, b, c > 0
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
3
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

2. Cho x, y, z > 0 thoả
x y z 1+ + =
. Tìm GTLN của biểu thức: P =
x y z
x y z1 1 1
+ +
+ + +
.
3. Cho a, b, c > 0 thoả
a b c 1+ + ≤
. Tìm GTNN của biểu thức:P =
a bc b ac c ab
2 2 2
1 1 1
2 2 2
+ +
+ + +
.
4. Cho a, b, c > 0 thoả
a b c 1+ + =
. Chứng minh:
ab bc ca
a b c
2 2 2
1 1 1 1
30+ + + ≥
+ +
5. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
A B C
1 1 1 6

2 cos2 2 cos2 2 cos2 5
+ + ≥
+ + −
.
6. Cho x, y, z d¬ng vµ x+y+z = 1.T×m min cña
1 1 1
1 1 1
P
x y z
= + +
+ + +

7. Cho a, b, c >0 ;thoả mãn a + b + c ≤ 3. CMR
ab bc ca
a b c
2 2 2
1 2009
670+ ≥
+ +
+ +
8. Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 3. Tìm GTNN:
1 1 1
1 1 1
P

xy yz zx
= + +
+ + +
P
min
=
3
2

BÀI 2. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM-GM)
DẠNG 1. SỬ DỤNG ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG TRUNG BÌNH NHÂN
1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
a b b c c a abc( )( )( ) 8+ + + ≥
với a, b, c
≥
0
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
, ,8 a b ca b b c c a a b c ∀+ + + ≥
c) 3a
3
+ 7b
3

≥
9ab
2
∀ a, b

≥
0
d)
2
2
2
2
1
a
a R
a
+
≥ ∀ ∈
+
e)
( )
1
3 0a a b
b a b
+ ≥ ∀ > >
−
f)
( )
( )
2
4
3 0
1
a a b
a b b

+ ≥ ∀ > >
− +
g)
a b c a b c abc
2 2 2
( )( ) 9+ + + + ≥
với a, b, c
≥
0
h)
( )
a b c abc
3
3
(1 )(1 )(1 ) 1+ + + ≥ +
với a, b, c
≥
0
i)
bc ca ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
với a, b, c > 0
j)
a b b c c a abc
2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ≥
với a, b, c
≥

0
k)
ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ +
+ + ≤
+ + +
; với a, b, c > 0.
l)
3
1 1 1
1 1 1 2 1
a b c
a b c
abc
+ +
 
   
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
   
 
với a, b, c > 0.
m)
a b c
b c c a a b
3
2
+ + ≥

+ + +
; với a, b, c > 0.
n)
a b c a b c
a b c
3 3 3 2
1 1 1
( ) ( )
 
+ + + + ≥ + +
 ÷
 
o) Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6. Chøng minh r»ng:
512
72911
1
1
1
333
≥






+







+






+
c
a
ba
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
4
PHN LOI BI TP BT NG THC
2. Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a)
x
y x
x
18
; 0
2
= + >
b)
x
y x
x

2
; 1
2 1
= + >

c)
x
y x
x
3 1
; 1
2 1
= + >
+
d)
x
y x
x x
5
; 0 1
1
= + < <

e)
x
y x
x
5 1
;
3 2 1 2

= + >

f)
x
y x
x
3
2
1
; 0
+
= >
g)
x x
y x
x
2
4 4
; 0
+ +
= >
h)
y x x
x
2
3
2
; 0= + >
3. Cho x, y, z >0 tho món xyz = 1. CMR:
+ + + +

+ +
+ +
3 3 3 3
3 3
1 x y 1 y z
1 z x
3 3
xy yz zx
H 05
4. Cho ba s x, y, z >0 tha
3x y z+ + =
. Tỡm GTNN
3 3 3
P xy yz zx
x y z
= + + + + +
Pmin =12
5. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR:
( )( )( )1
1
1
1
1
1
+ + +
a b c
64 HSG QB 2009
6. Chng minh rng vi mi x R, ta cú:

+ + + +

ữ ữ ữ

x x x
x x x
12 15 20
3 4 5
5 4 3
H 05
7. Cho x, y, z>0
2 2 2
3
x y z
4
+ + Ê
. Tỡm GTNN:
3 3 3
1 1 1 1
P 4(x y)(y z)(z x)
2
x y z
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + + + + + +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
8. Cho
, ,x y z
>0 tho món:
2 1xy xz+ =
Tỡm GTNN:
3 4 5yz zx xy
P
x y z
= + +
S:4
9. Cho
zyx ,,
>0 tha:
).(32
222
zyxxyzyx ++=+++
TỡmGTNN
.
2
2020
+
+
+
+++=
yzx
zyxP

DNG 2. NH GI T TRUNG BèNH NHN SANG TRUNG BèNH CNG
1.Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau

a)
y x x x( 3)(5 ); 3 5= +
b)
y x x x(6 ); 0 6=
c)
y x x x
5
( 3)(5 2 ); 3
2
= +
d)
y x x x
5
(2 5)(5 ); 5
2
= +
e)
y x x x
1 5
(6 3)(5 2 );
2 2
= +
f)
x
y x
x
2
; 0
2
= >

+
2. Cho ba s thc a, b, c khụng õm . Chng minh :
2 2 2 3 3 3
a bc b ac c ab a b c+ + + +
3. Cho ba s thc a, b, c tho
9, 4, 1a b c
. Chng minh
11
1 9 4
12
abc
ab c bc a ca b + +
4. Cho x,y >0 tha món: x+y=2. Chng minh a.
2 2
( ) 2xy x y+
b.
3 3 3 3
( ) 2x y x y+

5. Cho:
1a b c+ + =
. Chng minh :
( ) ( ) ( )
8
729
abc a b b c c a+ + +
6. x,y l cỏc s thc tha :
0 3;0 4x y
. Tỡm GTLN :
(3 )(4 )(2 3 )A x y x y= +

7. Bit x,y,z,u
0
v 2x+xy+z+yzu=1, Tỡm GTLN ca P =
2 2 2
x y z u
(HSG QB 09). minP =
1
512
8. Cho
, ,a b c
>0 thỏa mãn
3a b c
+ + =
. CMR:
3 3 3
1 1 1 5a b b c c a+ + + + +

9. Cho a,b,c >0 v (a+b)(b+c)(c+a)>0. CMR
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2( )
4
b bc c c ca a a ab b ab bc ca
a bc b ca c ab a b c
+ + + + +
+ + +
+ + + + +
T Toỏn tin - THPT NINHCHAU
5

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
10. Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. CMR:
3
2
xy yz zx
xy z yz x zx y
+ + ≤
+ + +
11. Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
3 3 3
bc ca ab
a bc b ca c ab
+ +
+ + +
12. Cho x, y, z>0. CMR:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 36
9x y z x y y z z x
+ + ≥
+ + +
. HSG QB 10-2012
DẠNG 3. ĐÁNH GIÁ MẪU SỐ
1. Cho ba số thực dương a, b, c . CMR
+ + ≥ + +
+ + + + + +
a b c
a b c
a b ab b c bc c a ca
2 2 2

2 2 2 2 2 2
1
( )
5
3 8 14 3 8 14 3 8 14
2. Cho a, b, c>0 thoả mãn:
ab bc ca 1
+ + =
. CMR:
a b c
a b c
2 2 2
3
2
1 1 1
+ + ≤
+ + +
3. Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ xyz . Tìm GTLN.
2 2 2
1 1 1
2 2 2
P
x yz y zx z xy
= + +
+ + +

4. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn:
2 2 2
a b c 3
+ + =

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
P .
b c bc c a ac a b ab
= + +
+ + + + + +

5. Cho ba số x, y, z >0 thoả
2 2 2
.x y z xyz+ + =
Tìm GTLN
2 2 2
x y z
A
x yz y xz z xy
= + +
+ + +
.
6. Cho a, b, c >0, abc = 1.T×m GTLN
32
1
32
1
32
1
222222
++

+
++
+
++
=
accbba
P
7. Cho a,b,c
0≥
CMR:
1
)()()(
33
3
33
3
33
3
≥
++
+
++
+
++ abc
c
cab
b
cba
a
(HSG QB 2010

8. Cho các số dương
, , : 3.a b c ab bc ca+ + =
Cmr
2 2 2
1 1 1 1
.
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +
9. CMR:
9
2
1
2
1
2
1
222
≥
+
+
+
+
+ bacacbbca
Víi a + b + c ≥ 1, a, b, c > 0
10. Cho a, b, c >0 tho¶ m·n :
2007
111
10
111

15
222
+






++=






++
cabcab
cba
.
TÌM GTLN
222222
225
1
225
1
225
1
acaccbcbbaba
P

++
+
++
+
++
=
11. Cho a,b,c >0 và a+b+c=1. Chứng minh
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
ab bc ac
ab c c cb a ac b b
+ + ≥
+ +
+ + + + + +
12. Với x, y, z là những số thực dương, hãy tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: M =
))()(( xzzyyx
xyz
+++

13. Cho
, ,x y z
>0 thỏa mãn
3x y z+ + =
. Tìm GTNN P=
3 3 3
4 4 4
(2 1 8 4 2) (2 1 8 4 2) (2 1 8 4 2)
x y z
y y x z z y x x z

+ +
+ + − + + − + + −
.
14. Cho các số thực a,b,c>0. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
3 2.
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
bc b c ca c a ab a b
+ + +
+ + ≥
+ + +
Tổ Tốn – tin - THPT NINHCHAU
6
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 4. KỶ THUẬT GHÉP THÊM
1.
0,, >∀ cba
th×
cba
a
c
c
b
b
a
++≥++
222
2.

0,, >∀ cba
th×
2
222
cba
ab
c
ca
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
3. Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá trị nhỏ nhất:
222
zyxA ++=

4. Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn
1xyz =
. Cm:
2
3
x1
z
z1
y

y1
x
222
≥
+
+
+
+
+

5. Cho ba số thực a, b, c dương . Chứng minh :
( )
3 3 3
2 2 2
1
2 2 2 3
a b c
a b c
a b b c c a
+ + ≥ + +
+ + +

6. Cho x, y, z là ba số thực dương.Chứng minh rằng:
3 3 3
x y z
x y z
yz zx xy
+ + ≥ + +
7. Cho a,b,c >0 và abc=1. CM:
3 3 3

3
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + + + + +
8. Cho a,b,c >0 và abc=1 CMR:
4 4 4
2 2 2
2
( ) ( ) ( )
a b c a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + ≥
+ + +

9. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5
-x
+ 5
-y
+5
-z
= 1 .Chứng minh rằng

+ + +
+ +
+ + +
25 25 25
25 5 5 5 5 5

x y z
x y z y z x z x y

≥
+ +
5 5 5
4
x y z

10. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3
(a b c) (b c a) (c a b)
P
3c 3a 3b
+ - + - + -
= + +
.
11. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.CMR:
3 3 3
2 2 2
3
3 3 3 4
a b c
b c a
+ + ≥
+ + +
.
12. Với a; b; c>0 thoả mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN:
3 3 3

2 2 2
(1 ) (1 ) (1 )
= + +
− − −
a b c
P
a b c
13. Cho a, b, c>0 thỏa abc = 1. Chứng minh rằng:
3 3 3
4 4 4
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
+ + ≥
+ + + + + +
a b c
b c c a a b

14. Cho a, b, c>0 . Chứng minh rằng:
c)b(a
4
1
2
b)(a
3
c
2
a)(c
3
b
2

c)(b
3
a
++≥
+
+
+
+
+
15. Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc =1. Tìm GTNN của:
bcac
ab
abcb
ca
caba
bc
T
222222
+
+
+
+
+
=
16. Cho a,b,c >0 tho¶ a.b.c =1.T×m GTNN F=
23
5
cb
a
+

+
23
5
ac
b
+
+
5
3 2
c
a b+
+
( )
444
4
1
cba ++
17. Cho các số dương
, ,x y z
. Hãy chứng minh:
( )
4 4 4
3 3 3
1
.
2
x y z
x y z
y z z x x y
+ + ≥ + +

+ + +
18. Cho a,b,c>0 , a
2
+b
2
+c
2
=3. Tìm GTNN
3 3 3
2 2 2
3 3 3
a b c
P
b c a
= + +
+ + +
19. Cho a, b, c >0thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTNN:
2 2 2
b b c c a a
P
a b c b c a c a b
= + +
+ + + + + +
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
7
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
20. Cho x, y, z >0 thoả mãn
x y z 3+ + =
. CMR:
x y z

xy yz zx
y z x
3 3 3
3 3 3
1 2
( )
9 27
8 8 8
+ + ≥ + + +
+ + +
21. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1.CM:
3
3 3
1
2
y
x z
xy yz xz yz xy xz
+ + ≥
+ + +
.
22. Cho a,b,c>0:
2 2 2
1a b c+ + =
.Tìm GTNN:
3 3 3
2 3 2 3 2 3
a b c
P
b c c a a b

= + +
+ + +

23. Cho 3 số dương a, b, c thoả abc = 1. Tìm Min của P =
6
a
b c+
+
6
b
c a+
+
6
c
a b+
P=
3
2
24. Cho x,y,z>0 vµ x+y+z = 6. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc
3 3 3
x y z
A
y z z x x y
= + +
+ + +

DẠNG 5. GHÉP ĐỐI XỨNG
1. Chứng minh :
ab bc ac
a b c

c a b
+ + ≥ + +
2. Chứng minh :
1 1 1a b c
bc ac ab a b c
+ + ≥ + +
3. Chứng minh :
3 3 3
a b c
a b c
bc ac ab
+ + ≥ + +
4. Chứng minh
cabcab
a
c
c
b
b
a
++≥++
333
5. Cho a,b,c >0 tho¶ m·n
+ + ≥
+ + +
1 1 1
2
1 a 1 b 1 c
, CMR
≤

1
abc
8

6. Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ≥ 2xyz.Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).A
max
=
1 3
8 2
x y z⇔ = = =
7. Cho a,b,c > 0thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng
2 2 2
ab bc ca a b c+ + ≥ + +
8. Cho các số thực x, y, z thoả mãn
1 1
, , 1
3 2
x y z> > >
và
3 2 1
2
3 2 2 1x y z
+ + ≥
+ +
.Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
(3 1)(2 1)( 1)A x y z= − − −
.
DẠNG 6. KỶ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG AM-GM

1. Cho
4a
≥
. Chøng minh r»ng :
1 17
4
a
a
+ ≥
2. Cho a, b, c >0:
.
4
3
cba =++
CMR:
.3a3cc3bb3a
333
≤+++++

3. A05.Cho x, y, z là ba số thoả mãn
0zyx =++
. Cm :
6434343
zyx
≥+++++
4. Cho
0,, >yx
và
1yx
22

=+
.Tìm giá trò nhỏ nhất
33
yxA +=
5. Cho
0,, >zyx
và
3zyx
222
=++
Tìm giá trò nhỏ nhất
444
zyxA ++=
6. Cho a ; b ; c >0 :
2
3
≤++ cba
T×m GTNN cđa:
.
111
cba
cba +++++
7. Cho x ; y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n : x + y = 1 . T×m GTNN cđa:
)
1
)(
1
(
2
2

2
2
x
y
y
x ++
Tổ Tốn – tin - THPT NINHCHAU
8
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
8. Cho các số dương x,y, z và x + y + z = 1. CM:
4
4 4
1 1 1
1 1 1 768
x y z
 
   
+ + + + + ≥
 ÷  ÷
 ÷
   
 

9. Cho a, b, c >0 thoả mãn : a + b + c =
3
4
. Tìm GTNN:
3 3 3
1 1 1
3 3 3

= + +
+ + +
P
a b b c c a
.
10. Cho a, b, c, d > 0. CMR:
a
b
b
c
c
d
d
a a b c d
2
5
2
5
2
5
2
5 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + + ≥ + + +

11. XÐt ba sè a, b, c >0 tháa m·n a
2009
+ b
2009
+ c

2009
= 3. T×m GTLN : P = a
4
+ b
4
+ c
4
12. Cho x, y, z>0. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 36
9x y z x y y z z x
+ + ≥
+ + +
13. Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức:
6 6 6
3a b c+ + =
. Hãy tìm GTLN:
2 2 2
S a b c= + +

14. Cho a, b, c >0, CMR
2 2 2
3
3 3 3
a b c 3 2
b c c a a b 2
     
+ + ≥
 ÷  ÷  ÷
+ + +

     
15. (ĐH-B-2007)Cho x>0,y>0,z>0 . Tìm GTNN của:P=
x 1
x
2 yz
 
+
 ÷
 
+
y 1
y
2 xz
 
+
 ÷
 
+
z 1
z
2 xy
 
+
 ÷
 
.
16. Cho ba sè a, b, c sao cho




=
>
1
0,,
abc
cba
. T×m GTNN =
( )
+
+ cba
3
1
( )
+
+ cab
3
1
( )
abc +
3
1
17. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn
2 2 2
1a b c+ + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3
. 1 . 1 . 1 1a b c b c a c a b
+ − + + − + + − ≤
HSG QB 2011

18. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
2012 2012 2012
3
4
1006
P a b c abc
= + + +

DẠNG 7. CAUCHY NGƯỢC DẤU
1. Cho
0,, >cba
và
3cba =++
Tìm giá trò nhỏ nhất
222
a1
c
c1
b
b1
a
A
+
+
+
+
+
=
2

3
≥A
2. Cho
0c,b,a >
và
3cba =++
.Tìm giá trò nhỏ nhất
222
a1
c1
c1
b1
b1
a1
A
+
+
+
+
+
+
+
+
=
3A ≥
3. Chứng minh
∀
số dương
cba ,,
,

d
2
dcba
ad
d
dc
c
cb
b
ba
a
22
3
22
3
22
3
22
3
+++
≥
+
+
+
+
+
+
+
4. CM
∀

số dương
cba ,,
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++
≥
++
+
++
+
++
5. Chứng minh với mọi số dương
; ;a b c
( )
2 2 2
1
2
a b c
ab bc ca a b c

a b b c c a
+ + + + + ≥ + +
+ + +
6. Cho
, , 0 ,xyz=1.x y z >
4 4 4
2 2 2
3
CMR:
2
1 1 1
x y y z z x
x y z
+ + ≥
+ + +
7. Cho a, b, c, d>0 thoả mãn a + b + c + d = 4. CM:
a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
2
1 1 1 1
+ + + ≥
+ + + +
8. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + ≥ + +
9. Cho a, b, c là 3 số dương và . Chứng minh

Tổ Tốn – tin - THPT NINHCHAU
9
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

BÀI 3. SỬ DỤNG BUNHIACOPXKI (CAUCHY – SCHWARZ)
1.
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 1 2
.
n n n n
a x a x a x a a a x x
+ + + ≤ + + + + + +
dấu “=” xảy ra khi
1 2
1 2

a a
x x
= =
2.
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
. Cho dãy số dương a
1
, a
2
,…a

n
và b
1
, b
2
, b
n
tùy ý 3.
n
bbb
n
aaa
n
b
n
a
b
a
b
a
+++
+++
≥+++

21
2
)
21
(
2

2
2
2
1
2
1
c.
2
1 21 2
1 2 1 1 2 2
( )


n n
n n n
a a a aa a
x x x a x a x a x
+ +
+ + + ≥
+ + +
1. Cho x, y, z >0 vµ x+y+z
2≤
. Chøng minh
6
2 1 2 1 2 1 7
x y z
x y z
+ + ≤
+ + +

2. Cho a,b,>0:
2 2 2
1.a b c+ + ≥
CM
3 3 3
1
2
a b c
b c a c b a
+ + ≥
+ + +
3. Cho 3 số thực x,y,z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:
4 4 4
.S x y z xyz= + + −
4. Cho x,y,z>0 Tìm GTNN của biểuthức:
2 2 2
2 2 2
.
2 2 2
x y z
S
x yz y yx z yx
= + +
+ + +
5. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức:
.ab bc ca abc+ + =
Chứng minh BĐT:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3

b a c b a c
ab cb ac
+ + +
+ + ≥
6. Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1. CM
3 3 3
1 1 1 3
.
( ) ( ) ( ) 2x y z y x z z y x
+ + ≥
+ + +
7. Cho
, ,x y z
là các số thực dương. Tìm GTNN
2 2 2
3 3 3 2 2 2
13
3( )
x y y z z x xyz
P
z x y xy yz zx
= + + +
+ +
ĐS:
40
9
8. Cho 4 soá a, b, c, d > 0 thoaû a + b + c + d = 1. CM:
+ + + + + + +a b b c c d d a

≤

2 2

9. Với giả thiết các số thực dương a,b,c. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
1
2 2 2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
b)
1
2 2 2
a b c
a bc b ca c ab
+ + ≥
+ + +
c)
3 3 3 2 2 2
2 2 2 3
a b c a b c
a b b c c a
+ +
+ + ≥
+ + +
d)
3 2 3 2 3 2
1
a b c

a b c b c a c a b
+ + ≤
+ + + + + +
Với a+b+c =3
e)
2 2 2
3
4
1 1 1
bc ca ab
a b c
+ + ≤
+ + +
với
2 2 2
1a b c+ + =
f)
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
3
5 ( ) 5 ( ) 5 ( )
a b c
a b c b a c c b a
+ + ≤
+ + + + + +
g)
2 2 2
1
(2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) 3

a b c
a b a c b c b a c a c b
+ + ≤
+ + + + + +
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
10
PHN LOI BI TP BT NG THC
10. Cho tam giỏc ABC. im M nm trong tam giỏc. Ln lt gi x, y, z l di ng cao tng ng
h t M xung cỏc cnh BC, AC, AB.Chng minh rng:
R
cba
zyx
2
222
++
++
11. Cho
, ,x y z
>0 v
1x y z+ +
, CM
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + +
(H 2003)
12. Cho cỏc s thc x; y khụng õm x + y = 1.Tỡm GTNN P =
22

9402213 yx
+++

BI 4. S DNG PHẫP I BIN S
1. Cho a, b, c l di 3 cnh ca mt tam giỏc. CM
4a 9b 16c
+ + 26
b + c - a c + a - b a + b - c

2. Cho x, y, z > 0 v tha : xyz = 1. Tỡm GTNN ca biu thc :
2 2 2 2 2 2
yz zx xy
P = + +
x y + x z y z + y x z x + z y
3. Cho x, y, z >0 thỏa mãn xyz=1. CM
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
+ +
+ + + + + +
4. Cho x, y, z>0 thỏa mãn:
1
yz zx xy
x y z
+ + =
. Tìm GTLN:
1 1 1
1 1 1x y z
+ +

5. Cho a, b, c>0 tho abc = 1. CMR:
2 2 2
1
( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1) 3
a b c
ab ab bc bc ac ac
+ +
+ + + + + +
6. Cho ba số a, b, c sao cho



=
>
1
0,,
abc
cba
. Tìm GTNN =
( )
+
+ cba
3
1
( )
+
+ cab
3
1

( )
abc +
3
1
7. Cho
, , 0x y z >
v xyz =
1
6
.Chng minh :
( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
x 2y 3z 8y (3z x) 27z x 2y 2
+ +
+ + +

8. Cho ba s a, b, c>0 tha món: a.b.c = 1. Tỡm GTLN:
ab bc ca
T
a b ab b c bc c a ca
= + +
+ + + + + +
9. Cho a, b, c >0 tha món abc = 1. Chng minh rng:
a b b c c a
1 1 1 3
( 1) ( 1) ( 1) 2
+ +
+ + +
10. Cho cỏc s thc dng a, b, c. Chng minh rng:

b c a
a b b c c a
1
2 2 2
+ +
+ + +
11. Cho a, b, c>0 tho món abc = 1. Chng minh rng:
a b c
2 2 2
1 1 1 3
2
1 1 1
+ +
+ + +
12. Cho x, y, z >0
( )
3x x y z yz+ + =
.CM:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 5x z x y x y x z y z y z+ + + + + + + Ê +
13. Cho x,y,z >0 xyz=1. CM:
4 4 4 4 4 4
5 5 4 4 5 5 4 4 5 5 4 4
x y y z z x
1
x y x y y z y z z x z x
+ +
+ + + + + +
14. A-7).Cho x,y,z >0 vaứ thoỷa maừn xyz=1. TỡmGTNN

( )
2
x y z
y y 2z z
+
+
+
( )
2
y z x
z z 2x x
+
+
+
( )
2
z x y
x yx 2y y
+
+
.
15. Cho a,b,c >0. Tỡm GTLN
.
3 3 3
bc ca ab
P
a bc b ca c ab
= + +
+ + +

T Toỏn tin - THPT NINHCHAU
11
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
16. Cho a, b, c, d>0. CMR:
3
2
c3b2a
d
b3a2d
c
a3d2c
b
d3c2b
a
≥
++
+
++
+
++
+
++
17. Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng
4 9 16
26
a b c
b c a c a b b a c
+ + ³
+ - + - + -
18. Cho

, , 0x y z >
. Chứng minh rằng:
2 2 3 5
( )( ) ( )( ) ( )( ) 3
xy yz zx
z x z y x y x z y z y x
+ + ≥
+ + + + + +
19. Cho
a
,
b
,
c
>0 thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc. CMR:
2 2 2
1 1 1 1
(2 1) (2 1) (2 1) 2a a b b c c
+ + ≥
− − −

20. Cho a, b, c là ba số dương thỏa
1
4 6 3
a b c
+ + =
.CM:
3 3 3
( 2 ) 27 ( 2 )
16

5 4 4 4 2 6
a b c c a
c a a b c a b c
+ +
+ + ≥
+ + + + +

21. Cho
, ,a b c
>0 thỏa
2 2 2 3 3 3
a b c a b c+ + = + +
. CM
1 1 1
1
8 1 8 1 8 1
a b c
+ + ≥
+ + +
.
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
12